2.2 有理数的乘法与除法（知识清单）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了有理数乘法与除法的知识体系。从有理数乘法法则（同号得正、异号得负，0乘任何数得0）及运算律（交换律、结合律、分配律）出发，引入倒数概念（定义、性质、求法），进而学习有理数除法法则（除以一个数等于乘其倒数，符号规则）及混合运算，形成从基础概念到运算技能的学习支架。 知识链路按“概念-性质-运算-应用”逻辑展开，每个知识点配有特别提醒和易错点分析（如负因数个数判符、倒数与相反数混淆）。题型覆盖运算、应用（阶梯电价、行程问题）、混合运算及新定义问题，通过实例培养运算能力，结合生活情境发展应用意识，帮助学生构建完整的有理数乘除认知框架。

第二章 有理数的运算 2.2 有理数的乘法与除法 🔷知识点一　有理数的乘法 1. 有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积； ②任何数同0相乘，都得0； ③几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数时，积是正数，负因数的个数是奇数时，积是负数。 2. 有理数乘法运算律： ①乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 ②乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 ③乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 ⚠️特别提醒 ①当用字母表示乘数时，“×”号可以写为“”或省略； ②在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果。 🔷 知识点二　倒数 1. 倒数：乘积是1的两个数互为倒数。 2. 倒数的性质： ①倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数； ②0没有倒数。 ③互为倒数的两个数的乘积一定是1，即，互为倒数，则；反之亦然。 3. 求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可： ①非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数； ②带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 ⚠️特别提醒 ①注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来； ②互为倒数的两个数的符号一定是相同的； ③倒数等于本身的数有：1、-1。 🔷 知识点三　有理数的除法 1. 有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：。 2. 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。 3. 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 4. 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 5. 有理数的加减乘除混合运算：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。 6. 有理数的和、差、积、商仍然是有理数。 易错点 1 多个非零数相乘，负因数个数判符失误 · 错例： · 错因：数错负因数个数，三个负因数为奇数个，积应为负数，误判为正数 · 规避方法：多个非零数相乘，逐一清点负因数个数，奇负偶正，先确定最终符号，再计算所有数绝对值的乘积 易错点 2 混淆倒数与相反数概念 · 错例：认为的倒数是，的倒数是 · 错因：混淆核心定义，相反数是和为0、符号相反，倒数是乘积为1、符号相同 · 规避方法：牢记定义：互为倒数⇔乘积为1、符号相同；互为相反数⇔和为0、符号相反，严格区分二者 易错点 3 除法变乘法时，漏变除数为倒数 · 错例： · 错因：违背除法法则，除以一个数等于乘它的倒数，误将除数直接相乘，未取倒数 · 规避方法：除法转乘法两步走：除号变乘号，除数变为自身倒数，被除数保持不变 易错点 4 有理数混合运算违背从左到右运算顺序，随意结合 · 错例： · 错因：乘除同级运算无括号时，必须从左到右依次计算，不能随意加括号结合 · 规避方法：同级乘除运算，无括号严格从左至右计算，如需简便运算，必须先统一转化为乘法再分组 易错点 5 乘除混合运算符号遗漏、混乱 · 错例： · 错因：多个符号参与运算，漏判负号个数，符号判断错误 · 规避方法：所有除法统一转为乘法后，数清负因数个数，按“奇负偶正”定符号，再计算数值 题型一：有理数的乘法运算 📝方法技巧 1. 符号规则：同号得正，异号得负，任何数乘0得0； 2. 多个数相乘：奇数个负数结果为负，偶数个负数结果为正，再乘绝对值； 3. 简便运算：活用乘法交换律、结合律、分配律，优先凑整、约分； 4. 特殊值：1乘任何数得原数，-1乘任何数得原数相反数。 1．（25-26九年级上·广东清远·期末）计算：（   ） A． B．6 C． D．5 2．计算：______． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算：． 题型二：有理数乘法的应用 📝方法技巧 1. 先定正负：增长、上升、收入为正，减少、下降、支出为负； 2. 核心逻辑：单一变化量×变化次数/数量，列出乘法算式； 3. 计算后结合实际场景解释结果含义。 1．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）人体的血液的质量约占人体的至之间．已知小红的体重为，则她体内的血液质量可能为（    ） A． B． C． D． 2．某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．某电动汽车原价300元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花______元． 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）为节约用电，某市实行阶梯电价：每月用电不超过180度，每度元；超过180度，超出部分每度0.6元． (1)小明家12月用电150度，应交电费多少元？ (2)小红家12月用电220度，应交电费多少元？ 4．（25-26六年级上·山东烟台·期末）某食品厂计划每天生产1000袋食品，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 (1)这周产量最多的一天比最少的一天多生产_________袋食品； (2)已知本周生产的食品全部在本周售出，生产这些食品的总成本为30000元，食品售价为8元/袋，且需缴纳本周销售总额的交易税，求本周的收益总额． 题型三：有理数的除法运算 📝方法技巧 1. 核心法则：同号得正，异号得负，除以一个不为0的数，等于乘它的倒数； 2. 运算步骤：先定符号，再将除法转化为乘法，约分计算； 3. 特殊规则：0除以任何非0数得0，0不能作为除数。 1．计算 得，则是（     ） A．2 B． C． D． 2．计算：________． 3．计算： __________． 4．（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：． 5．（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四：有理数除法的应用 📝方法技巧 1. 适用场景：平均分、求单位量、求变化速率、均分差值； 2. 核心公式：单位量=总变化量÷数量/次数； 3. 先定总量正负，再列式计算，最后解释实际意义。 1．甲跑100米用15秒，乙跑80米用13秒，则甲的速度比乙的速度（     ） A．快 B．慢 C．一样快 D．无法判断 2．（2026·黑龙江佳木斯·一模）龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 3．某冷冻厂的一个冷库现在的温度是，一批食品需要在下冷冻保存，如果该冷库每小时能降温，那么需要几小时才能降到这批食品所需的保存温度？ 题型五：有理数的加减乘除混合运算 📝方法技巧 1. 运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内（小→中→大）； 2. 同级运算：从左到右依次计算，不可跳步、乱序； 3. 优先简便运算：合理使用运算律，约分、凑整简化计算。 1．计算：得（     ） A． B． C． D． 2．计算： 3．计算：． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六：有理数加减乘除混合运算的应用 📝方法技巧 1. 通用步骤：定正负→梳理数量关系→列混合算式→规范计算→作答； 2. 常见模型：分段计费、涨跌变化、总量均分、收支结余问题； 3. 复杂问题拆分：先算乘除（倍数、均分），再算加减（累计变化）。 1．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其在我国、新能源汽车产量都大幅增加．阳阳家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如下表，以为标准，多于的部分记为正，不足的部分记为负，刚好的记为零． 第n天 1 2 3 4 5 6 7 路程 (1)这7天里第3天走的路程是 ，路程最多的一天比最少的一天多走 ； (2)请求出阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了多少？ 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某种篮球的标准质量是，检查5个这种篮球的质量，把超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数，检查结果如表： 篮球的编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差（g） (1)最接近标准质量的是___________号篮球； (2)求这5个篮球的平均质量． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）近年来，我国的新能源汽车产销量大幅增加．王老师购置了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶__________． (2)若该新能源汽车每行驶耗电量15度，每度电为0.56元，求王老师这7天开新能源汽车的电费． 4．（25-26七年级上·广东汕头·期末）快递员王师傅骑电动车沿某条东西向道路配送快递，约定向东为正方向．某天王师傅从快递站出发，当天配送快递的行程记录（单位：）如下： ． (1)王师傅最后所在的位置在快递站的哪个方向？距快递站多少千米处？ (2)如果电动车行驶耗电0.02度，那么这天电动车共耗电多少度？ 5．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）某中学食堂一周计划采购大米350千克，平均每天采购50千克．实际每天采购量与计划量相比有出入，如表记录了上周的采购情况（超出计划采购量为正，不足计划采购量为负，单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量相比的差值 (1)采购量最多的一天比采购量最少的一天多采购_____千克； (2)食堂与大米供应商签订每周采购协议，大米的基础采购成本为每千克4元．若实际采购量超出计划采购量，超出部分食堂每千克可享受0.5元的优惠；若未完成计划采购量，不足部分食堂每千克需多支付0.5元的违约金．该食堂上周采购大米的总费用是多少？ 题型七：有理数运算中的新定义问题 📝方法技巧 1. 抓核心：严格照搬题目定义的运算规则，不套用常规运算规律； 2. 代入步骤：找准对应字母、位置，将数值代入新公式； 3. 按常规有理数混合运算顺序计算，分步解题，不跳步。 1．若定义新运算：，请利用此定义计算的值为（　　） A．116 B． C．216 D． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）现定义某种新运算：对任意两个有理数a，b，有，那么（    ） A．4 B． C．8 D． 3．新趋势．新定义  对于任意四个有理数，，c，d定义新运算：，则的值为_____． 4．在有理数范围内，定义三个数之间的一种新运算：“”，定义；例如：．请根据以上定义解答下列问题： (1)计算：； (2)若，，，求． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 2.2 有理数的乘法与除法 🔷知识点一　有理数的乘法 1. 有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积； ②任何数同0相乘，都得0； ③几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数时，积是正数，负因数的个数是奇数时，积是负数。 2. 有理数乘法运算律： ①乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 ②乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 ③乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 ⚠️特别提醒 ①当用字母表示乘数时，“×”号可以写为“”或省略； ②在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果。 🔷 知识点二　倒数 1. 倒数：乘积是1的两个数互为倒数。 2. 倒数的性质： ①倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数； ②0没有倒数。 ③互为倒数的两个数的乘积一定是1，即，互为倒数，则；反之亦然。 3. 求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可： ①非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数； ②带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 ⚠️特别提醒 ①注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来； ②互为倒数的两个数的符号一定是相同的； ③倒数等于本身的数有：1、-1。 🔷 知识点三　有理数的除法 1. 有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：。 2. 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。 3. 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 4. 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 5. 有理数的加减乘除混合运算：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。 6. 有理数的和、差、积、商仍然是有理数。 易错点 1 多个非零数相乘，负因数个数判符失误 · 错例： · 错因：数错负因数个数，三个负因数为奇数个，积应为负数，误判为正数 · 规避方法：多个非零数相乘，逐一清点负因数个数，奇负偶正，先确定最终符号，再计算所有数绝对值的乘积 易错点 2 混淆倒数与相反数概念 · 错例：认为的倒数是，的倒数是 · 错因：混淆核心定义，相反数是和为0、符号相反，倒数是乘积为1、符号相同 · 规避方法：牢记定义：互为倒数⇔乘积为1、符号相同；互为相反数⇔和为0、符号相反，严格区分二者 易错点 3 除法变乘法时，漏变除数为倒数 · 错例： · 错因：违背除法法则，除以一个数等于乘它的倒数，误将除数直接相乘，未取倒数 · 规避方法：除法转乘法两步走：除号变乘号，除数变为自身倒数，被除数保持不变 易错点 4 有理数混合运算违背从左到右运算顺序，随意结合 · 错例： · 错因：乘除同级运算无括号时，必须从左到右依次计算，不能随意加括号结合 · 规避方法：同级乘除运算，无括号严格从左至右计算，如需简便运算，必须先统一转化为乘法再分组 易错点 5 乘除混合运算符号遗漏、混乱 · 错例： · 错因：多个符号参与运算，漏判负号个数，符号判断错误 · 规避方法：所有除法统一转为乘法后，数清负因数个数，按“奇负偶正”定符号，再计算数值 题型一：有理数的乘法运算 📝方法技巧 1. 符号规则：同号得正，异号得负，任何数乘0得0； 2. 多个数相乘：奇数个负数结果为负，偶数个负数结果为正，再乘绝对值； 3. 简便运算：活用乘法交换律、结合律、分配律，优先凑整、约分； 4. 特殊值：1乘任何数得原数，-1乘任何数得原数相反数。 1．（25-26九年级上·广东清远·期末）计算：（   ） A． B．6 C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握其运算法则是关键，根据两个负数相乘，结果为正数即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 2．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”． （1）根据有理数乘法法则求解即可； （2）根据有理数乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． ． 4．计算：． 【答案】 【分析】利用有理数乘法分配律进行计算即可，注意不要漏乘，不要弄错符号． 【详解】解：原式 ． 题型二：有理数乘法的应用 📝方法技巧 1. 先定正负：增长、上升、收入为正，减少、下降、支出为负； 2. 核心逻辑：单一变化量×变化次数/数量，列出乘法算式； 3. 计算后结合实际场景解释结果含义。 1．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）人体的血液的质量约占人体的至之间．已知小红的体重为，则她体内的血液质量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用．分别计算与，即可知道小红体内血液质量所处的范围，根据选项即可作出判断． 【详解】解：由题意知，小红体内血液质量位于至之间， 由四个选项知，小红体内的血液质量可能为； 故选：C． 2．某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．某电动汽车原价300元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花______元． 【答案】144 【分析】根据折扣的含义，先算出全场八折后的价格，再在此基础上算出持会员卡打六折后的最终价格，通过乘法运算即可得到结果． 【详解】解：（元） 答：小明持会员卡购买这个电动汽车需要花144元． 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）为节约用电，某市实行阶梯电价：每月用电不超过180度，每度元；超过180度，超出部分每度0.6元． (1)小明家12月用电150度，应交电费多少元？ (2)小红家12月用电220度，应交电费多少元？ 【答案】(1)75元 (2)114元 【分析】（1）因为，所以利用每度元进行计算即可； （2）因为，所以先计算180度电的费用，再计算超过180度电的费用． 【详解】（1）解：因为， 所以应交电费（元）， 答：应交电费75元； （2）解：因为， 所以应交电费（元）， 答：应交电费114元． 4．（25-26六年级上·山东烟台·期末）某食品厂计划每天生产1000袋食品，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 (1)这周产量最多的一天比最少的一天多生产_________袋食品； (2)已知本周生产的食品全部在本周售出，生产这些食品的总成本为30000元，食品售价为8元/袋，且需缴纳本周销售总额的交易税，求本周的收益总额． 【答案】(1)200 (2)本周的收益总额为21480元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，找出这周产量最多的一天，这周产量最少的一天，再列式计算，即可作答． （2）先求出本周总产量，再结合食品售价为8元/袋，且需缴纳本周销售总额的交易税，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（袋）， ∴这周产量最多的一天比最少的一天多生产200袋食品； （2）解：本周总产量为：（袋）． ∵食品售价为8元/袋，且需缴纳本周销售总额的交易税， 则（元）． 因此本周的收益总额为21480元． 题型三：有理数的除法运算 📝方法技巧 1. 核心法则：同号得正，异号得负，除以一个不为0的数，等于乘它的倒数； 2. 运算步骤：先定符号，再将除法转化为乘法，约分计算； 3. 特殊规则：0除以任何非0数得0，0不能作为除数。 1．计算 得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，，， 故是． 2．计算：________． 【答案】6 【详解】解： ． 3．计算： __________． 【答案】 【详解】解： ． 4．（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先把除法化为乘法，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 5．（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 题型四：有理数除法的应用 📝方法技巧 1. 适用场景：平均分、求单位量、求变化速率、均分差值； 2. 核心公式：单位量=总变化量÷数量/次数； 3. 先定总量正负，再列式计算，最后解释实际意义。 1．甲跑100米用15秒，乙跑80米用13秒，则甲的速度比乙的速度（     ） A．快 B．慢 C．一样快 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据速度公式分别计算甲乙两人的速度，比较大小后即可得出结论． 【详解】解：∵速度公式为， ∴甲的速度 米/秒， 乙的速度 米/秒． ∵，即， ∴甲的速度比乙快． 2．（2026·黑龙江佳木斯·一模）龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 【答案】6 【详解】解：设工作总量为1，甲队效率为，乙队效率为，则两队合作效率为， 故合作需天． 3．某冷冻厂的一个冷库现在的温度是，一批食品需要在下冷冻保存，如果该冷库每小时能降温，那么需要几小时才能降到这批食品所需的保存温度？ 【答案】需要才能降到这批食品所需的保存温度 【分析】本题主要考查有理数除法的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列式进行求解即可． 【详解】解：由题意得：； 答：需要才能降到这批食品所需的保存温度． 题型五：有理数的加减乘除混合运算 📝方法技巧 1. 运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内（小→中→大）； 2. 同级运算：从左到右依次计算，不可跳步、乱序； 3. 优先简便运算：合理使用运算律，约分、凑整简化计算。 1．计算：得（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数混合运算的法则求解即可； 【详解】解：原式， ． 2．计算： 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，分别算出两部分的结果后再相加即可得到最终答案． 【详解】解： ． 3．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先计算括号的减法，再从左到右计算乘除法即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型六：有理数加减乘除混合运算的应用 📝方法技巧 1. 通用步骤：定正负→梳理数量关系→列混合算式→规范计算→作答； 2. 常见模型：分段计费、涨跌变化、总量均分、收支结余问题； 3. 复杂问题拆分：先算乘除（倍数、均分），再算加减（累计变化）。 1．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其在我国、新能源汽车产量都大幅增加．阳阳家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如下表，以为标准，多于的部分记为正，不足的部分记为负，刚好的记为零． 第n天 1 2 3 4 5 6 7 路程 (1)这7天里第3天走的路程是 ，路程最多的一天比最少的一天多走 ； (2)请求出阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了多少？ 【答案】(1)34；25 (2) 【分析】（1）用表格中第3天对应的数加上50，可求出第3天走的路程；用表格中最大的数减去最小的数，可求出路程最多的一天比最少的一天多走的路程； （2）用表格中的数之和再加上，可以求出这七天共行驶的路程． 【详解】（1）解：这7天里第3天走的路程是： ； 最多的一天比最少的一天多走的路程为： ； （2）解：阳阳家的新能源汽车这七天共行驶的路程为： ． 答：阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某种篮球的标准质量是，检查5个这种篮球的质量，把超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数，检查结果如表： 篮球的编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差（g） (1)最接近标准质量的是___________号篮球； (2)求这5个篮球的平均质量． 【答案】(1)3 (2)这5个篮球的平均质量为． 【分析】本题考查了绝对值、有理数四则运算的应用． （1）根据超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数，绝对值最小的最接近标准，可得最接近标准质量的球； （2）先求出这5个篮球的总质量，再除以5即可求解． 【详解】（1）解：，， 号篮球质量最接近标准质量， 故答案为：； （2）解： 答：这5个篮球的平均质量为． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）近年来，我国的新能源汽车产销量大幅增加．王老师购置了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶__________． (2)若该新能源汽车每行驶耗电量15度，每度电为0.56元，求王老师这7天开新能源汽车的电费． 【答案】(1)32 (2)王老师这7天开新能源汽车的电费为元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数减法的应用、有理数四则混合运算的应用，理解题意，正确列出运算式子是解题关键． （1）将表格中的最大数减去最小数即可得； （2）先求出王老师这7天开新能源汽车行驶的总路程，再求出总耗电量，然后乘以每度电的费用即可得． 【详解】（1）解：， 所以这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶， 故答案为：32． （2）解： （元）， 答：王老师这7天开新能源汽车的电费为元． 4．（25-26七年级上·广东汕头·期末）快递员王师傅骑电动车沿某条东西向道路配送快递，约定向东为正方向．某天王师傅从快递站出发，当天配送快递的行程记录（单位：）如下： ． (1)王师傅最后所在的位置在快递站的哪个方向？距快递站多少千米处？ (2)如果电动车行驶耗电0.02度，那么这天电动车共耗电多少度？ 【答案】(1)王师傅最后所在的位置在快递站的东边，距快递站8 km处 (2)这天电动车共耗电1.44度 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的加法的应用，绝对值的性质， 对于（1），将各数相加根据有理数加法法则计算，并根据结果解答； 对于（2），求各数的绝对值，再相加，然后乘以每公里耗电量得出答案． 【详解】（1）解： ． 答：王师傅最后所在的位置在快递站的东边，距快递站处； （2）解： （km）， （度）． 答：这天电动车共耗电1.44度． 5．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）某中学食堂一周计划采购大米350千克，平均每天采购50千克．实际每天采购量与计划量相比有出入，如表记录了上周的采购情况（超出计划采购量为正，不足计划采购量为负，单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量相比的差值 (1)采购量最多的一天比采购量最少的一天多采购_____千克； (2)食堂与大米供应商签订每周采购协议，大米的基础采购成本为每千克4元．若实际采购量超出计划采购量，超出部分食堂每千克可享受0.5元的优惠；若未完成计划采购量，不足部分食堂每千克需多支付0.5元的违约金．该食堂上周采购大米的总费用是多少？ 【答案】(1)18． (2)1442元． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数四则运算的应用，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握有理数混合运算法则． （1）计算采购量最多的一天与采购量最少的一天的差即可； （2）根据题意求和，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，（千克）， 故答案为：18； （2）解：（千克）． 故上周实际采购量超出了计划采购量． （元）． 答：该食堂上周采购大米的总费用是1442元． 题型七：有理数运算中的新定义问题 📝方法技巧 1. 抓核心：严格照搬题目定义的运算规则，不套用常规运算规律； 2. 代入步骤：找准对应字母、位置，将数值代入新公式； 3. 按常规有理数混合运算顺序计算，分步解题，不跳步。 1．若定义新运算：，请利用此定义计算的值为（　　） A．116 B． C．216 D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了有理数的混合运算，利用新运算的规定列式运算即可．理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 解： ． 故选：D． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）现定义某种新运算：对任意两个有理数a，b，有，那么（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，涉及有理数的乘法和加法运算，解题的关键是正确理解定义． 根据新运算的定义，将和代入公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3．新趋势．新定义  对于任意四个有理数，，c，d定义新运算：，则的值为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，根据新定义代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：2． 4．在有理数范围内，定义三个数之间的一种新运算：“”，定义；例如：．请根据以上定义解答下列问题： (1)计算：； (2)若，，，求． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给定义进行求解即可； （2）根据题意先得出a、b、c的值，然后再代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $