第二章 有理数及其运算 章末测试复习卷 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 北师大版七年级数学上册第二章“有理数及其运算”章末复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融入二维码身份识别、电动汽车行程记录等真实情境，全面覆盖有理数概念与运算，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|负数识别、绝对值、数轴应用|第10题结合二维码编号考查乘方运算，体现数学眼光| |填空题|5/15|相反数、数轴距离、新定义运算|第15题跑道起跑线设计，关联圆周长计算，培养应用意识| |解答题|8/75|混合运算、实际问题（行程/购物优惠）、新定义“关联点”|第23题“双十一”优惠分段计算，发展模型意识；第22题“关联点”定义，提升推理能力|

· 第二章 有理数及其运算�章末测试复习卷 · 2026-2027学年北师大版七年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．在，，，，中，负数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．的绝对值是（    ） A．2024 B． C． D．0 3．东、西为两个相反方向，如果表示物体向东运动，那么表示物体（   ） A．向东运动 B．向西运动 C．向西运动 D．向南运动 4．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1），刻度尺上“0”和“3”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.6”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D．1.6 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 7．若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或12 C．2或12 D．2或 8．一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数，，满足．则的值为（    ）． A． B． C． D． 9．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．在互联网时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个学生身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生的编号，其编号为，如图第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，编号为（其中），表示该生的编号为28，下面表示编号为10的学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．的相反数为______． 12．数轴上与的距离等于4个单位长度的点所表示的数为_______． 13．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为3，则代数式的值为_________． 14．定义运算，例如，则_______． 15．如图是学校400米的标准跑道，需要设计400米跑的起跑线．最内圈的跑道是“第一跑道”，若要使得每个运动员到达同一终点线，则第二跑道比第一跑道需前移________米．（π取3.14） 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．在数轴上表示下列各数：0，，，，．并用“”把它们连接起来． 17．计算： (1) (2) 18．简便计算 (1)； (2)． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．定义一种新的运算“”：对于任何有理数，，，如． (1)求的值； (2)求的值． 20．小明连续记录了他家电动汽车7天中每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)请求出这七天一共行驶多少千米？ (2)若行驶需用电11度，电动汽车充电平均元/度，请按照这七天平均每天行驶的千米数计算小明家一个月（30天）的电动汽车充电费用是多少元？ 21．请根据图示的对话解答下列问题． (1)　 　，　 　． (2)已知，求的值． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．对数轴上的线段和点，，给出如下定义：如果在线段上分别存在点M，N（点M，N可以重合），使得，则称点，是线段的一组“关联点”．已知点表示的数是3，点表示的数是p． (1)若点B表示的数是1，， ①点，，分别表示数5，，，则在这三个点中，点P与点______是线段的一组“关联点”； ②点Q表示的数是q，若点P，Q是线段的一组“关联点”，求q的最大值和最小值； (2)若点B表示的数与点P表示的数互为相反数，点Q表示的数为，若线段上任意两点都是线段的一组“关联点”，直接写出p的取值范围． 23．“双十一”购物节到了，某商场决定举行促销活动实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于100元 不予优惠 低于300元但不低于100元 九折优惠 300元或超过300元 其中300元部分给予九折优惠，超过300元部分给予八折优惠 (1)某顾客一次性购物500元，他实际付款___________元； (2)若顾客在该超市一次性购物元，当小于300但不小于100时，他实际付款___________元，当大于或等于300时，他实际付款___________元（用含的式子表示）； (3)如果某顾客分两次购物货款合计620元，第一次购物的货款为元，则该顾客两次购物实际付款多少元（用含的式子表示）？ ( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… ……………… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C C B A A B C 1．B 【分析】本题考查了正负数的认识，根据小于的数是负数，即可求解． 【详解】在，，，，中，负数有，，，共3个， 故选：B． 2．A 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查正数和负数，明确正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示是解题的关键． 根据正数和负数的意义解答即可． 【详解】解：如果表示物体向东运动，那么表示物体向西运动， 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握在数轴上右边点表示的数减去左边点表示的数等于这两点间的距离是解题关键．利用点在数轴上的位置，以及两点之间的距离分析即可求解． 【详解】解：设刻度尺上“”对应数轴上的数的点在原点的左边，距离原点有的单位长度，所以这个数是 故选：C． 5．C 【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数的乘方计算即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得． 【详解】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确； ④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个, 故选：B． 7．A 【分析】先计算绝对值，比较大小后，确定a，b的值，计算即可． 【详解】∵，， ∴或；或， ∵， ∴，或 ， ∴或． 故选A． 【点睛】本题考查了绝对值的计算，有理数大小比较，有理数的加法，熟练掌握绝对值的化简，有理数的加法是解题的关键． 8．A 【详解】∵， ∴． 9．B 【分析】本题考查利用数轴比较大小，有理数的减法，绝对值的意义．根据数轴可得，，再进一步解答即可． 【详解】解：根据数轴，，， ∴． ∴只有B正确；A、C、D错误； 故选：B． 10．C 【分析】 本题考查了有理数乘方的应用，正确理解题中的转换方法，利用有理数的乘方法则逐项计算是解题的关键；根据编号的转换方法，将四个选项中的识别图案转换成编号，取其编号为10的选项即可得出结论． 【详解】 解：A、； B、； C、； D、． 故选：C． 11． 28 【分析】本题考查了相反数，理解相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的定义解题即可． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 12．或1 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离．分为两种情况：当所求的点在表示的点的左边或右边时，分别列出算式求出即可． 【详解】解：当所求点在表示的点的左边时，此时所求的数为：； 当所求点在表示的点的右边时，此时所求的数为：； 故答案为：或1． 13．或2 【分析】本题考查了代数式求值，先利用了相反数的定义，绝对值的性质，倒数的定义得出，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为3， ∴， ∴， 当时，； 当时，原式， 故代数式的直为或2． 故答案为：或2． 14．/ 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义的运算方法是解题的关键． 根据新定义运算方法，直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15．7.85 【分析】本题考查圆的周长，根据圆的周长公式，根据第二跑道的周长-第一跑道的周长列式计算即可． 【详解】解： （米）． 故答案为：7.85． 16．数轴见解析，； 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据给出各数即可将其表示在数轴上，根据从左往右，数轴上的数依次增大，即可比较大小； 【详解】解：如图所示： 由数轴可知： 17．(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘除，再进行加减计算； （2）先计算有理数的乘方和绝对值，再计算乘除，最后进行加减计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．(1) (2) 【分析】（1）先按乘法分配律进行运算，再进行加减运算，即可求解； （2）化为，用乘法分配律进行运算，再进行加减运算，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数混合运算，乘法分配律，熟练掌握乘法分配律和运算法则是解题的关键． 19．(1)12 (2) 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： 原式 ； （2）解：根据题中的新定义得：， 则原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 20．(1)七天一共行驶350千米 (2)小明家一个月的电动汽车充电费用是264元． 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用、有理数的加减乘除法的应用，依据题意，正确列出各运算式子是解题关键． （1）本题考查正负意义运用，根据正负意义得到每天的路程相加即可得到答案； （2）本题考查正负意义运用，根据（1）得到总路程，结合费用求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 七天行驶路程为：（千米）， 答：这七天一共行驶350千米； （2）解：由题意可得， 天的路程为：（千米）， ∵行驶需用电11度，电动汽车充电平均元/度， ∴费用为：（元）， 答：小明家一个月的充电费用是元． 21．(1)． (2) 【分析】（1）根据只有符号不同的两个数互为相反数和积为1的两个数互为倒数求解即可； （2）根据非负数的性质求出的值，再求出它们乘积即可． 【详解】（1）解：∵a与2互为相反数， ∴， ∵b与互为倒数， ∴． 故答案为：，． （2）∵，即， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了相反数和倒数的定义，非负数的意义，解题关键是根据相反数、绝对值和非负数的性质求出字母的值． 22．(1)①点；②q的最大值是，最小值是； (2)且． 【分析】本题主要考查了新定义问题以及数轴上两点间距离的计算，解题的关键在于理解“关联点”的定义，并根据不同情况进行分类讨论． （1）①根据点P表示的数求出，再根据点Q所表示的数求出的取值范围，由此判断能否成立，即可得出结论； ②根据，得出，再根据数轴的特点和图形求出极端值情况，即可得出答案； （2）根据线段上任意两点都是线段的一组“关联点”，则的长度一定要小于等于的长度，由此列出 【详解】（1）解：已知点表示的数是，点B表示的数是，点表示的数．如图： 设线段上一点对应的数为，，则， 当时，；当时，， 所以． ①设线段上点对应的数为，， 若表示数5，则， 当时，；当时，， 所以，在线段上分别存在点M，N使得． 若表示数，则， 当时，；当时，， 所以，不可能等于， 故点与点不是线段的一组“关联点”． 若表示数，则， 当时，；当时，， 所以，不可能等于， 故点与点不是线段的一组“关联点”． 综上所述：点P与点是线段的一组“关联点”． ②设点表示的数为，线段上点对应的数为，，则， 因为点，是线段的一组“关联点”，所以， 当在点右侧时，取最大值，， 当在点左侧时，取最小值，， 综上所述：q的最大值是，最小值是， （2）解：∵点P表示的数是p，点B表示的数与点P表示的数互为相反数， ∴点B表示的数为， ∵点表示的数为， ∵线段上任意两点都是线段的一组“关联点”，则的长度一定要小于等于的长度． ∵，， ∴， 当时，，解得：，即， 当时，，解得：，即， 当时，，解得：，此时没有满足条件解， 当时，点Q表示的数也为，不符合题意， 综上所述：p的取值范围为且． 23．(1) (2) (3)元 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用；解题的关键在于理解题意，根据题意列出式子；易错点在于混淆优惠规则，忽略取值范围； （1）根据题意，购物元，属于的范围，根据优惠规则计算即可； （2）根据题意，购物元，①属于，根据优惠规则计算即可；②， 300元部分给予九折优惠，超过300元部分给予八折优惠，根据优惠规则列出式子即可； （3）购物620元，分两次结清，第一次货款元，第二次为元，根据每次对应的优惠规则，分段列出式子，最后相加即可． 【详解】（1）按照题意其中300元部分给予九折优惠，超过300元部分给予八折优惠； 则（元）． 故实际付款元． （2）①当小于300但不小于100时，他实际付款按九折优惠，即（元）； 故当小于300但不小于100时，他实际付款（元）． ②当大于或等于300时，他实际付款按照300元部分给予九折优惠，超过300元部分给予八折优惠，即元； 故当大于或等于300时，他实际付款元． （3）第1次付款：（元） 第2次付款： 元 共付款：元 答：两次购物实际付款元. 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $