26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象性质及待定系数法求解析式，通过复习y=a(x-h)²+k的图象平移与性质，搭建新旧知识桥梁，引导学生从已有认知过渡到新知探究。 以自主探究和问题驱动为特色，分组讨论配方转化与描点作图，结合不同条件下解析式求解实例，培养抽象能力、推理能力与模型意识，提升学生数学探究能力，助力教师高效开展二次函数教学。

26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课题 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材第42-43页练习的内容 教学目标 1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。 2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。 教学重难点 教学重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。 教学难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴及顶点坐标分别是x＝－、(－，)。 教 学 过 程 备 注 1.提出问题，引入课题 【问题】1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系? 3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质? 【师生活动】学生回答，教师订正。 1. 函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向向下，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，1）. 2.函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的. 3.当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1. 2.探索新知，归纳知识 【探究1】对于函数y＝x2-6x+21，如何画出它的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗? 【师生活动】让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见。 可将y＝x2-6x+21配方，得到y=（x-6）2+3，进而得到函数的图象及性质。 根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝x2-6x+21=（x-6）2+3的图象，进而观察得到这个函数的性质。 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表； x … 3 4 5 6 7 8 9 … y … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 … (2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。 (3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝x2-6x+21的图象。 说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝6，以6为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。 (2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。 函数y＝x2-6x+21的性质：开口向上; 对称轴为x=6; 顶点坐标(6，3)； 当 x<6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>6 时，y 随 x 的增大而增大； 当x=6时，有最小值3. 【探究2】你能通上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？ 【学生活动】学生自主探究. 【归纳】一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c可以通过配方化成y=a（x-h）2+k的形式，即y＝a(x＋)2＋。 对称轴是x＝，顶点坐标是(－，)。 如果a＞0，当x＜时，y随x的增大而减小，当x＞时，y随x的增大而增大； 如果a＜0，当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小。 3.学以致用，应用新知 【例1】二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣2）2+4 答案：B 【例2】如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞1 B．－1＜a≤1 C．a＞0 D．－1＜a＜2 解析：抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，∵函数图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1<a≤1，故选择B. 答案：B 【例3】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是(　　) 解析：∵A图和D图中直线y＝ax＋b过一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴抛物线y＝ax2＋bx的开口向上，对称轴x＝－＞0，∴选项A错，选项D正确；B图和C图中直线y＝ax＋b过二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴抛物线的开口向下，且对称轴x＝－＜0，∴选项B，C错．故选择D. 答案：D 【例4】在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是(　　) A．(－3，－6) B．(1，－4) C．(1，－6) D．(－3，－4) 解析：二次函数y＝2x2＋4x－3配方得y＝2(x2＋2x)－3＝2(x2＋2x＋1－1)－3＝2(x＋1)2－5，将抛物线y＝2(x＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，此时二次函数图象的顶点为(1，－6)，故选择C. 答案：C 4.随堂训练，巩固新知 1.二次函数y=x2+6x+4图象的对称轴是直线（　　） A. x=-3 B．x=-6 C．x=6 D．x=4 答案：A 2.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝ax2+bx+c先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度，得到抛物线y＝x2﹣2x﹣4，则抛物线y＝ax2+bx+c的函数表达式为（　　） A．y＝x2+2x+4 B．y＝x2+4x﹣3 C．y＝x2﹣4x+3 D．y＝x2﹣8x+13 答案：B 3.若抛物线y＝x2+2x+c与y轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴为直线x＝﹣1 C．当x＞﹣1时，y随x的增大而减少 D．c的值为﹣3 答案：C 4.在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x=t. （1）当c=2，m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； （2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c,求t的取值范围及x0的取值范围. 解：（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，得m＝a+b+c，n＝9a+3b+c. ∵m=n,∴a+b+c=9a+3b+c. 整理，得b=-4a, ∴抛物线的对称轴为x=-=-=2，∴t=2. ∵c=2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）． （2）∵m＜n＜c, ∴a+b+c＜9a+3b+c＜c,解得-4a＜b＜-3a, ∴3a＜-b＜4a, ∴＜-＜，即＜t＜2． 当t=时，x0=2； 当t=2时，x0=3． ∴x0的取值范围2＜x0＜3． 5.课堂小结，自我完善 1.能用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。 2．用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。 6.布置作业 课本P43练习。 先复习上一节第3课时的内容，使学生能更自然地考虑配方法解决本课时思考问题。 学生交流，教师指导。 运用关于二次函数y=a（x-h）2+k图象的结论。 学生画图象、老师巡视指导，让一位同学板演，学生自纠，教师点评。 先将所给的函数通过配方写成y=a（x-h）2+k的形式，然后画出所给函数的图象，并由图象得出所给函数随x增大的变化情况。 学生尝试总结，老师适当补充和引导。 抛物线的增减性：当a＞0，开口向上时，对称轴左降右升；当a＜0，开口向下时，对称轴左升右降。 多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象(如一次函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论。 利用二次函数平移规律（简记为“上加下减，左加右减”）确定平移后抛物线解析式，进而判断顶点坐标。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 用配方法将二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a（x-h）2+k的形式，再根据上节课的学习得出其图象与性质. 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法。 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 课题 用待定系数法求二次函数的解析式 课型 新授课 教学内容 教材第42-43页练习的内容 教学目标 1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法． 2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用． 教学重难点 教学重点：用待定系数法求二次函数的解析式。 教学难点：理解待定系数法，并能用来求二次函数的解析式。 教 学 过 程 备 注 1.以例代讲，总结方法 【问题1】在我们学习二次函数之前，我们学习过哪些函数？【学生活动】学生回答. 【问题2】这些函数的解析式是什么？ 【学生活动】学生回答. 我们在前面刚刚学习了二次函数，二次函数的表达式有哪些？ 【学生活动】学生回答：一般式、顶点式. 【问题3】（1）还记得我们是怎样求一次函数和正比例函数的解析式吗？ 【学生活动】学生回答：用待定系数法求解. （2）如：一直线经过（2,3）和（-4,5）两点，求这个函数的解析式？ 【师生活动】学生做，教师检查. 通过例题讲解让学生熟悉二次函数解析式的求法。 例1.已知一个二次函数的图象过点三点，求这个函数的解析式？ 【教师活动】教师板书：根据题意， a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 去解这个三元一次方程组得：a=2，b=-3，c=5； 所求二次函数 例2. 已知抛物线的顶点为，与轴交点为求抛物线的解析式？ 【教师活动】二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x-h)2＋k的形式称为顶点式，(h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是-1，-3)，因此，可以设函数关系式为： y＝a(x+1)2-3. 由于二次函数的图象过点(0，-5)，代入所设函数关系式，即可求出a的值。 例3.已知抛物线与轴交于并经过点，求抛物线的解析式. 【教师活动】二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为所以应设二次函数y=a（x-x1）（x-x2） （a≠0）再把 代入求a的值。 2.学以致用，应用新知 【例1】已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式． 解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 依题意得： 解这个方程组得： ∴这个二次函数的解析式为y＝2x2＋3x－4. 【例2】已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式． 解：设二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，图象顶点是(－2，3)，∴h＝－2，k＝3， 依题意，得5＝a(－1＋2)2＋3，解得a＝2， ∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11. 【例3】已知二次函数y＝2x2－12x＋5，求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式． 分析：关于x轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数． 解：y＝2x2－12x＋5＝2(x－3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y＝－2(x－3)2＋13. 【例4】科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表： 温度t/℃ －4 －2 0 1 4 植物高度增长量 l/mm 41 49 49 46 25 科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃. 解析：设l与t之间的函数关系式为l＝at2＋bt＋c，把(－2，49)、(0，49)、(1，46)分别代入得：解得∴l＝－t2－2t＋49，即l＝－(t＋1)2＋50，∴当t＝－1时，l的最大值为50.即当温度为－1℃时，最适合这种植物生长． 答案：－1 3.随堂训练，巩固新知 （1）已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣1），且与y轴交于点（0，3），这个抛物线的表达式是（　　） A．y＝x²﹣4x+3 B．y＝x²+4x+3 C.y＝x²﹣3x+4 D.y＝x²+3x+4 答案：A （2）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），则抛物线对应的函数解析式为（　　） A．y=x2-2x+4 B．y=x2-2x-3 C．y=-x2+2x+1 D．y=x2-2x+1 答案：A （3） 已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的解析式为 　 　． 答案：y＝2x2+4x﹣1 （4）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=-x2+bx+ c的图象经过点（-3，0）,（3，3），与y轴交于点C． ①求抛物线C1的解析式； ②将抛物线C1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为D，求△ODC的面积． 解：（1）∵y=-x2+bx+c的图象经过点（-3，0），（3，3），∴解得 ∴抛物线C1的解析式为y=-x2+x+. （2）∵y=--x2+x+=-（x-1）2+4， ∴抛物线C1的顶点坐标为（1，4），y轴交于点C（0，）. ∵将抛物线C1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线C2， ∴抛物线C2的顶点D的坐标为（-2，2）， ∴△ODC的面积为×2×=． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课内容，并请学生回答：想一想,你的收获是什么？困惑有哪些? 说出来,与同学们分享。 1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法． 2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用． 6.布置作业 课本P44习题26.2第5-8题。 类比待定系数法求一次函数解析式，使本节课学习思路更顺畅。 教师出示问题，引导让学生先以小组为单位自学、讨论。 老师提示思路，可以让学生具体操作，锻炼学生会根据题目中不同条件设不同的解析式的能力。 由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为y＝a(x－h)2＋k.顶点坐标为(h，k)，对称轴方程为x＝h，极值为当x＝h时，y极值＝k来求出相应的数。 y＝a(x－h)2＋k的图象关于x轴对称得到的图象的解析式为y＝－a(x－h)2－k. 求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解． 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 用待定系数法求二次函数解析式 回顾一次函数的求法，总结待定系数法求二次函数解析式的方法 教后反思 教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算。 学科网（北京）股份有限公司 $