专题05 函数的性质（竞赛培优专项训练,11大题型+强基、竞赛真题）高一数学人教A版全国通用

**基本信息** 聚焦函数单调性、奇偶性等核心性质，通过分层训练构建从基础定义到竞赛综合的逻辑体系，强化推理与模型应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A组考点过关|11题型（含证明/判断/求参）|基础方法训练，覆盖性质应用全场景|从定义推导到性质应用，单一性质到综合应用| |B组竞赛真题|15道强基/竞赛题|新定义与多性质综合，突出创新与迁移|结合周期性等拓展，构建竞赛解题思维链|

专题05函数的性质 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 利用定义证明函数的单调性 题型07 函数奇偶性的应用 题型02 函数单调性的判断 题型08 函数奇偶性与单调性的综合 题型03 由函数的单调性求参 题型09 函数的周期性（拓展） 题型04 函数单调性的应用 题型10 函数性质的综合应用 题型05 函数奇偶性的判断与证明 题型11 函数的新定义题 题型06 利用函数的奇偶性求参 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 利用定义证明函数的单调性 1.判断函数的单调性并证明． 2．已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 3．已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 考点二 函数单调性的判断 4．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 6．若定义在上的函数满足则的单调递增区间为__________. 考点三 由函数的单调性求参 7．设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则“”是单调函数”是“”的（ ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 9．已知函数． （1）若，则的定义域是___________； （2）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是___________． 考点四 函数单调性的应用 10．已知函数，则关于的不等式的解集为 A． B． C． D． 11．（多选）设，若满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 12．已知定义在上的函数满足:①在上为增函数;若时，成立，则实数的取值范围为______． 考点五 函数奇偶性的判断与证明 13．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 14．已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 15．已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 考点六 利用函数的奇偶性求参 16．已知函数为偶函数，则（    ） A． B．0 C． D．1 17．已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 18．已知函数为奇函数，则________. 考点七 函数奇偶性的应用 19．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 20．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（   ） A．3 B．5 C．9 D．10 21．（多选）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（     ） A．是周期为2的周期函数 B．的图象关于对称 C．当时 D． 考点八 函数奇偶性与单调性的综合 22．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并给出证明； (3)判断函数在上的单调性，并解不等式： 23．已知函数． (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意的，都有，求实数k的取值范围． 24．已知函数. (1)当=0时，函数的值域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)当时，的最大值为，求实数的范围. 考点九 函数的周期性（拓展） 25．（多选）已知偶函数的定义域为R，且当时，，当时，，则以下结论正确的是（    ） A．是周期函数 B．任意 C． D．在区间上单调递增 26．为定义在上的奇函数，且，当时，，则________． 27．若函数的定义域为，且为奇函数，，则______． 考点十 函数性质的综合应用 28．（多选）已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有． 当时，恒成立，则（    ） A． B．在上是单调函数 C．有三个零点 D．当时， 29．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，当时，，给出以下四个结论： ①； ②函数在上是减函数，在上是增函数； ③函数的最大值是1，最小值是0； ④是函数的一个对称轴； 其中所有正确结论的序号是__________. 30．已知定义在上奇函数，且当时，满足，且当时，，则_________． 考点十一 函数的新定义题 31．若两点关于点成中心对称，则称为一对“相关点”，同时把和视为同一对“相关点”. 已知图像上有两对“相关点”，则等于（   ） A． B． C． D． 32．若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，那么当时，______；函数在上的“倒值区间”为______． 33．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. (1)已知，试判断是否为“类函数”? (2)若是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； (3)若为“类函数”，求实数m的取值范围. 一、单选题 1．（2024·厦门大学强基计划），若对任意，恒成立，则ab可能的最值为（    ） A． B．4 C． D．1 【答案】D 【分析】转化为，根据二次函数配方求最值，再分析等号成立条件即可得解. 【详解】因为， 所以， 故， 当，，即或时， 也即或时等号成立. 故选：D 2．（2025·山东青岛高二下竞赛）已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据为奇函数，得，然后根据为偶函数，得，然后通过对进行赋值进行求解即可. 【详解】由于为奇函数，可得：， 令，得：，解得：； 又为偶函数，则， 令，得：. 故选：A 3.（2024·湖南“同济大学杯”高一联赛）已知函数的定义域为，且 ，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换的方法，推出函数的对称中心，进而推出其周期，再结合赋值法求得，结合函数的周期性，即可求得答案. 【详解】由题意知函数的定义域为，且，， 令，则，即，故为偶函数； 又，令，则， 又由，得， 即的图象关于点成中心对称，则； ，即，又结合为偶函数， 则，故，即4为的周期， 故， 故 ， 故选：D 【点睛】方法点睛：（1）涉及到抽象函数的求值问题，一般利用赋值法，即令x取特殊值，求得函数值；（2）涉及抽象函数的奇偶性、单调性、对称性以及周期性问题，往往利用变量代换结合相关定义进行推导. 4．（2024·全国“鱼塘杯”竞赛）已知是定义在上单调递增且图像连续不断的函数，且有，设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性的定义和性质以及利用反证法证明不等式，结合选项先证明，再根据，可得，构造函数，根据函数单调性即可得出结论. 【详解】得到， 因为单调递增，所以不恒等于，故， 因为在上单调递增，故， 若存在使得，则， 则恒等于1，与单调递增矛盾，故， ，若存在，使得 因为连续，，故存在，使得， 与上述矛盾，故, 对于本题，，当且仅当时取等， 因为单调递增，故不取等号，即 当时，有，即， 当时，令，, 因为单调递减，所以单调递增， 因为，所以，单调递增， 因为，， 所以，所以. 综上所述. 故选：D. 5．（多选）（2024·河南灵宝市精英对抗赛）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．在定义域内单调递增 C．有2个零点 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，导数与函数的单调性的关系，以及零点的求法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数，可得定义域为关于原点对称， 又由，所以函数为奇函数，所以A正确； 对于B中，由，所以为单调递增函数， 所以函数在，单调递增，所以B错误； 对于C中，令，即，解得，所以C正确； 对于D中，例如：当时，，所以D不正确. 故选：AC. 6．（2024·全国“英才杯”竞赛）已知与轴有四个不同的非零交点，且每相邻两个交点之间的距离都相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性得到，然后列方程得到，最后求即可. 【详解】设四个非零交点的横坐标自左到右为， 由题意得函数为偶函数， 所以，所以， 所以， 则，即， 所以. 故选：C. 二、填空题 7．（2025·中国科技大学强基计划）已知，的值域为，则所有可能值为 ． 【答案】 【分析】首先得，分和两种情况讨论，在时，可对进一步分类讨论得函数单调性、值域情况，从而可列方程组求解，同理可得时的情况. 【详解】的对称轴为，开口向下， 在上单调递增，在上单调递减， 由题意，所以， 情形一：若， （i）当，可得值域为， 所以，可得,不合题意； 若，可得值域为， 所以，方程组无解， 若，时，可得在处取得最大值， 最小值在或处取得， 所以，解得， 若，可得（舍去，因为与矛盾）， 若，即，解得，（舍去，因为与矛盾）， 所以， 情形二：若，则，可得,不合题意. 8．（2024·南京大学强基计划）已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题目得到，从而，故，换元后得到结合基本不等式求出最值. 【详解】恒成立， ， ，， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 9．（2026·高三下北京强基计划）定义域为的函数的图像绕原点逆时针旋转后与自身重合，则不动点的个数为________． 【答案】 【分析】先由函数的不动点的定义可知不动点为，分和两种情况讨论，并结合函数的旋转性质可得. 【详解】因为函数的不动点是满足的点，即函数图象与直线的交点称为函数的不动点. 若点在函数的图像上，绕原点逆时针旋转后的点也一定在原图像上，即. ①对原点处的点，逆时针旋转两次后得到点，该点仍在图像上， 由函数定义（一个对应唯一一个）得：，故， 因此一定是函数的不动点（满足）. ②设是函数的非零不动点，即. 将点逆时针旋转得点，故； 再逆时针旋转得点，故. 由函数的定义知，同一个只能对应唯一一个，因此，得，与矛盾， 所以函数不存在非零不动点. 综上所述，函数的不动点只有原点，个数为. 10．（2026·高三下山东竞赛）设非空集合满足.当时，，当时，，若函数为偶函数，则集合的元素个数最大可能值为_____. 【答案】3 【分析】根据偶函数图象的对称性可求集合中元素的最大可能值. 【详解】若，对任意实数x均有. 若，且，则仅当. 另外，存在两个实数，使得，. 考虑实数，当时，或均使得. 当时，若，则由，有且， 所以.故集合的元素数量最多可能为3. 11．（2026·高一下四川宜宾竞赛）已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，，恒成立.设，，，则，，的大小关系是__________. 【答案】 【分析】先根据的值的特征构造函数，进而分析函数的单调性及奇偶性，进而可判断函数值的大小. 【详解】因为，，，令. 由已知， 当时，，因此，所以在上是增函数. 因为已知是上的奇函数，， 所以，因此是定义域为的偶函数， 由偶函数单调性可得：在上是减函数. 因为， ， ， 因为，且在上递减，所以. 所以. 12．（2026·高三下贵州竞赛）已知函数在定义域上单调递减，，恒成立，则函数的最小值是_____________________． 【答案】8 【分析】根据已知条件求出的解析式，通过换元法，结合二次函数的性质及反比例函数的性质求解． 【详解】因为，恒成立，将换成得 ， 两式比较，得， 又因为在定义域上单调递减，所以 故或， 由在定义域上单调递减，而在区间内单调递增，不符合题意； 在区间内单调递减，故， 的定义域， 令，则，故，解得， ，开口向下，对称轴为， 故的最大值为， 已知，是反比例函数，故取最大值时，取最小值， 故函数的最小值为． 三、解答题 13．（2025·东南大学强基计划）设是定义在上的单调函数，满足，求的值． 【答案】 【分析】设，构造函数赋值法计算得出或，结合函数值排除求解即可. 【详解】设，所以，所以， 所以，所以或， 当时，，在定义域内单调递增，所以，符合题意； 当时，，，不符合题意； 所以. 14．（2024·安徽阜阳高一竞赛）已知是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，从而得到关于、的方程组，解得即可； （2）按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可； （3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得. 【详解】（1）因为是定义域上的奇函数，且， 所以， 所以，解得，即． 经检验，是奇函数，满足题意，所以. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递减． 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递增． （3）由题意知， 令，则， 由（2）可知函数在上单调递减， ∴， 因为函数的对称轴方程为， ∴函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的，都有恒成立， ∴， 即，解得， 又∵，所以的取值范围是，则实数的最小值为． 15．（2026·四川宜宾数学竞赛）若函数满足：对于任意正数，都有，，且，则称函数为“函数”． (1)若，判断函数是否为“函数”，并证明你的结论； (2)若函数为“函数”，且，求证：对任意（为正整数），都有． 【答案】(1) 函数是为“函数”，理由如下： 对于函数，当时，， 又，，故函数是“函数”. (2) 函数为“函数”，故对于任意正数，都有，， 且， 令，得，即， 故对于任意的正整数和正数， 都有， 对任意（为正整数），可得，， 又，， 同理， . 【分析】（1）根据“函数”的定义判断即可； （2）根据定义，令可得，对于任意的正整数和正数，都有，进而可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05函数的性质 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 利用定义证明函数的单调性 题型07 函数奇偶性的应用 题型02 函数单调性的判断 题型08 函数奇偶性与单调性的综合 题型03 由函数的单调性求参 题型09 函数的周期性（拓展） 题型04 函数单调性的应用 题型10 函数性质的综合应用 题型05 函数奇偶性的判断与证明 题型11 函数的新定义题 题型06 利用函数的奇偶性求参 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 利用定义证明函数的单调性 1.判断函数的单调性并证明． 【分析】根据函数单调性的定义，分别在和上证明即可求解. 【详解】对任意，． 因为，所以，． 对任意，有， 从而，即； 对任意，有， 从而，即． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 2．已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增 【分析】（1）根据函数解析式直接求解定义域和值域； （2）结合指数函数的性质，利用定义法直接判断函数单调性即可. 【详解】（1）由，， 所以的定义域为， 又， 因为，所以，， 所以，， 即函数的值域为. （2）由（1）知，， ，则 ， 当时，单调递减，， 当时，单调递增，， 又因为， 所以当时，，即， 此时在上单调递减； 当时，，即， 此时在上单调递增. 3．已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上的值域为 【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式； （2）利用定义法证明的单调性，并求解值域. 【详解】（1）令，则，将其代入得 ，将替换为，得； （2）任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即 分母恒成立， 因此，即，所以在上单调递减。 由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得： 最小值在右端点处取得： 所以在上的值域为. 考点二 函数单调性的判断 4．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数真数大于0求出函数定义域，利用对数底数确定外层函数单调性，令，分析在定义域内的单调区间，最后利用复合函数单调性同增异减求出函数的单调区间． 【详解】对数的真数大于0， ，即，解得， 令，则， 的底数，时，单调递减， 函数是开口向下的二次函数，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减， 复合函数的单调性满足同增异减， 在上单调递减，在上单调递增，故D正确． 故选：D． 5．已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解判断即可. 【详解】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 6．若定义在上的函数满足则的单调递增区间为__________. 【答案】 【分析】当时可求得；当时，，由已知关系式可得到，由二次函数性质可得单调递增区间. 【详解】当时，，， 所以在上单调递增； 当时，，所以， 所以， 所以在上单调递增， 综上所述：的单调递增区间为， 故答案为：. 考点三 由函数的单调性求参 7．设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性求法，分析计算即可. 【详解】令，则， 当时，在R上单调递减， 当时，在R上单调递增， 由一次函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减， 因为在区间上单调递增，根据复合函数的单调性可知，且，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 8．已知函数，则“”是单调函数”是“”的（ ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】分析函数在不同区间上的单调性，再根据分段函数单调的条件确定的取值范围，最后再由充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，，对于指数函数，可得在上单调递增， 对于反比例函数在上单调递增，所以在上单调递增， 当时，，则，要使在上单调递增， 则在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为在上的最大值为，所以， 左段函数值全部小于等于处的函数值，即 ，解得， 所以”是单调函数的充要条件为，该集合是的真子集， 若时单调函数，则必然满足，充分性成立； 若，例如取，此时，但时，趋近于1时， ， 所以函数在处出现下降，不是单调函数，则必要性不成立， 故“”是单调函数”是“”的充分不必要条件. 9．已知函数． （1）若，则的定义域是___________； （2）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】（1）利用具体函数定义域求法即可得到的定义域； （2）分类讨论与两种情况，结合的取值范围与单调性即可得解. 【详解】（1）因为，，所以，即，故， 所以的定义域为； （2）当，即时，要使在区间上是减函数，需要在上是减函数，同时恒成立，即， 因为，即，所以在上是减函数显然成立，此时，则，得，故； 当，即时，要使在区间上是减函数，需要在上是增函数，同时恒成立， 所以，即，此时显然成立； 综上：或，即. 故答案为：；. 考点四 函数单调性的应用 10．已知函数，则关于的不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设g（x）=2018x+log2018（ +x）﹣2018﹣x， g（﹣x）=2018﹣x+log2018（﹣x）﹣2018x+=﹣g（x）； 又∵y=2018x﹣2018﹣x在R上为增函数， y=log2018（+x）在R上为增函数， ∴g（x）在R上单调递增； ∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4 ∴g（3x+1）＞g（﹣x）； ∴3x+1＞﹣x； 解得x＞﹣ ；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）． 故答案为C． 11．（多选）设，若满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用初等函数的性质，求得函数的单调性和值域，画出函数的图像，设，得到，求得，结合换元法和函数的单调性，求得函数的值域，即可求解. 【详解】当时，，可得在上单调递减，且值域为， 当时，， 若，可得，此时在上单调递减，且值域为， 若，可得，此时在上单调递增，且值域为， 画出函数的图像，如图所示， 设，则，其中，，， 由，可得；由，可得； 由，可得， 所以， 令，则且，代入可得， 因为在上为单调递增函数， 当时，，当时，，所以， 所以，结合选项，可得，即B、C、D选项符合题意. 12．已知定义在上的函数满足:①在上为增函数;若时，成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】分析条件①可得到函数的对称轴以及在上的单调性；利用对称轴将条件②转化成不等式恒成立问题，最后求出的范围. 【详解】根据题意，可知函数的图像关于直线对称， 因为其在上为增函数，则在上是减函数， 并且距离自变量离1越近，则函数值越小， 由可得，，化简得， 因为，所以， 所以该不等式可以化为， 即不等式组在上恒成立， 从而有，解得，故答案为. 【点睛】已知函数的对称轴和单调性的情况下，函数值之间的不等关系，可以转化成自变量之间的不等关系，利用这一特点也可以求解自变量中所含参数的范围问题. 考点五 函数奇偶性的判断与证明 13．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，或利用函数图像判断奇偶性即可. 【详解】（1）由得且，定义域关于原点对称， 所以，所以， 因为，所以为奇函数． （2）由，解得，其定义域不关于原点对称， 则是非奇非偶函数． （3）的定义域为，且关于原点对称． 因为，所以为偶函数． （4）解法1：的定义域关于原点对称， ， 即，则为偶函数． 解法2：画出的图象，    观察可知图象关于轴对称，则为偶函数． 14．已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上的值域为 【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式； （2）利用定义法证明的单调性，并求解值域. 【详解】（1）令，则，将其代入得 ，将替换为，得； （2）任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即 分母恒成立， 因此，即，所以在上单调递减。 由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得： 最小值在右端点处取得： 所以在上的值域为. 15．已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增 【分析】（1）根据函数解析式直接求解定义域和值域； （2）结合指数函数的性质，利用定义法直接判断函数单调性即可. 【详解】（1）由，， 所以的定义域为， 又， 因为，所以，， 所以，， 即函数的值域为. （2）由（1）知，， ，则 ， 当时，单调递减，， 当时，单调递增，， 又因为， 所以当时，，即， 此时在上单调递减； 当时，，即， 此时在上单调递增. 考点六 利用函数的奇偶性求参 16．已知函数为偶函数，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】把分为两个函数的乘积，利用奇函数的乘积为偶函数，求出及解析式，进而求出． 【详解】令，， 是奇函数， 函数为偶函数，令， 也是奇函数，即， ，解得，即， ， ，故A正确． 故选：A． 17．已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】由偶函数定义结合对数运算可得，进而整理可得，利用换元法令，根据题意结合分类讨论解决二次函数的最值问题. 【详解】因为函数是偶函数，则， 则，则， 所以，则， 所以， 令，当且仅当，即时取等号，则， 由题意可得的最小值为，因的对称轴为， 则当，即时，在上单调递增，当时取到最小值， 则，解得：； 则当，即时，，在上单调递减，在上单调递增，当时取到最小值， 则，解得：（舍去）， 综上所述：，故B正确. 故选：B. 18．已知函数为奇函数，则________. 【答案】 【分析】根据奇函数的定义，由列出关于与的方程，求解即得的值． 【详解】因为函数为奇函数， 当时,，由可得， 即 因是任意非零实数，则,解得,，故. 故答案为：. 考点七 函数奇偶性的应用 19．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，分、两种情况将不等式变形，结合函数的单调性即可得解. 【详解】构造函数，其中， 则，所以，函数为偶函数， 对任意的对任意、，且，都有， 不妨设，则，可得，即， 所以，函数在上为减函数，则该函数在上为增函数， 且，， 当时，由可得，可得； 当时，由可得，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 20．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（   ） A．3 B．5 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先求出的相关性质，再根据的性质讨论并求出零点的个数. 【详解】由，得， 又是奇函数，所以， 用取代，则， 故的最小正周期为2. 因为， 所以，， 当时，，无零点. 又是奇函数，所以当时，也无零点， 在一个周期上的零点分别为-1，0，1， 根据周期规律，所以在上有9个零点， 分别为0，1，2，3，4，-1，-2，-3，-4. 故选：C 21．（多选）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（     ） A．是周期为2的周期函数 B．的图象关于对称 C．当时 D． 【答案】BCD 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】由可得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A错误； 由和偶函数性质，得， 因此，图象关于直线对称，故选项B正确； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，，所以， 从而的值域为，在此区间上，所以， 故恒成立，选项D正确. 考点八 函数奇偶性与单调性的综合 22．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并给出证明； (3)判断函数在上的单调性，并解不等式： 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)函数在上单调递增；. 【分析】（1）解不等式即可得答案； （2）根据函数奇偶性的定义，结合对数运算法则得即可判断； （3）根据复合函数单调性判断，结合函数奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】（1）由，解得或， 所以函数的定义域为. （2）函数为奇函数.证明如下: 由（1）可知定义域关于原点对称， 对任意的，有， 所以函数为奇函数. （3）， 由于函数在上单调递减，在上单调递减， 故根据复合函数单调性，函数在单调递增. 由； 所以， 所以，整理得，即. 所以不等式：得解集为. 23．已知函数． (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意的，都有，求实数k的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数的定义证明出即可证明是奇函数. （2）利用单调性的定义，在定义域内任取，判断的大小关系，即可得出的单调性. （3）结合（1）（2）结论，利用函数的奇偶性和单调性，将不等式中函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而得到关于的不等式，再结合基本不等式以及的取值范围求出的取值范围. 【详解】（1）证明：由题意得，， 所以，即， 又， 所以为奇函数. （2）在上单调递增，证明如下： 由题意，，所以， 因为，令， 取且， 则， 所以，则， 即， 故在上单调递增. （3）由（1）得，， 若对任意的，都有， 则， 由（2）得在上单调递增， 所以， 则，即， 因为，当且仅当时取等号，所以， 又当时，所以， 故的取值范围为. 【点睛】本题综合考察了函数的基本性质，考生需熟练掌握函数单调性、奇偶性的定义，以及如何运用定义去证明单调性与奇偶性，（3）小问还考到了函数基本性质的综合运用，考生需熟练掌握运用函数基本性质解含参数不等式的问题. 24．已知函数. (1)当=0时，函数的值域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)当时，的最大值为，求实数的范围. 【答案】(1)R (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）此时，分类讨论去掉绝对值即可得答案； （2）判断与间关系可得答案； （3）分三种情况结合去掉绝对值，结合的最大值为可得答案. 【详解】（1）此时， 当时，，则此时； 当时，，则此时. 综上，当时，函数的值域为R； （2）由题，定义域为R. 则. 则时，，即为奇函数； 当时，为非奇非偶函数. （3）当时，因， 则， 则在上递增，则此时 令或（舍） 则满足题意； 当时，因， 则. 当时，注意到，则； 当时，注意到，则； 要使此时， 则或. 结合，可得； 当时，因， 则. 因，则，若时，则满足题意； 若时，则在上单调递增，则. 令，则不合题意. 综上，的范围是 【点睛】关键点睛：对于含有绝对值的函数，常利用分类讨论去掉绝对值；对于二次函数在给定区间上的最值问题，常通过讨论对称轴与给定区间的关系来解决问题. 考点九 函数的周期性（拓展） 25．（多选）已知偶函数的定义域为R，且当时，，当时，，则以下结论正确的是（    ） A．是周期函数 B．任意 C． D．在区间上单调递增 【答案】BCD 【分析】根据已知条件，求出时，；时，，再结合时，及偶函数的性质，对各选项逐一分析即可求解. 【详解】解：因为为R上的偶函数，所以， 又时，， 所以时，， 所以，， 当时，， 由题意，， 所以时，，， 因为时，，所以不是周期函数，故选项A错误； 因为为R上的偶函数，且时，， 所以任意，故选项B正确； 因为， 所以选项C正确； 因为，，所以，， 又当时，，， 所以由二次函数性质知在区间上单调递增，所以选项D正确， 故选：BCD. 26．为定义在上的奇函数，且，当时，，则________． 【答案】/ 【分析】依题意可得函数的周期为4，根据周期性与奇偶性计算可得答案. 【详解】由题意可知,又因为是上的奇函数满足， 所以,将换成，可得，所以周期． 因为是上的奇函数， 所以, 因为,所以, 又因为当时，，所以, 所以. 27．若函数的定义域为，且为奇函数，，则______． 【答案】 【分析】令，利用函数的奇偶性，运用换元法得出是周期为4的周期函数，再根据奇函数，得出，结合已知条件求出，最后利用函数的周期性求解． 【详解】令，则为奇函数，故， 即，故， 令，则， 又， 则， 故，即， 则，故是周期为4的周期函数； 由为奇函数，则， 故，解得， 由得， ， 故． 考点十 函数性质的综合应用 28．（多选）已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有． 当时，恒成立，则（    ） A． B．在上是单调函数 C．有三个零点 D．当时， 【答案】ACD 【分析】对于A，赋值即可判断；对于B，分别赋值、和求出和即可判断；对于C，探究在上的单调性，结合、和函数奇偶性即可判断；对于D，由函数单调性以及研究特殊值，，即可得解. 【详解】由题， 对于A：令，，所以A正确； 对于B：令， ，得； 令，，得， 令，，得，所以B不正确； 对于C：当时， ，得， 故，即 又即， 所以，设， 则， 因为，所以， ， 因为当时，恒成立， 所以，即， 故在上单调递增， 又，，且函数是上的奇函数， 所以，故有三个零点． 所以C正确； 对于D：当时， 因为在上单调递增，，，所以 ； 当时，因为，， ， ， ， 由奇函数在上单调递增，所以； 所以当时，.所以D正确. 故选：ACD． 【点睛】关键点睛：探究函数零点个数和根据函数值，求解变量的关键是巧妙赋值实现，从而结合奇偶性探究得出函数在R上的单调性. 29．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，当时，，给出以下四个结论： ①； ②函数在上是减函数，在上是增函数； ③函数的最大值是1，最小值是0； ④是函数的一个对称轴； 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【分析】先由 推出周期为 ，再结合偶函数性质逐一分析结论：①利用周期化简 ；②通过变量替换将区间 、 转化到已知区间 分析单调性；③计算 上的最值并推广到全体实数；④利用周期与偶函数验证对称轴. 【详解】由 ，得 ，故 的周期为 . ，故 ，①正确. 当 时，，结合偶函数与周期性， ，该函数在 上单调递减； 当 时，，， 该函数在 上单调递增，②正确. 当 时，单调递增， ，， 结合周期性与偶函数性质， 的最大值为 ，最小值为 ，③错误. 由 ，可知 是 的一条对称轴，④正确. 故答案为：①②④. 30．已知定义在上奇函数，且当时，满足，且当时，，则_________． 【答案】 【分析】根据函数的递推性质及奇偶性求出参数，再由函数解析式及递推关系得出即可得解. 【详解】因为当时，满足， 所以，即， 又函数为上的奇函数，所以， 即，解得，又，解得， 所以时，，所以， 由，， 所以，同理， 所以. 考点十一 函数的新定义题 31．若两点关于点成中心对称，则称为一对“相关点”，同时把和视为同一对“相关点”. 已知图像上有两对“相关点”，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，，其关于点对称的函数为，问题转化为与在上有两个交点，联立方程得到，再将问题转化为的图象与直线有两个交点，利用导数求出的单调区间，画出函数图象，结合图象求解即可. 【详解】当时，关于点对称的函数为， 由题知与在上有两个交点， 由消得到， 又，得到，即， 令，， 则的图象与直线有两个不同的交点， ，令， 则， 所以在上递增，即在上递增， 因为，所以当时，， 当时，，所以在上递减，在上递增， 所以，当时，， 所以其大致图象如图所示， 由图可知当时，的图象与直线有两个不同的交点， 因为，所以． 32．若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，那么当时，______；函数在上的“倒值区间”为______． 【答案】 【分析】由函数的奇偶性，通过时解析式，求得时解析式.由解析式得函数对称轴，并求函数最小值.讨论当时，由函数单调性列出方程，由配方法解得的值；当时，由函数最小值求得，找矛盾舍去；当时，由函数单调性列出方程，整理方程找到矛盾舍去. 【详解】当时，， 则， ∵，∴， 当时，，， 当时，函数在上单调递减， ∴，即是方程的两根， 整理，得，即， ∴，则或或， ∴，即为函数的一个“倒值区间”． 当时，函数在上的最小值为，即，，不满足，舍去， 当时，函数在上单调递增， 则，则两式相减得， 即，∵， ∴， 又∵，，∴，则，显然矛盾，舍去. 故函数在上的“倒值区间”为. 故答案为：， 33．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. (1)已知，试判断是否为“类函数”? (2)若是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； (3)若为“类函数”，求实数m的取值范围. 【答案】(1)不为“类函数” (2) (3) 【分析】（1）根据题意列式计算求出满足“类函数”定义不能得出的值即可判断； （2）根据题意将题设问题转化为在上有解分析求解即可； （3）根据对数函数的性质，得到对恒成立，求得，再由为“类函数”，得到存在实数，满足，分，和，三种情况讨论，结合函数的单调性和最值，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， 若在定义域内存在实数，满足， 可得，即，所以方程无解，所以不是“类函数”. （2）因为是定义在上的“类函数”， 所以存在实数，满足， 即方程在上有解， 令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当或时，；当时，， 所以，解得， 所以实数的最小值为. （3）由函数， 可得对恒成立，即对恒成立，所以， 若函数为其定义域上的“类函数”，则存在实数，满足， ①当时，，所以，所以， 因为函数在上是增函数， 当时，可得，所以； ②当时，，所以，矛盾； ③当时，，所以，所以， 因为函数在上是减函数， 当时，可得，所以； 综上所述，实数的取值范围是. 一、单选题 1．（2024·厦门大学强基计划），若对任意，恒成立，则ab可能的最值为（    ） A． B．4 C． D．1 【答案】D 【分析】转化为，根据二次函数配方求最值，再分析等号成立条件即可得解. 【详解】因为， 所以， 故， 当，，即或时， 也即或时等号成立. 故选：D 2．（2025·山东青岛高二下竞赛）已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据为奇函数，得，然后根据为偶函数，得，然后通过对进行赋值进行求解即可. 【详解】由于为奇函数，可得：， 令，得：，解得：； 又为偶函数，则， 令，得：. 故选：A 3.（2024·湖南“同济大学杯”高一联赛）已知函数的定义域为，且 ，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换的方法，推出函数的对称中心，进而推出其周期，再结合赋值法求得，结合函数的周期性，即可求得答案. 【详解】由题意知函数的定义域为，且，， 令，则，即，故为偶函数； 又，令，则， 又由，得， 即的图象关于点成中心对称，则； ，即，又结合为偶函数， 则，故，即4为的周期， 故， 故 ， 故选：D 【点睛】方法点睛：（1）涉及到抽象函数的求值问题，一般利用赋值法，即令x取特殊值，求得函数值；（2）涉及抽象函数的奇偶性、单调性、对称性以及周期性问题，往往利用变量代换结合相关定义进行推导. 4．（2024·全国“鱼塘杯”竞赛）已知是定义在上单调递增且图像连续不断的函数，且有，设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性的定义和性质以及利用反证法证明不等式，结合选项先证明，再根据，可得，构造函数，根据函数单调性即可得出结论. 【详解】得到， 因为单调递增，所以不恒等于，故， 因为在上单调递增，故， 若存在使得，则， 则恒等于1，与单调递增矛盾，故， ，若存在，使得 因为连续，，故存在，使得， 与上述矛盾，故, 对于本题，，当且仅当时取等， 因为单调递增，故不取等号，即 当时，有，即， 当时，令，, 因为单调递减，所以单调递增， 因为，所以，单调递增， 因为，， 所以，所以. 综上所述. 故选：D. 5．（多选）（2024·河南灵宝市精英对抗赛）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．在定义域内单调递增 C．有2个零点 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，导数与函数的单调性的关系，以及零点的求法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数，可得定义域为关于原点对称， 又由，所以函数为奇函数，所以A正确； 对于B中，由，所以为单调递增函数， 所以函数在，单调递增，所以B错误； 对于C中，令，即，解得，所以C正确； 对于D中，例如：当时，，所以D不正确. 故选：AC. 6．（2024·全国“英才杯”竞赛）已知与轴有四个不同的非零交点，且每相邻两个交点之间的距离都相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性得到，然后列方程得到，最后求即可. 【详解】设四个非零交点的横坐标自左到右为， 由题意得函数为偶函数， 所以，所以， 所以， 则，即， 所以. 故选：C. 二、填空题 7．（2025·中国科技大学强基计划）已知，的值域为，则所有可能值为 ． 【答案】 【分析】首先得，分和两种情况讨论，在时，可对进一步分类讨论得函数单调性、值域情况，从而可列方程组求解，同理可得时的情况. 【详解】的对称轴为，开口向下， 在上单调递增，在上单调递减， 由题意，所以， 情形一：若， （i）当，可得值域为， 所以，可得,不合题意； 若，可得值域为， 所以，方程组无解， 若，时，可得在处取得最大值， 最小值在或处取得， 所以，解得， 若，可得（舍去，因为与矛盾）， 若，即，解得，（舍去，因为与矛盾）， 所以， 情形二：若，则，可得,不合题意. 8．（2024·南京大学强基计划）已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题目得到，从而，故，换元后得到结合基本不等式求出最值. 【详解】恒成立， ， ，， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 9．（2026·高三下北京强基计划）定义域为的函数的图像绕原点逆时针旋转后与自身重合，则不动点的个数为________． 【答案】 【分析】先由函数的不动点的定义可知不动点为，分和两种情况讨论，并结合函数的旋转性质可得. 【详解】因为函数的不动点是满足的点，即函数图象与直线的交点称为函数的不动点. 若点在函数的图像上，绕原点逆时针旋转后的点也一定在原图像上，即. ①对原点处的点，逆时针旋转两次后得到点，该点仍在图像上， 由函数定义（一个对应唯一一个）得：，故， 因此一定是函数的不动点（满足）. ②设是函数的非零不动点，即. 将点逆时针旋转得点，故； 再逆时针旋转得点，故. 由函数的定义知，同一个只能对应唯一一个，因此，得，与矛盾， 所以函数不存在非零不动点. 综上所述，函数的不动点只有原点，个数为. 10．（2026·高三下山东竞赛）设非空集合满足.当时，，当时，，若函数为偶函数，则集合的元素个数最大可能值为_____. 【答案】3 【分析】根据偶函数图象的对称性可求集合中元素的最大可能值. 【详解】若，对任意实数x均有. 若，且，则仅当. 另外，存在两个实数，使得，. 考虑实数，当时，或均使得. 当时，若，则由，有且， 所以.故集合的元素数量最多可能为3. 11．（2026·高一下四川宜宾竞赛）已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，，恒成立.设，，，则，，的大小关系是__________. 【答案】 【分析】先根据的值的特征构造函数，进而分析函数的单调性及奇偶性，进而可判断函数值的大小. 【详解】因为，，，令. 由已知， 当时，，因此，所以在上是增函数. 因为已知是上的奇函数，， 所以，因此是定义域为的偶函数， 由偶函数单调性可得：在上是减函数. 因为， ， ， 因为，且在上递减，所以. 所以. 12．（2026·高三下贵州竞赛）已知函数在定义域上单调递减，，恒成立，则函数的最小值是_____________________． 【答案】8 【分析】根据已知条件求出的解析式，通过换元法，结合二次函数的性质及反比例函数的性质求解． 【详解】因为，恒成立，将换成得 ， 两式比较，得， 又因为在定义域上单调递减，所以 故或， 由在定义域上单调递减，而在区间内单调递增，不符合题意； 在区间内单调递减，故， 的定义域， 令，则，故，解得， ，开口向下，对称轴为， 故的最大值为， 已知，是反比例函数，故取最大值时，取最小值， 故函数的最小值为． 三、解答题 13．（2025·东南大学强基计划）设是定义在上的单调函数，满足，求的值． 【答案】 【分析】设，构造函数赋值法计算得出或，结合函数值排除求解即可. 【详解】设，所以，所以， 所以，所以或， 当时，，在定义域内单调递增，所以，符合题意； 当时，，，不符合题意； 所以. 14．（2024·安徽阜阳高一竞赛）已知是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，从而得到关于、的方程组，解得即可； （2）按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可； （3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得. 【详解】（1）因为是定义域上的奇函数，且， 所以， 所以，解得，即． 经检验，是奇函数，满足题意，所以. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递减． 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递增． （3）由题意知， 令，则， 由（2）可知函数在上单调递减， ∴， 因为函数的对称轴方程为， ∴函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的，都有恒成立， ∴， 即，解得， 又∵，所以的取值范围是，则实数的最小值为． 15．（2026·四川宜宾数学竞赛）若函数满足：对于任意正数，都有，，且，则称函数为“函数”． (1)若，判断函数是否为“函数”，并证明你的结论； (2)若函数为“函数”，且，求证：对任意（为正整数），都有． 【答案】(1) 函数是为“函数”，理由如下： 对于函数，当时，， 又，，故函数是“函数”. (2) 函数为“函数”，故对于任意正数，都有，， 且， 令，得，即， 故对于任意的正整数和正数， 都有， 对任意（为正整数），可得，， 又，， 同理， . 【分析】（1）根据“函数”的定义判断即可； （2）根据定义，令可得，对于任意的正整数和正数，都有，进而可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $