专题08 指数函数（竞赛培优专项训练,8大题型+强基、竞赛真题）高一数学人教A版全国通用

专题08 指数函数 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 指数函数的概念定义及应用 题型05 比较幂的大小或解指数不等式 题型02 指数函数的图象 题型06 指数函数的实际应用 题型03 指数函数的定义域与值域 题型07 指数函数性质的综合应用 题型04 指数函数的单调性 题型08 与指数函数有关的新定义题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 指数函数的概念定义及应用 1．下列函数是指数函数的是 A． B． C． D． 2．“”是“为指数函数”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 考点二 指数函数的图象 4．已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 考点三 指数函数的定义域与值域 7．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如.若函数，则函数的值域为__________. 9．已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 考点四 指数函数的单调性 10．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 11．已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12.已知函数.若对于任意的都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点五 比较幂的大小或解指数不等式 13．已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 14．已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 15．已知函数，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 考点六 指数函数的实际应用 16．从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 17．某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位：℃）满足函数关系 （ 为自然对数的底数，， 为常数）.若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在20℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在30℃时的保鲜时间是 ______ 小时（保留一位小数）. 18．一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的． （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 考点七 指数函数性质的综合应用 19．已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．已知函数若函数存在3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 考点八 与指数函数有关的新定义题 22．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如： ， ，已知函数，则函数的值域是 A． B． C． D． 23．（多选）已知函数的定义域为，若对任意，存在唯一的，使得，则称是区间上的“可倒函数”，则下列说法正确的是（    ） A．函数是“可倒函数” B．若函数在定义域上为“可倒函数”，则的取值范围为 C．若在上是“可倒函数”，则 D．若存在正数，使得函数在定义域上是“可倒函数”，则的取值范围为 24．若函数满足：，有和同时成立，则称为“类直线函数”． (1)判断函数是否为“类直线函数”； (2)设函数， （ⅰ）若为“类直线函数”，求实数a的取值范围； （ⅱ）若，求证：当时，． 一、单选题 1．（2024·湖南邵阳高一竞赛）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东汕头高一上竞赛）若则函数的图象必不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·湖南长沙竞赛）设，，函数在区间上的最小值为，则a的取值范围为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 4．（2024·湖南邵阳二中竞赛）函数的图象大致形状为（    ） A．   B．   C．   D．   2、 填空题 5．（2024·四川宜宾数学联赛（初赛））已知函数f（x）＝x+1，g（x）＝2|x+2|+a若对任意x1∈[3，4]，存在x2∈[﹣3，1]，使f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是 . 6．（2026·广东汕尾高一下竞赛）方程的实数解为__________. 7．（2026·山东高三下竞赛）设非空集合满足.当时，，当时，，若函数为偶函数，则集合的元素个数最大可能值为_____. 8．（2026·北京高三下竞赛）设，则的最小值为_____． 9．（2024广东肇庆竞赛）高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，高斯函数应用范围很广，在自然科学､社会科学､数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.则函数的值域为 . 10．（2026·广东汕尾高一下竞赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 11．（2026·四川宜宾高一下竞赛）设x，y为实数，且满足，则________． 12．（2024·湖南邵阳二中竞赛）已知函数（且），若，是假命题，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题 13．（2024·北京大学强基计划）求上方程的解的个数. 14．（2024·湖南邵阳竞赛）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求的值域； (2)解不等式： 15．（2024·湖南邵阳竞赛）已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域． (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 指数函数 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 指数函数的概念定义及应用 题型05 比较幂的大小或解指数不等式 题型02 指数函数的图象 题型06 指数函数的实际应用 题型03 指数函数的定义域与值域 题型07 指数函数性质的综合应用 题型04 指数函数的单调性 题型08 与指数函数有关的新定义题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 指数函数的概念定义及应用 1．下列函数是指数函数的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数函数形如 ,所以选A 2．“”是“为指数函数”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义及充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】当时，为指数函数； 当为指数函数时，即，只需； 所以“”是“为指数函数”的充分不必要条件. 故选：C 3．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由指数函数定义结合的图象经过点可得，，据此可得答案. 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则， ∴. 故选：A. 考点二 指数函数的图象 4．已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性以及判断的范围，即可得解. 【详解】由的图象可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 5．（多选）函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分别取，，能得到ABD选项中图像，由定义域解得的值，排除C选项. 【详解】当时，，函数定义域为， ，函数为奇函数，图像关于原点对称， 时，且单调递减，可得A选项中的图像； 当时，，函数定义域为R，，函数为偶函数，图像关于轴对称， ，有，则，得，所以，即， 时，且单调递减，当时，函数有最大值，可得B选项中的图像； 令，，函数为指数函数，可得D选项中的图像； 函数，当时，函数定义域为R，当时，函数定义域为， C选项中的图像，函数定义域为，，得，此时的图像应为A选项中的图像，所以C选项中的图像不可能. 故选：ABD 6．已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 考点三 指数函数的定义域与值域 7．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合指数函数单调性可得对任意恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 即，且在内单调递增， 可得，即对任意恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 8．对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如.若函数，则函数的值域为__________. 【答案】 【分析】令，得到，转化为，利用二次函数的性质求得函数的值域为，得到函数的值域为，结合的定义，即可求解. 【详解】令，因为，可得，即， 则原函数，可转化为， 由二次函数的开口向上，对称轴为， 所以，， 所以函数的值域为，即函数的值域为， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以函数的值域为. 故答案为： 9．已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2). 【分析】（1）由函数有意义列出不等式，利用指数函数单调性求出定义域；再利用换元法，结合二次函数求出值域. （2）由给定条件可得的取值集合包含，换元并结合二次函数分类讨论求解. 【详解】（1）当时，， 由，得， 则，即，解得， 所以函数的定义域为； 令，则， 于是，所以函数的值域为. （2）设，则， 令， 由函数的值域为，得函数的值域包含， 当时，函数的图象开口向下，对称轴为，有最大值，不符合题意； 当时，值域为，包含，符合题意，则； 当时，函数的图象开口向上，对称轴为， 函数值域为，包含，符合题意，则， 所以m的取值范围是. 考点四 指数函数的单调性 10．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性结合复合函数单调性规则计算判断即可. 【详解】对于函数，令，即，解得或， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即函数的单调递减区间为. 故选：B 11．已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 12.已知函数.若对于任意的都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由对于任意的都有， 可知函数在R上单调递减. 由函数的图象关于直线对称， 知函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 二次函数的对称轴为. 若函数单调递减，必有，可得， 当时，不等式可化为， 在平面直角坐标系中画出函数的图象， 又由， 由图象可知不等式的解集为， 故实数的取值范围为. 故选：B 考点五 比较幂的大小或解指数不等式 13．已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】假设，则，即，而在上单调递减，则，同理，从而得出矛盾. 【详解】假设，则，即， 而在上单调递减，又，故， 同理，即， 而在上单调递减，又，故． 综上，假设不成立，故. 14．已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质，对原不等式进行等价化简，并根据条件求出函数在上的解析式，进而将不等式分类求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以对任意，都有，且. 于是 即. 因为当时，当时，，则， 故有， 由得或， 解得或. 综上，不等式的解集为. 故选：B 15．已知函数，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，即可判断的奇偶性与单调性，则不等式等价于，结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为， 令， 则的定义域为且， 所以为奇函数，又、、均在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以不等式， 即， 即，即， 等价于，解得， 所以不等式解集为. 故选：C 考点六 指数函数的实际应用 16．从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据已知分析第次倒出，剩下纯酒精为，再列不等式，结合指数函数的性质求参数值. 【详解】由题意，第一次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第二次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第三次倒出，剩下纯酒精为， ， 连续进行次后，第次倒出，剩下纯酒精为， 令，，故至少是4. 故选：A 17．某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位：℃）满足函数关系 （ 为自然对数的底数，， 为常数）.若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在20℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在30℃时的保鲜时间是 ______ 小时（保留一位小数）. 【答案】/ 【分析】依题意可得，两式相除求出，再代入计算可得. 【详解】由题意得， 两式相除得，所以. 当时，， 所以该食品在30℃时的保鲜时间约是小时. 故答案为： 18．一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的． （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 【答案】（1）；（2）5；（3）15． 【分析】（1）设每年砍伐面积的百分比为，由指数函数的性质列式求解； （2）由求解可得； （3）由求解可得． 【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为，则，解得； （2）设到今年为止，该森林已砍伐了年，则， ，，； （3）设今后最多还能砍伐年， 则， ，，． 答：（1）每年砍伐面积的百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年． 【点睛】思路点睛：本题考查指数函数的应用，解题关键是根据每年砍伐的百分比相同，设百分比为，那么年后，剩余量为．抓住这个模型，通过解指数方程、指数不等式可得． 考点七 指数函数性质的综合应用 19．已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问题进行解答. 【详解】函数， 令函数，即， ，故是奇函数， 因为是上的增函数， 所以是上的减函数，是上的减函数， 因此是上的减函数，也是上的减函数， 将代入不等式， 即，化简可得， 因为是奇函数，所以， 代入可得， 因为是减函数，，所以， 令，，故，， 是对勾函数，在上单调递增， 因此当时，，当时，， 即，则， 在上有解，即大于在上的下确界， 因此实数的取值范围是. 20．已知函数若函数存在3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先在平面直角坐标系中画出函数的大致图象，再令，由解得或，即与.要使存在3个不同的零点，结合图象可知须满足，即可得解. 【详解】当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且；当时，函数在区间上单调递增，其图象如图所示. 令，则，解得. 由函数存在3个不同的零点， 可得，解得. 故选：D. 21．已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于的等式，解之即可； （2）当时，由化简得出，利用指数函数的单调性解之即可； （3）当，时，利用复合函数法分析函数在上的单调性，并求其最大值，于是得出，再利用参变量分离法得出，等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，结合函数单调性与基本不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为是偶函数，所以对任意，都有， 即，化简得， 即对任意的恒成立，故，所以. （2）当时，， 由得，化简得， 因为，所以，可得，解得. （3）当，时，. 设，， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得， 所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值， 函数在区间单调递增，有最大值， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 考点八 与指数函数有关的新定义题 22．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如： ， ，已知函数，则函数的值域是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果. 【详解】函数， 当时，； 当时，； 当时，， 函数的值域是，故选D. 23．（多选）已知函数的定义域为，若对任意，存在唯一的，使得，则称是区间上的“可倒函数”，则下列说法正确的是（    ） A．函数是“可倒函数” B．若函数在定义域上为“可倒函数”，则的取值范围为 C．若在上是“可倒函数”，则 D．若存在正数，使得函数在定义域上是“可倒函数”，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】设函数的值域分别为，由题意可知，若是区间上的“可倒函数”，即，所以对于A选项，取，求解即可；对于B选项，由以及函数的单调性求解，再利用基本不等式求解即可；对于C选项，利用单调递减以及求解即可；对于D选项，结合新概念确定函数的单调性，再推出矛盾即可. 【详解】设函数的值域分别为，由题意可知，若是区间上的“可倒函数”，即. 对于A，的定义域为， 令，则，由，即， 得，即，即， 判别式，方程无解， 所以不是“可倒函数”，A错误； 对于B，函数在定义域上为“可倒函数”，由严格递增， 所以对于任意的，的取值范围为，因为“可倒函数”，所以，所以， 所以的取值范围为，所以， 故，即，故，解得， 通过基本不等式，解得，即， 当且仅当时，等号成立，又因为，所以，且， 所以的取值范围为，故B正确； 对于C，当时，单调递减，此时其值域为， 由“可倒函数”定义可知，其值域不包含0，则， 从而在时的值域为， 由题意，所以要满足题意，还需满足，解得，C正确； 对于D，由题意，函数在定义域上连续， 若该函数不单调，则存在，使得， 对于,存在不等实数，使得,不满足可倒函数的定义； 所以单调，又，若单调递减，则当时，， 则对于任意的,不合题意； 同理若单调递增，则当时，， 则对于任意的,不合题意； 所以满足题意的k不存在，D错误． 故选：BC． 24．若函数满足：，有和同时成立，则称为“类直线函数”． (1)判断函数是否为“类直线函数”； (2)设函数， （ⅰ）若为“类直线函数”，求实数a的取值范围； （ⅱ）若，求证：当时，． 【答案】(1)是 (2) （ⅰ） （ⅱ）由（ⅰ）知若，为“类直线函数”，且， 当时，． 由“类直线函数”可知 即 所以，不等式得证． 另解：当，，则． 要证，即证，等价于，（*） 因为，所以，， 所以（*）式得证，原不等式得证． 【分析】（1）根据“类直线函数”的定义进行判断； （2）（ⅰ）由为“类直线函数”知，对，及恒成立，通过参变分离可求得的取值范围； （ⅱ）由（ⅰ）知若，为“类直线函数”，从而利用函数的性质可得证. 【详解】（1）当，时，，， 又， 所以是“类直线函数”． （2）（ⅰ）当时，由恒成立，又，所以． 由，得 ， 即， 整理可得, 即， ，， 故，， 所以， 综上可知，a的取值范围是． （ⅱ）略． 一、单选题 1．（2024·湖南邵阳高一竞赛）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在定义域上是增函数，所以， 因为在定义域上是减函数，所以， 所以,即. 故选：A. 2．（2025·广东汕头高一上竞赛）若则函数的图象必不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】试题分析：令，则的图像如图所示， 不经过第二象限，故选B. 3．（2025·湖南长沙竞赛）设，，函数在区间上的最小值为，则a的取值范围为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 【答案】B 【解析】，故，因为为单调函数，由零点存在性定理得：，解得：或， 故选：B． 4．（2024·湖南邵阳二中竞赛）函数的图象大致形状为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】当时，； 当时，， 所以时函数是减函数， 时函数是增函数，且图象是的部分关于轴的对称图形. 故选：D. 2、 填空题 5．（2024·四川宜宾数学联赛（初赛））已知函数f（x）＝x+1，g（x）＝2|x+2|+a若对任意x1∈[3，4]，存在x2∈[﹣3，1]，使f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是 . 【答案】（﹣∞，3] 【解析】若对任意，，存在，，使， 可得， 由在，递增，可得的最小值为（1）， 在，上递减，在，递增，可得的最小值为， 所以，解得． 即的取值范围是，． 6．（2026·广东汕尾高一下竞赛）方程的实数解为__________. 【答案】 【分析】由指数的运算和指数、对数的转化即可求解. 【详解】原方程可化为， 即， 所以，即， 所以. 7．（2026·山东高三下竞赛）设非空集合满足.当时，，当时，，若函数为偶函数，则集合的元素个数最大可能值为_____. 【答案】3 【分析】根据偶函数图象的对称性可求集合中元素的最大可能值. 【详解】若，对任意实数x均有. 若，且，则仅当. 另外，存在两个实数，使得，. 考虑实数，当时，或均使得. 当时，若，则由，有且， 所以.故集合的元素数量最多可能为3. 8．（2026·北京高三下竞赛）设，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数函数值域及基本不等式求出最小值. 【详解】令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 9．（2024广东肇庆竞赛）高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，高斯函数应用范围很广，在自然科学､社会科学､数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.则函数的值域为 . 【答案】 【解析】令， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以函数的值域为. 故答案为： 10．（2026·广东汕尾高一下竞赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据函数奇偶性定义及反函数的性质得出是上单调递减的奇函数，再将问题转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】因为，所以是上的奇函数， 又因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，且的值域为， 所以也是在上单调递减的奇函数， 因为，所以， 所以不等式可化为， 所以，解得或， 故原不等式的解集为． 11．（2026·四川宜宾高一下竞赛）设x，y为实数，且满足，则________． 【答案】2 【分析】构造函数，分析判断其单调性与奇偶性，从而由题设条件得到，从而求得的值. 【详解】依题意，设，其定义域为， 因为，在上单调递增，所以在上单调递增， 为奇函数， ， ， 即， ， 因为在上单调递增，所以，即有. 故答案为：2. 12．（2024·湖南邵阳二中竞赛）已知函数（且），若，是假命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】对进行分类讨论，由函数的单调性、分离参数法、存在量词命题的真假性等知识求得正确答案. 【解析】因为， 若，由于单调递减，则在R上单调递增； 若，由于单调递增，则在R上单调递减， 又，故， 因为，是假命题， 故，恒成立为真命题， 即不等式对恒成立， 当时，，即在恒成立， 设，即在恒成立． 由于对勾函数在单调递减，在单调递增， 因为，因此； 当时，， 即在恒成立， 当时，函数有最小值， 即，又因为，故．综上可知：或． 三、解答题 13．（2024·北京大学强基计划）求上方程的解的个数. 【答案】 【解析】一方面，假设原方程有一个满足的根，则. 令，则. 对，有，故； 对，有，故. 所以对，都有，从而由知，矛盾. 所以无解， 故原方程的解，只有满足，即，直接验证即知都是原方程的解. 所以原方程一共有个解. 14．（2024·湖南邵阳竞赛）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求的值域； (2)解不等式： 【解析】（1）由题意可知，，解得，则， 经检验，恒成立， 令，则， 函数在单调递增， 函数的值域为 （2）由（1）得，则 ， ， ， 不等式的解集为. 15．（2024·湖南邵阳竞赛）已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域． (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【解析】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 所以，得， 所以，，得； （2）由（1）得， ， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以函数的值域为； （3）由（1）得， 令， 因为在上递增，所以在上递减， 所以在上递增， 因为函数在上的值域为， 所以， 所以， 因为，所以关于的方程有两个不相等的正实根， 所以，解得， 即的取值范围为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $