精品解析：2022年河南省安阳市中考数学模拟试卷

2022年河南省安阳市中考数学模拟试卷 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷．第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置．第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下面图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方形的个数最少是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为：y(x﹣25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为(　　)m． A. 12 B. 25 C. 13 D. 14 4. 如图所示，已知与x轴和y轴都相切，的延长线与相交于A，反比例函数的图象过点A，若点P的坐标为，则k的值为（　　） A. B. C. D. 5. 已知函数，则下列说法不正确的个数是（ ） ①若该函数图像与轴只有一个交点，则 ②方程至少有一个整数根 ③若，则的函数值都是负数 ④不存在实数，使得对任意实数都成立 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 今年国庆期间，小红与爸爸到厦门旅游，爸爸让小红从“鼓浪屿、曾厝垵、厦门大学、厦门植物园”四个景点中任选三个去游玩，那么“厦门大学”没选中的概率是（      ） A. B. C. D. 7. 把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴，函数（，）交于点，交于点．若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，中，于D，下列能确定为直角三角形的条件的个数是（　　） （1）；（2）；（3）；（4）． A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　） A. 2：5 B. 3：5 C. 9：25 D. 4：25 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向上平移个长度单位得到．将函数的图象向______平移______个长度单位得到函数的图象． 12. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx-3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，a的取值范围是__________． 13. 正方形的边长为10，点E是正方形外一动点，，P为的中点，当E运动时，线段的取值范围为______ 14. 一个矩形的长比宽多，面积是，矩形的长和宽各是______． 15. 二次函数的顶点坐标是______，当x ______时，y随x的增大而增大． 三、解答题（本大题共8小题，共75.0分） 16. 解下列方程： （1）． （2）． 17. 已知为的直径，C为上一点，． （1）如图①，点P是弧上一点，求的大小； （2）如图②，过点C作的切线，过点B作于点D，与交于点E，若，求的长． 18. 如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC．已知A(﹣2，0)，B(6，0)，D(0，3)，函数y＝(x＞0)的图象G经过点C． (1)求点C的坐标和函数y＝(x＞0)的表达式； (2)将四边形ABCD向上平移2个单位得到四边形A'B'C'D'，问点B'是否落在图象G上？ 19. 某中学九年级学生共人，该校对九年级所有学生进行了一次英语听力口语模拟测试（满分分），并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表和直方图. 类别 成绩（分） 频数 频率 以下 合计 （1）______；______． （2）补充完整频数分布直方图； （3）估计该校九年级学生英语听力口语测试成绩是30分的人数． 20. 某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，销售单价定为25元时，月销售量为1050件；当销售单价每上涨1元，月销售量就减少50件．设销售单价为x（元），月销售量为y（件），月获利（月获利=月销售额月进价）为w（元）． （1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）试写出w与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；并求当销售单价为多少时，月获利最大，最大月获利为多少？ 21. 图，在中，,弦于点交的延长线于点,连结 （1）证明: （2）连结,若，求的长． 22. 如图，矩形是矩形（边在x轴正半轴上，边在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，点在x轴的正半轴上，B点的坐标为．与交于D点． （1）如果二次函数的图象经过O，两点且图象顶点M的纵坐标为，求这个二次函数的解析式； （2）求D点的坐标． （3）若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，交抛物线于点P，则以为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由． （4）若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，已知点Q是二次函数图象在y轴右侧部分上的一个动点，若以为直角边的与相似，直接写出点Q的坐标． 23. 按要求解决问题： 问题提出： （1）如图①，在四边形中，，则对角线长度的最大值为______ ． 问题探究： （2）如图②，菱形的边长为6，点E为对角线的三等分点，连接并延长交于点F，当时，求菱形的面积． 问题解决： （3）如图③，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，D分别在x轴、y轴上，点，E，F分别为边的中点，动点M从点E出发沿向点O运动，同时，动点N从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点K，连接，若点M的运动速度是点N的速度的2倍，在点M从点E运动至点O的过程中，求线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年河南省安阳市中考数学模拟试卷 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷．第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置．第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下面图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据将一个图形绕一个点旋转得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形直接辨别即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， A选项图形不是中心对称图形，不符合题意， B选项图形不是中心对称图形，不符合题意， C选项图形不是中心对称图形，不符合题意， D选项图形是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 2. 由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方形的个数最少是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，空间想象能力，熟练掌握三视图的知识点判断小正方体的个数是解决此题的关键．从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从左视图可以看出第二层的个数，从而算出总的个数． 【详解】解：由题中所给出的左视图知物体共两层，每一层都是两个小正方体，从俯视图可以可以看出最底层的个数， 所以图中的小正方体最少， 故选：C． 3. 一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为：y(x﹣25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为(　　)m． A. 12 B. 25 C. 13 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据二次函数的图象及性质即可得出答案． 【详解】解：∵y(x﹣25)2+12， 顶点坐标为(25，12)， ∵0， ∴当x＝25时，y有最大值，最大值为12． 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 4. 如图所示，已知与x轴和y轴都相切，的延长线与相交于A，反比例函数的图象过点A，若点P的坐标为，则k的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设与x轴和y轴分别相切于点C、点B，连接，，过点A作轴于点D，证明四边形为正方形，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，从而得出，最后把点A的坐标代入求出结果即可． 【详解】解：设与x轴和y轴分别相切于点C、点B，连接，，过点A作轴于点D，如图所示： 则轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵点P的坐标为， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点A， ∴． 5. 已知函数，则下列说法不正确的个数是（ ） ①若该函数图像与轴只有一个交点，则 ②方程至少有一个整数根 ③若，则的函数值都是负数 ④不存在实数，使得对任意实数都成立 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】对于①：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解； 对于②：分情况讨论a＝0和a≠0时方程的根即可； 对于③：已知条件中限定a≠0且a＞1或a＜0，分情况讨论a＞1或a＜0时的函数值即可； 对于④：分情况讨论a＝0和a≠0时函数的最大值是否小于等于0即可． 【详解】解：对于①：当a＝0时，函数变为，与只有一个交点， 当a≠0时，，∴， 故图像与轴只有一个交点时，或，①错误； 对于②：当a＝0时，方程变为，有一个整数根为， 当a≠0时，方程因式分解得到：，其中有一个根为，故此时方程至少有一个整数根，故②正确； 对于③：由已知条件得到a≠0，且a＞1或a＜0 当a＞1时，开口向上，对称轴为，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大， ∵ ， ∴离对称轴的距离一样，将代入得到，此时函数最大值小于0； 当a＜0时，开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， ∴时，函数取得最大值为， ∵a＜0， ∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，故③错误； 对于④：a＝0时，原不等式变形为：对任意实数不一定成立，故a＝0不符合； a≠0时，对于函数， 当a＞0时开口向上，总有对应的函数值，此时不存在a对对任意实数都成立； 当a＜0时开口向下，此时函数的最大值为， ∵a＜0， ∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值， 此时不存在a对对任意实数都成立；故④正确； 综上所述，②④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键． 6. 今年国庆期间，小红与爸爸到厦门旅游，爸爸让小红从“鼓浪屿、曾厝垵、厦门大学、厦门植物园”四个景点中任选三个去游玩，那么“厦门大学”没选中的概率是（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先列出所有等可能的结果总数，再得到满足“厦门大学没选中”的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】将四个景点分别记为鼓浪屿，曾厝垵，厦门大学，厦门植物园． 从四个景点中任选三个，所有等可能的结果为：{鼓浪屿，曾厝垵，厦门植物园}，{鼓浪屿，曾厝垵，厦门大学}，{鼓浪屿，厦门大学，厦门植物园}，{曾厝垵，厦门大学，厦门植物园}，共种． ∵厦门大学没选中的结果只有种 ∴所求概率． 7. 把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象的平移规律得到，再联立方程组求解得到交点坐标，结合题意列不等式组求解即可． 【详解】解：直线向上平移m个单位后的解析式为， ∴， 解得，， ∴两直线的交点坐标为 ∵交点在第二象限， ∴， 解得，， ∴m可以取得的整数值有，共5个， 故选：D ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴，函数（，）交于点，交于点．若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点的坐标为，可得，，由可得方程，求解方程即可． 【详解】解：设点的坐标为， 则，， ∵， ∴， 由反比例函数中的几何意义， ∴， ∴， 故可得方程， 解得． 9. 如图，中，于D，下列能确定为直角三角形的条件的个数是（　　） （1）；（2）；（3）；（4）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】（1）根据直角的定义得，再根据直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等判断即可； （2）根据已知条件先判断， 再由相似三角形的性质得，同 （1）判断方法相同； （3）根据已知条件不能准确判断出为直角三角形； （4）根据已知条件设，则，，再运用勾股定理的逆定理，分析判断即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， （1）∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故（1）符合题意； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故（2）符合题意； （3）∵，， ∴，无法判断是否为，故（3）不符合题意； （4）， ∴ 设，则，， ∴，，即， ∴为直角三角形，故（4）符合题意； 综上，能确定为直角三角形的条件的个数是3． 10. 如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　） A. 2：5 B. 3：5 C. 9：25 D. 4：25 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，进而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质可得出结果. 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB， ∴△DEF∽△BAF． ∵DE：EC=3：2， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方. 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向上平移个长度单位得到．将函数的图象向______平移______个长度单位得到函数的图象． 【答案】 ①. 左 ②. 【解析】 【分析】根据函数图象平移的左加右减法则，对目标函数解析式变形后即可判断平移方向和平移单位． 【详解】解：函数图象平移遵循左加右减的规律， 对于原函数，目标函数可变形为， 符合自变量加正数，图象向左平移对应单位的规律， 因此将的图象向左平移2个单位长度可得到的图象． 12. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx-3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，a的取值范围是__________． 【答案】a＜-或a≥或a=-1 【解析】 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标，根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴，然后结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解． 【详解】直线y=4x+4中，令x=0代入直线y=4x+4得y=4，令y=0代入直线y=4x+4得x=-1， ∴A（-1，0），B（0，4）， ∵点B向右平移5个单位长度，得到点C， ∴C（5，4）； 将点A（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx-3a中得0=a-b-3a，即b=-2a， ∴抛物线的对称轴x=-=1； ∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A（-1，0）且对称轴x=1， 由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0）， ①a＞0时，如图1， 将x=0代入抛物线得y=-3a， ∵抛物线与线段BC恰有一个公共点， ∴-3a＜4， a＞-， 将x=5代入抛物线得y=12a， ∴12a≥4， ∴a≥； ②a＜0时，如图2， 将x=0代入抛物线得y=-3a， ∵抛物线与线段BC恰有一个公共点， ∴-3a＞4， ∴a＜-； ③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3， 将点（1，4）代入抛物线得4=a-2a-3a， 解得a=-1． 综上所述：a＜-或a≥或a=-1． 故答案为：a＜-或a≥或a=-1． 【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式． 13. 正方形的边长为10，点E是正方形外一动点，，P为的中点，当E运动时，线段的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，，可知点在以点为圆心，以为直径的圆上，由此当过圆心，即时取到最大值，当在时取到最小值，结合中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 如图所示，连接，交于点，则，， ∵，， ∴点在以点为圆心，以为直径的圆上，则， 连接， ∴， 当过圆心，即时取到最大值，当在时取到最小值， ∵点是中点，点是中点， ∴， 在中，， 在中，， ∴，， ∴ ． 14. 一个矩形的长比宽多，面积是，矩形的长和宽各是______． 【答案】， 【解析】 【分析】设矩形的宽为，根据长比宽多得到长的表达式，再根据矩形面积公式列一元二次方程，舍去不符合实际意义的根后即可求解． 【详解】解：设矩形的宽为，则长为， ∴， 整理得：， 因式分解得：， 解得， ∵矩形的边长为正数， ∴舍去， 当时，， ∴矩形的长是，宽是． 15. 二次函数的顶点坐标是______，当x ______时，y随x的增大而增大． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：二次函数解析式为， ∴图象开口向下，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大， 故答案为：①；②． 三、解答题（本大题共8小题，共75.0分） 16. 解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据配方法求解方程即可； （2）根据因式分解法求解方程即可． 【小问1详解】 解：方程变形得：， 开方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：移项得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，． 17. 已知为的直径，C为上一点，． （1）如图①，点P是弧上一点，求的大小； （2）如图②，过点C作的切线，过点B作于点D，与交于点E，若，求的长． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意得到是等边三角形，根据圆周角定理即可求解； （2）连接与相交于，根据切线的性质得到，再根据垂径定理推论得到，，，由此即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵为的直径，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接与相交于， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直径所对圆周角为90度，垂径定理等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析，合理作出辅助线是关键． 18. 如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC．已知A(﹣2，0)，B(6，0)，D(0，3)，函数y＝(x＞0)的图象G经过点C． (1)求点C的坐标和函数y＝(x＞0)的表达式； (2)将四边形ABCD向上平移2个单位得到四边形A'B'C'D'，问点B'是否落在图象G上？ 【答案】(1)C(4，3)，反比例函数的解析式y=；(2)点B′恰好落在双曲线上. 【解析】 【分析】（1）过C作CE⊥AB，由题意得到四边形ABCD为等腰梯形，进而得到三角形AOD与三角形BEC全等，得到CE＝OD＝3，OA＝BE＝2，由AB﹣AO﹣BE求出OE的长，确定出C坐标，代入反比例解析式求出k的值即可； （2）由平移规律确定出B′的坐标，代入反比例解析式检验即可． 【详解】（1）过C作CE⊥AB． ∵DC∥AB，AD＝BC，∴四边形ABCD为等腰梯形，∴∠A＝∠B，DO＝CE＝3，CD＝OE，∴△ADO≌△BCE，∴BE＝OA＝2． ∵AB＝8，∴OE＝AB﹣OA﹣BE＝8﹣2﹣2＝4，∴C（4，3），把C（4，3）代入反比例解析式得：k＝12，则反比例解析式为y； （2）由平移得：平移后B的坐标为（6，2），把x＝6代入反比例得：y＝2，则平移后点落在该双曲线上． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 19. 某中学九年级学生共人，该校对九年级所有学生进行了一次英语听力口语模拟测试（满分分），并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表和直方图. 类别 成绩（分） 频数 频率 以下 合计 （1）______；______． （2）补充完整频数分布直方图； （3）估计该校九年级学生英语听力口语测试成绩是30分的人数． 【答案】（1）； （2）图见解析 （3）该校九年级学生英语听力口语测试成绩是30分的人数为人 【解析】 【分析】（1）计算出抽样总人数，由频率总和为，得出的值，再计算得出的值； （2）计算出的值，作图即可； （3）由总人数乘以频率即可． 【小问1详解】 解：抽样总人数为人， 由频率总和为， 可得， 则， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：人， 答：该校九年级学生英语听力口语测试成绩是30分的人数为人． 20. 某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，销售单价定为25元时，月销售量为1050件；当销售单价每上涨1元，月销售量就减少50件．设销售单价为x（元），月销售量为y（件），月获利（月获利=月销售额月进价）为w（元）． （1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）试写出w与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；并求当销售单价为多少时，月获利最大，最大月获利为多少？ 【答案】（1） （2），当销售单价为33元时，月获利最大，最大月获利为8450元 【解析】 【分析】（1）根据月销售量销售单价上涨钱数，即可得出y与x之间的函数关系式； （2）根据月利润=单件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数关系式，配方后再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 【小问2详解】 解：根据题意得：． ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为8450． ∴当销售单价为33元时，月获利最大，最大月获利为8450元． 21. 图，在中，,弦于点交的延长线于点,连结 （1）证明: （2）连结,若，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接BC，根据圆内接四边形的性质得到∠BDF=∠ACB，根据平行线的性质得到∠F=∠ADC，利用同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）过F作FG⊥CD交CD的延长线于G，得到四边形BFGE是矩形，根据矩形的性质得到GF=BE，EG=BF=5，设，则 同时得到BD=BF=5，根据AB=AC，得到AE=6，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图1．连结 四边形内接于 , ， ， ． 如图2．过点作交延长线于点 ， 设，则 , , ，， ． 四边形为矩形， ， 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，矩形是矩形（边在x轴正半轴上，边在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，点在x轴的正半轴上，B点的坐标为．与交于D点． （1）如果二次函数的图象经过O，两点且图象顶点M的纵坐标为，求这个二次函数的解析式； （2）求D点的坐标． （3）若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，交抛物线于点P，则以为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由． （4）若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，已知点Q是二次函数图象在y轴右侧部分上的一个动点，若以为直角边的与相似，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）能，P点坐标为或 （4）点Q的坐标是或或或 【解析】 【分析】（1）连接，根据矩形的性质，勾股定理，旋转的性质得到，，运用待定系数法求解即可； （2）得出，设，则，由勾股定理即可求解； （3）根据题意运用待定系数法得到直线的解析式为：，根据平行四边形的判定方法分类讨论：当时，四边形是平行四边形；，时是平行四边形，结合图形分析即可求解； （4）根据相似三角形的判定和性质，分类讨论：当时，若；当时，若；当时，若；当时，若；结合图形分析求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，连接， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 由旋转得：， ∴， ∴，且直线是抛物线的对称轴， ∴， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得，， ∴这个二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图1，由旋转得：， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线是平移所得， ∴， 过作轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当时，， ∴； 如图3， 由题意得：， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 即当直线向上平移0个单位时，F、E与O重合，以B、、F、P为顶点的四边形是平行四边形， 此时， 综上所述，P点坐标为或； 【小问4详解】 解：分四种情况： ①如图4， 当时，若， 由题意可知：， ∴， 过Q作轴于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 把代入到得：， 解得：（舍），， ∴， ∴； ②如图5， 当时，若， ∴， 设，则， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 把代入到得：， 解得：（舍），， ∴，， ∴； ③如图6， 当时，若， ∴， 过Q作轴于H， 设，则， 同理得：， ∴， 把代入到得：， 解得：（舍），， ∴，， ∴； ④如图7， 当时，若， ∴， 过Q作轴于H， 设， 同理得：，， ∴， 把代入到得：， 解得：（舍），， ∴，， ∴； 综上所述，点Q的坐标是或或或． 23. 按要求解决问题： 问题提出： （1）如图①，在四边形中，，则对角线长度的最大值为______ ． 问题探究： （2）如图②，菱形的边长为6，点E为对角线的三等分点，连接并延长交于点F，当时，求菱形的面积． 问题解决： （3）如图③，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，D分别在x轴、y轴上，点，E，F分别为边的中点，动点M从点E出发沿向点O运动，同时，动点N从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点K，连接，若点M的运动速度是点N的速度的2倍，在点M从点E运动至点O的过程中，求线段长度的最小值． 【答案】（1） （2） （3）线段长度的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意得到点四点在以为直径的圆上，当为过圆心的直径时，取得最大值，再由勾股 定理得到，由此即可求解； （2）根据菱形的性质证明，得到，则，，结合特殊角的三角函数值的计算得到，由菱形的面积公式即可求解； （3）根据矩形的性质，线段中点及点坐标得到，连接交于点，连接，取线段的中点，连接，过点作于点，证明，结合题意得到，，根据平行线分线段成比例，中位线的性质，勾股定理得到，结合三角形三边关系列式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴点四点在以为直径的圆上， ∴当为过圆心的直径时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴对角线长度的最大值为； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵点E为对角线的三等分点， ∴， ∴， ∵，即， ∴在中，， ∴，， ∴，则， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵E，F分别为边的中点， ∴， 如图所示，连接交于点，连接，取线段的中点，连接，过点作于点， ∵， ∴四边形是矩形，则，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵点M的运动速度是点N的速度的2倍， ∴， ∴，则， ∴，则， 在中，， ∵，即， ∴，且点是中点， ∴， ∴，是梯形的中位线， ∴，， 在中，， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴线段长度的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $