精品解析：2022年河南省安阳市林州市中考数学模拟试卷

2022年河南省安阳市林州市中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列说法不正确的是( ) A. 任何一个非零有理数的绝对值都是正数 B. 0既不是正数也不是负数 C. 乘积为0的两个数互为倒数 D. 0的绝对值等于它的相反数 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据有关部门初步统计，自新冠肺炎疫情发生以后，国家已投入1390亿资金进行疫情防控，为抗击疫情提供了强力保障，也展现了祖国日益强大的综合国力，将数据1390亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 五个完全相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，直线a∥b，直线分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1=50°，则∠2的度数是　　 A. 50° B. 70° C. 80° D. 110° 6. 如图，一个菱形的一条对角线长为7，面积为28，则该菱形的另一条对角线长为（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 7. k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 必有实根 B. 有两个不相等的实根 C. 无实根 D. 不能确定根的情况 8. 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，下列结论不一定成立的是( ) A. B. C. D. 10. 如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=9，BC=5，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 当_____时，二次根式有意义． 12. 二次函数的顶点坐标___________． 13. 组数据，，．的方差是，那么数据，，的方差为_________． 14. 如图，已知的半径为6，C、D在直径的同侧半圆上，，，动点P在直径上，则的最小值是______． 15. 如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是_____． 三、计算题（本大题共1小题，共9分） 16. 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732） 四、解答题（本大题共7小题，共66分） 17. 计算： 18. 为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了体质抽测．体质抽测的结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：合格；D级：不合格．并根据抽测结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽测的学生人数是________人； （2）图（1）中∠ α的度数是________，并把图（2）条形统计图补充完整； （3）该县九年级有学生4800名，如果全部参加这次体质测试，请估计不合格的人数为______． （4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中H为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 19. 如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：． （2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长． 20. 如图，AB是圆O的直径，点F在AB的延长线上，C，D是圆上的两点，点D为弧BC的中点，∠CAD=∠BDF．若BF=1，DF=2，求解下列问题： （1）求证：△FBD∽△FDA； （2）求AB的长度； （3）求tan∠CAD和弦AD的长度． 21. 某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占，平时成绩占． （1）李华测试成绩为90分，平时成绩为80分，他的综合评价得分是多少？ （2）孔明的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？ 22. 如图,设抛物线T：y=ax2+c(a> 0)与直线L:y=kx-4(k> 0)交A,B两点（点B在点A的右侧）. （1）如图，若点A（，-），且a+c=-1. ①求抛物线T和直线L的解析式； ②求△AOB的面积. （2）设点C是点B关于y轴的对称点，当点A,O,C三点共线时，求实数c的值. 23. 如图，点A,B在直线1上,AB = 20cm,∠BAC= 120°. (1)点P从A出发，沿射线AB以每秒2cm的速度向右运动，同时点Q从B出发,沿射线BA以每秒lcm的速度向左运动,求点P出发多少秒时与点Q重合? (2)在(1)的条件下，求点P出发多少秒时与点Q相距5cm? (3)点M为射线AC上一点,AM = 4cm,现将射线AC绕点A以每秒30°的速度顺时针旋转一周后停止，同时点N从点B出发沿直线AB向左运动，在这一运动过程中，是否存在某一时刻，使得点N为BM的中点?若存在，求出点N运动的速度:若不存在,请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年河南省安阳市林州市中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列说法不正确的是( ) A. 任何一个非零有理数的绝对值都是正数 B. 0既不是正数也不是负数 C. 乘积为0的两个数互为倒数 D. 0的绝对值等于它的相反数 【答案】C 【解析】 【分析】有理数包括：正有理数、负有理数和0；0既不是正数也不是负数；0的相反数是0；绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．乘积为1的两个数互为倒数，据此逐一判断即可得答案. 【详解】A.任何一个非零有理数的绝对值都是正数，正确，故该选项不符合题意， B.0既不是正数也不是负数，正确，故该选项不符合题意， C.乘积为1的两个数互为倒数，故该选项错误，符合题意， D.0的绝对值等于0，0的相反数是0，故0的绝对值等于它的相反数，正确，不符合题意， 故选：C. 【点睛】考查的是有理数的分类、正数和负数的定义、绝对值的性质及倒数的定义，熟练掌握相关定义及性质是解题关键. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式运算的法则逐项判断即可． 【详解】解： A、，运算错误，不符合题意； B、与不是同类项，无法合并，运算错误，不符合题意； C、，运算错误，不符合题意； D、，运算正确，符合题意． 3. 根据有关部门初步统计，自新冠肺炎疫情发生以后，国家已投入1390亿资金进行疫情防控，为抗击疫情提供了强力保障，也展现了祖国日益强大的综合国力，将数据1390亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：1390亿， 故选：D． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4. 五个完全相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正视图是从正面看到的图形解答即可. 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形， 故选A． 【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线. 5. 如图，直线a∥b，直线分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1=50°，则∠2的度数是　　 A. 50° B. 70° C. 80° D. 110° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠BAD=∠1，再根据AD是∠BAC的平分线，进而可得∠BAC的度数，再根据补角定义可得答案． 【详解】解：因为a∥b， 所以∠1=∠BAD=50°， 因为AD是∠BAC的平分线， 所以∠BAC=2∠BAD=100°， 所以∠2=180°-∠BAC=180°-100°=80°． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等． 6. 如图，一个菱形的一条对角线长为7，面积为28，则该菱形的另一条对角线长为（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：设菱形的两条对角线分：，， ∵菱形的面积， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的面积公式，是解题的关键． 7. k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 必有实根 B. 有两个不相等的实根 C. 无实根 D. 不能确定根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】计算根的判别式，配方后判断其取值范围，即可确定方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 8. 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况， ∴小灯泡发光的概率为＝． 故选：A． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 9. 如图，在平行四边形中，下列结论不一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到AD//BC、、从而进行判断. 【详解】因为四边形是平行四边形， 所以AD//BC、、，（故B、C选项正确，不符合题意） 所以，（故A选项正确，不符合题意）. 故选D. 【点睛】考查了平行四边形的性质，解题关键是熟记平行四边形的性质. 10. 如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=9，BC=5，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出，依据CD平分∠ACB，BD⊥CD，即可得等腰三角形BCE，可推出根据，即可推出的长度，继而求得答案． 【详解】 延长BD与AC交于点E， ∵∠A=∠ABD， ∴BE=AE， ∵BD⊥CD，即BE⊥CD， 又∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ECD， ∴∠EBC=∠BEC， ∴△BEC为等腰三角形， ∴BC=CE， ∵BE⊥CD， ∴2BD=BE， ∵AC=9，BC=5， ∴CE=5， ∴AE=AC-EC=9-5=4， ∴BE=4， ∴BD=2． 在Rt△CBD中，BC=5，BD=2， ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 当_____时，二次根式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 由二次根式有意义得：被开方数为非负数列不等式可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴． 故答案为：． 12. 二次函数的顶点坐标___________． 【答案】(6，3) 【解析】 【分析】利用配方法将二次函数的解析式化成顶点式即可得出答案． 【详解】 由此可得，二次函数的顶点式为 则顶点坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查了顶点式二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的性质是解题关键． 13. 组数据，，．的方差是，那么数据，，的方差为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方差的性质，解题关键是掌握“一组数据同时加减同一个常数，方差不变”这一核心性质． 直接运用方差的性质，判断出原数据每个数减2后方差不变，直接得出答案． 【详解】解：根据方差的性质：一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数，方差不变． 本题中，原数据每个数都减去了常数2，因此新数据的方差与原数据方差相同，仍为． 故答案为：． 14. 如图，已知的半径为6，C、D在直径的同侧半圆上，，，动点P在直径上，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的垂线，并延长交于点，连接，过点作于点，先求出，则当三点共线时，的值最小，最小值为的长，即的最小值为的长，再解直角三角形求出的长，最后根据等腰三角形的三线合一求解即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，并延长交于点，连接，过点作于点， ∵是的直径，弦， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，即的最小值为的长， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， ∴在中，， 又∵，， ∴， 即的最小值是． 【点睛】本题的难点在于综合利用垂径定理和两点之间线段最短确定最小值． 15. 如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是_____． 【答案】或或或 【解析】 【详解】【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质． 【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当△PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标． 【解答】解： ∵反比例函数y=图象关于原点对称， ∴A、B两点关于O对称， ∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2）， ∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB， 设P点坐标为（x，0）， ∵A（1，2），B（﹣1，﹣2）， ∴AB==2，PA=，PB=， 当PA=AB时，则有=2，解得x=﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）； 当PB=AB时，则有=2，解得x=3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，0）； 综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）， 故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）． 三、计算题（本大题共1小题，共9分） 16. 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732） 【答案】这棵树CD的高度为8.7米 【解析】 【详解】试题分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解． 试题解析：∵∠CBD=∠A+∠ACB， ∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°， ∴∠A=∠ACB， ∴BC=AB=10（米）． 在直角△BCD中，CD=BCsin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）． 答：这棵树CD的高度为8.7米． 考点：解直角三角形的应用 四、解答题（本大题共7小题，共66分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算立方根，负整数指数幂和零指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 18. 为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了体质抽测．体质抽测的结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：合格；D级：不合格．并根据抽测结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽测的学生人数是________人； （2）图（1）中∠ α的度数是________，并把图（2）条形统计图补充完整； （3）该县九年级有学生4800名，如果全部参加这次体质测试，请估计不合格的人数为______． （4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中H为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 【答案】（1）40 （2）54°；补图见解析； （3）960名； （4） 【解析】 【分析】（1）用B级的人数除以所占的百分比求出总人数； （2）用360°乘以A级所占的百分比求出∠α的度数，再用总人数减去A、B、D级的人数，求出C级的人数，从而补全统计图； （3）用九年级所有的学生数乘以不及格的人数所占的百分比，求出不及格的人数； （4）根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：本次抽样测试的学生人数是：40（人）， 故答案为：40 【小问2详解】 解：根据题意得： C级的人数是：40－6－12－8=14(人)，补图如下： 故答案为：54° 【小问3详解】 解：根据题意得： 960（名）； 故答案为：960名 【小问4详解】 解：将四位同学分别记为E.、F、 G、H，其中E为小明，根据题意画树形图如下： 共有12种情况，选中小明的有6种， 则P(选中小明)=． 故答案为： 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，用到的知识点是用样本估计总体，频数、频率、总数之间的关系，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题关键． 19. 如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：． （2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）DE= 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得AD∥BC，AD＝AB，∠B＝90°，再证明Rt△ABM∽Rt△EFA，利用相似比和比例的性质可得到结论； （2）先利用勾股定理计算出AM＝13，则AF＝，由于Rt△ABM∽Rt△EFA，则利用相似比可计算出AE，然后计算AE﹣AD即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD∥BC，AD＝AB，∠B＝90°， ∴∠AMB＝∠MAD， ∵EF⊥AM， ∴∠AFE＝90°， ∴Rt△ABM∽Rt△EFA， ∴AB：EF＝AM：AE， 即AD：EF＝AM：AE， ∴AD•AE＝AM•EF； （2）解：在Rt△ABM中，AM＝＝13， ∵F是AM的中点， ∴AF＝AM＝， ∵Rt△ABM∽Rt△EFA， ∴，即， ∴AE＝， ∴DE＝AE﹣AD＝﹣12═． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了正方形的性质． 20. 如图，AB是圆O的直径，点F在AB的延长线上，C，D是圆上的两点，点D为弧BC的中点，∠CAD=∠BDF．若BF=1，DF=2，求解下列问题： （1）求证：△FBD∽△FDA； （2）求AB的长度； （3）求tan∠CAD和弦AD的长度． 【答案】（1）见解析 （2）3 （3）， 【解析】 【分析】(1)由点D为弧BC的中点，可得∠CAD=∠BAD，即可证得∠BAD=∠BDF，据此即可证得结论； (2)由△FBD∽△FDA，可得，据此即可求得； (3) 由△FBD∽△FDA，可得，再根据勾股定理即可求得． 【小问1详解】 证明：∵点D为弧BC的中点， ∴∠CAD=∠BAD， ∵∠CAD=∠BDF， ∴∠BAD=∠BDF， 在△FBD与△FDA中， ∴△FBD∽△FDA； 【小问2详解】 解：∵△FBD∽△FDA， ∴， ，得， ∴AF=4， ∴AB=AF-BF=4-1=3； 【小问3详解】 解：∵点D为弧BC的中点， ∴∠CAD=∠BAD， ∴ ∵△FBD∽△FDA， ∴， ∵AB是圆O的直径， ， ∴在Rt△ABD中，， ，AD=2BD， 在Rt△ABD中，， 得，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数的定义，勾股定理，证得△FBD∽△FDA是解决本题的关键． 21. 某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占，平时成绩占． （1）李华测试成绩为90分，平时成绩为80分，他的综合评价得分是多少？ （2）孔明的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？ 【答案】（1）他的综合评价得分是88分 （2）孔明同学测试成绩是90分，平时成绩是95分 【解析】 【分析】（1）利用加权平均数的公式计算即可； （2）设孔明同学测试成绩是分，平时成绩是分，根据题意建立方程组，解方程组即可． 【小问1详解】 解：（分）， 答：他的综合评价得分是88分． 【小问2详解】 解：设孔明同学测试成绩是分，平时成绩是分， 由题意得：， 解得， 答：孔明同学测试成绩是90分，平时成绩是95分． 22. 如图,设抛物线T：y=ax2+c(a> 0)与直线L:y=kx-4(k> 0)交A,B两点（点B在点A的右侧）. （1）如图，若点A（，-），且a+c=-1. ①求抛物线T和直线L的解析式； ②求△AOB的面积. （2）设点C是点B关于y轴的对称点，当点A,O,C三点共线时，求实数c的值. 【答案】（1）①，y=3x-4；②1；（2）-2. 【解析】 【分析】（1）①利用点A的坐标及a+c=-1即可求得抛物线T的解析式，再将点A的坐标代入直线解析式即可； ②先求出两个函数图象的交点B的坐标，再求出直线与x轴的交点D的坐标，即可根据面积加减关系得到△AOB的面积； （2）根据解析式求出交点A、B的坐标，由轴对称得到点C的坐标，求出直线AC的解析式，由点A、O、C三点共线，将点O的坐标代入,即可得到c的值. 【详解】（1）①将点A（，-）代入抛物线解析式中得： ， ∵a+c=-1， ∴解，得， ∴抛物线T的解析式为， 将点A（，-）代入y=kx-4中，得k=3， ∴直线L的解析式为y=3x-4； ②解方程组，得， ， ∴B（1，-1）， 令y=3x-4中y=0，得， ∴D(，0)， ∴△AOB的面积=S△AOD-S△BOD=； （2）解方程组， 得， ∴, , ∵点C是点B关于y轴的对称点， ∴, 设直线AC的解析式为y=mx+n， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为， ∵点A,O,C三点共线， 当x=0时，y=4+2c=0， 得c=-2. 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，图象中三角形面积的求法，（2）是本题的难点，考查点的对称性，由对称性得到点的坐标，求出直线AC的解析式，由三点共线将点O的坐标代入解析式求出c的值，思路简单，但是计算复杂. 23. 如图，点A,B在直线1上,AB = 20cm,∠BAC= 120°. (1)点P从A出发，沿射线AB以每秒2cm的速度向右运动，同时点Q从B出发,沿射线BA以每秒lcm的速度向左运动,求点P出发多少秒时与点Q重合? (2)在(1)的条件下，求点P出发多少秒时与点Q相距5cm? (3)点M为射线AC上一点,AM = 4cm,现将射线AC绕点A以每秒30°的速度顺时针旋转一周后停止，同时点N从点B出发沿直线AB向左运动，在这一运动过程中，是否存在某一时刻，使得点N为BM的中点?若存在，求出点N运动的速度:若不存在,请说明理由. 【答案】（1）点P出发秒时与点Q重合；（2）点P出发5秒或秒时与点Q相距5cm；（3）存在，点N运动的速度为2cm/s或1.2cm/s. 【解析】 【分析】（1）设点P出发x秒时与点Q重合，根据题意列出方程并解方程即可； （2）设点P出发t秒时与点Q相距5cm，根据点P、Q是否相遇分类讨论，分别根据图形列出方程，求出t即可； （3）根据点M与点A的相对位置分类讨论：①当点M旋转至点A的右侧时，此时M的对应点为M1，N为BM1的中点，先求出此时N行驶的路程BN，再求出N行驶的时间，即可求出N的速度；②当点M旋转至点A的左侧时，此时M的对应点为M2，N为BM2的中点，原理同上. 【详解】解：（1）设点P出发x秒时与点Q重合， 根据题意可知：AP=2x，BQ=x， ∴2x＋x=20 解得：x= 答：点P出发秒时与点Q重合. （2）设点P出发t秒时与点Q相距5cm ①若P、Q未相遇时，如下图所示 ∴AP=2t，PQ=5，BQ= t， ∴2t＋5＋t =20 解得：t =5； ②若P、Q已相遇，如下图所示 ∴AP=2t，PQ=5，BQ= t， ∴2t－5＋t =20 解得：t = 综上所述：t=5或. 答：点P出发5秒或秒时与点Q相距5cm. （3）存在， ①当点M旋转至点A的右侧时，此时M的对应点为M1，N为BM1的中点 ∴AM1=AM=4cm， ∴BM1=AB－AM1=16cm ∵N为BM1的中点 ∴N行驶的路程BN= BM1=8cm ∵∠BAC= 120°，射线AC绕点A以每秒30°的速度顺时针旋转，同时点N从点B出发沿直线AB向左运动， ∴N行驶的时间=射线AC旋转的时间=120÷30=4s ∴N的速度为：8÷4=2cm/s ②当点M旋转至点A的左侧时，此时M的对应点为M2，N为BM2的中点 ∴AM2=AM=4cm， ∴BM2=AB+AM2=24cm ∵N为BM2的中点 ∴N行驶的路程BN= BM2=12cm ∵∠BAC= 120°，射线AC绕点A以每秒30°的速度顺时针旋转，同时点N从点B出发沿直线AB向左运动， ∴射线AC旋转的角度为：120°＋180°=300°，N行驶的时间=射线AC旋转的时间=300÷30=10s ∴N的速度为：12÷10=1.2cm/s 综上所述：点N运动的速度为2cm/s或1.2cm/s. 【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用：动点问题，掌握行程问题中的等量关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $