第27章反比例函数单元检测卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦反比例函数核心知识，通过真实情境与梯度问题设计，适配初中数学单元复习，有效落实数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/20分|表达式确定、图像性质、实际应用|多情境辨析（如蓄电池电流电阻关系、茶吧机水温变化）| |填空题|6题/12分|实际应用（压缩袋体积密度）、几何面积（双反比例函数矩形面积）|跨学科素材（杠杆原理、氦气球压强体积）| |解答题|7题/68分|待定系数法、图像交点、综合建模（黄河壶口工程设计）|分层探究，23题以工程问题为背景，体现数学建模与应用意识|

第27章反比例函数单元检测卷 一、选择题（共20分） 1．若点，在同一个函数图象上，则这个函数的表达式可能为（     ） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 3．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当做功时间t为时，功率P为（     ） A． B． C． D． 4．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．若某函数具有如下三个特征：①函数图象经过点；②函数图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而增大．则这个函数的表达式可能是（     ） A． B． C． D． 6．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 8．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 9．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 10．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 二、填空题（共12分） 11．氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 12．如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为______． 13．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 14．如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 15．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 16．成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 三、解答题（共68分） 17．已知： ，若是反比例函数 图像上的点，求A的值． 18．已知反比例函数经过点和． (1)求m和n的值； (2)若图像上有两点、，且试比较和的大小． 19．多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，体内抗体浓度不高于140微克/时是从注射药物第多少天开始？ 20．如图，是直角三角形，，，，已知点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，当时，求点C的坐标． 21．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围； (3)将一次函数的图象向上平移5个单位长度后，与x轴下方的反比例函数图象交于点P，求的面积． 23．综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． (1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． (2)问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． (3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． (4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 参考答案 1．C 【分析】将两点坐标逐项代入函数验证即可． 【详解】解：选项A，把代入，得， ∵，∴，∴点不在该函数图象上，A错误． 选项B，把代入，得，令，解得，与矛盾，B错误． 选项C，把代入，得，把代入，得，即，符合条件，C正确． 选项D，把代入，得，把代入，得，不符合条件，D错误． 2．B 【分析】先根据直线过原点设出直线解析式，代入A、B坐标得到与的乘积，再根据C点坐标判断其满足哪个函数解析式． 【详解】解：∵直线经过原点， ∴设直线的解析式为， 把代入解析式得，即， ∴直线的解析式为， 把代入得，即， ∵点的坐标为， ∴点横纵坐标的乘积为， 对函数变形可得，满足点的坐标特征， ∴点一定在函数的图象上． 3．C 【分析】先求出关于的函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为， 代入点得：，解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，． 故选：C． 4．C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 5．C 【分析】根据题目给出的三个函数特征，逐一验证每个选项，结合一次函数和反比例函数的图象与性质，排除不符合条件的选项即可得到结果． 【详解】解：A、：当时，，满足条件①，当时，随增大而减小，不满足条件③，故A选项不符合题意； B、：当时，，不满足条件①，故B选项不符合题意； C、：当时，，满足条件①；当时，，函数图象经过第四象限，满足条件②；对于反比例函数，，在时，随的增大而增大，满足条件③，故C选项符合题意； D、：当时，，不满足条件①，故D选项不符合题意． 6．D 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 7．B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 8．A 【分析】先利用待定系数法求出电压的值，得到与的函数关系式，再分别计算电流为和时对应的电阻值，最后求差即可． 【详解】解：设， 由图象可知，函数图象经过点， 把，代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， ， 当电流从增加到时，电阻减小了． 9．C 【分析】利用待定系数法可求出，再求出时，V的值即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴， 当时，， ∴当压缩后密度是时，其体积是． 10．D 【分析】根据题意求出加热阶段解析式及反比例函数解析式，逐一判断选项即可． 【详解】解：升温速率，初始温度， 设加热阶段解析式：， 令，，解得， 即加热分钟达到． 设反比例函数，代入： ，， 故降温阶段：． 令，，，即一个完整周期为． 选项A：水温从加热到，需要3min加热段， 令： ，，， 用时3分钟，A正确； 选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确； 选项C：，处于降温阶段，代入： ，水温，正确； 选项D：分两段计算对应的范围： 加热段：， ，，加热段符合条件时长：． 降温段：， ，，降温段符合条件时长：． 总时长：，D错误． 11．60 【详解】解：设该函数的表达式为， 由题意知， ∴， 所以该函数的表达式为． 当时，． 12． 【分析】先根据题意确定弹簧测力计关于的函数解析式，再根据反比例函数上点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：根据题意设反比例函数的解析式为， 根据图乙可得，反比例函数的图象经过点， 把代入求得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，代入得， 解得． 13． 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵， ∴． 14．4 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 15． 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 16． 【分析】结合已知条件求出工程总长度，再用总长度除以每天修建的长度，即可得到所需天数，用到反比例函数两变量乘积为定值的性质． 【详解】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． 17．1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、反比例函数的特征、代数式求值等知识点，掌握分比例函数图像上的点的横纵坐标之积等于k成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后根据反比例函数上点的特征求得a的值，然后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ 是反比例函数 图像上的点， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ 原式 = = 1． 18．(1)， (2)当或时，，当时， 【分析】本题考查了反比例函数．熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象和性质，反比例函数的增减性，是解题的关键． （1）将点和代入反比例函数，即可求m和n的值； （2）根据点、，且．分或，比较和的大小． 【详解】（1）解：将点和代入反比例函数， 得， 解得， 答：m和n的值分别为：、； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为：， ∵点、也在比反比例函数的图象上，且， ∴当或时， 点、同在第三象限或第一象限， ∴； 当时， 点在第三象限，点 在第一象限， ∴． 19．(1) (2) 【分析】（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案； （2）结合所求解析式，把代入求出答案． 【详解】（1）解：设时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 所以， 当时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 综上，y与之间的函数关系式是； （2）当时，，解得：， 体内抗体浓度不高于140微克/是从注射药物第40天开始． 20．(1) (2)点C的坐标为 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可设，然后根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意可设， ∵，即点C是的中点，，点D在x轴上， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴． 21．(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为 (2) (3)4 【分析】（1）先将代入求出的值，继而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵两函数图象相交于点， ∴将代入得， ， ∴反比例函数解析式为， 将代入得， ， 将代入一次函数解析式， 得，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由图象可知，的解集为：． （3）解：设直线与轴交于点，当时，， ， ． 22．(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）将 点的坐标代入反比例函数中求出 的值即可求反比例函数的解析式，通过反比例函数解析式求出 点的坐标，将 和 代入一次函数中联立方程组即可求出一次函数的解析式． （2）根据两交点的纵坐标值相等，观察图象即可求出时x的取值范围． （3）根据函数平移的性质求出平移后的两直线平行，设其交轴于点，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：在反比例函数上， ， ， 反比例函数的解析式为． ， ， ， ． 将和代入 中联立方程组得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：当时，即在第二象限时， 是一次函数和反比例函数的交点， 时，， 欲使， 观察图象可知，． 当 时，即在第四象限时， 是一次函数和反比例函数的交点， 时，， 欲使， 观察图象可知，． ． 综上所述，时x的取值范围是或 ． （3）解：如图， 设一次函数 的图象向上平移5个单位长度后得到直线，设与轴交于点，则 ∵， ． 23．(1)； (2)米； (3) 该位置符合安全设置要求，理由如下： ∵，，点到的水平距离为米， ∴点横坐标， 将代入得， ∵，满足“距地面竖直高度不低于3米”的要求， ∴该位置符合安全设置要求． (4)米 【分析】（1）利用待定系数法代入点坐标求反比例函数解析式； （2）根据点纵坐标代入解析式求横坐标，计算横坐标差得到水平距离； （3）求出点横坐标，代入得纵坐标，和安全要求比较验证； （4）将点横坐标代入解析式，求出纵坐标即为竖直高度． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，已知，， ∴点坐标为． 设反比例函数表达式为， 将代入得：，解得， ∴曲线段所在反比例函数的表达式为． （2）解：∵点距离地面竖直高度为米， ∴点纵坐标， 将代入得：，解得， ∵点横坐标为， ∴、两点水平距离为(米)． 答：、两点间的水平距离为米． （3）解：略； （4）解：由题意，点的横坐标为， 将代入得： ， 因此点距地面的竖直高度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $