2.5 练习3　圆与圆的位置关系 课时练 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习围绕“圆与圆的位置关系”，通过基础巩固、综合应用、拓展拔高三层设计，实现从概念理解到复杂问题解决的进阶，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|位置关系判断、公共弦方程|选择题1-6直接考查定义与公式，如第1题判断两圆位置关系，夯实概念理解| |综合应用|参数求解、多圆综合|填空题7-12涉及参数范围与公切线数量，如第12题通过公切线条数求参数范围，提升推理能力| |拓展拔高|轨迹问题、最值证明|解答题13-16综合轨迹、最值与证明，如第14题求中点轨迹方程，对接高考情境，发展模型意识|

2.5练习3圆与圆的位置关系 父必备知识徐父 1.(2024·福建龙岩名校高二期中)圆O:x2十y=1与圆M:(x+1)2+(y一1)2=9 的位置关系为(C) A.相交 B.内切 C.内含 D.外离 【解析】由题意得OM=V2,圆M的半径为3，圆0的半径为1，：3-1=2 >2,∴.圆O与圆M的位置关系为内含 2.圆x2+y2一4=0与圆x2+y2-4x+4y-一12=0公共弦所在直线的方程为(B ) A.x-2y-1=0 B.x-y+2=0 C.x-y-2=0 D.x-2y+1=0 【解析】由x2+y一4=0与x2+y2一4x+4y一12=0两式相减得4x一4y+8= 0,即x一y+2=0 3.若圆C1:x2+y2=16与圆C:(x一)2+y2=1相切，则a的值为(D) A.±3 B.±5 C.3或5 D.±3或±5 【解析】圆C1与圆C的圆心距为d=a2+(0-0)=ad.当两圆外切时，有a =4+1=5,∴.a=±5：当两圆内切时，有☑=4一1=3，∴.a=±3 4.若圆x2+y2=2与圆x2+y2+2x一4y+4=0有公共点，则r满足的条件是(C ) A.r<V5+1 B.r>5+1 C.r-V5≤1 D.-95<1 【解析】圆x2+y2+2x-4y十4=0化为(x+1)2+(y-2)2=1,其圆心为（一1， 2),半径为1，故两圆圆心之间的距离为(-1)十2=5.：两圆有公共，点， ∴r-1川≤V5≤r+1,∴.5-1≤r≤V5+1,即-1≤r-5≤1，.r-5 ≤1 5.已知圆C1:x2+0y一2)2=5和C2:(x+2)2+y2=5交于A,B两点，则AB等于 (B) A.3 B.2V3 C.V23 D.2V23 【解析】由x2+y一2)=5和(x十2)+y2=5两式相减得弦AB所在直线的方程 为x计y=0,点0，)到直线+y=0的距离d号=吃.M刷=2x5-2 =23 6.已知两圆相交于两点(1,3)和(，一1)，两圆的圆心都在直线x一y十+c=0上， 则m十c的值为(C) A.-1 B.2 C.3 D.0 【解析】由已知两国的交点与两国的圆心的所在的直线垂直，1一3=一1， m-1 1+m3-1 =5,又两圆的交，点所连线段的中点 2’ 2Γ 在两圆的圆心所在的直 线-y叶c=0上，1m.3,+c=0.解得c=-2,m+c=5+(-2) 22 3. 7.已知圆C1:x2+y2一x十2y=0与圆C:x2+y2十y一4=0的公共弦所在直线 恒过点P,且点P在直线x一y一2=0上，则m2+n的取值范围是(C) D. 【解析】x+y2一x+2y=0与x2+y2十y一4=0两式相减，得圆C1与圆C32的 x十y=0, 公共孩所在直线的方程为+)一2y一4=0，由-2y二4=0，解得 X=2, y=-2,故P2,-2)又，点P在直线x-m-2=0上，∴2m+2n-2=0,即 m+n=1,则1=(0m十m}2=m2+2m十m≤2m+m,故2+m≥亏，当且仅当 1 m=n=2时，等号成立，“m+的取值范围是 8.(多选)圆C1:x2+y2一2x十2y+1=0与圆C2:x2十y2一2=0相交于A,B两点， 则方程x2+y2一2x十2y+1+(x2+y2一2)=0(1为常数)可以表示(ACD) A.直线AB B.过A,B两点的所有圆 C.过A,B两点的圆（不包括圆C) D.圆C1 【解析】当1=一1时，方程表示直线AB:当几≠一1时，方程表示过A,B两 点的圆(C除外)：九=0时，方程为x2+y2一2x十2y十1=0表示圆C1. 9.(多选)在平面直角坐标系中，己知点A(2,0),B(0,2),圆C:(x一)2+y= 1.若圆C上存在点M,使得MAP+MB?=12,则实数a的值可能是(ABC) A.-1 B.0 C.1+2V2 D.-2 【解析】设Mx,y),.MA2+MB=12,∴.(x-2)2+y2+x2+0y-2)2=12, .(x-1)2+0y-1)2=4..圆C:(x-a2+y=1上存在，点M,使得MA2+MBP= 12,.圆C与圆(x-1)2+0y-1)=4相交或相切，.1≤(a一1)2+1≤3，.1 -2V2≤a≤1+2V2,A,B,C正确 10.若圆x2+y2一2ax+2=2和x2+y2-2by+b2=1外离，则a,b满足的条件是 d+b>3+2V2 【解析】由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(，0)，V2和(0，b),1,: 两圆相离，∴.Va+b>V2+1,即d+b>3+2V2 11.两圆x2+y2=16与(x一4)2+(0y+3)2=2(r>0)在一个交点处的切线互相垂直， 则r=3 【解析】设一个交，点为P(,,则x+y6=16,(一4④)+0十3)2=2，.r 一机-80+6“两切线五相多直，之女子-1，一=一16 .r2=41+2(3y0-4w)=9,.r=3. 12.已知圆C1:x2+y2=m2(m>0)与圆C2:x2+y2-2x-4y-15=0恰有两条公切 线，则实数m的取值范围是5,3V5)_ 【解析】易知圆C1的圆心为C(0,0),半径为m,由x2+y2-2x-4y一15=0， 得(x-1)2+0y-2)2=20,∴圆C的圆心为C(1,2),半径为25：圆C1与圆C 怡有两条公切线，∴圆C与圆C相交，∴25-m<CC<25+m,又 CC=(1-0}+(2-0)2=V5,.可得V5<m<35,即m的取值范围是( V5,3V5 父关键能力徐仪 13.已知圆C1:(x-1)2+(y+5)2=50,圆C2:(x+1)2+0y+1)2=10 (1)证明：圆C1与圆C2相交： 证明：圆C1的圆心为C1,-5),半径n=V50=52,圆C的圆心为C(一 1,-1),半径n=V10, :5V2-V10<C1C到=4+16=25<10+sR2, .C1与C相交 (2)若圆C3经过圆C1与圆C的交点以及坐标原点，求圆C3的方程. 解 (x-1)2+(y+5)2=50①， (x+1)2+(y+1)2=10②， ②-①得x-2y+4=0,即x=2y-4, y1=0, y2=2, 代入①得(2y-5)+0y+5)2=50,解得 x1=-4,x2=0, ∴圆C过A(-4,0),B0,2),C(0,0),ABC为直角三角形，T=7AB= V5,圆心为AB的中点(-2,1)，∴.圆C的方程为(+2)+0y-1)=5 14.已知线段AB的端点B的坐标是(6,5)，端点A在圆C1:(x一4)2+(y一3)2=4 上运动， (I)求线段AB的中点P的轨迹C的方程； (2)设圆C,与曲线C的两个交点为M,N,求线段N的长， 解：(1)设，点P的坐标为(c,),点A的坐标为(o,0 x=。+6 2 点B的坐标是(6,5)，且P是线段AB的中，点，. y=,+5于是有 2, X,=2x-6, (y。=2y-5① :,点A在圆C1:(c-4)2+(y-3)2=4上运动，∴.(x一4)+(0为一3)2=4②. 把①代入②，得(2x-6-4)2+(2y-5-3)=4,整理得(x-5)2+(y-4)=1,∴.，点 P的轨迹C的方程为(x一5)2+(0y一4)2=1 (2)将圆C1:(x一4)2+0y-3)=4与圆C:(x-5)2+0y一4)2=1的方程相减得2x +2y-19=0. 圆C2:(x一5)2+0y-4)2=1的圆心为(5,4)，半径=1，且圆心(5,4)到直线2x +319=0的E商028四-草N27d-X 922+22 -日-四 父拓展突破练父 15.(2024·东艺东华高级中学高二期中)M是圆C:c+2)2+y2=1上任意一点， AB为圆C1:(x一2)}+y2=3的弦，且AB=2V2,N为AB的中点，则MW的最 小值是(B) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】圆C:x+2)2+y2=1的圆心为C(-2,0),半径r=1,圆C1:(x一2) +y=3的圆心为C(2,0,半径n=3.由弦长公式知，4B=2r-C1N= 2/2,可得CM=1,∴.点N在以C(2,0)为圆心，1为半径的圆上，易知N 的最小值是CC1一r一1=4一1一1=2. 16.(2024·长沙一中检测)已知圆M与圆W: x一 =2关于直线y =对称，且点D-3 (I)试判断圆M与圆N的位置关系： 解：3’ 引关于直线=的对称点为小一 5 53 ∴.圆M的半径r= ∴.圆M的方程为 102>4×2,故圆M与 圆N相离 (②)设P为圆M上任意一点，A-1, 31 3P,A,B三点不共线，PG 为∠APB的角平分线，且交AB于点G,证明：△PBG与△APG的面积之比为定 值 证明设P,则P4P=十1)子y。一+2 += =6-y=o-+8= PAIP 3 xo, :PB 4 ,即PB A一)又PG为4PB的角平分线，旦家B于点G数 、-IPBI -SAAPG PA =2为定值 2.5 练习3　圆与圆的位置关系 1. (2024·福建龙岩名校高二期中)圆O：x2＋y2＝1与圆M：(x＋1)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( 　) A. 相交 B. 内切 C. 内含 D. 外离 2. 圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线的方程为( 　) A. x－2y－1＝0 B. x－y＋2＝0 C. x－y－2＝0 D. x－2y＋1＝0 3. 若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( 　) A. ±3 B. ±5 C. 3或5 D. ±3或±5 4. 若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是( 　) A. r＜1 B. r＞1 C. |r|≤1 D. |r|＜1 5. 已知圆C1：x2＋(y－2)2＝5和C2：(x＋2)2＋y2＝5交于A，B两点，则|AB|等于( 　) A. B. 2 C. D. 2 6. 已知两圆相交于两点(1，3)和(m，－1)，两圆的圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为( 　) A. －1 B. 2 C. 3 D. 0 7. 已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线恒过点P，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则m2＋n2的取值范围是( 　) A. B. C. D. 8. (多选)圆C1：x2＋y2－2x＋2y＋1＝0与圆C2：x2＋y2－2＝0相交于A，B两点，则方程x2＋y2－2x＋2y＋1＋λ(x2＋y2－2)＝0(λ为常数)可以表示( 　) A. 直线AB B. 过A，B两点的所有圆 C. 过A，B两点的圆(不包括圆C2) D. 圆C1 9. (多选)在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(0，2)，圆C：(x－a)2＋y2＝1.若圆C上存在点M，使得|MA|2＋|MB|2＝12，则实数a的值可能是( 　) A. －1 B. 0 C. 1＋2 D. －2 10. 若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是 .  11. 两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)在一个交点处的切线互相垂直，则r＝ .  12. 已知圆C1：x2＋y2＝m2(m＞0)与圆C2：x2＋y2－2x－4y－15＝0恰有两条公切线，则实数m的取值范围是 .  13. 已知圆C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10. (1)证明：圆C1与圆C2相交； (2)若圆C3经过圆C1与圆C2的交点以及坐标原点，求圆C3的方程. 14. 已知线段AB的端点B的坐标是(6，5)，端点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动. (1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程； (2)设圆C1与曲线C2的两个交点为M，N，求线段MN的长. 15. (2024·东莞东华高级中学高二期中)M是圆C：(x＋2)2＋y2＝1上任意一点，AB为圆C1：(x－2)2＋y2＝3的弦，且|AB|＝2，N为AB的中点，则|MN|的最小值是( 　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. (2024·长沙一中检测)已知圆M与圆N：＝r2关于直线y＝x对称，且点D在圆M上. (1)试判断圆M与圆N的位置关系； (2)设P为圆M上任意一点，A，B，P，A，B三点不共线，PG为∠APB的角平分线，且交AB于点G，证明：△PBG与△APG的面积之比为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $