3.1 相似多边形 同步训练 2026—2027学年 北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学九年级上册“相似多边形”同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，通过概念辨析、情境应用与探究推理，构建从单一知识点到综合问题的巩固路径，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|比例线段、相似多边形概念及性质|以选择填空为主，如比例线段辨析（题1）、相似图形判断（题4），强化概念理解| |能力提升|比例中项、黄金分割、实际应用|结合投影（题6）、测绘（题11）等情境，培养模型意识与运算能力| |综合应用|相似判定、动态几何问题|通过矩形绿地设计（题15）、动态剪开探究（题18），发展推理能力与创新意识|

3.1相似多边形同步训练北师大版2026—2027学年九年级数学上册 一、选择题 1．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 2．若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 5．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 6．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 8．点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 10．如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值为______． 11．为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 12．如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 三、解答题 13．已知线段． (1)若线段满足，求线段的长度； (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长度． 14．已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 15．如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 16．如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 17．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 18．矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 参考答案 1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9． 10．16 11． 12． 13．【详解】（1）解：∵，， ∴ 解得： （2）解：依题意， ∴ 14．【详解】（1）解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， 把，代入可得： ， ∵线段长度不能为负， ∴； （3）解：∵四条线段、、、为成比例线段， ∴， 把，，代入可得： ， 解得． 15．【详解】（1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； (2) 矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似 16．【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． 17．【小问1】 解：四边形与四边形相似， ， ． 【小问2】 解：∵四边形与四边形相似， ， ， 解得． 18．【详解】（1）解：∵矩形矩形， ∴， 又∵， 可设， ∴， 解得：， ∴； （2）解：假设存在矩形与矩形相似； 则必与对应，必与对应， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， 而， 依据对称性考虑，必定存在当时，使矩形与矩形相似的情形， 综上所述：当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似； 且该两种情形中，E刚好是边的两个黄金分割点． 学科网（北京）股份有限公司 $