专题2.3 有理数的乘方【导图+知识卡片+知识梳理+14个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题】-2026-2027学年人教版数学七年级上册同步讲义

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统梳理乘方概念、混合运算顺序、科学记数法及近似数四大要点，前承有理数加减乘除运算，后启代数运算基础，通过思维导图构建知识脉络，形成完整学习支架。 资料以14个题型讲练为核心，含典例与变式训练，结合中考真题及分层练习。如乘方应用题型（折纸厚度、细菌分裂）培养数学眼光，混合运算提升运算能力（数学思维），科学记数法与近似数强化数学语言表达。课中辅助教学理解，课后分层训练助学生查漏补缺。

null 专题2.3 有理数的乘方『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+14个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 【人教版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数的乘方 2 知识点二 有理数的混合运算顺序 3 知识点三 科学记数法 3 知识点四 近似数 3 题型讲练 3 题型一 有理数幂的概念理解 3 题型二 有理数的乘方运算 4 题型三 有理数乘方逆运算 5 题型四 乘方运算的符号规律 6 题型五 乘方的应用 7 题型六 程序流程图与有理数计算 7 题型七 算"24”点 8 题型八 含乘方的有理数混合运算 9 题型九 计算器——有理数 10 题型十 用科学记数法表示绝对值大于1的数 11 题型十一 将用科学记数法表示的数变回原数 11 题型十二 求一个数的近似数 11 题型十三 求近似数的精确度 12 题型十四 近似数推断取值范围 13 中考真题演练 13 难度分层训练 17 【基础夯实】 17 【培优拔高】 22 知识点一 有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 知识点二 有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 知识点三 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 知识点四 近似数 1. 接近实际数值的数，叫作近似数． 2. 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示． 3. 一般地，一个近似数四舍五人到哪一位，就说这个数精确到哪一位．例如（精确到0.01，或叫作精确到百分位）． 题型一 有理数幂的概念理解 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 【变式训练】（25-26七年级上·河北保定·期末）为了简便，可以将记为_____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方的定义与表示方法，掌握乘方的表示方法是解题关键． 个相同因数相乘可以写成该数的次方形式，据此进行解答． 【详解】解：根据乘方的定义，个相同的因数相乘，记为的次方，即． 故答案为：． 题型二 有理数的乘方运算 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据有理数乘方和乘法的运算法则，分别计算每个选项中两个式子的值，再比较是否相等即可． 【详解】解： ，， ，该选项符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； 综上，答案选A． 【变式训练】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）转换为十进制：． 【答案】． 【分析】本题考查了二进制数的加法运算以及二进制数到十进制数的转换．正确掌握二进制加法“逢二进一”的规则和二进制转十进制按位权展开求和的方法是解题的关键． 按照二进制加法规则进行运算，再依据位权展开法将结果转换为十进制即可求解． 【详解】解：， 按照二进制加法规则进行运算，再依据位权展开法将结果转换为十进制可得： ． 题型三 有理数乘方逆运算 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义运算． 根据题目给出的新定义计算即可． 【详解】解：根据新定义，若，则． ∵， ∴， 即． 故答案为：3． 【变式训练】（25-26七年级上·四川泸州·期中）若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的运算与绝对值的性质，结合不等式条件确定、的取值是解题的关键．根据先确定、的所有可能值，再利用的条件筛选出符合要求的组合，进而求出的值． 【详解】解：， 或， ， ， 或， 又， 当时，不满足，满足， ， 当时，不满足，满足， ， 的值为或． 故选：． 题型四 乘方运算的符号规律 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）若，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， 所以，． 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 题型五 乘方的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）将厚0.1毫米的一张纸对折，再对折，这样对折4次后，这张纸厚( )毫米． 【答案】1.6 【分析】每对折一次，纸的厚度扩大为原来的倍，对折次后，纸的厚度扩大为原来的倍，本题对折次，代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对折次后，纸的厚度为（毫米） 【变式训练】（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据每过30分钟便会由1个分裂成2个，由4小时求出分裂的次数，即可确定出分裂的个数． 【详解】解：4小时求出分裂的次数为（次）， 经过30分钟，这种细胞由1个能分裂成个 经过60分钟，这种细胞由1个能分裂成个， ...， ∴经过4小时，这种细胞由1个能分裂成个． 题型六 程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【答案】160 【分析】按照框图的计算顺序进行计算即可． 【详解】解：把40输入得： ， 把80输入得： ， ∴输出结果为：160． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，则最终输出的结果是______． 【答案】29 【分析】根据运算程序列式计算，直至结果大于15即可． 【详解】解：若开始输入的值是， 则，返回继续运算， ，返回继续运算， ，返回继续运算， ，返回继续运算， ，输出结果． 题型七 算"24”点 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 【变式训练】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握点游戏的规则是解题的关键． 根据点游戏的规则，利用给定的数字进行组合得到即可． 【详解】解：根据题意，可知四个数分别为， 通过观察可知， ． 故答案为：（答案不唯一）． 题型八 含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（24-25七年级上·云南昆明·期末）六进制数表示为十进制是（    ） A．457 B．445 C．2706 D．451 【答案】D 【分析】只需将六进制数按位权展开后求和，即可得到对应的十进制数． 【详解】解： ， ∴六进制数表示为十进制是． 题型九 计算器——有理数 【典例精讲】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则显示器显示的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了计算器的使用，有理数的混合运算，熟练掌握计算器的使用和有理数的运算法则是解题的关键． 根据计算器的按键顺序，列出算式，再运算即可得答案． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）运用科学计算器进行计算，按键顺序为 ，则相应的算式为________，计算器显示的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了计算器-基础知识，熟练了解按键的含义是解题的关键． 根据计算器的按键写出计算的式子，然后求值即可． 【详解】解：根据题意得，计算器按键写成算式：， 计算器显示的结果是：. 故答案为：，. 题型十 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段检测）是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）中国邮政定于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为______． 【答案】2.668×107 【详解】解：． 题型十一 将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【答案】705000000 【分析】本题考查将科学记数法表示的数还原为原数，只需把科学记数法中的小数点向右移动位，即可得到原数． 【详解】解：根据题意，得 【变式训练】（25-26七年级上·河南周口·期末）到2025年，我国某科技企业研发投入累计达元，这个数的原数是（    ） A．120000000 B．1200000000 C．12000000 D．12000000000 【答案】B 【详解】解：． 故选：B． 题型十二 求一个数的近似数 【典例精讲】（25-26七年级上·福建漳州·期中）古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________． 【答案】 【分析】本题考查近似数的四舍五入法，解题思路为确定精确数位，观察下一位数字，根据四舍五入规则求解． 【详解】解：根据题意，精确到百分位，即保留小数点后两位，需要观察小数点后第三位，即千分位的数字．，千分位数字为，因为，根据四舍五入规则，向百分位进．因此得到的结果为． 【变式训练】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）用四舍五入法取近似数：__________．（精确到千分位） 【答案】 【分析】精确到千分位即小数点后保留三位小数，需看万分位上的数字，根据四舍五入法进行近似即可． 【详解】解：（精确到千分位）． 题型十三 求近似数的精确度 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）（1）把数字用科学记数法表示为________． （2）近似数精确到________位． 【答案】 千 【分析】（1）根据科学记数法表示的形式为，其中，为整数，即可求解． （2）从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，则精确到了哪一位． 【详解】（1）把用科学记数法表示为； （2）近似数，它精确到千位． 【变式训练】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）已知有以下几种说法：①数据1.35精确到百分位；②23456用科学记数法表示（精确到百位）为；③若一个数用科学记数法表示为，且该数精确到十位，那么它的原数可能是3045；④万用科学记数法表示，且精确到千位为，下列说法不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据近似数的精确度，科学记数法的定义逐项判断即可． 【详解】解：①数据1.35精确到百分位，故原说法正确； ②23456用科学记数法表示（精确到百位）为，故原说法正确； ③若一个数用科学记数法表示为，且该数精确到十位，那么它的原数可能是3045或或或或，故原说法正确； ④万用科学记数法表示，且精确到千位为，故原说法错误； 则说法不正确的是④． 题型十四 近似数推断取值范围 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段检测）近似数是由数a四舍五入得到的，则数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查近似数，熟练掌握近似数的方法是解题的关键． 近似数精确到百分位，即是从千分位上的数字四舍五入得到的，若千分位上的数字大于等于5，百分位上的数字应是“9”，十分位上是“3”；若千分位上的数字小于5，百分位上的数字应是“0”，十分位上是“4”，据此解答即可． 【详解】解：近似数是由a四舍五入到百分位得到的， 则a的取值范围为， 故选：D． 【变式训练】（2025七年级上·湖南长沙·专题练习）一个三位小数，“四舍五入”后约是，这个三位小数最大是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据近似数确定原数的取值范围，确定五入的最小值和四舍的最大值，从而得到这个三位小数的取值范围，进而可得到答案． 【详解】解：∵一个三位小数，“四舍五入”后约是， ∴这个三位小数要大于或等于，且要小于， ∴这个三位小数最大是， 故答案为：． 【真题演练1】（2025·河南洛阳·中考真题）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入x的值是6时，根据程序，第一次计算输出的结果是3，第二次计算输出的结果是，…，这样下去第2 026次计算输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期的规律．先根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前1个数外，每4个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为3，第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为，第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为，第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为，第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为，… 这列数除前1个数外，每4个数为一个周期， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 【真题演练2】（2025·北京·中考真题）2025年5月，基于三进制逻辑的芯片研制成功，与传统的二进制芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．三进制是逢三进一，常用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1022记为，由，可得转换为十进制数是35（注：规定当时，）． 给出下面三个结论： ①将三进制数转换为十进制数为19； ②如果一个三进制数的末位数字能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除； ③如果一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，能熟练将三进制转化为十进制是解答本题的关键． 结论①通过直接计算验证正确；结论②通过反例证明错误；结论③通过设三进制数为，然后展开计算证明． 【详解】解：①，故①正确； ②取三进制数，末位数字0能被2整除，但转换为十进制数，不能被2整除，故②错误； ③设三进制数为（为正整数），则 ， ∵，，，能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除， ∴能被整除， 故③正确， 故选：B． 【真题演练3】（2025·云南文山·中考真题）比较大小：_____98（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数大小比较．注意：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．根据正数大于负数进行大小比较． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：＜． 【真题演练4】（2025·四川成都·中考真题）任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是______；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为______． 【答案】 1（答案不唯一） 961 【分析】本题主要考查程序流程图与有理数的计算，解题的关键是围绕三位数按特定规则运算． 本题围绕三位数按特定规则运算展开，第一空需通过举例验证找出可能的重复输出结果；第二空要从最大三位数开始，依据运算规则，判断经过3次运算能输出结果的最大三位数． 【详解】解：第一空： 选取三位数100进行运算， ……1，不是3的倍数， 按照规则，计算其各位数之和：，再对和进行平方：， 后续若继续以1为下一个数运算，1不是3的倍数，各位数之和为1，平方后还是1，出现重复数， 最后输出的结果可能是（答案不唯一，还可能是169等）； 第二空：从最大的三位数999开始依次验证 999：①999是3的倍数，根据规则，下一个数为，②333是3的倍数，下一个数为，③111是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 998：①998不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②676不是3的倍数，下一个数为，③361不是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 同理，运算次数都超过3次； 961：①961不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②256不是3的倍数，下一个数为，③169不是3的倍数，下一个数为，与第一次运算结果相同，输出结果；经过3次运算便输出结果，符合幸运数定义． 所以，最大的幸运数为961， 故答案为：1（答案不唯一）；961． 【真题演练5】（2025·浙江金华·中考真题）小明与小红同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式 （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)小明：第一步，小红：第二步 (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）小明：第一步将错误地计算为，小红：第二步应该按照从左到右的顺序计算 （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：小明：第一步开始出错，小红：第二步开始出错 （2）解： 【基础夯实】 1．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）下列说法：①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④0是最小的有理数；⑤数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑥近似数与的精确度相同；⑦近似数精确到千位；其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题根据有理数的定义，绝对值性质，有理数加法法则，相反数定义，近似数精确度等初中相关概念，逐一判断各说法即可． 【详解】解：①根据有理数定义，整数和分数统称为有理数，故①正确； ②绝对值是它本身的数是所有正数和0，不只有0，故②错误； ③当两个数相加时，若存在负加数，和会小于正加数，如，故③错误； ④负数小于0，因此0不是最小的有理数，故④错误； ⑤0的相反数是0，对应点在原点，不在原点两侧，故⑤错误； ⑥精确到百分位，精确到千分位，精确度不同，故⑥错误； ⑦ ，其中3在千位，因此近似数精确到千位，故⑦正确； 综上，正确的说法共2个，故A正确． 2．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先根据平方根和绝对值的性质，得到和的所有可能取值，再结合确定和异号，分情况计算的值即可． 【详解】解：∵，∴或， ∵，∴或， 又∵， ∴与异号， 分两种情况计算： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ∴的值为或． 3．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】根据流程图，列式计算即可． 【详解】解：． 4．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算_________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照先算乘方，再算乘法，最后算加法的顺序计算即可． 【详解】 ． 5．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由图可得， ， ∴他一共捞得的鱼的数量为条， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·四川成都·期末）下面是2018-2022年我国每年实物商品网上零售额统计图． 可以看出全年实物商品网上零售额占社会消费品零售总额的比例除2020年至2021年有所减少外其他年份逐渐增加，其中2020年社会消费品零售总额大约为________万亿元（结果保留整数）． 【答案】40 【分析】本题主要考查了取近似数，解题的关键是掌握取近似数的法则． 根据占比求出社会消费品零售总额，并求近似数即可． 【详解】解：2020年实物商品网上零售额为亿元， 则社会消费品零售总额为万亿元， 故答案为：40． 7．（25-26七年级上·重庆江北·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数混合运算法则进行计算，先乘方，再乘除，最后加减； （2）根据有理数混合运算法则进行计算，有括号先算括号里面． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（25-26七年级上·广西河池·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）将减法转化为加法，再进行有理数的加法运算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解： （2）解： 9．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为 万人； (2)七天假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 万人．游客人数最少的是10月 日，达到 万人； (3)请问该风景区在这八天内一共接待了多少游客？（结果精确到万） 【答案】(1) (2)，；， (3)约万人 【分析】（1）由题中数据加减计算即可； （2）根据题中数据逐天计算出人数比较即可； （3）结合（2）中求得的数据直接将这八天游客人数相加计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得10月3日的人数为（万人）； （2）解：在9月30日的游客人数为万人， 10月1日比9月30日多万人，为（万人）； 10月2日比10月1日多万人，为（万人）； 10月3日比10月2日少万人，为（万人）； 10月4日比10月3日少万人，为（万人）； 10月5日比10月4日少万人，为（万人）； 10月6日比10月5日少万人，为（万人）； 10月7日比10月6日少万人，为（万人）； 综上所述，七天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到万人．游客人数最少的是10月7日，达到万人； （3）解：结合（2）中数据可得，该风景区在这八天内一共接待游客人数为（万人）． 10．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把各数连接起来． 【答案】数轴见解析， 【详解】解：， 在数轴上表示各数如下： ∴由数轴可得． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 2．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 3．（25-26七年级上·福建厦门·期末）按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，数字类规律探究．关键是按照流程图正确的列出算式进行计算；计算出前几次的输出结果，概括出数字规律，作答即可． 【详解】解：输入的值是，第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； …… 由此可见，从第次起，分别为：，……，三个一循环， ∵， ∴余数为， ∴第次输出的结果和循环中的第二个数相同为：． 故选：B． 4．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）二进制数与七进制数的和，写成八进制的数应为，括号内应填_______． 【答案】130 【分析】先将二进制数和七进制数分别转化为十进制数，计算二者的和后，再将得到的十进制和转化为八进制数即可. 【详解】解： ； ； ， ，，，将余数从高位到低位排列， . 5．（25-26七年级上·四川达州·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是8，第1次输出的结果是5，依次继续下去，……，第2028次输出的结果是________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的运算、数字规律的探究以及周期问题的求解，熟练掌握运算程序的规则并能找出循环周期是解题的关键． 先根据运算程序依次计算前几次的输出结果，找出循环规律，再用总次数除以循环周期，根据余数确定第2028次输出的结果． 【详解】解：第1次输出：； 第2次输出：； 第3次输出：； 第4次输出：； 第5次输出：； 第6次输出：； 第7次输出：； 第8次输出：； 第9次输出：； ．．． 从第4次开始，输出结果按，，循环，周期为3； ，余数为0，对应循环中的第3个数； 故答案为：4． 6．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的为2，则第1次输出的结果是0，第2次输出的结果是，第3次输出的结果是3，…，以此类推，第次输出的结果是___________． 【答案】 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：设输出的数为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得每6次输出的结果循环一次， 又，与的数字一致， ∴2026次输出结果为， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)29 (2) (3)存在，，理由见详解 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵a为负数， ∴； （3）解：存在，理由如下， ， ∵，， ∴，， 解得，，． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【答案】(1)19 (2)①；②说明见解析 【分析】本题考查了三进制数与十进制数的转换及对整除性质的理解． （1）根据三进制数转换为十进制数的规则，将三进制数的每一位数字乘以3的相应次幂，然后将结果相加； （2）同样根据转换规则将四位三进制数转换为十进制数，再分析其数字之和与该数能否被2整除的关系． 【详解】（1）解：由题意知， ， 故答案为：19． （2）解：①， 故答案为：； ②∵ ， 又∵能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除，即四位的三进制数能被2整除， ∴该结论正确． 9．（25-26七年级上·河南南阳·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算． 【详解】解： 10．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②8432 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算法则和数字规律探索，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意即可得出结果； （2）先对式子提一个，再运用所得规律即可求解； （3）①根据题意即可得出结果；②先将原式变为，再提一个4，最后运用所得规律求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：； （2）由题意可得， （3）①由题意可得，， 故答案为：； ②由题意可得， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题2.3 有理数的乘方『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+14个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 【人教版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数的乘方 2 知识点二 有理数的混合运算顺序 3 知识点三 科学记数法 3 知识点四 近似数 3 题型讲练 3 题型一 有理数幂的概念理解 3 题型二 有理数的乘方运算 3 题型三 有理数乘方逆运算 4 题型四 乘方运算的符号规律 4 题型五 乘方的应用 4 题型六 程序流程图与有理数计算 4 题型七 算"24”点 5 题型八 含乘方的有理数混合运算 5 题型九 计算器——有理数 6 题型十 用科学记数法表示绝对值大于1的数 6 题型十一 将用科学记数法表示的数变回原数 6 题型十二 求一个数的近似数 6 题型十三 求近似数的精确度 7 题型十四 近似数推断取值范围 7 中考真题演练 7 难度分层训练 9 【基础夯实】 9 【培优拔高】 11 知识点一 有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 知识点二 有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 知识点三 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 知识点四 近似数 1. 接近实际数值的数，叫作近似数． 2. 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示． 3. 一般地，一个近似数四舍五人到哪一位，就说这个数精确到哪一位．例如（精确到0.01，或叫作精确到百分位）． 题型一 有理数幂的概念理解 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·河北保定·期末）为了简便，可以将记为_____． 题型二 有理数的乘方运算 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式训练】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）转换为十进制：． 题型三 有理数乘方逆运算 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 【变式训练】（25-26七年级上·四川泸州·期中）若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型四 乘方运算的符号规律 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）若，则的值为_______． 【变式训练】（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 题型五 乘方的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）将厚0.1毫米的一张纸对折，再对折，这样对折4次后，这张纸厚( )毫米． 【变式训练】（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型六 程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，则最终输出的结果是______． 题型七 算"24”点 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 题型八 含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（24-25七年级上·云南昆明·期末）六进制数表示为十进制是（    ） A．457 B．445 C．2706 D．451 题型九 计算器——有理数 【典例精讲】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则显示器显示的结果为______． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）运用科学计算器进行计算，按键顺序为 ，则相应的算式为________，计算器显示的结果是________． 题型十 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段检测）是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）中国邮政定于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为______． 题型十一 将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【变式训练】（25-26七年级上·河南周口·期末）到2025年，我国某科技企业研发投入累计达元，这个数的原数是（    ） A．120000000 B．1200000000 C．12000000 D．12000000000 题型十二 求一个数的近似数 【典例精讲】（25-26七年级上·福建漳州·期中）古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________． 【变式训练】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）用四舍五入法取近似数：__________．（精确到千分位） 题型十三 求近似数的精确度 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）（1）把数字用科学记数法表示为________． （2）近似数精确到________位． 【变式训练】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）已知有以下几种说法：①数据1.35精确到百分位；②23456用科学记数法表示（精确到百位）为；③若一个数用科学记数法表示为，且该数精确到十位，那么它的原数可能是3045；④万用科学记数法表示，且精确到千位为，下列说法不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型十四 近似数推断取值范围 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段检测）近似数是由数a四舍五入得到的，则数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025七年级上·湖南长沙·专题练习）一个三位小数，“四舍五入”后约是，这个三位小数最大是___________． 【真题演练1】（2025·河南洛阳·中考真题）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入x的值是6时，根据程序，第一次计算输出的结果是3，第二次计算输出的结果是，…，这样下去第2 026次计算输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·北京·中考真题）2025年5月，基于三进制逻辑的芯片研制成功，与传统的二进制芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．三进制是逢三进一，常用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1022记为，由，可得转换为十进制数是35（注：规定当时，）． 给出下面三个结论： ①将三进制数转换为十进制数为19； ②如果一个三进制数的末位数字能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除； ③如果一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【真题演练3】（2025·云南文山·中考真题）比较大小：_____98（填“＞”“＝”或“＜”）． 【真题演练4】（2025·四川成都·中考真题）任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是______；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为______． 【真题演练5】（2025·浙江金华·中考真题）小明与小红同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式 （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤． (2)请写出正确的解答过程． 【基础夯实】 1．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）下列说法：①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④0是最小的有理数；⑤数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑥近似数与的精确度相同；⑦近似数精确到千位；其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 4．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算_________． 5．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 6．（25-26七年级上·四川成都·期末）下面是2018-2022年我国每年实物商品网上零售额统计图． 可以看出全年实物商品网上零售额占社会消费品零售总额的比例除2020年至2021年有所减少外其他年份逐渐增加，其中2020年社会消费品零售总额大约为________万亿元（结果保留整数）． 7．（25-26七年级上·重庆江北·期末）计算： (1) (2) 8．（25-26七年级上·广西河池·期末）计算： (1)； (2)． 9．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为 万人； (2)七天假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 万人．游客人数最少的是10月 日，达到 万人； (3)请问该风景区在这八天内一共接待了多少游客？（结果精确到万） 10．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把各数连接起来． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 2．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 3．（25-26七年级上·福建厦门·期末）按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）二进制数与七进制数的和，写成八进制的数应为，括号内应填_______． 5．（25-26七年级上·四川达州·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是8，第1次输出的结果是5，依次继续下去，……，第2028次输出的结果是________． 6．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的为2，则第1次输出的结果是0，第2次输出的结果是，第3次输出的结果是3，…，以此类推，第次输出的结果是___________． 7．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 9．（25-26七年级上·河南南阳·期末）计算： 10．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $