专题11 函数的零点与方程的解（竞赛培优专项训练）高一数学人教A版2019全国通用

专题11函数的零点与方程的解 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 求函数的零点 6 考点二 零点存在性定理的应用 7 考点三 二分法 8 考点四 根据函数零点（方程的根）求参数的值或取值范围 10 考点五 确定函数零点（方程的根）的个数 14 考点六 求函数零点（方程的根）的和 20 考点七 嵌套函数问题 22 考点八 比较函数零点（方程根）的大小 28 考点九 二次函数的零点分布 31 考点十 指数函数、对数函数的零点分布 35 考点十一 函数与方程的综合应用 41 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题27道） 【归纳重点知识】 知识点01 函数的零点 1.函数的零点 使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： 3.零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解. [微提醒]　(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根.零点一定在定义域内. (2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)＜0，如图所示. 知识点02 二分法 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)＜0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法. 【熟记重要结论（二级结论）】 1.若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点. 2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 3.f(a)f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 4．二次函数图象与零点的关系 二次函数的图象 与轴的交点 无 零点个数 2 1 0 5.二次函数零点的实根分布 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表二：（两根与的大小比较） 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） —————— 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时， 考点一 求函数的零点 1．已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题意可得，，则， 则，所以. 故选：D. 2．已知函数，则其的零点为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】由题意可得，， 设，即，构造函数，单调递增， 若，则，所以，即 又单调递减，且，所以． 即的零点为， 故选：C． 3．已知函数是偶函数，则函数的零点是 . 【答案】 【解析】因为函数是偶函数，根据偶函数的定义， 代入得， 整理得：对所有的成立，可得，.因此， 令，得，故函数的零点是. 考点二 零点存在性定理的应用 4．函数在下列区间一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数， 则， 于是， 由零点存在性定理知，函数在区间、、上不能保证有零点，在区间上一定有零点.故选：D 5．已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 6．若函数，则下列区间中一定包含零点的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知：当时，， 所以函数在上不存在零点， 当时，因为函数和函数在单调递减， 所以函数在上单调递减， 又，，， 根据零点存在定理可知，一定包含零点的区间为， 故选：C. 考点三 二分法 7．已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. 8．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，因为， 所以，又，， 则，又因为，所以． 故选：B. 9．已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 由，，，得在内有零点 所以经过3次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 10．现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？ (1)当时，若只称3次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？ (2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？ 【解析】（1）第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况： ①若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中，第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个“好乒乓球”为另一边，放在天平上. （i）若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个“好乒乓球”放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重； （ii）若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是偏轻还是偏重，任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”. ②若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边偏重，从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面“好乒乓球”中取3个乒乓球补入左边，看天平，有三种可能. （i）若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重； （ii）若左边重，则“坏乒乓球”已从一边换到另一边，因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻； （ⅲ）若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个（左右各一），“坏乒乓球”是其中之一（暂不知是偏轻还是偏重）. 显然对于以上两种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是偏轻还是偏重. （2）将26个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面； 从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面； 将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面； 从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一个即是“坏乒乓球”. 综上可知，至少称4次就一定可以找到这个“坏乒乓球”. 考点四 根据函数零点（方程的根）求参数的值或取值范围 11．已知是函数的零点，则的最小值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为是函数的零点， 所以，即，则或， 解得或， 当时，当且仅当时取等号，所以的最小值为； 当时，当且仅当时取等号，所以的最小值为； 又，综上可得的最小值为，此时，. 故选：B 12．已知函数，若对任意的，关于的方程都有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的定义域为，； 在上单调递减，且当时，； 在上单调递增，且当时，； 可作出和的图象如下图所示，   对于任意的，关于的方程都有实根， 当时，，则当时，方程没有实根； 当时，或，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：D. 13．已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若方程有4个不同的实根，如图，作出符合题意的图像， 当时，， 则由二次函数性质得此时最多有两个不同的实根， 而当时，，此时一定有两个不同的实根， 即与有两个不同的交点，得到， 当时，结合题意得有两个不同的实根， 此时与有两个不同的交点， 且此时，， 可得，即， 因为仅存在一个整数，所以，解得， 而，得到，故B正确. 故选：B 14．定义在上的函数满足：，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意作出的大致图象如图中曲线所示： 恰有3个零点，的图象和直线恰有3个交点， 过定点， 当直线过点时，此时斜率为， 当直线过点时，此时斜率为， 结合图象可知当，即时，函数的图象和直线恰有3个交点，即. 故选：C. 15．已知，函数，其中，若方程恰好有3个不相等的实根，则的取值范围是 . 【答案】或 【解析】依题意，，， 当时，， 即， 当时，， 若，则，， 若，则，，又， 因此，； ；；， 要使恰好有3个不同解，结合图象得： ①当，即时，而，解得，无解；      ②当，即时，而，解得，    ③当，即时，而，解得，    所以的取值范围是或. 考点五 确定函数零点（方程的根）的个数 16．定义一种新运算：，函数，则方程的根的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由已知，令， 则， 则①或②； 解①得，解②得； 则③或④， 解③得或； 对于④由的几何意义：轴上的点到两定点的距离之差的绝对值. 而，可知④无解， 综上，方程的根的个数为， 故选：C. 17．设函数是定义在上的奇函数，满足.当时，，则下列结论中正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数在区间单调递减 C．当时，有1013个零点 D．函数的图象关于点对称 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以的周期为4， 又， 所以，又因为是定义在上的奇函数. 所以，所以关于对称. 又当时，，据此可画出部分图像如下： 对于A：结合图像可知：图像关于对称，故A错误； 对于B：因为的周期为，故在上单调性与在上保持一致. 又当时，，所以在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故B错误； 对于C：结合图像可知：零点为， 令，解得，又，所以， 故当时，有个零点，故C正确； 对于D：结合图像可知：图像关于对称，其中，故D错误. 故选：C 18．已知是定义在上的偶函数，满足，且当时，，则下列结论错误的是（    ） A．当时， B． C．的图像关于点对称 D．函数有3个零点 【答案】C 【解析】因为是定义在上的偶函数，且， 则，即周期为4， 对于选项A，因为时，， 则时，，，又， 所以时，，故A正确， 对于选项B，，故B正确， 对于选项C，若的图像关于点对称， 则，又， 则与矛盾，故C错误， 对于选项D，令，得， 由选项A知，， 又的周期为，则同一直角坐标系中， 作出函数的图象，如图所示， 由图可知，有个交点， 所以函数有个零点，故D正确， 故选：C. 19．已知函数给出下列四个结论： ①当时，在上单调递增； ②当时，存在最小值； ③的零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意，. 其中正确结论的个数（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解析】对于①，当时，，显然， 故在上不会单调递增，所以①错误； 对于②，不妨设，此时， 当时，， 当时，， 故，此时函数不存在最小值，所以②错误； 对于③，，易知在区间上单调递增， 当时，设，显然单调递增， 又，故存在，使得， 当时，无解，即在上没有实数根， 此时有两个不等实数根，和，故此时， 当时，在上有1个实数根， 此时有两个不等实数根，和，故此时， 当时，，由①知，此时方程有1个实数根，即， 当时，在上没有实数根，在上也没有实数根， 此时，则函数的值域为，③错误； 对于④，当时，，则，，， 则，所以④错误. 故选：D 20．已知函数是定义域为的奇函数；且，当时，，，则下列结论不正确的是（ ） A． B．函数的图象关于对称 C．的值域为 D．函数有9个零点 【答案】C 【解析】对于A，由是上的奇函数，，得， ， 因此，A正确； 对于BC，由是上的奇函数，，得， 即，函数是周期为4的奇函数，当时，， 则当时，，， 因此当时，，当时，， 当时，， 于是当时，， 而，则函数的周期为4， 当时，，当时， 当时，，当时，， 在上，函数有最小值，最大值，函数值集合为， 因此函数在有最小值，最大值，值域为，C错误； 当时，， 当时，，， 当时，，， 当时，满足， 因此当时，，即函数在上的图象关于直线对称， 由于周期为4，则是在R上的图象的一条对称轴， 从而函数的图象关于对称，B正确； 对于D，作出直线与函数的图象， 由，得或，则当或时，直线与函数的图象无交点， 观察图象知，直线与函数的图象有9个交点，因此函数有9个零点，D正确. 故选：C 21．已知函数，若，则方程在的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由， 可得． 设，则方程在的根的个数等于方程在上的根的个数． 因为函数与函数都为增函数， 所以函数在单调递增． 则可推得，即方程， 依题即判断方程在的根的个数． 由于时，， 令，因为函数，在都单调递增， 所以函数在单调递增， 所以，即当时，方程在只有1个根． 所以方程在的根的个数为1， 即方程在的根的个数为1． 故选：B. 考点六 求函数零点（方程的根）的和 22．若是的零点，是的零点，那么的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】解法1： 根据题意，可得①，②， 所以，，即， 令，代入上式得， 所以，即， 而在上为增函数， 故与②式比较得，于是，即. 故选：C． 解法2： 令，化简得， 令，化简得， 令，则，， 故为的解，为方程的解， 由于与的图象关于直线对称，故，所以． 故选：C． 23．设分别是函数与的零点，则当变化时，表达式（    ） A．有最大值，但没有最小值 B．有最小值，但没有最大值 C．既有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】B 【解析】由题意知； 由， 设，则. 因为函数（）在上单调递增，在上单调递减， 如下图： 所以方程在上只有1解. 所以. 所以，当且仅当即时取到等号，无最大值， 故选：B 24．若定义在上的函数，且，，函数在区间上的所有零点为，则等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】因为，且当时，关于对称， 所以的函数图象在上关于点对称， 又，所以的周期， 因此的图象关于点对称， 又的图象关于点对称， 所以在上的所有零点两两关于点对称， 作出与的函数图象如图所示： 由图象可知与在区间上有8个交点， 所以. 故选：D. 考点七 嵌套函数问题 25．已知函数的定义域为，且在上是单调函数，若，则的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调，令，则且， 从而，解得（负根已舍去），所以， 由解得，所以的零点为1. 故选：B 26．已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】由题意知在上单调递增， 设，且为正常数。 则，则，，解得或（舍去）， 则，，令，解得. 故选：C. 27．已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据对数函数与二次函数的图象与性质可作出的大致图象如下： 设，则有8个不同的零点， 需有两个不同零点，不妨设 同时分别对应4个零点， 若， 即， 则，且， 即，解之得. 若，则仍需，此时，不符合题意，舍去； 综上：. 故选：B 28．设函数.若函数与都没有零点，则函数与（    ） A．都没有零点 B．都有零点 C．至少有一个没有零点 D．至少有一个有零点 【答案】C 【解析】解：因为的开口向上， 所以，设最小值分别为， 假设函数与都有零点， 则存在使得，令，则； 存在使得，令，则； 所以， 下面分三种情况讨论： 假设，则函数，即函数与有零点，与函数与都没有零点矛盾，故不成立； 假设，则使得，此时，即函数存在零点，与没有零点矛盾，故不成立； 假设，则使得，此时，即函数存在零点，与没有零点矛盾，故不成立； 综上，假设函数与都有零点不成立，即函数与至少有一个没有零点. 故选：C 29．已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数的图象： 函数的零点等价于方程， 当时，此时方程化为可得， 由，结合图象，可得方程仅有2个解，此时不满足题意；故； 当时，此时方程化为可得或， 由可得方程有一个解为， 由，结合图象，可得方程有个解，此时不满足题意；故； 所以要使得函数有且仅有3个不同零点，则满足， 由于 所以二次方程的根仅有一个满足，另一个根， 则满足或，解得， 综上的取值范围为， 故选：D 30．已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先作出的大致图象，如下：    令，则，根据的图象可知： 要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意， 因为，当且仅当时取得等号， 又，易知其定义域内单调递减， 即，此时有两个整数根或， 而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根大于0小于2， 显然只有符合题意，当时有，则， 解方程得的另一个正根为， 又，此时五个整数根依次是， 显然最大的根和最小的根和为. 故选：B. 31．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有大于零的解之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，使，则， 于是，， 若k为奇数，则，， ，则，解得，或， 当时，，，，，解得， 当时，，，，，解得； 若k为偶数，则，则， ，则，解得，或， 当时，，，，，解得， 当时，，，，，解得， 所以所有大于零的解之和为. 故选：D 【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 32．已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的定义域为，关于原点对称， 所以 ，所以函数为奇函数，关于原点中心对称， 而函数是函数向右平移两个单位得到的函数， 因而关于中心对称， 函数满足，所以， 即，所以函数关于中心对称，且， 且， 所以由函数零点定义可知， 即， 由于函数和函数都关于中心对称， 所以两个函数的交点也关于中心对称， 又因为恰有个零点， 即函数和函数的交点恰有个， 且其中一个为，其余的个交点关于对称分布， 所以个零点的和满足， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够通过函数解析式和抽象函数关系式确定函数的对称中心，从而可确定零点所具有的对称关系. 考点八 比较函数零点（方程根）的大小 33．若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得到，由，得到， 由，得到， 在同一直角坐标系中，作出函数的图象，如图所示， 由图知， 故选：B. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于将函数零点问题转化成图象交点，通过作出函数的图象，再根据图象求结果. 34．已知正实数满足，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，为正实数，且满足，，， 则，，， 所以，，， 则，，， 令，， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 满足的即为与的交点的横坐标， 满足的即为与的交点的横坐标， 满足的即为与的交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中画出、、、的图象如下所示： 由图可知. 故选：A 35．已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在同一平面直角坐标系内作出 的图像 过点；过点； 过点；过点， 则与图像交点横坐标依次增大， 又与图像 交点横坐标分别为，则. 故选：C 36．已知，则下列关系不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，令，则，，， 令，，和，则a，b，c可分别视为函数， ，的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系中画出函数，，和的图像，如图， 观察图象得：当时，，当时，，当时，， 显然不可能， 所以不可能成立的是. 故选：D 考点九 二次函数的零点分布 37．若关于的方程的两根均大于1，则整数m的值为 . 【答案】 【解析】不妨设关于的方程的两实数根为，， 且两根均大于1， 设， 则，则， 且，则， 所以，则整数m的值为. 故答案为： 38．对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若函数有两个不相等的不动点，且均为正数，求的最小值； (3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 【解析】（1）由，得，解得或， 所以二次函数的不动点为和3. （2）依题意，方程有两个不相等的正实数根， 于是，解得， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. （3）一元二次方程， 依题意，对任意实数，恒成立， 因此，而，解得， 所以的取值范围是. 39．已知函数. (1)若，当时，求的最小值； (2)求关于的不等式的解集； (3)若方程有两实根，且两实根均大于1，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 故当时，的最小值为7. （2）由题意，即，即. 当时，解原不等式得或， 当时，解原不等式得或， 当时，解原不等式得. 综上，当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为. （3）设这两个根分别为，则， 则，即，即， 则解得 所以实数的取值范围是. 40．已知二次函数． (1)若，且在上有两个互不相同的实数根，求的取值范围； (2)若的解集为，，对于，，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值． 【解析】（1），则， 因为在上有两个互不相同的实数根， 所以，解得． （2）由的解集为，则，即， 故， 令，，且，， 要使，总，使得成立， 所以，只需，而的对称轴为， ①当，即时，只需，即， ②当，即时，只需，即，不符合条件， ③当，即时，只需，即，不符合条件， 综上，． （3）若对任意，不等式恒成立， 整理得恒成立，显然， 所以，则， 所以． 令，因为，所以， 若时，此时． 若时，， 当且仅当时，即时，上式取得等号， 综上：的最大值为． 考点十 指数函数、对数函数的零点分布 41．已知函数的定义域为. (1)求的取值范围； (2)讨论函数的单调性； (3)给定函数，，若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“不动点”.若函数在上仅有一个“不动点”，求的取值范围. 【解析】（1）因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又因为，当且仅当时，等号成立. 所以的取值范围为. （2）令，则为上的增函数，且， 设 当时，函数在上单调递增， 又为增函数，由复合函数单调性，在上单增; 当时，在上单减，在上单增， 又为增函数， 由复合函数单调性，在单减，在单调递增. 综上，当，函数在上单调递增; 当时，函数在单调递减，在单调递增. （3）设函数在上的“不动点”为，则， 即，整理得，， 令，，则， 则在上单调递减，上单调递增， 当时，，，， 所以若与的图象在上仅有一个交点，则或， 又由（1）知，，所以或. 综上所述，实数的取值范围是. 42．已知函数（且，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求实数m的值. 【解析】（1）把点带入解析式可得：，解得，， 故的解析式为. （2）函数有且只有一个零点方程有且只有一个零点， 因为，且的定义域为，所以为偶函数， 由可得，所以，即. 43．对定义域为的函数，若存在使得，则称是函数的一阶不动点，简称不动点；若存在使得，则称是函数的二阶不动点，简称稳定点． (1)判断函数在上是否有稳定点（直接写出结论）； ①______；②______． (2)概念举例：写出满足下列要求的一个函数（直接写出结论）； ①不是且有无穷多个不动点：______； ②有无穷多个稳定点，且这些稳定点不都是不动点：______． (3)已知在上有且仅有个一阶不动点． ①求实数的取值范围； ②在上有几个稳定点？并说明理由． 【解析】（1）对于①，由可得该方程无解，即函数没有“稳定点”； 对于②，由可得，解得或，即函数有“稳定点”. （2）对于①，可取，其中为不超过的最大整数， 当时，，此时，函数有无穷多个不动点； 对于②，可取，则当时，因为，则函数有无穷多个稳定点， 由可得，解得， 所以，当时，为函数的稳定点，但不是不动点. （3）当时，由可得， 令，可得，可得， 则关于的方程在上有且只有一个实根， 设，则函数在上单调递增， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是； ②因为，则，必有， 令，， 则内层函数在上单调递增， 因为外层函数为增函数，故函数在上增函数， 不妨设函数在上的一个稳定点为，即. 若，则，矛盾； 若，则，矛盾. 故必有，即函数的稳定点必为该函数的不动点. 因为函数在区间上只有一个不动点， 因此，函数在上有且只有一个稳定点. 44．已知函数（且）在上的最大值和最小值之和为20，函数是奇函数． (1)求a和b的值； (2)用函数单调性的定义证明：函数在R上单调递增； (3)若函数恰有两个不同的零点，求m的取值范围． 【解析】（1）当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 所以函数在上的最大值与最小值之和为，解得． 所以，的定义域为R，又函数是奇函数， 所以，解得， 当时，， 所以， 所以函数是奇函数，满足题意． （2）证明：任取，且， 所以 ， 又，所以，，，所以， 即， 所以函数在R上单调递增． （3）因为， 所以有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解， 令，则在上有两个不同的实数解， 令，又，所以 解得，即m的取值范围是． 【点睛】方法点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 45．已知函数，. (1)讨论函数的单调性（无需证明）； (2)若，解关于的不等式； (3)若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为， 当时，函数在和上都是减函数； 当时，函数在和上都是减函数； 当时，函数在和上都是增函数， 在和上都是减函数. （2）由函数的定义域可知，，解得且， 由（1）可知当时，函数在上是减函数， 由，可得， 可得， 因为，则有，解得或， 因此，不等式的解集为. （3）令，则函数在上为增函数，且， 则方程有两个不同的解等价于方程在上有两个不同的解， 即方程在上有两个不同的解，即在上有两个不同的解， 令，则， 则在上有两个不同的解， 因为函数在上为减函数，在上为增函数， 则，如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 直线与函数在时的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 考点十一 函数与方程的综合应用 46．函数的定义域，当时，，函数是奇函数.记关于的方程的根为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 因为是奇函数，所以的图象关于对称，且， 由此画出的图象如下图所示，直线过点， 因为， 所以过点和点的直线的斜率为，对应直线方程为， 过点和点的直线的斜率为，对应直线方程为， 由图象以及对称性知，要使， 则在上有3个交点，即需. 故选：D 47．（多选）已知函数则下列说法正确的是（   ）. A．当时， B．当在上单调递增时，的取值范围为 C．当时，的解集为 D．要使方程有实数解，的取值范围为 【答案】ABD 【解析】A：由题设，则， 故，对； B：由在R上单调递增，其中在上单调递增， 要使时也单调递增，显然， 当时，在上单调递增，此时，满足题意； 当时，显然对称轴，即在上单调递增， 此时，满足题意； 所以，对； C：在上单调递增，而时的开口向下，且对称轴， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，恒成立， 当时， 若时，则，而，此时， 若时，恒成立，符合， 综上，或，错； D：在上，则时，有实数解， 当，在上 ，显然无实数解， 当，的开口向下且对称轴， 结合C分析，在上，显然有实数解， 当，的开口向上且对称轴， 结合B分析，在上单调递增，值域为，此时时有实数解， 综上，的取值范围为，对. 故选：ABD 48．（多选）已知函数则下列说法正确的是（    ） A．若函数恰有4个零点，则 B．关于的方程有8个不同的实数解 C．当时，不等式恒成立 D．函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积为 【答案】CD 【解析】当时，， 当时，， 当时，即时，，且， 当时，即时，， 当时，即时，，且， 当时，即时，， 当时，即时，，且， 当时，即时，， 当时，即时，，且， 依次类推，作出函数的大致图象， 若函数恰有5个零点，即与有5个交点， 此时直线过点，所以，； 同理，若函数恰有3个零点，即与有3个交点， 此时直线过点，所以，， 则函数恰有4个零点时，有，故A错； 由图象规律可知与的交点个数是10，故B错； 由，，，，，， 任意实数，不等式恒成立，等价于恒成立， 由图知函数在的每一个上顶点的纵坐标为 ，且， 即恒成立，故C对； 函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积为 ，故D对. 故选：CD． 49．(多选)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有3个零点 B．若函数有四个零点，则 C．若关于的方程有四个不等实根，，，，则 D．若关于的方程有8个不等实根，则 【答案】ABD 【解析】函数的图象关于直线对称，开口向上，， 函数的图象关于对称，开口向下， ，，如图所示， 对于A，观察图象知，函数的图象与直线有3个公共点，因此函数有3个零点，选项A正确； 对于B，函数的零点，即方程的根， 亦即函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有4个公共点， 因此函数有四个零点，则选项B正确； 对于C，若关于的方程有四个不等实根，，，， 不妨设， 显然有，， 所以，故选项C错误； 对于D，令，由选项B知，当且仅当时， 方程有个不等实根， 要关于的方程有8个不等实根， 则要方程在上有个不相等的实数根， 令这两个实数根为，，则，， ，由易得， 而当时，的两根相等，不符合题意， 所以的取值范围是，故选项D正确， 故选：ABD. 50．已知函数（），且，其中为奇函数，为偶函数． (1)求在上的最值； (2)求和的解析式； (3)若函数在上存在零点，求实数的取值范围． 【解析】（1）依题意，， 的图象是开口向上， 以为对称轴的抛物线，则当时，取得最小值， 又函数单调递增，从而的最小值为，当时，取得最大值2， 从而的最大值为，即4． （2）因为    ①， 以代入，可得， 因为为奇函数，有：， 为偶函数，有：， 于是有       ②， 联立①和②，解得：，． （3）依题意， . 当，由在上单调递增可知，， 要使在上存在零点， 即要在存在零点， 又是开口向下的抛物线且， 则需或，解得， 所以满足题意的实数的取值范围为． 1．（2024·全国第四届章鱼杯竞赛）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】依题意， 原方程等价于 即，显然只有一个正实根. 故选：B. 2．（2024·全国第四届英才杯竞赛）已知方程恰好有三个不同的实数根，则满足题意的的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，可知有两个不同的实数根， 所以有且只有一个实数根或者有两个不同的根； 当时，成立； 当时， 只有一个实根，则，即； 有两个不同的根，此时，即， 则， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上可得的最大值为， 故选：D. 3．（2024·湖南“同济大学杯”高一联赛）已知函数若,且,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出函数的图象如图所示:    因为,且,由图可知, 因为函数的图象关于对称, 所以, 又因为, 所以, 则①, 令,则, 因为,所以, 所以①式可化为:, 根据对勾函数的性质,函数在是增函数,在是减函数, 又, 所以的取值范围是. 故选:B. 4．（2023·海南衍林杯高一竞赛）设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可知函数的周期是，且该函数为偶函数， 当时，， 当时，，. 由得， 作出函数的图象如图：    当时，在区间要使方程恰有个不同的实数根， 则等价为函数与有个不同的交点， 则满足，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 5．（2024·山东省滨州市学科素养知识竞赛）设是定义在上的奇函数，满足，当时，，若方程在上有四个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以函数图象关于对称，且， 又为奇函数，所以，故， 即可得，所以的周期为， 因为当时，，根据奇函数及函数图象关于成轴对称，利用函数周期为4， 作出函数与图象，如图， 当时，方程在上有四个不同的实数解， 则与图象有四个交点， 需满足，即，解得； 当时，由图象可知，与图象在至多有2个交点，不符合题意. 综上，. 故选：B 6．（2024·安徽省示范高中培优联盟高一冬季联赛）定义在上的函数，当时，，当时，，若关于函数在定义域内有四个零点，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】画出的图象，如下：    令，则，由题意原函数有4个零点， 结合函数图象，可知函数有两个不同零点和， 不妨设，且，， 分析函数的图象可知，， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 则， 解得. 故选：AB. 7．（2024·浙江温州摇篮杯高一竞赛）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．在定义域内单调递增 C．有2个零点 D．的最小值为 【答案】AC 【解析】对于A中，由函数，可得定义域为关于原点对称， 又由，所以函数为奇函数，所以A正确； 对于B中，由，所以为单调递增函数， 所以函数在，单调递增，所以B错误； 对于C中，令，即，解得，所以C正确； 对于D中，例如：当时，，所以D不正确. 故选：AC. 8．(多选) （2024·全国第四届英才杯竞赛）已知函数和，则下列说法正确的有（    ） A．若有两个相同的实数根，则函数经过一二四象限 B．的图象和一个以为圆心，1为半径的圆没有交点 C．可以在时取到最小值 D．若有两个不同零点，设这两个零点分别为、（在的左边）在时，若的最小值等于，则是不可能成立的 【答案】BC 【解析】对于A，若有两个相同的实数根，则，即， 所以，则函数， 当时，函数，图象过一二象限，故A错误； 对于B，，设为点， 设函数的图象上一动点坐标为， 则， ，当且仅当或时，等号成立， 当时，，， 当时，，，所以， 所以的图象和一个以为圆心，1为半径的圆没有交点，故B正确； 对于C，当时，，设，， 则， 当且仅当时，即时等号成立，， 所以可以在时取到最小值，故C正确； 对于D，若有两个不同零点，则方程有两个不相等的实数根， 所以，， 在时，，设，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，则， 若，则，即，解得， 则存在，，故D错误； 故选：BC． 9．（多选）（2024·湖南“同济大学杯”高一联赛）已知定义在R上的函数满足，，，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．的值域为 D．在区间内无零点 【答案】ABD 【解析】，，即， 故是奇函数，A正确； ，， 即，故是以为周期的周期函数，B正确； 当时，，注意到等号不能同时成立， ∴，即， 再由的对称性、周期性，可知不是的最大值，C错误； 当时，，则， 再由的图象关于直线对称，知在内恒正， 又， 故在区间内无零点，D正确. 故选：ABD. 10．(多选)（2024·湖南“同济大学杯”高一联赛）已知函数，则（    ） A．若函数有3个零点，则 B．函数有3个零点 C．，使得函数有6个零点 D．，函数的零点个数都不为4 【答案】BD 【解析】函数的图象如下图所示： A：令， 当函数有3个零点时，函数与直线有三个不同的交点， 由图象可知，，因此本选项不正确； B：由函数的图象可知：， 令，可解，舍去， 当时，由图象可知有三个实数解，因此本选项正确； C：当函数有6个零点时，此时有， 当时，即， 当时，， 由图象可知，函数与直线最多有三个不同的交点， 因此要想有函数有6个零点，必有， 因此本选项不正确； D：由， 令，则， 当时，即或， 当时，有两个不同的实根， 当时，有三个不同的实根 所以此时函数有五个零点， 当时，，或，或， 由图象可知此时时函数一共有七个零点， 当时，，或，或， 由图象可知函数此时一共有6个零点， 当时，，或， 由图象可知函数此时一共有3个零点， 当时，，即，此时不等式的解集为空集， 综上所述：，函数的零点个数都不为4， 故选：BD 11．（2024·中国科大强基计划）若函数有一个二重零点，则a的所有可能取值是 ． 【答案】 【解析】由题意等价于三次方程存在一个二重根与一个根，设其二重根为m，另一实根为n，则由韦达定理可知，解得． 12．（2024·安徽省示范高中培优联盟高一冬季联赛）若函数对于都有，则 . 【答案】 【解析】由对于都有，得函数图象的对称中心为， 显然，则，于是， 因此，所以. 13．（2024·清华大学强基计划），，有零点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，方程有实数根， 将关于的方程看成关于的直线方程， 则可视为直线上的点到原点的距离的平方， 其最小值即为原点到直线的距离的平方， 所以距离的平方， ， 令，则， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 则， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以， 所以的最小值为. 14．（2024·海南省衍林杯学科高一竞赛）已知，分别是方程和的根，则 . 【答案】 【解析】方程的根是对数函数与直线的交点的横坐标， 方程的根是指数函数与直线的交点的横坐标， 对数函数和指数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 联立，可得，所以. 15．（2024·四川省高中数学联赛预赛）设函数的零点都在区间内，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】， 当时，，， 在上递增， 而，， 时，在内存在唯一零点， 是偶函数，在上递减， 而，， 时，在存在唯一零点， 零点都在内． 故当时，取最小值，且最小值为4. 16．（2024·全国高中数学联赛北京预赛）已知函数 若关于 的方程 恰有三个不相等的实数根 且满足 ，则 的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，则，则， 当时，，则， 当时，， 即 方程恰有三个不相等的实数根等价于直线与函数的图象有三个不同交点，因此. 此时且，则，， 从而， 设，则其在上单调递增， 因此的取值范围是. 17．（2024·全国第七届章鱼杯竞赛）设实数满足：对任意的实数，存在实数，使得均为整数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】一方面，取，,, 设，，其中为整数，易知 而方程组，无整数解，因此. 当，时第二个等号成立，这表明时不符合要求. 另一方面，对每个实数，存在唯一的使得为整数，记 对任意实数，当时，取， 其中为待定的整数，于是有. 注意到区间是长度为1的半开半闭区间，故它恰好包含一个整数，取为这样的整数，从而，置， 置，，整理得   （1） .  (2) 而的定义域可以拆分为，     （3） 或.    （4） 由（3）得，，若，则用（3）的右端，否则用（3）的左端，得,于是.此时有 由（4）得，，，且有， 故，且，此时有 当时等号成立. 若，则，由前一种情形，存在实数，使得均为整数，且 ，取，，则有. 综上，的最小值为 ，且无上界，因此取值范围为 . 18.（2024·清华大学强基计划）在内有三个不等实根，则的取值范围？ 【答案】 【解析】设， 在内有三个不等实根，，，. 且， 设，，，则，，, ，， . 19．（2024·清华大学强基计划）有零点，则的最小值为多少. 【答案】 【解析】由题意可知，方程有实数根， 将关于的方程看成关于的直线方程， 则可视为直线上的点到原点的距离的平方，其最小值即为原点到直线的距离的平方， 所以， ， 令，则， 因为，所以，则， 由对勾函数的单调性可知，在上单调递增， 所以. 所以的最小值为. 20．（2024·北京大学强基计划）求上方程的解的个数. 【答案】 【解析】一方面，假设原方程有一个满足的根，则. 令，则. 对，有，故； 对，有，故. 所以对，都有，从而由知，矛盾. 所以无解， 故原方程的解，只有满足，即，直接验证即知都是原方程的解. 所以原方程一共有个解. 21．（2024·四川宜宾数学联赛（初赛）设集合存在正实数，使得定义域内任意都有． (1) 若，试判断是否为中的元素，并说明理由； (2) 若，且，求的取值范围； (3) 若（），且，求的最小值． 【解析】（1）∵，  ∴. （2）由      ∴， 故 .   （3）由, 即：   ∴ 对任意都成立    ∴ 当时，； 当时，； 当时，. 综上：   22．（2024·北京大学强基计划）已知函数，设是三个不同的实数，满足，求的取值范围. 【答案】 【解析】设，即方程有三个不同的实根， 由于在单调递增，且该部分值域为，在单调递增，且该部分值域为，，， 结合图像可知，方程有三个不同的实根，当且仅当方程有两个不同的实根，即当且仅当，且，， 再考虑方程和，注意，或或， 故， 由于，且为关于的增函数，所以. 23．（2024·中国科大创新班营数学竞赛）求所有的，使对恒成立. 【答案】 【解析】若有零点，则，解得， 若时，则，解得， 但在时不成立，不合题意； 可知不存在零点，则在上恒成立， 则，解得， 可得， 当，则，整理得， 因为，则， 可知，解得； 当，则，整理得， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，解得； 综上所述：的取值范围为. 24．（2024·北京大学强基计划）已知函数是偶函数. (1)求的值； (2)若函数的图象与函数的图象没有交点，求实数的取值范围； (3)若函数，是否存在实数使得的最小值为0. 【解析】（1）函数是偶函数，， 即恒成立， ，； （2）若函数的图象与函数的图象没有交点，则方程无解， 即无解，令， 在上是单调减函数，且，，； （3）由题意，， 令则，，函数的图象开口向上，对称轴为， ①当即时，当时，函数的最小值，解得； ②当即时，当时，函数的最小值，解得（舍去）； ③当即时，当时，函数的最小值，解得（舍去）； 综上所述，存在满足条件. 25．(2025·重庆高中数学联赛初赛)已知函数，设是三个不同的实数，满足，求的取值范围. 【答案】 【解析】设，即方程有三个不同的实根， 由于在单调递增，且该部分值域为，在单调递增，且该部分值域为，，， 结合图像可知，方程有三个不同的实根，当且仅当方程有两个不同的实根，即当且仅当，且，， 再考虑方程和，注意，或或， 故， 由于，且为关于的增函数，所以. 26．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知函数，其中. (1)若存在，使得，求的最小值； (2)令，若关于的方程有两个根，求当时，实数的取值范围. 【解析】（1）由题意可知为单调递增函数，所以当时，， 则当时，有，即， 解得，则，当且仅当时，取得等号， 故的最小值为. （2）由题意得 令，则，，， 若，则， 即，即，   由和满足方程， 即为方程的两根可得：，解得， 且，，     因为，所以，解得， 所以， 易求得当时，，满足， 故实数的取值范围. 【点睛】本题关键在于第二问需要利用换元法将问题转化为一元二次方程有两个不等根，利用判别式及韦达定理消元转化，再利用二次函数的性质计算范围即可. 27．（2024·湖南“同济大学”杯高一联赛）已知函数，其中． (1)判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）； (2)当时，比较与的大小； (3)若函数有三个零点，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，其定义域为，且， 所以函数为偶函数； 当时，函数，， 可得且， 所以函数既不是奇函数又不是偶函数， 综上可得当时为偶函数，当时既不是奇函数又不是偶函数. （2）由函数， 可得， 当时，因为，，所以； 当时，； 当时，， 综上可得，当时，. （3）设， 因为是关于的单调增函数，问题可转化为函数有三个大于的零点， 当时，，所以只有一个零点为，不符合题意； 当时，，所以无零点，不符合题意； 当时，， 因为的图象的对称轴为，所以在上递增， 所以在上至多有个零点； 又因为的图象对称轴为，所以在上至多有个零点， 问题等价于在有且仅有个零点，在上有且仅有个零点， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11函数的零点与方程的解 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 求函数的零点 6 考点二 零点存在性定理的应用 6 考点三 二分法 6 考点四 根据函数零点（方程的根）求参数的值或取值范围 7 考点五 确定函数零点（方程的根）的个数 8 考点六 求函数零点（方程的根）的和 9 考点七 嵌套函数问题 9 考点八 比较函数零点（方程根）的大小 10 考点九 二次函数的零点分布 11 考点十 指数函数、对数函数的零点分布 12 考点十一 函数与方程的综合应用 14 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题27道） 【归纳重点知识】 知识点01 函数的零点 1.函数的零点 使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： 3.零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解. [微提醒]　(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根.零点一定在定义域内. (2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)＜0，如图所示. 知识点02 二分法 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)＜0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法. 【熟记重要结论（二级结论）】 1.若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点. 2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 3.f(a)f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 4．二次函数图象与零点的关系 二次函数的图象 与轴的交点 无 零点个数 2 1 0 5.二次函数零点的实根分布 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表二：（两根与的大小比较） 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） —————— 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时， 考点一 求函数的零点 1．已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函数，则其的零点为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．已知函数是偶函数，则函数的零点是 . 考点二 零点存在性定理的应用 4．函数在下列区间一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．若函数，则下列区间中一定包含零点的区间是（   ） A． B． C． D． 考点三 二分法 7．已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 8．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 9．已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 10．现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？ (1)当时，若只称3次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？ (2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？ 考点四 根据函数零点（方程的根）求参数的值或取值范围 11．已知是函数的零点，则的最小值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．5 12．已知函数，若对任意的，关于的方程都有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 14．定义在上的函数满足：，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．已知，函数，其中，若方程恰好有3个不相等的实根，则的取值范围是 . 考点五 确定函数零点（方程的根）的个数 16．定义一种新运算：，函数，则方程的根的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 17．设函数是定义在上的奇函数，满足.当时，，则下列结论中正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数在区间单调递减 C．当时，有1013个零点 D．函数的图象关于点对称 18．已知是定义在上的偶函数，满足，且当时，，则下列结论错误的是（    ） A．当时， B． C．的图像关于点对称 D．函数有3个零点 19．已知函数给出下列四个结论： ①当时，在上单调递增； ②当时，存在最小值； ③的零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意，. 其中正确结论的个数（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 20．已知函数是定义域为的奇函数；且，当时，，，则下列结论不正确的是（ ） A． B．函数的图象关于对称 C．的值域为 D．函数有9个零点 21．已知函数，若，则方程在的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点六 求函数零点（方程的根）的和 22．若是的零点，是的零点，那么的值为（    ） A． B．3 C． D．4 23．设分别是函数与的零点，则当变化时，表达式（    ） A．有最大值，但没有最小值 B．有最小值，但没有最大值 C．既有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 24．若定义在上的函数，且，，函数在区间上的所有零点为，则等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 考点七 嵌套函数问题 25．已知函数的定义域为，且在上是单调函数，若，则的零点为（    ） A． B． C． D． 26．已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（    ） A． B． C．1 D．2 27．已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．设函数.若函数与都没有零点，则函数与（    ） A．都没有零点 B．都有零点 C．至少有一个没有零点 D．至少有一个有零点 29．已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 30．已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（    ） A． B． C． D． 31．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有大于零的解之和为（   ） A． B． C． D． 32．已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（    ） A． B． C． D． 考点八 比较函数零点（方程根）的大小 33．若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 34．已知正实数满足，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 35．已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 36．已知，则下列关系不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 考点九 二次函数的零点分布 37．若关于的方程的两根均大于1，则整数m的值为 . 38．对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若函数有两个不相等的不动点，且均为正数，求的最小值； (3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 39．已知函数. (1)若，当时，求的最小值； (2)求关于的不等式的解集； (3)若方程有两实根，且两实根均大于1，求实数的取值范围. 40．已知二次函数． (1)若，且在上有两个互不相同的实数根，求的取值范围； (2)若的解集为，，对于，，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值． 考点十 指数函数、对数函数的零点分布 41．已知函数的定义域为. (1)求的取值范围； (2)讨论函数的单调性； (3)给定函数，，若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“不动点”.若函数在上仅有一个“不动点”，求的取值范围. 42．已知函数（且，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求实数m的值. 43．对定义域为的函数，若存在使得，则称是函数的一阶不动点，简称不动点；若存在使得，则称是函数的二阶不动点，简称稳定点． (1)判断函数在上是否有稳定点（直接写出结论）； ①______；②______． (2)概念举例：写出满足下列要求的一个函数（直接写出结论）； ①不是且有无穷多个不动点：______； ②有无穷多个稳定点，且这些稳定点不都是不动点：______． (3)已知在上有且仅有个一阶不动点． ①求实数的取值范围； ②在上有几个稳定点？并说明理由． 44．已知函数（且）在上的最大值和最小值之和为20，函数是奇函数． (1)求a和b的值； (2)用函数单调性的定义证明：函数在R上单调递增； (3)若函数恰有两个不同的零点，求m的取值范围． 45．已知函数，. (1)讨论函数的单调性（无需证明）； (2)若，解关于的不等式； (3)若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围. 考点十一 函数与方程的综合应用 46．函数的定义域，当时，，函数是奇函数.记关于的方程的根为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 47．（多选）已知函数则下列说法正确的是（   ）. A．当时， B．当在上单调递增时，的取值范围为 C．当时，的解集为 D．要使方程有实数解，的取值范围为 48．（多选）已知函数则下列说法正确的是（    ） A．若函数恰有4个零点，则 B．关于的方程有8个不同的实数解 C．当时，不等式恒成立 D．函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积为 49．(多选)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有3个零点 B．若函数有四个零点，则 C．若关于的方程有四个不等实根，，，，则 D．若关于的方程有8个不等实根，则 50．已知函数（），且，其中为奇函数，为偶函数． (1)求在上的最值； (2)求和的解析式； (3)若函数在上存在零点，求实数的取值范围． 1．（2024·全国第四届章鱼杯竞赛）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·全国第四届英才杯竞赛）已知方程恰好有三个不同的实数根，则满足题意的的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南“同济大学杯”高一联赛）已知函数若,且,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·海南衍林杯高一竞赛）设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东省滨州市学科素养知识竞赛）设是定义在上的奇函数，满足，当时，，若方程在上有四个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽省示范高中培优联盟高一冬季联赛）定义在上的函数，当时，，当时，，若关于函数在定义域内有四个零点，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江温州摇篮杯高一竞赛）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．在定义域内单调递增 C．有2个零点 D．的最小值为 8．(多选) （2024·全国第四届英才杯竞赛）已知函数和，则下列说法正确的有（    ） A．若有两个相同的实数根，则函数经过一二四象限 B．的图象和一个以为圆心，1为半径的圆没有交点 C．可以在时取到最小值 D．若有两个不同零点，设这两个零点分别为、（在的左边）在时，若的最小值等于，则是不可能成立的 9．（多选）（2024·湖南“同济大学杯”高一联赛）已知定义在R上的函数满足，，，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．的值域为 D．在区间内无零点 10．(多选)（2024·湖南“同济大学杯”高一联赛）已知函数，则（    ） A．若函数有3个零点，则 B．函数有3个零点 C．，使得函数有6个零点 D．，函数的零点个数都不为4 11．（2024·中国科大强基计划）若函数有一个二重零点，则a的所有可能取值是 ． 12．（2024·安徽省示范高中培优联盟高一冬季联赛）若函数对于都有，则 . 13．（2024·清华大学强基计划），，有零点，则的最小值为 ． 14．（2024·海南省衍林杯学科高一竞赛）已知，分别是方程和的根，则 . 15．（2024·四川省高中数学联赛预赛）设函数的零点都在区间内，则的最小值为 ． 16．（2024·全国高中数学联赛北京预赛）已知函数 若关于 的方程 恰有三个不相等的实数根 且满足 ，则 的取值范围是 . 17．（2024·全国第七届章鱼杯竞赛）设实数满足：对任意的实数，存在实数，使得均为整数，且，则的取值范围是 ． 18.（2024·清华大学强基计划）在内有三个不等实根，则的取值范围？ 19．（2024·清华大学强基计划）有零点，则的最小值为多少. 20．（2024·北京大学强基计划）求上方程的解的个数. 21．（2024·四川宜宾数学联赛（初赛）设集合存在正实数，使得定义域内任意都有． (1) 若，试判断是否为中的元素，并说明理由； (2) 若，且，求的取值范围； (3) 若（），且，求的最小值． 22．（2024·北京大学强基计划）已知函数，设是三个不同的实数，满足，求的取值范围. 23．（2024·中国科大创新班营数学竞赛）求所有的，使对恒成立. 24．（2024·北京大学强基计划）已知函数是偶函数. (1)求的值； (2)若函数的图象与函数的图象没有交点，求实数的取值范围； (3)若函数，是否存在实数使得的最小值为0. 25．(2025·重庆高中数学联赛初赛)已知函数，设是三个不同的实数，满足，求的取值范围. 26．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知函数，其中. (1)若存在，使得，求的最小值； (2)令，若关于的方程有两个根，求当时，实数的取值范围. 27．（2024·湖南“同济大学”杯高一联赛）已知函数，其中． (1)判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）； (2)当时，比较与的大小； (3)若函数有三个零点，求的取值范围． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $