专题01 因式分解（6大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

**基本信息** 聚焦因式分解核心题型，以概念辨析→方法应用→综合提升为逻辑主线，通过区域期末真题系统训练抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断是否是因式分解|4题|辨析因式分解与整式乘法的本质区别|从概念本质切入，建立因式分解的基本认知| |已知结果求参数|4题|逆向运用因式分解展开式与原式的对应关系|强化恒等变形推理，衔接方程思想| |公因式|4题|识别多项式各项的最大公因式（系数、字母、指数）|为提公因式法奠定基础，培养观察能力| |提公因式法|4题|直接提取公因式分解因式|单一方法应用，巩固基本技能| |公式法判断|4题|辨析能否用平方差或完全平方公式分解|深化公式结构特征的理解，发展符号意识| |综合提公因式和公式法|4题|先提公因式再用公式法分解|方法融合应用，提升综合运算能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01因式分解 目录■ A题型建模·专项突破 题型一、判断是否是因式分解 题型二、已知因式分解的结果求参数 3 题型三、公因式… .4 题型四、提公因式法分解因式… .5 题型五、判断能否用公式法分解因式… .6 题型六、综合提公因式和公式法分解因式 8 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、判断是否是因式分解 1.(25-26七年级上·上海奉贤·期末)下列从左到右的变形，属于因式分解的是（) A.(x-2)=x2-4x+4 B.x2+3x+2=x(x+3)+2 C.x2-9=(x+3)(x-3) .2+2-2 2.(25-26八年级上广东湛江·期末)下列各式从左到右的变形为因式分解的是() A.x2-4=(x-2)+4x B.x2-6x+9=(x-3) C.(a+1)(a-1)=a2-1 D.a2-1+2a=(a+1)(a-1)+2a 3.(25-26八年级上湖北咸宁·期末)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是() A.a(x-y）=ax-ay B.x2+2x+1=x(x+2)+1 c.2x*1=2+ D.-mx+my=-m(x-y） 4.(25-26八年级上贵州遵义·期末)下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是() A.x(1+y)=x+xy B.x2-4x+4=(x-2)2 1/6 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.x2+x-9=(x+3)(x-3)+x D,前三个都是 题型二、已知因式分解的结果求参数 5.(25-26八年级上山东期末)若多项式x2-ax+12可分解为(x+3)x-b),则a-b的值为() A.3 B.-3 C.11 D.-11 6.(25-26八年级上河南商丘期末)若多项式5x2-17x-12可因式分解为(x+abr+3),其中a,b均为 整数，则a+b的值是() A.9 B.-9 C.-1 D.1 7.(25-26八年级上山东泰安期末)若多项式x2-ax-1可分解为(x-2)x-b),则a-b的值为() A.2 B.1 C.-2 D.-1 8.(25-26八年级上四川乐山期末)将多项式x2-px+100分解因式为：x-px+100=(x-5(x+9),则 (p-q)=() A.2025 B.1225 C.625 D.225 题型三、公因式 9.(25-26九年级上山东烟台期末)多项式6ab+12abc-3ab中，各项的最大公因式是() A.-a2b2 B.3a2b C.3a'be D.a'b 10.(25-26八年级上山西临汾期末)多项式2y+3xy-6ry中，各项的公因式是(). A.xy B.x2y C.2x2y D.3x2y 11.(25-26八年级上·重庆沙坪坝期末)把多项式2x+4y分解因式，应提取的公因式是() A.x B.y C.2x D.2y 12.(25-26八年级上山东淄博期末)把多项式2m2+8n分解因式，应提取的公因式是() A.2 B.2m C.2n D 2mn 题型四、提公因式法分解因式 13.(25-26八年级上福建南平·期末)因式分解：x2-2x= 14.(25-26八年级上·贵州安顺期末)分解因式：2a-6ab= 15.(25-26八年级上广东广州期末)因式分解：a(x-1)-3(x-)= 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(25-26八年级上：广东东莞期末)把下列各式分解因式： (1)4a2b2-ab2: (2)m(a-b)-n(a-b)」 题型五、判断能否用公式法分解因式 17.(25-26八年级上山西吕梁·期末)下列不能用公式法因式分解的多项式是() A.-x2+y2 B.9a2-6ab+b2 C.x2+1 D.a2-6a+9 18.(25-26八年级上·福建泉州期末)下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是() A.a2+9 B.-a2+9 C.-a2-9 D.a2-6a+9 19.(25-26八年级上河南周口期末)下列多项式，①x2+y2,②-x2+y2,③x2-y2+2y,④ -x2-y+2xy能用公式法分解因式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 20.(25-26八年级上：湖北随州期末)下列多项式能用公式法分解因式的是() A.a2-2a+4 B.4b2+4b-1 C.1+4a2 D.-a2+4b2 题型六、综合提公因式和公式法分解因式 21.(25-26八年级上·黑龙江鹤岗期末)因式分解 (1)x3-9x: (2)4(a-b)+8(b-a}. 22.(25-26八年级上湖南株洲期末)把下列多项式因式分解： (1①)a2+3ab: (2)x2-4x+4 23.(25-26八年级上湖南株洲期末)因式分解： (1)a2b+ab2: (2)2x2y-4x灯y2+2y3」 24.(25-26八年级上河北张家口·期末)将下列各式分解因式. 1)x2(x-1)-16(x-1): 316 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)(m-n}-6(n-m)+9. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上·新疆巴州期末)将多项式少+y分解因式，应提取的公因式是() A.xy B.y C.x+1 D.x 2.(2425八年级上云南德宏·期末)下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是() A.(a+3)2=a2+6a+9 B.2a'b+2ab=2ab(a+1) C.15ab=3a.5b D.(a+b)(a-b)=a2-b2 3.(25-26八年级上陕西延安期末)若将多项式x2+x+6因式分解得(x+3)(x+”）,则m的值为 () A.3 B.4 C.5 D.6 4.(25-26八年级上内蒙古赤峰期未)下列六个多项式：①1+101+25，②4h2-(b+c2,③ 25-8g+64@若-0e,⑤a+2a6+小+6+e.国42-4，-y,在因武分解过程需要 用到完全平方公式的有()个. A.3 B.4 C.5 D.6 5.(25-26八年级上·湖南常德期末)下面是小明做的因式分解的题： -6a2b-3V2ab2+3ab=-3ab(2a+■)，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是() A.26-1 B.a-√2b C.b2+1 D.V2b2-2 二、填空题 6.(25-26八年级上河南周口期末)分解因式：4a2-462= 7.(25-26八年级上山东烟台期末)多项式9xy+3y2-6z中，各项的公因式是 8.(25-26八年级上湖北荆门期末)若多项式x2+x-2因式分解的结果为(x-2)x+),则n的值为 9.(25-26八年级上湖南株洲期末)已知实数a,b满足a+b=5,ab=6,则ab+ab2= 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26八年级上·河南商丘期末)日常生活中如取款、上网等经常遇到登录密码的情况，我们可以用 因式分解的方法产生密码，如多项式x-y,因式分解的结果是c+yx-y(x2+y）,若取x=8,y=8, 则各个因式的值是：x+y=16,x-y=0,x2+y2=128,于是就可以把“160128”作为一个六位数的密码. 那么对于多项式18x-2xy2,取x=6,y=6时，用上述方法产生的密码是」 (写出一个即可)、 三、解答题 11.(25-26八年级上湖南郴州期末)因式分解： (1)2x3-8x; (2)-8xy-4x2-4y2」 12.(25-26八年级上江苏盐城期末)把下列各式分解因式. (1)2x2-x: (2)a2-8a+16 13.(25-26八年级上湖北十堰期末)分解因式： (1)4x2-9; (2(x-6)x-2)+4: (3)x2-3x-10 14.(25-26八年级上全国期末)仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=(r+3)(x+m),则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, n+3=-4 「n=-7 ·m=3n解得m=-21 另一个因式为x-7,m的值为-21， 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是2x-5,求另一个因式以及k的值. (2)已知多项式x3+4x2+x+m中含有一个因式x2+x-2,试求m,n的值 15.(25-26八年级上河南周口期末)阅读下列材料：我们知道，对于一些正整数n,可以表示为 n=a2-b2(a、b为正整数，且a>b),例如：3=22-1,5=32-2,7=4-32」 (1)请将15表示为两个正整数的平方差的形式： (2)求证：任意一个大于1的奇数都可以表示为两个正整数的平方差： 5/6 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若n=a2-b,且a、b为正整数，且a>b,求n的取值范围. 16.(25-26八年级下·湖南衡阳期末)方法探究： 已知二次多项式x2-4x-21,我们把x=-3代入多项式，发现x2-4x-21=0,由此可以推断多项式中有因 式x+3).设另一个因式为(x+k),多项式可以表示成x2-4x-21=(x+3(x+k),则有 x2-4x-21=x2+(k+3)x+3k,因为对应项的系数是对应相等的，即k+3=-4,解得k=-7,因此多项式 分解因式得：x2-4红-21=(+3)(x-7)」 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”· 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：x2-2x-8. (②)对于三次多项式x-x2-3x+3,我们把x=1代入多项式，发现x-x2-3x+3=0,由此可以推断多项式 中有因式(x-),设另一个因式为(x2+ax+b),多项式可以表示成x-x2-3x+3=(x-)(x2+ac+b),试 求出题目中a,b 616 专题01 因式分解 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断是否是因式分解 1 题型二、已知因式分解的结果求参数 3 题型三、公因式 4 题型四、提公因式法分解因式 5 题型五、判断能否用公式法分解因式 6 题型六、综合提公因式和公式法分解因式 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断是否是因式分解 1．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 2．（25-26八年级上·广东湛江·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形为从左到右，根据定义即可判断各选项． 【详解】解：∵因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式， ∴A 选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B 选项中，左边是多项式，右边，是两个整式的积的形式，变形正确，是因式分解； C 选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； D 选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解． 3．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的概念：因式分解要求等式左边是多项式，右边是几个整式的乘积的形式，据此逐项判断即可． 【详解】A选项属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； B选项右边不是整式乘积的形式，不符合要求； C选项右边的不是整式，不符合要求； D选项左边是多项式，右边是两个整式的乘积，变形正确，属于因式分解，符合要求． 4．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D．前三个都是 【答案】B 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可． 【详解】解：、该变形是整式的乘法，是因式分解的逆运算，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 、，是因式分解，故本选项符合题意； 、等式右边不是整式积的形式，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 、本选项不符合题意． 题型二、已知因式分解的结果求参数 5．（25-26八年级上·山东·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解， 通过展开因式分解形式并与原多项式比较系数，求出a和b的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得， ∴． 故选：B． 6．（25-26八年级上·河南商丘·期末）若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键．先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值． 【详解】解：∵将展开得, 又∵, ∴, 由得, 将，代入得，符合条件, ∴, 故选：D． 7．（25-26八年级上·山东泰安·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】解：由题意得， ∴， 比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：A． 8．（25-26八年级上·四川乐山·期末）将多项式分解因式为：，则（    ） A．2025 B．1225 C．625 D．225 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 通过比较因式分解后的系数，求出p和q的值，然后计算． 【详解】解：， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 题型三、公因式 9．（25-26九年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 10．（25-26八年级上·山西临汾·期末）多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式公因式的确定方法．确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合． 【详解】解：∵ 各项系数的最大公约数是， ∵ 多项式各项都含有的相同字母为， ∵ 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 各项的公因式是． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量的公共部分，组合即为公因式． 【详解】解：∵多项式为中系数2和4的最大公因数为2，变量部分和的公共因子为， ∴应提取的公因式为． 故选：C． 12．（25-26八年级上·山东淄博·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分解因式，提取公因式需确定系数的最大公因数和各项共有字母的最低次幂，由此即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵系数2和8的最大公因数为2，变量和都含有，且的最低次幂为1， ∴公因式为， 故选：B． 题型四、提公因式法分解因式 13．（25-26八年级上·福建南平·期末）因式分解：________． 【答案】 【详解】解：. 14．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）分解因式：_______ 【答案】 【分析】确定原式公因式为，使用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 15．（25-26八年级上·广东广州·期末）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，准确找出多项式的公因式即可求解． 【详解】解： ． 16．（25-26八年级上·广东东莞·期末）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 题型五、判断能否用公式法分解因式 17．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查公式法因式分解，关键是熟练应用知识点解题；需判断各选项是否符合平方差公式或完全平方公式的形式． 【详解】解：∵公式法因式分解常用平方差公式和完全平方公式， ∴对各选项分析如下： A选项：，可用平方差公式因式分解， B选项：，可用完全平方公式因式分解， C选项：不符合平方差公式或完全平方公式的形式，不能用公式法因式分解， D选项：，可用完全平方公式因式分解， 故答案为：C． 18．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式的结构特征，即两个平方项的差（符号一正一负），逐项判断即可． 【详解】解：A．是两个平方项的和，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； B．，符合平方差公式结构，能直接用平方差公式分解因式； C．是两个平方项和的相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； D．是三项式，是完全平方公式的形式，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 19．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查公式法分解因式． 逐个分析每个多项式是否满足公式条件即可． 【详解】解：①为平方和，无公式可分解； ②，可用平方差公式； ③不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解； ④，可用完全平方公式； 能用公式法分解的有②和④，共2个． 故选：B． 20．（25-26八年级上·湖北随州·期末）下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．再逐一判断各选项是否能用于分解因式. 【详解】解：选项A： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项B： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项C： 不匹配完全平方公式与平方差公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项D： ， ∵， ∴ 能用公式法分解因式. 故选：D 题型六、综合提公因式和公式法分解因式 21．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先将所求式子变形为，再提取公因式即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）把下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用提取公因式分解因式即可； （2）运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 23．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据提公因式法分解因式，进行作答，即可求解； （2）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：. 24．（25-26八年级上·河北张家口·期末）将下列各式分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 一、单选题 1．（25-26八年级上·新疆巴州·期末）将多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B．y C． D．x 【答案】B 【分析】本题主要考查公因式的确定．先利用提公因式法分解因式，然后再确定公因式即可． 【详解】解：， 即公因式为． 故选：B 2．（24-25八年级上·云南德宏·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断即可． 【详解】解：∴A选项变形是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解， B选项是将多项式变形为几个整式乘积的形式，是因式分解， C选项左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解要求， D选项是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解． 3．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解： ， 又∵， ∴多项式对应项系数相等， 得， 解得， 代入得． 4．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列六个多项式：①，②，③，④，⑤，⑥，在因式分解过程中需要用到完全平方公式的有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的结构特征，逐个判断每个多项式因式分解时是否用到完全平方公式即可解答． 【详解】解：①，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ②，仅用到平方差公式，不用到完全平方公式； ③，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ④，仅用到平方差公式，不用到完全平方公式； ⑤，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ⑥，提公因式后用到完全平方公式，因式分解用到完全平方公式； 综上，用到完全平方公式的共有个，即选项B符合题意． 【点睛】掌握完全平方公式为是解题的关键． 5．（25-26八年级上·湖南常德·期末）下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将左边的式子提取公因式得，再通过对比即可求出被遮盖的式子． 【详解】解：， ∴被遮盖的式子为． 二、填空题 6．（25-26八年级上·河南周口·期末）分解因式：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了提公因式法和平方差公式分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式对剩余部分进行因式分解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的公因式是___________． 【答案】3xy/ 【分析】本题考查了公因式，解题关键是能利用公因式的概念确定公因式．本题可以找出多项式各项系数的最大公约数和字母部分的最低次幂，取它们的积即可求解． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为9、3、，其最大公约数为3； 各项均含有和，且的最低指数为1，的最低指数为1， 因此公因式为， 故答案为： 8．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则及因式分解与整式乘法的关系，利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将分解后的整式展开，通过对应项系数相等求出n的值． 【详解】解：根据多项式乘多项式法则，将展开：， ∵， 根据多项式相等则对应项系数相等，可得， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知实数，满足，，则 _______． 【答案】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：， 将，代入，得原式． 10．（25-26八年级上·河南商丘·期末）日常生活中如取款、上网等经常遇到登录密码的情况，我们可以用因式分解的方法产生密码，如多项式，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确分解因式是解答本题的关键． 先把因式分解，再把代入计算出各个因式的值，即可得到一个密码（各因式的排列顺序不同，得到的密码不同）． 【详解】解： ， 当时， ，，， 密码可以是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 11．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再使用平方差公式进行分解即可； （2）先提取公因式，再使用完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）把下列各式分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的法则． （1）利用提公因式法进行因式分解即可； （2）利用公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式运用平方差公式进行因式分解即可； （2）原式整理后运用完全平方公式进行因式分解即可； （3）原式运用十字相乘法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．（25-26八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)， 【分析】（1）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出和的值，进而就可以得到另一个因式． （2）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出、和的值，进而就可以得到另一个因式． 本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键． 【详解】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则， ∴ 解得 ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：另一个因式为，的值为． （2）（2）解：设另一个因式为，得 ∴， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，． 15．（25-26八年级上·河南周口·期末）阅读下列材料：我们知道，对于一些正整数n，可以表示为 （a、b为正整数，且），例如：． (1)请将表示为两个正整数的平方差的形式； (2)求证：任意一个大于1的奇数都可以表示为两个正整数的平方差； (3)若，且a、b为正整数，且，求n的取值范围． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)当为奇数时，n为大于或等于3的奇数；当n为偶数时，n为大于等于8的偶数且为4的倍数 【分析】本题考查平方差公式的应用，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）可以表示为，方法不唯一； （2）通过计算可得，则证明所证结论； （3）因为且为正整数，所以且与同奇偶，分类讨论同奇或同偶两种情况得出答案． 【详解】（1）解：或； （2）证明： （k为正整数）， ∴（k为正整数）， ∴任意一个大于1的奇数都可以表示为两个正整数的平方差； （3）解：且为正整数， 且与同奇偶， 若与同奇，最小为， 若与同偶，则必能被4整除，最小为， ∴当为奇数时，n为大于或等于3的奇数；当n为偶数时，n为大于等于8的偶数且为4的倍数． 16．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：． 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”． 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：． (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将代入，可得多项式含有因式，设并将其展开进行求解即可； （2）将展开进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入多项式，得 ， ∴多项式含有因式， 设， ∴ ∴一次项系数： 解得， 常数项：， ∴； （2）解：由题意得， ， ∴二次项系数： 解得， 常数项： 解得． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $