2.2 探究与发现从数系扩充看有理数乘法法则（第18课时）学案2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦有理数乘法法则，通过“司汤达的困惑”数学史话导入，引导学生从小学正数乘法出发，借助观察算式规律延续、分配律自洽推导、现实模型验证等学习支架，探究“负负得正”的合理性，构建完整知识脉络。 资料特色在于融合数学史激发兴趣，通过“观察—猜想—验证—归纳”过程培养逻辑推理与数学抽象素养，现实模型（运动、负债）与分层习题结合提升应用意识，助力学生用数学眼光理解法则本质，适合深度教学。

探究与发现 ——从数系扩充看有理数乘法法则 （第18课时 · 精品探究课） 一、学习目标 【知识技能】通过探究活动，深入理解有理数乘法法则，特别是'负负得正'的合理性。 【数学思考】经历'观察—猜想—验证—归纳'的探究过程，发展合情推理能力和抽象思维。 【问题解决】能从数系扩充的角度解释有理数乘法法则的合理性，体会运算律自洽性原则。 【核心素养】通过探究有理数乘法法则的由来，发展数学抽象、逻辑推理素养，感受数学的严谨性与和谐美。 二、情境引入——司汤达的困惑 【数学史话】 法国著名作家司汤达（Stendhal）小时候很喜爱数学，但当老师教到'负负得正'这一法则时，他感到非常困惑。 他问老师：'一个人该怎样把10000法郎的债与500法郎的债相乘起来，才能得到5000000法郎的收入呢？' 老师无法给出让他满意的解释，只是说：'这是惯例，大家都这么认为。' 这个困惑伴随了司汤达很久，也让他一度对数学产生了怀疑。 今天，就让我们带着同样的疑问，一起探究'负负得正'背后的数学道理！ 【思考】我们已经知道： 正数×正数 = 正数 正数×0 = 0 引入负数后，乘法运算应该如何扩展呢？ 我们希望：有理数的乘法仍然满足小学学过的运算律（交换律、结合律、分配律）。 三、探究活动 探究一：从规律延续性看有理数乘法 【活动1】观察下面的算式，你发现了什么规律？ 第一组（第一个因数递减1）： 3 × 3 = 9 2 × 3 = 6 1 × 3 = 3 0 × 3 = 0 (-1) × 3 = ? (-2) × 3 = ? (-3) × 3 = ? 第二组（第二个因数递减1）： 3 × 3 = 9 3 × 2 = 6 3 × 1 = 3 3 × 0 = 0 3 × (-1) = ? 3 × (-2) = ? 3 × (-3) = ? 【发现】 • 当一个因数减少1时，积就减少另一个因数的值。 • 按照这个规律，我们可以推出： (-1)×3 = -3，(-2)×3 = -6，(-3)×3 = -9 3×(-1) = -3，3×(-2) = -6，3×(-3) = -9 【结论1】异号两数相乘 正数×负数 = 负数，负数×正数 = 负数 即：异号得负，并把绝对值相乘。 探究二：从分配律自洽性看负负得正 【活动2】我们都知道乘法分配律：a×(b+c) = a×b + a×c 如果这个运算律在有理数范围内仍然成立，那么： 计算：(-3) × [2 + (-2)] 算法一（先算括号内） 算法二（用分配律展开） (-3) × [2 + (-2)] = (-3) × 0 = 0 (-3) × [2 + (-2)] = (-3)×2 + (-3)×(-2) = -6 + ? 因为结果应该等于0 所以 (-3)×(-2) = 6 【结论2】同号两数相乘 要使分配律仍然成立，必须规定：负数×负数 = 正数 即：同号得正，并把绝对值相乘。 这就是'负负得正'的数学依据——为了保持运算律的自洽性！ 图1：数系扩充示意图——每次扩充都保持运算律不变 探究三：从现实模型看有理数乘法 【活动3】运动模型（数轴上的位移） 规定：向东为正方向，现在时刻为0，未来时间为正，过去时间为负。 ① 速度为正（向东），时间为正（未来） 例：速度+2m/s，时间+3s，位置 = (+2)×(+3) = +6m → 向东走6米，正确！ ② 速度为正（向东），时间为负（过去） 例：速度+2m/s，时间-3s（3秒前），位置 = (+2)×(-3) = -6m → 3秒前在西边6米处，正确！ ③ 速度为负（向西），时间为正（未来） 例：速度-2m/s，时间+3s，位置 = (-2)×(+3) = -6m → 向西走6米，正确！ ④ 速度为负（向西），时间为负（过去） 例：速度-2m/s，时间-3s（3秒前），位置 = (-2)×(-3) = +6m → 3秒前在东边6米处，合理！ 图2：有理数乘法的运动模型（数轴表示） 【活动4】负债模型 规定：收入为正，负债为负；现在之后的天数为正，现在之前的天数为负。 思考：(-100)×(-5) 表示什么意思？结果应该是正还是负？ 探究四：有理数乘法法则的完整归纳 根据以上探究，请你归纳有理数乘法法则： 类型 法则 举例 同号两数相乘 得正，并把绝对值相乘 (+3)×(+2)=+6，(-3)×(-2)=+6 异号两数相乘 得负，并把绝对值相乘 (+3)×(-2)=-6，(-3)×(+2)=-6 任何数与0相乘 都得0 a×0=0，0×(-5)=0 四、数系扩充的基本原则 图3：'负负得正'的三大合理性支柱 原则1：保持运算律的自洽性 数系扩充后，原来的运算律（交换律、结合律、分配律）在新数系中仍然成立。这是最核心的原则。 如果规定'负负得负'，那么分配律就会失效。因此，'负负得正'不是随意规定的，而是运算律自洽的必然要求。 原则2：保持运算的封闭性 数系扩充后，原来能进行的运算在新数系中仍然可以进行（即运算结果仍在新数系中）。 例如：在自然数集中，减法不封闭（2-5无法进行）；扩充到整数集后，减法就封闭了。 原则3：保持与现实模型的一致性 数学来源于生活，新的运算规则应该能在现实中找到合理的解释模型。 有理数乘法法则可以通过运动模型、负债模型、温度变化模型等多种现实模型得到验证。 五、课堂练习与思考 基础巩固 1. 计算（直接口答）： (1) (-5) × (-3) = (2) (-7) × 4 = (3) 0 × (-2024) = (4) (-2.5) × (-4) = (5) (-1) × (-1) = (6) (-1) × 2024 = 2. 判断对错（对的打'√'，错的打'×'）： (1) 两个负数相乘，积为正数。（ ） (2) 两个有理数相乘，积的符号只与负因数的个数有关。（ ） (3) 若ab > 0，则a > 0，b > 0。（ ） (4) 若ab = 0，则a = 0 且 b = 0。（ ） (5) 一个数乘以-1，等于这个数的相反数。（ ） 能力提升 3. 用分配律验证'负负得正'：计算(-2)×(-3)，请仿照探究二的方法， 利用 (-2)×[3+(-3)] = 0 来推导。 4. 探索：多个有理数相乘时，积的符号如何确定？ (1) (-1)×2×3×4 = (2) (-1)×(-2)×3×4 = (3) (-1)×(-2)×(-3)×4 = (4) (-1)×(-2)×(-3)×(-4) = 【发现】几个不是0的数相乘，负因数的个数是______时，积是正数； 负因数的个数是______时，积是负数。（填'奇数'或'偶数'） 这叫做'奇负偶正'原则。 拓展探究 5. 【思考题】为什么我们要规定'负负得正'？如果规定'负负得负'会怎样？ 请举例说明会出现什么矛盾。 6. 【开放题】除了运动模型和负债模型，你还能想到其他可以解释 '负负得正'的现实模型吗？试着写出来与同学交流。 六、数学文化长廊 【拓展阅读】负数的历史 • 中国是世界上最早认识和使用负数的国家。早在两千多年前的《九章算术》中， 就有关于正负数的记载，并提出了'正负术'——正负数的加减运算法则。 • 公元3世纪，我国数学家刘徽在《九章算术注》中明确给出了正负数的定义： '今两算得失相反，要令正负以名之。'意思是说，在计算过程中遇到具有 相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。 • 在西方，负数的接受经历了漫长而曲折的过程。直到17世纪，还有许多 数学家不承认负数是数，认为'负负得正'是荒谬的。 • 直到19世纪，随着整数理论的建立，负数才在数学中获得了牢固的地位。 负数的发展史告诉我们：数学概念不是凭空产生的，而是在解决问题的过程中 逐步形成和完善的。每一次数系的扩充，都是人类理性思维的伟大胜利！ 七、课堂小结 【一个法则】有理数乘法法则： 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘都得0。 【一个原理】数系扩充的核心原理：保持运算律的自洽性。 '负负得正'不是人为随意规定的，而是运算律一致性的必然结果。 【一种思想】化归与转化思想： 有理数乘法 → 先定符号，再算绝对值 → 转化为小学的正数乘法 【三种探究路径】 ① 算式规律延续性探究 ② 运算律自洽性推导 ③ 现实模型合理性验证 参考答案 基础巩固 1. (1) 15 (2) -28 (3) 0 (4) 10 (5) 1 (6) -2024 2. (1) √ (2) ×（还与正因数有关，实质是看负因数个数的奇偶） (3) ×（a和b也可能都小于0） (4) ×（至少有一个为0即可） (5) √ 能力提升 3. 证明： ∵ (-2)×[3+(-3)] = (-2)×0 = 0 （任何数乘0都得0） 又由分配律：(-2)×[3+(-3)] = (-2)×3 + (-2)×(-3) = -6 + (-2)×(-3) ∴ -6 + (-2)×(-3) = 0 ∴ (-2)×(-3) = 6 （-6加上6等于0） 即：负负得正。 4. (1) -24 (2) +24 (3) -24 (4) +24 【发现】偶数；奇数。（奇负偶正） 拓展探究（提示） 5. 如果规定'负负得负'，那么分配律就会失效。 例如：(-2)×(3+(-3)) = (-2)×0 = 0 但按分配律展开：(-2)×3 + (-2)×(-3) = -6 + (-6) = -12 ≠ 0，矛盾！ 6. 参考模型：温度变化模型（温度上升为正，下降为负；天数增加为正，减少为负） 例如：温度每天下降2度（-2度/天），那么3天前（-3天）的温度比今天高6度。 即：(-2)×(-3) = +6 学科网（北京）股份有限公司 $