第一章《因式分解》单元测试题 2026-2027学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

**基本信息** 初中数学第一章单元卷，聚焦因式分解核心知识，通过基础巩固（如选择题1因式分解定义）、能力提升（如填空题12图形面积推导）、创新应用（如解答题18共因多项式新定义）三级梯度设计，融合密码翻译、几何图形等真实情境，适配单元复习，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题/24分|因式分解定义、公因式、平方数与亚平方数概念|第7题以密码翻译情境考查因式分解应用，体现数学语言表达现实世界| |填空题|6题/24分|提公因式法、完全平方公式、几何图形面积与因式分解关系|第12题通过拼图推导多项式因式分解，发展几何直观与空间观念| |解答题|4题/52分|综合因式分解、规律探究（如第17题平方差规律验证）、新定义应用（如第18题共因多项式）|第18题结合图形卡片拼图考查共因多项式，培养创新意识与实践能力|

第一章测试题 时间：60分钟 满分：100分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是 （ ） A. 2.下列各组代数式中，没有公因式的是 （ ） A.和 B.和 C.和 和 3.利用提公因式法计算 ，结果是 （ ） 4.下列因式分解结果正确的是 （ ） 5.已知可因式分解成,其中均为整数，则的值为 （ ） A.-12 B.-4 C. 22 D. 38 6.已知a,b,c为△ABC的三边长，且满足 ，则△ABC是 （ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 7.小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息： ,分别对应“国”“爱”“我”“中”“最”“美”六个字，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是 （ ） A.我最爱美 B.我爱中国 C.最爱中国 D.最美中国 8.如果一个整数是另一个整数的平方，那么我们就把这个整数称为“平方数”，如：0,1,4,9,16，⋯都是“平方数”；如果一个整数是两个整数的平方和，那么我们就把这个整数称为“亚平方数”，如： ， ， ， ，，所以0,1,5,13,…都是“亚平方数”.下面关于“平方数”和“亚平方数”的结论中，错误的是 （ ） A.任何一个“平方数”一定是“亚平方数” B.两个“亚平方数”的和一定是一个“亚平方数” C.一个“平方数”与一个“亚平方数”的积一定是一个“亚平方数” D.两个“亚平方数”的积一定是一个“亚平方数” 二、填空题（每小题4分，共24分） 9.分解因式： 10.要使多项式 能运用完全平方公式进行因式分解，则整式M可以为______________.（写出一个符合条件的M即可） 11.一个长方形的长与宽分别为a,b，若这个长方形的周长为10，面积为5,则 的值为_____________. 12.如图，六块纸板拼成一张大长方形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的长方形().观察图形，发现多项式 可因式分解为___________. 13.如图，在△ABC中,∠C=90°,,四边形CDEF是边长为b的正方形，若,则阴影部分的面积为____________. 14.已知,那么 三、解答题（共52分） 15.(12分)因式分解： (1) (2) (3) (4) 16.(10分)下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务. 因式分解： 解：原式 ⋯⋯⋯⋯第一步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三步 任务一：①上述解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是_________公式. ②第三步进行因式分解用到的方法是_____________法. 任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______________________________. 任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出用这个方法解答的正确过程. 17.(14分)【观察】 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除. 【验证】 (1) 的结果是3的___________倍. (2)设任意一个偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除. 【延伸】 (3)请利用整数k说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3”. 18.(16分)定义：若将多项式A和B分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式A和B为共因多项式，其中该相同因式为同因子. 例如：对于多项式,将两个多项式因式分解，,从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和 为共因多项式，其中因式为同因子. (1)共因多项式 和 的同因子是____________. (2)请写出多项式 的一个共因多项式 (除外)，并说明理由. (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图①所示，分别记为甲、乙、丙. (i)选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼成如图②所示的图形，写出一个符合图示的多项式的因式分解. (ii)任意选取甲、乙、丙三种卡片，张数不限，通过拼图得到(i)中多项式的一个共因多项式 （(i)中多项式除外），请画出拼图，并将此共因多项式因式分解. 参考答案 1.B 2.A 选项 A，两个代数式没有公因式，符合题意； 选项 B，两个代数式的公因式是 2，故不符合题意； 选项 C，，两个代数式有公因式 ，故不符合题意； 选项 D，，两个代数式有公因式 ，故不符合题意.故选 A. 3.A 原式 .故选 A. 4.D ; ; ; .故选 D. 5.C 原式.故选 C. 6.D 因为 a,b,c 为 的三边长，所以 ，因为 ，所以 ，所以 或 ，由 可得 为直角三角形，由 可得 b=c，所以 为等腰三角形.综上， 是等腰三角形或直角三角形.故选 D. 7.B ，根据因式分解的结果可知，密码中包含“爱”“我”“国”“中”四个字，结合选项知选 B. 8.B A.设一个“平方数”是 ，∵ ， ∴任何一个“平方数”一定是“亚平方数”，故 A 正确； B. ，1 是“亚平方数”， ，2 是“亚平方数”，但 1+2=3，3 不能写成两个整数的平方和，∴3 不是“亚平方数”，故 B 错误； C.设一个“平方数”为 ，另一个“亚平方数”为 （a,b,c 都是整数），则 ，它一定是一个“亚平方数”，∴一个“平方数”与一个“亚平方数”的积一定是一个“亚平方数”，故C正确； D.设两个“亚平方数”分别为 , （a,b,c,d 都是整数），则 ，它一定是一个“亚平方数”，∴两个“亚平方数”的积一定是一个“亚平方数”，故 D 正确.故选 B. 9.答案 解析 ，故答案为 . 10.答案 2x（答案不唯一） 11.答案 125 解析 由题意得 . 12.答案(a+b)(a+2b) 解析 由题意知，大长方形纸板的长为 a+2b，宽为 a+b，∴大长方形纸板的面积为(a+b)(a+2b)，由题图知大长方形纸板的面积也可以表示为 ，∴ . 13.答案 32 解析 当 a+b=10，ab=12 时， 故答案为 32. 14.答案 3 解析 ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ . 15.解析 (1)原式. (2)原式= . (3)原式= . (4)原式= . 16.解析 任务一：①完全平方. ②提公因式. 任务二：因式分解不彻底. 任务三： . 17.解析 (1)15. ∴ 比 2n 大 3 的数与 2n 的平方差能被 3 整除. ∴ 比任意一个整数大 3 的数与此整数的平方差被 6 除的余数为 3. 18.解析 (1) , , ∴ 共因多项式 和 的同因子是 2x-3. (2) 答案不唯一.多项式 的共因多项式可以为 .理由：∵ , , ∴ 多项式 的共因多项式可以为 , x-2 是同因子. (3) (i) . (ii) 答案不唯一 的共因多项式可以为 ，将 因式分解为 .拼图如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 $