2.3 有理数的乘方（知识清单）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了有理数乘方的知识体系。从乘方概念（底数、指数、幂）出发，明确整数指数幂的符号规律和混合运算顺序，进而掌握科学记数法的表示方法，最后理解准确数、近似数及精确度的判定。 知识链路按概念-规律-运算-应用逻辑清晰呈现，含易错点分析（错例、错因、规避方法）和题型分类（运算、混合运算、应用等）。通过“特别提醒”和“方法技巧”培养运算能力与推理意识，结合实际问题提升应用意识，助力学生构建完整认知框架。

第二章 有理数的运算 2.3 有理数的乘方 🔷知识点一　有理数的乘方 1. 乘方的概念：一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”。 2. 在中，叫作底数，叫作指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。 3. 求个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。 ⚠️特别提醒 ①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有； ②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来； ③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁； ④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 🔷 知识点二　整数指数幂 1. 整数指数幂的符号规律： ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； ②正数的任何正整数次幂都是正数； ③0的任何正整数次幂都是0； ④除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。 2. 有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 🔷 知识点三　科学记数法 1. 科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数）。 如：340000000=3.4×108 对于小于－10的数也可以类似表示，如：－567000000=－5.67×108 ⚠️特别提醒 ①的确定——所有数字照抄并写成一位整数的数，负数要保留前面的符号； ②的确定——计算小数点移动的位数，向左为正，向右为负，对于大于10的数，比整数位数少1，小于1的数，等于第一个非0数字前0的个数。 🔷 知识点四　准确数、近似数、精确度 1. 准确数：表示实际数量的数。 2. 近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常接近。 3. 精确度：表示近似数与准确数的接近程度。 4. 精确度的类型： ①纯数字类： 如按四舍五入法对圆周率取近似数时：（精确到个位）；（精确到十分位，或叫精确到0.1）； （精确到百分位，或叫精确到0.01）；（精确到千分位，或叫精确到0.001）。 ②带单位类：如近似数万（精确到千位）。 ③科学记数法类：如近似数（精确到百位）。 ⚠️特别提醒 ①近似数表示的是一个大概的数字，与实际有差别； ②近似数要看精确到哪一位，也就是实际需要的取值精确度； ③近似数是估值，但是要控制误差。 易错点 1 混淆底数，看错乘方运算范围 · 错例：误将计算为9，误将计算为-9 · 错因：分不清有无括号的底数区别；底数是3，是3的平方的相反数；底数是-3，是-3整体的平方 · 规避方法：无括号时，指数只作用于紧邻的正数；有括号时，括号内整体为底数 易错点 2 负数乘方奇偶次符号判断错误 · 错例：， · 错因：记错“奇负偶正”规律，负数奇次幂为负、偶次幂为正，符号判断颠倒 · 规避方法：牢记口诀：负数奇负偶正，正数任意次幂为正，计算先定符号，再算绝对值乘方 易错点 3 有理数混合运算优先级颠倒，先算乘除后算乘方 · 错例： · 错因：违背混合运算顺序，乘方优先级高于乘除，未优先计算乘方 · 规避方法：固定运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；同级运算从左到右，有括号先算括号内 易错点 4 科学记数法中的取值范围不符合要求 · 错例： · 错因：违背科学记数法核心要求，必须满足 · 规避方法：调整小数点位置，保证左边只有一位整数，再确定指数 易错点 5 负数科学记数法遗漏负号 · 错例： · 错因：忽略原数负号，仅对数值进行科学记数法转换 · 规避方法：负数转换时，负号前置保留，仅对绝对值部分改写 易错点 6 带单位、科学记数法近似数精确度判位错误 · 错例：误将2.4万判定为精确到十分位，误将判定为精确到个位 · 错因：忽略单位和科学记数法的缩放，直接看末尾数字判位 · 规避方法：带单位、科学记数法需还原原数，看末尾有效数字对应的实际数位，即为精确位数 题型一：有理数的乘方运算 📝方法技巧 1. 定义本质： 表示n个a相乘，a为底数，n为指数，结果叫幂； 2. 符号规则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂为负、偶次幂为正；0的正整数次幂都为0； 3. 特殊值：1的任何次幂为1，-1的奇次幂为-1、偶次幂为1； 4. 书写规范：负数、分数作底数必须加括号。 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．计算： ____________． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 题型二：含乘方的有理数混合运算 📝方法技巧 1. 严格运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减； 2. 有括号先算括号内，同级运算从左至右依次计算； 3. 分步计算：先算所有乘方，再统一乘除，最后合并加减； 4. 合理运用运算律简化计算，杜绝跳步。 1．计算： 2．计算：． 3．计算： (1) (2) 4．计算： (1)； (2)． 5．计算 (1) (2) 题型三：乘方的应用 📝方法技巧 1. 核心场景：倍增/倍减问题、细胞分裂、折纸厚度、复利变化； 2. 通用公式：初始量×变化倍数（n为变化次数）； 3. 审题找准：初始数量、单次变化倍数、总变化次数； 4. 计算后结合实际场景作答，保留合理结果。 1．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（  ） A． B． C． D． 2．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 3．一种细胞，每经过分裂一次，每次每个细胞分裂成2个．那么，1个细胞经过能分裂成多少个？ 题型四：程序流程图与有理数 📝方法技巧 1. 逐框翻译：将流程图中的文字、符号转化为有理数运算式子； 2. 分支判断：严格按照判断条件（大于、小于、等于）选择运算路径； 3. 循环题型：重复代入运算，直至满足终止条件，分步记录每一步结果； 4. 代入数值精准，不更改程序给定的运算规则。 1．（25-26七年级上·云南文山·期末）如图是一个数值运算程序，若输入的数为，则输出的值为（    ）． A．24 B．18 C． D． 2．按下列所示的程序计算： 若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）按如图所示的运算程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 4．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 题型五：科学记数法 📝方法技巧 1. 标准形式：（，n为整数）； 2. 大数记数：n=整数位数−1，向左移动小数点确定； 3. 还原原数：根据指数n向右移动小数点，补全数位； 4. 负数记数：仅保留负号，其余规则与正数一致。 1．（25-26六年级下·山东泰安·期末）据报道，2026年春节五一假期，泰安市文旅市场供需两旺，累计接待游客人次，比去年同期增长．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林·中考真题）吉林省光电信息“一号工程”目标是：“十五五”末光电产业产值达160000000000元，将长春市建设成为“中国光电城”．数据160000000000用科学记数法表示为（ 　　  ） A． B． C． D． 3．全球每年大约有立方米的水从海洋和陆地转化为大气中的水蒸气，将科学记数法表示的数还原为原数是__________ 4．（25-26七年级下·河北邢台·期末）某快递分拣中心每小时能处理件包裹，为应对电商发展，该中心优化流程后，每小时处理量提升到原来的倍，若将优化后每小时处理量用科学记数法表示为，则的值是________． 题型六：近似数 📝方法技巧 1. 核心规则：四舍五入，精确到哪一位，就看后一位数字取舍； 2. 常见精度：精确到个位、十分位、百分位、千位等； 3. 大数近似数：先写成科学记数法，再对对应数位四舍五入； 4. 近似数末尾的0不能随意去掉，代表精确位数。 1．近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 2．关于近似数，下列说法正确的是（    ） A．精确到十分位，有2位有效数字 B．精确到十分位，有3位有效数字 C．精确到百分位，有2位有效数字 D．精确到百分位，有3位有效数字 3．一个三位小数用四舍五入法取近似值8.40，则这个数原来最小是________． 4．某公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将该数值用科学记数法为_____个（保留两位有效数字） 5．将数用四舍五入法精确到为______． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 2.3 有理数的乘方 🔷知识点一　有理数的乘方 1. 乘方的概念：一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”。 2. 在中，叫作底数，叫作指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。 3. 求个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。 ⚠️特别提醒 ①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有； ②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来； ③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁； ④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 🔷 知识点二　整数指数幂 1. 整数指数幂的符号规律： ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； ②正数的任何正整数次幂都是正数； ③0的任何正整数次幂都是0； ④除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。 2. 有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 🔷 知识点三　科学记数法 1. 科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数）。 如：340000000=3.4×108 对于小于－10的数也可以类似表示，如：－567000000=－5.67×108 ⚠️特别提醒 ①的确定——所有数字照抄并写成一位整数的数，负数要保留前面的符号； ②的确定——计算小数点移动的位数，向左为正，向右为负，对于大于10的数，比整数位数少1，小于1的数，等于第一个非0数字前0的个数。 🔷 知识点四　准确数、近似数、精确度 1. 准确数：表示实际数量的数。 2. 近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常接近。 3. 精确度：表示近似数与准确数的接近程度。 4. 精确度的类型： ①纯数字类： 如按四舍五入法对圆周率取近似数时：（精确到个位）；（精确到十分位，或叫精确到0.1）； （精确到百分位，或叫精确到0.01）；（精确到千分位，或叫精确到0.001）。 ②带单位类：如近似数万（精确到千位）。 ③科学记数法类：如近似数（精确到百位）。 ⚠️特别提醒 ①近似数表示的是一个大概的数字，与实际有差别； ②近似数要看精确到哪一位，也就是实际需要的取值精确度； ③近似数是估值，但是要控制误差。 易错点 1 混淆底数，看错乘方运算范围 · 错例：误将计算为9，误将计算为-9 · 错因：分不清有无括号的底数区别；底数是3，是3的平方的相反数；底数是-3，是-3整体的平方 · 规避方法：无括号时，指数只作用于紧邻的正数；有括号时，括号内整体为底数 易错点 2 负数乘方奇偶次符号判断错误 · 错例：， · 错因：记错“奇负偶正”规律，负数奇次幂为负、偶次幂为正，符号判断颠倒 · 规避方法：牢记口诀：负数奇负偶正，正数任意次幂为正，计算先定符号，再算绝对值乘方 易错点 3 有理数混合运算优先级颠倒，先算乘除后算乘方 · 错例： · 错因：违背混合运算顺序，乘方优先级高于乘除，未优先计算乘方 · 规避方法：固定运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；同级运算从左到右，有括号先算括号内 易错点 4 科学记数法中的取值范围不符合要求 · 错例： · 错因：违背科学记数法核心要求，必须满足 · 规避方法：调整小数点位置，保证左边只有一位整数，再确定指数 易错点 5 负数科学记数法遗漏负号 · 错例： · 错因：忽略原数负号，仅对数值进行科学记数法转换 · 规避方法：负数转换时，负号前置保留，仅对绝对值部分改写 易错点 6 带单位、科学记数法近似数精确度判位错误 · 错例：误将2.4万判定为精确到十分位，误将判定为精确到个位 · 错因：忽略单位和科学记数法的缩放，直接看末尾数字判位 · 规避方法：带单位、科学记数法需还原原数，看末尾有效数字对应的实际数位，即为精确位数 题型一：有理数的乘方运算 📝方法技巧 1. 定义本质： 表示n个a相乘，a为底数，n为指数，结果叫幂； 2. 符号规则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂为负、偶次幂为正；0的正整数次幂都为0； 3. 特殊值：1的任何次幂为1，-1的奇次幂为-1、偶次幂为1； 4. 书写规范：负数、分数作底数必须加括号。 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 3．计算： ____________． 【答案】 【详解】解：原式． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 【答案】 【分析】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 题型二：含乘方的有理数混合运算 📝方法技巧 1. 严格运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减； 2. 有括号先算括号内，同级运算从左至右依次计算； 3. 分步计算：先算所有乘方，再统一乘除，最后合并加减； 4. 合理运用运算律简化计算，杜绝跳步。 1．计算： 【答案】 【分析】先计算乘方和小括号内的减法，再算乘法，最后求和即可 【详解】解： 2．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2)3 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)3 【分析】（1）根据含有乘方的混合运算求解即可； （2）化除法为乘法，然后应用分配律，最后加减计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．计算 (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）先计算乘方，再利用乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方、小括号内的减法，再计算括号内的减法，然后计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型三：乘方的应用 📝方法技巧 1. 核心场景：倍增/倍减问题、细胞分裂、折纸厚度、复利变化； 2. 通用公式：初始量×变化倍数（n为变化次数）； 3. 审题找准：初始数量、单次变化倍数、总变化次数； 4. 计算后结合实际场景作答，保留合理结果。 1．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推导得到个细菌经过分钟后的分裂数量，再乘以初始细菌个数即可得到结果． 【详解】解：∵个细菌每分钟由个分裂成个， ∴个细菌经过分钟分裂为个，经过分钟分裂为个， 依此类推，可得个细菌经过分钟分裂为个， 本题中，初始细菌个数为， ∴最终总个数为． 2．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【答案】 【分析】据题意，每天截取后剩余长度是前一天剩余长度的一半，逐天计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意， 第1天截取后剩余长度为：， 第2天截取后剩余长度为：， 第3天截取后剩余长度为：， 第4天截取后剩余长度为：， 第5天截取后剩余长度为：， 故第5天截取后木棍剩余长度为． 3．一种细胞，每经过分裂一次，每次每个细胞分裂成2个．那么，1个细胞经过能分裂成多少个？ 【答案】个 【分析】本题考查了有理数的乘方应用，先理解题意，得里面有6个，根据每经过分裂一次，每次每个细胞分裂成2个，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，里面有6个， ∵每经过分裂一次，每次每个细胞分裂成2个． ∴， 即1个细胞经过能分裂成个． 题型四：程序流程图与有理数 📝方法技巧 1. 逐框翻译：将流程图中的文字、符号转化为有理数运算式子； 2. 分支判断：严格按照判断条件（大于、小于、等于）选择运算路径； 3. 循环题型：重复代入运算，直至满足终止条件，分步记录每一步结果； 4. 代入数值精准，不更改程序给定的运算规则。 1．（25-26七年级上·云南文山·期末）如图是一个数值运算程序，若输入的数为，则输出的值为（    ）． A．24 B．18 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数的混合运算，理解题意并熟练掌握运算法则是解题关键． 根据所给的程序图，计算公式为，代入求值即可． 【详解】解：由题意可得，该程序的计算公式为， 当时，原式． 故选：B． 2．按下列所示的程序计算： 若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据程序运算图进行代值求解即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∴最后输出的结果是4； 故选B． 3．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）按如图所示的运算程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，有理数的大小比较，正确的列出算式是解题的关键．根据流程图，列出算式，进行计算并比较大小即可． 【详解】解：根据题意得：当时，， 当时，， ． 故选：B． 4．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 【答案】 10 【分析】把代入转换器中计算即可． 【详解】解：， ， 输出结果为10． 题型五：科学记数法 📝方法技巧 1. 标准形式：（，n为整数）； 2. 大数记数：n=整数位数−1，向左移动小数点确定； 3. 还原原数：根据指数n向右移动小数点，补全数位； 4. 负数记数：仅保留负号，其余规则与正数一致。 1．（25-26六年级下·山东泰安·期末）据报道，2026年春节五一假期，泰安市文旅市场供需两旺，累计接待游客人次，比去年同期增长．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需确定和的值即可求解； 【详解】解：将写成科学记数法的形式，先确定，满足. 原数的小数点向左共移动了位，故，故； 2．（2026·吉林·中考真题）吉林省光电信息“一号工程”目标是：“十五五”末光电产业产值达160000000000元，将长春市建设成为“中国光电城”．数据160000000000用科学记数法表示为（ 　　  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：数据160000000000用科学记数法表示为． 3．全球每年大约有立方米的水从海洋和陆地转化为大气中的水蒸气，将科学记数法表示的数还原为原数是__________ 【答案】577000000000000 【详解】解：． 4．（25-26七年级下·河北邢台·期末）某快递分拣中心每小时能处理件包裹，为应对电商发展，该中心优化流程后，每小时处理量提升到原来的倍，若将优化后每小时处理量用科学记数法表示为，则的值是________． 【答案】3.5 【分析】先根据题意计算优化后每小时的包裹处理量，再根据科学记数法的定义确定的值． 【详解】解：根据题意，优化后每小时处理量为 ． 题型六：近似数 📝方法技巧 1. 核心规则：四舍五入，精确到哪一位，就看后一位数字取舍； 2. 常见精度：精确到个位、十分位、百分位、千位等； 3. 大数近似数：先写成科学记数法，再对对应数位四舍五入； 4. 近似数末尾的0不能随意去掉，代表精确位数。 1．近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【答案】B 【分析】根据近似数精确度的定义，即最后一位有效数字所在的数位就是该近似数精确到的数位，即可求解． 【详解】解：∵近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定，2.30的最后一位有效数字是0，位于百分位， ∴近似数2.30精确到百分位． 2．关于近似数，下列说法正确的是（    ） A．精确到十分位，有2位有效数字 B．精确到十分位，有3位有效数字 C．精确到百分位，有2位有效数字 D．精确到百分位，有3位有效数字 【答案】D 【分析】根据定义判断即可，四舍五入到哪一位，就说明近似数精确到哪一位，有效数字是从左边第一个不为0的数字起，到末位为止的所有数字． 【详解】解：∵近似数的末位数字在百分位，从左边第一个非零数字起共有，，三个数字， ∴精确到百分位，有位有效数字． 3．一个三位小数用四舍五入法取近似值8.40，则这个数原来最小是________． 【答案】 【详解】解：若为“五入”得到，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位需满足进位条件，最小为，即原数为， 因此这个数原来最小是． 4．某公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将该数值用科学记数法为_____个（保留两位有效数字） 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，有效数字从左边第一个非数字起开始计数，按要求保留位数即可． 【详解】解：175亿． 5．将数用四舍五入法精确到为______． 【答案】 【分析】精确到，需要对千分位上的数字进行四舍五入，根据四舍五入法则即可得到结果． 【详解】解：的千分位数字为，，向百分位进， 因此用四舍五入法精确到为． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $