专题09 对数函数（易错培优竞赛精练）-2024-2025学年高一数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高一对数函数易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校对数函数易错题精选 题组二：名校对数函数培优压轴试题精选 题组三：名校对数函数新定义试题精选 题组四：对数函数全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校对数函数易错题精选 1．若函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．“函数的值域为”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）对于任意的，表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．， D．对于任意的，，不等式恒成立 8．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．关于原点对称 C．在上单调递增 D．在上的最大值、最小值分别为、，则 9．（多选题）在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，下表为不同玻璃材料的透光率： 玻璃材料 材料1 材料2 材料3 0.7 0.8 0.9 设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在区间单调递增 D．在区间单调递减 12．已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 13．已知且，若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 14．已知函数，则满足的的取值范围是 . 15．设函数，则不等式的解集为 . 16．已知函数的值域是全体实数，则实数m的取值范围是 . 17．已知函数为奇函数. (1)求实数的值并判断的单调性（无需证明）； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 18．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的取值范围． 19．已知，函数是奇函数，. (1)求实数的值； (2)若，使得，求实数的取值范围. 20．已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若函数的最大值是，求的值. 21．已知函数，，过定点． (1)若，求函数的定义域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围． 22．函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 23．已知函数，关于的不等式的解集为，且. (1)求的值； (2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题组二：名校对数函数培优压轴试题精选 1．记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数且为常数在（为常数）上有最小值，则在上（    ） A．有最大值12 B．有最大值6 C．有最小值 D．有最小值 3．已知定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且．满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，则图象与两坐标轴围成的图形面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 5．已知，则所在区间是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，满足为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 7．已知，，设函数，若，则的最小值为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 8．（多选题）下列命题错误的是（    ） A．已知函数，则不等式的解集为 B．函数在单调递减，且为奇函数，，则满足的取值范围是 C．若在单调递减，则 D．已知函数，则 9．（多选题）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（    ） A．若，，则实数m的取值范围为 B．若，，则实数m的取值范围为 C．若，，则实数m的取值范围为 D．若，，则实数m的取值范围为 10．（多选题）已知函数，下列四个命题正确的是（    ） A．函数的单调递增区间是 B．若，其中，则 C．若的值域为R，则 D．若，则 11．（多选题）已知，且满足，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 12．（多选题）已知正数a，b，c满足，，且，记，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则，都有 B．若，则，都有 C．若，则，都有 D．若，则，都有 13．已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 14．甲说：在上单调递减，乙说：存在实数使得在成立，若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围是 15．已知函数．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 16．已知实数p，q满足，，则 ． 17．已知函数，， ①是奇函数； ②的图象关于点对称； ③若函数在上的最大值、最小值分别为、，则； ④令，若，则实数的取值范围是； 则上述说法正确的选项有 . 18．设函数．若，则的最小值为 ． 19．已知函数. (1)当，时，求函数的值域； (2)当时，若方程有两个不相等的实根，，且. ①求t的取值范围； ②证明：. 20．设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 21．已知函数，，其中． (1)当时，求函数的定义域与值域： (2)设集合，证明：； (3)已知矩形的顶点，在的图象上，顶点，在的图象上轴，若，且该矩形的中心为点，求的值． 22．已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围； (3)若将区间划分成2022个小区间，且满足，试判断和式是否为定值，若是，请求出这个值，若不是请说明理由． 23．已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：的图像为轴对称图形； (3)若关于的方程在上有解，求的最小值. 题组三：名校对数函数新定义试题精选 1．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“二倍函数”.若函数（且）是“二倍函数”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若函数与在区间上的单调性相同，则称区间为的“稳定区间”，若区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点,,与函数的图像从左至右相交于,．记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．定义函数，.若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的算术平均数为.已知，，则在上的算术平均数为（    ） A． B． C． D． 5．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：① 函数的定义域为，值域为；②函数在上是增函数；③函数是周期函数，最小正周期为；④函数的图像关于直线对称，其中正确命题的个数是 A． B． C． D． 6．（多选题）定义区间的长度为，记函数（其中）的定义域的长度为，则下列说法正确的有（ ） A． B．的最大值为 C．在上单调递增 D．给定常数，当时，的最小值为 7．（多选题）对于任意两个正数，记曲线直线轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨 最早发现.关于，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）有一种附中精神叫“平民本色，精英气质”.若函数满足对任意，都有，则称为“精英”函数.下列选项正确的是（    ） A．，为“精英”函数 B．若为“精英”函数，则，其中且 C．若为“精英”函数，则且，有 D．，，则为“精英”函数 9．定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”． （i）是否为“型函数”？ ；（填“是”或“否”） （ii）若函数是“型函数”，则实数的取值范围是 ． 10．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”.若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是 11．函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. (1)判断下列函数是否具有性质，并说明理由. ①； ②. (2)已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用含字母的式子表示） 12．对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数. (1)当时，判断函数在上是否“友好”； (2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围. 13．若存在实数、使得，则称函数为函数，的“函数”． (1)若函数为函数、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数、的解析式； (2)设函数，，是否存在实数、使得函数为函数、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 注：为自然对数的底数． 14．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)试判断的单调性，并说明理由； (3)定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围． 15．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“和一函数”． (1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上是“和一函数”． ①求的值； ②求的取值范围． 16．若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. (1)若函数是型函数，求的值； (2)若函数是型函数，求和的值； (3)已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 17．如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数． ①对任意的，总有； ② 当时，总有成立． (1)记，求证：为型函数； (2)设，记，若是型函数，求的取值范围； (3)是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由． 18．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中），则称为区间上的“倍缩函数”． (1)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围； (2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19．定义：函数的定义域为，且任意，存在，使得，则称为“好函数”.已知，. (1)当时，判断是否为“好函数”，并说明理由； (2)若为“好函数”，求实数的取值范围. 20．《判定树理论导引》中提到“1”型弱对称函数：函数定义域为，且满足设函数 (1)若是“1”型弱对称函数，求m的值； (2)在（1）的条件下，若有成立，求的范围. 题组四：对数函数全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（20-21高三上·北京·强基计划）若x，y，z均为正整数，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（16-17高三·北京·强基计划）设，则不超过S且与S最接近的整数为（    ） A． B．4 C．5 D．前三个答案都不对 3．（2007高二·全国·竞赛）若，且，则下列各式中，最大的是（    ） A． B． C． D． 4．（2013高一·全国·竞赛）若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 5．（2014高一·全国·竞赛）已知偶函数，则不等式的解为（    ） A．且 B． C．且 D．或 6．（2007高一·全国·竞赛）函数在其定义域内（　　） A．既是奇函数又是增函数 B．既是奇函数又是减函数 C．既是偶函数又是增函数 D．既是偶函数又是减函数 7．（2008高一·全国·竞赛）已知是定义在上的偶函数，且对任意都有，当时，则函数在区间上的反函数的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2008高一·全国·竞赛）若函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，则之间的关系是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 9．（2017高一·全国·竞赛）已知，则（    ）． A． B． C． D． 10．（2024高三上·全国·竞赛）设，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023高一上·安徽·竞赛）已知函数定义域为，若对于，当时，都有成立，则称函数是“共建”函数，则下列四个函数中是“共建”函数的是（    ） A． B． C．， D．， 12．（2023高一上·山东滨州·竞赛）已知，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 13．（2018高一下·安徽·竞赛）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（2017高一·湖南衡阳·竞赛）如果函数对任意的实数，都有，且当时，，那么函数在的最大值与最小值之差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 15．（2017高三上·河南·竞赛）已知函数若关于的方程有且只有个不同的根，则实数的值为 A． B． C． D． 16．（2017高三·浙江宁波·竞赛）若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（2011高二上·辽宁大连·竞赛）若,当时，,则下列不等式中正确的为（　 ） A． B． C． D． 18．（2020高一上·浙江温州·竞赛多选题）定义“正对数”：，下列命题中正确的有（    ） A．若，，则； B．若，，则； C．若，，则； D．若，，则. 19．（20-21高三·北京·强基计划）已知函数，且，则的最小值为 ． 20．（17-18高三·北京·强基计划）已知为上的偶函数，则 ． 21．（2024高二下·吉林·竞赛）函数 ( ，且 )，若对 成立，则实数的取值范围是 . 22．（2024高二下·广西·竞赛）设函数．若且，则的取值范围是 ． 23．（2024高二下·重庆·竞赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为 . 24．（2010高一·全国·竞赛）设定义在上的函数的反函数为，且对任意的都有，则 . 25．（2009高一·全国·竞赛）已知，则的大小关系是 ． 26．（2023高一下·海南·竞赛）请写出满足以下两个条件的一个函数： .①，都有；②. 27．（2012高二·全国·竞赛）有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”：运算符号紧跟在运算对象的后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式，其运算为：，，若计算机进行运算：，那么使此表达式有意义的的范围是 ． 28．（2016高二·全国·竞赛）已知函数，则关于的不等式的解集为 ． 29．（2007高一·全国·竞赛）函数在上的最大值与最小值之和为，则a的值为 ． 30．（2009高二·全国·竞赛）设是一个实数，若对于任何实数，不等式0恒成立，则的取值范围是 ． 31．（2007高一·全国·竞赛）方程（且）的解的个数为 个. 32．（2007高二·全国·竞赛）不等式的解集是 . 33．（2012高一·全国·竞赛）不等式的解集为 ． 34．（2021高一下·广东佛山·竞赛）若直线与函数的图像交于两点，且中点的坐标为，则 . 35．（2023高一上·安徽·竞赛）已知函数的图象不经过第二、四象限，请写出满足条件的一组的值 . 36．（2023高一上·山东滨州·竞赛）已知函数，则的值为 . 37．（2019高三·贵州·竞赛）已知函数，若m满足，则实数m的取值范围是 38．（2021高三·全国·竞赛）设，则 . 39．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）已知函数，则关于x的不等式的解集是 ． 40．（2018高三·全国·竞赛）设函数f(x)满足，且f(x)在．上的值域为[-1, 0]．求a的取值范围． 41．（22-23高二上·北京·强基计划）已知定义域为的R奇函数满足：当时，． (1)求函数在上的解析式，并判断在上的单调性（不需证明）； (2)若不等式在区间上有解，求实数m的范围． 42．（2013高一·全国·竞赛）当为何值时，不等式恰有一个解． 43．（2008高一·全国·竞赛）已知的值域为. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并给出证明； (3)若，求证. 44．（2007高一·全国·竞赛）已知定义域为的函数，对任意恒有. (1)求证：当时，. (2)若，恒有，求证：必有反函数. (3)设是的反函数，求证：在其定义域内恒有. 45．（2016高一·全国·竞赛）已知函数． (1)当时，若，求的取值范围； (2)若定义在R上的奇函数满足，且当时，，求在上的函数表达式； (3)对于（2）中的，解关于的不等式． 46．（2018高一·全国·竞赛）已知函数，记. (1)若，求实数的值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； (3)若对于恒成立，试问是否存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 47．（2011高一·全国·竞赛）对于， (1)函数的“定义域为”和“值域为”是否是一回事？分别求出实数a的取值范围； (2)结合“实数a取何值时在上有意义”与“实数a取何值时函数的定义域为”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别． 48．（2023高一上·安徽·竞赛）定义在上的函数，满足，对于任意的都有成立，并且，使得. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 49．（2023高一上·安徽·竞赛）已知函数    (1)请在网格纸中画出的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）； (2)定义函数在定义域内的，若满足，则称为函数的一阶不动点，简称不动点；若满足，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点. ①求函数的不动点； ②求函数的稳定点. 50．（2023高一上·山东滨州·竞赛）已知函数，且与函数互为反函数. (1)若的图象过点，解不等式：； (2)在（1）的条件下，若对于任意，都有成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高一对数函数易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校对数函数易错题精选 题组二：名校对数函数培优压轴试题精选 题组三：名校对数函数新定义试题精选 题组四：对数函数全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校对数函数易错题精选 1．若函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式以及对数的性质求解的定义域，即可求解的定义域. 【详解】的定义域需要满足： ，解得， 故的定义域为， 的定义域需满足，解得， 故的定义域为， 故选：A 2．已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数在每一段递减，且在分段处函数值的大小关系符合单调递减列出不等式求解. 【详解】在上单调递减， 所以 ， 解得 ，即， 所以则a的取值范围为， 故选： . 3．已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用介值法比较的大小，再应用的单调性比较大小即可. 【详解】解：因为， 所以； 又因为， 所以， 又因为在上单调递减， 所以， 故选：D． 4．已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数在上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 充分性，当“”时，函数在上不一定单调递增，故充分性不成立， 必要性，函数在上单调递增，则，故必要性成立， 则“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 5．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数值域，以及对数函数在区间上的值域，夹逼出一次函数在区间上的值域与的关系，列出关于的不等式求解即可. 【详解】当时，单调递增，又，故在上的值域为， 又在上的值域为，故是在上的值域的子集； 又当时，； 当时，显然不满足题意； 当时，在上单调递减，故在上的值域为不满足题意； 当时，在上单调递增，故在上的值域为， 若满足题意，则，即，故. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 6．“函数的值域为”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质，先分析出对数的真数部分能取得所有的正数，然后根据二次函数与其对应二次方程的关系，求出的范围即可求解. 【详解】因为函数的值域为， 设，则二次函数需要取到一切正数， 对应于方程中，，即， 解得或， 从而是“函数的值域为”的充分不必要条件. 故选：D 7．（多选题）对于任意的，表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．， D．对于任意的，，不等式恒成立 【答案】ACD 【分析】对于A，求的取值范围，根据取整函数的定义分析判断；对于B，先解一元二次不等式，再利用取整函数定义求解；对于C，求的取值范围，根据取整函数的定义判断求解；对于D，根据取整函数的定义结合不等式的性质分析判断. 【详解】对于A，，由，有，则， 得，所以，A选项正确； 对于B，不等式，解得，即，得，B选项错误； 对于C，时，当，，， 当，，， 当，，， ，故C选项正确； 对于D，对于任意的，，，， 不等式，故D选项正确. 故选：ACD. 8．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．关于原点对称 C．在上单调递增 D．在上的最大值、最小值分别为、，则 【答案】ABD 【分析】利用作差法，结合对数函数的性质判断A，构造函数，研究的性质判断B，利用的单调性与奇偶性判断CD，从而得解. 【详解】对于A，， 所以，则， 即恒成立，所以的定义域为， 且当趋于无穷大时，接近于0， 当趋于无穷小时，趋于无穷大， 所以的值域为，故A正确； 对于B，因为， 令，则，易知的定义域为， 又， 所以为奇函数，关于原点对称，即关于原点对称，故B正确； 对于C，因为在上递减， 而将的图象向右平移一个单位可得的图象， 所以在上单调递减，故C错误； 对于D，因为在上递减， 且为奇函数，则， 在上为减函数， 而将的图象向右平移一个单位可得的图象， 在上为减函数，即在上单调递减， 则，故D正确. 故选：ABD. 9．（多选题）在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，下表为不同玻璃材料的透光率： 玻璃材料 材料1 材料2 材料3 0.7 0.8 0.9 设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对数的运算法则和单调性求解即可. 【详解】由换算公式和图表可知，，，， 又因为函数在上单调递增， 所以对于A：，说法正确； 对于B：，说法错误； 对于C：，，，说法正确； 对于D：，说法错误； 故选：AC 10．（多选题）下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】依题意，是在上单调递增的奇函数，分别讨论选项中各函数的单调性和奇偶性即可. 【详解】对任意，都有，则在上单调递增； 所以是在上单调递增的奇函数. 对于A，函数定义域为， ，不是奇函数，A错误； 对于B，与在上都为增函数，故在上为增函数， ，所以是在上单调递增的奇函数，B正确； 对于C，，易知在上单调递减，C错误； 对于D，函数定义域为R， 函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数，所以在上单调递增， ，是奇函数，D正确. 故选：BD. 11．（多选题）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在区间单调递增 D．在区间单调递减 【答案】BC 【分析】根据奇偶性的定义，先求函数的定义域，利用定义，可得A、B的正误； 根据复合函数单调性的判别，结合对数函数和对勾函数的单调性，可得C、B的正误. 【详解】由，则，当时，等号成立，则的定义域为， 为偶函数，故A错误，B正确； 当时，函数且单调递增，函数且单调递增，函数单调递增， 函数在单调递增，故C正确，D错误. 故选：BC. 12．已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对数函数性质分析可知：在上单调递增，且，结合二次函数列式求解即可. 【详解】因为在定义域内单调递增， 由题意可得：在上单调递增，且， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．已知且，若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由换底公式将化简，由函数的单调性建立不等式并求解即可. 【详解】， 因为在上单调递减，而在上单调递增， 所以，又， 或，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14．已知函数，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，由已知条件可得，解此不等式即可得解. 【详解】当时，， 当时，， 所以对任意的，， 则，所以函数的图象关于直线对称， 因为函数在上单调递增， 所以，即， 即，平方得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 15．设函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由函数解析式分析得为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可. 【详解】函数，定义域为， ，函数为偶函数， 当时，在上单调递增， 则在上单调递减， 不等式，则有，解得且， 所以不等式解集为. 故答案为： 16．已知函数的值域是全体实数，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可得能取遍所有正实数，由此可得关于m的不等式，即可得答案. 【详解】函数的值域是全体实数， 即能取遍所有正实数， 由于，故， 当且仅当即时等号成立， 故，即，即实数m的取值范围是. 故答案为： 17．已知函数为奇函数. (1)求实数的值并判断的单调性（无需证明）； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，在和上单调递减 (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求实数的值，根据复合函数的单调性及奇偶性判断函数的单调性； （2）根据函数的单调性，利用分类讨论的方法求解； （3）将双变量双函数相等关系的问题转化为求解. 【详解】（1）函数中，， 因为为奇函数，所以，即， 整理得，所以，即， 其定义域为， 由复合函数的单调性可知，在和上单调递减； （2）因为在和上单调递减，并且， 所以①，解得， ②，无解 ③，解得 综上所述，的取值范围为； （3）， 当时，，故， 所以在上值域为， 又 ，， 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 18．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法，将转化为，，利用二次函数的性质即可求解， （2）换元，解一元二次不等式，进而根据对数的单调性求解， （3）换元，分离参数，将问题转化为在上恒成立，即可利用函数的单调性求解最值得解. 【详解】（1）因为 令，，则， 函数转化为，， 则二次函数，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5， 故当时，函数的值域为． （2）由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或． （3）由于对于上恒成立， 令，，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，它的最大值为， 故时，对于恒成立． 19．已知，函数是奇函数，. (1)求实数的值； (2)若，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，再由函数的单调性可得，由二次函数的值域可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为函数是奇函数，所以， 即，即，解得， 因为，所以. 当时，，此时的定义域为， 关于原点对称，满足题意. 综上，. （2）由题意得，， 由（1）知，， 易得在上单调递增，故. ， 当时，，所以， 所以， 解得，即实数的取值范围为. 20．已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若函数的最大值是，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据复合型对数函数的单调性解不等式求解集； （2）令，问题化为在上最大值为，利用二次函数性质研究最值并列方程求参数. 【详解】（1）由题意，则，可得，即； （2）令，而在定义域内单调性递增， 所以，最大值是，则只需，令， 所以在上最大值为， 根据二次函数性质有，则函数的图象开口向下，对称轴为， 所以，则， 整理得，可得或（舍）. 21．已知函数，，过定点． (1)若，求函数的定义域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求出的值，即可得到解析式，从而得到，结合对数函数的性质求出函数的定义域； （2）由对数函数的单调性得到在上恒成立且恒成立，参变分离可得在上恒成立，结合函数的单调性求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为过定点， 所以，解得，所以， 所以， 则，解得，所以的定义域为. （2）因为， 所以不等式在上恒成立，即在上恒成立， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立且恒成立， 则且在上恒成立， 因为， 且，均在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时取得最小值， 所以，解得，即的取值范围. 22．函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性进行求解即可； （2）根据（1）的结论，通过常变量分离，结合构造函数、结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）， ，， 令，则， 易知单调递减，该函数值域为即； （2）令，则在上恒成立， 当时，恒成立，； 当时，等价于恒成立， 令. 当且仅当时取等号，. 综上，. 23．已知函数，关于的不等式的解集为，且. (1)求的值； (2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据，求出不等式的解，结合可得的值； （2）利用换元法，把函数转化为二次函数，结合二次函数区间最值法求解. 【详解】（1）由可得，又，所以， 又因为的解集为，所以， 因为，所以，即， 解得或，因为，所以； （2）由（1）可得， 令，则，设， ①当 时，在上单调递增， 则，解得，符合要求； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，又，故； ③当时，在上单调递减， ，解得，不合题意； 综上所述，存在实数或符合题意. 题组二：名校对数函数培优压轴试题精选 1．记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出，结合，的单调性得到，并求出在区间上的值域为，由题意得到在上的值域包含在上的值域，从而得到不等式，求出 【详解】在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，即在区间上的值域为. ， 令，得，解得或， 画出，的图象如图所示， 若，，使得成立， 则需要在上的值域包含在上的值域， 则，解得，即的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：求出的解析式，从而确定的值域，并得到在上的值域包含在上的值域，得到不等式，求出答案 2．若函数且为常数在（为常数）上有最小值，则在上（    ） A．有最大值12 B．有最大值6 C．有最小值 D．有最小值 【答案】A 【分析】构造函数，证明函数为奇函数，利用奇函数的性质可得最大值，由得解. 【详解】设， 因为，所以的定义域为，关于原点对称， ， 即为奇函数，且， 因为在上有最小值，所以在上有最小值， 由奇函数的对称性知，在上有最大值， 所以在上有最大值， 故选：A 3．已知定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且．满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数运算法则将不等式变形进行构造函数，再由函数单调性定义可得在上单调递减，原不等式等价于，利用单调性即可解得结果. 【详解】将不等式化简可得； 令，可得， 即对任意的，，都有， 所以函数在上单调递减， 则等价于， 即，可得， 又，所以， 所以等价于， 因此可得，解得, 可得x的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将不等式变形通过构造函数并利用所给函数值以及函数单调性解不等式即可得出结果. 4．已知函数，若，则图象与两坐标轴围成的图形面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】B 【分析】将图象与两坐标轴围成的图形面积，转化为图象与所围成的图象面积.利用的单调性、对称性等知识求得围成图形的面积. 【详解】由题可知函数图象为图象向左平移一个单位得到， 图象与两坐标轴围成的图形面积即为图象与所围成的图形面积， ，由得，解得， 所以的定义域为， 则有，函数的图象关于点成中心对称， 又，且点与点也关于点成中心对称， ， 由复合函数单调性可得函数在区间上单调递减， 如图，根据对称性可知图象与所围成的图形面积是， 也即图象与两坐标轴围成的图形面积为. 故选：B 【点睛】本题涉及到多个函数的性质，如函数定义域的求法、函数图象变换（左加右减）、函数图象的对称性的判断方法、复合函数单调性的判断，还有对称图形面积的求法，需要利用数形结合的数学思想方法来求解. 5．已知，则所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合指数，对数的性质，进行放缩，确定所在的区间即可. 【详解】由，则，因此， 又，则，因此， 故， 由，则，因此， 又，则，因此， 故， ，即， 结合选项知，所在区间是， 故答案为：B. 【点睛】关键点点睛：借助指数，对数的性质，进行比较大小，从而达到对，的放缩，在放缩时尺寸的大小是本题的难点，因此本题属于较难的题. 6．已知函数，满足为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由已知构造函数，探讨函数的单调性、奇偶性，进而求得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】令，由，得定义域为， ，即函数是奇函数， 而， 当时，函数是增函数，又是增函数，于是函数在上单调递减， 由奇函数的性质知，函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，由， 得，即， 所以，则，即，又， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为2. 故选：B. 7．已知，，设函数，若，则的最小值为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由化简得，就底数进行分类讨论求解得到，最后利用常值代换法，由基本不等式即可求得. 【详解】由可得，，即，也即， 因，①当时，可得，即得； ②当时，可得，即得， 综上可得，，即，因 故由， 当且仅当时，取得最小值,等于4. 故选：B. 8．（多选题）下列命题错误的是（    ） A．已知函数，则不等式的解集为 B．函数在单调递减，且为奇函数，，则满足的取值范围是 C．若在单调递减，则 D．已知函数，则 【答案】BCD 【分析】先判断是偶函数，然后结合单调性求解函数不等式判断A，分类讨论法结合单调性法求解函数不等式判断B，举反例判断C，逐次求解函数值判断D即可. 【详解】因为且的定义域为， 所以即为偶函数. 当时,由复合函数单调性得单调递增,且 由可得 即所以即 所以解得故A正确， 由已知得使不等式成立的x满足 或，因为为奇函数.且 所以，将的图象向右平移个单位后，由得 又，即 所以满足的范围为 同理，满足的范围为 综上，的取值范围为 故B错误， 当时，此时， 令内函数为，它开口向上，对称轴为， 显然在上单调递减， 令，解得，定义域符合， 而外函数为此时单调递增， 故复合函数在上单调递减， 得到当时，在上单调递减， 但不在中，故C错误， 而，令则， 故D错误， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是进行分类讨论，然后表利用单调性求解函数不等式，得到所要求的取值范围即可． 9．（多选题）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（    ） A．若，，则实数m的取值范围为 B．若，，则实数m的取值范围为 C．若，，则实数m的取值范围为 D．若，，则实数m的取值范围为 【答案】BD 【分析】先判断函数为奇函数，再分和讨论的单调性，分和讨论函数的单调性，根据复合函数的单调性判断得出的单调性，利用单调性将进行等价转化成含参数的不等式，求解即得. 【详解】对于函数，因，则函数是奇函数. 不妨设，则， 对于A项，当时，在定义域内为增函数， 因，则在R上也是增函数，故在R上也是增函数. 由，则，即（*）， ①当时，此时恒成立；② 当时，由（*）可得，解得，综上可知，，故A项错误； 对于B项，当时，在定义域内为减函数，因，则在R上也是减函数，故在R上是增函数， 由A项分析可得，恒成立可得，，故B项正确； 对于C项，当时，在定义域内为增函数，因，则在R上是减函数，故在R上是减函数， 由，则，即（*）， ①当时，无解；② 当时，由（*）可得，解得或，综上可知，，故C项错误； 对于D项，当时，在定义域内为减函数，因，则在R上也是增函数，故在R上是减函数， 由C项分析可得，恒成立可得，，故D项正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：一般先考虑函数的奇偶性，再根据参数分类判断，构成复合函数的内外函数的单调性，利用单调性去掉抽象函数的符号，将其化成含参数的不等式恒成立问题，再对参数分类讨论不等式解的情况即得. 10．（多选题）已知函数，下列四个命题正确的是（    ） A．函数的单调递增区间是 B．若，其中，则 C．若的值域为R，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，利用复合函数的“同增异减原则”即可求得；对于B，判断的符号，去掉绝对值，代入化简即得；对于C，要结合对数函数的图象理解，要使对数型函数的值域为R，须使真数能取遍一切正数，列出不等式组求解即得；对于D，分别判断绝对值内的对数式的符号，去绝对值，再结合的范围，利用对数函数单调性即可比较大小. 【详解】对于A项，由可得，取，因在定义域内为减函数， 而在区间上递增，在区间上递减， 根据同增异减原则可知：函数的单调递增区间是，故A项正确； 对于B项，因，，故由可得：，即得，则，故B项正确； 对于C项，要使的值域为R，须使能取遍一切正数. ① 当时，可以取遍一切正数，符合题意； ②当时，依题意，须使，解得：. 综上可知，故C项正确； 对于D项，当时，，，则，， 故，， 由可得：，则，即得：，故D项正确. 故选：ABD. 11．（多选题）已知，且满足，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】观察等式，借助函数，有，结合函数单调性可得，而后逐一检验选项即可得. 【详解】由，则， 则， 令，则有， 由，故在上单调递增， 故，则， ，由，故无最大值，故A错误； ，当且仅当时等号成立，故B正确； ，由，故无最大值，故C错误； ，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 【点睛】本题关键点在于观察出等式可借助同构思想，设出函数，将原等式转换成，结合单调性从而得出. 12．（多选题）已知正数a，b，c满足，，且，记，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则，都有 B．若，则，都有 C．若，则，都有 D．若，则，都有 【答案】BCD 【分析】对于选项，用与作差，与作差，根据差式，构造新函数，根据复合函数单调性判断规则即可求解；对于选项，讨论的范围，再构造指数不等式，根据指数函数单调性即可判断. 【详解】令， 因为在定义域上单调递减，在定义域上单调递增， 故在上单调递减， 故， 故，即； 令， 因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递增， 故在上单调递增， 故， 故，即. 综上所述，若，则，都有，故A错误； 同理可得，B正确； 若，则； 若，由①的推论可知，，则， 而， 故，则， 故，故， 故； 若，同理可得，； 故若，则，都有， 当且仅当时等号成立，则C正确； 同理可得，D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查指对数函数的图象与性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养. 13．已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再将不等式转化为，再将不等式，转化为，利用基本不等式求最值，即可求解. 【详解】因为的定义域为， ， 所以为奇函数.因为函数在上单调递增， 函数在上单调递增， 所以在上单调递增. 因为为R上的奇函数，所以在上单调递增， 因为，所以不等式即为，则. 因为，所以，即. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数奇偶性和单调性，利用函数的单调性，解抽象不等式. 14．甲说：在上单调递减，乙说：存在实数使得在成立，若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围是 【答案】 【分析】若甲对，根据对数型函数单调性求得；若乙对，分析可得，，结合函数单调性可得；取反面，结合集合间的运算求解即可. 【详解】若甲对，则在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 若乙对，由，，可得，， 因为在内单调递减，在内单调递增， 且，可知在内的最大值为， 可得，解得； 若甲、乙说的均不对，且或与的交集为， 若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：取“甲、乙两人至少有一人说的话是对的”的对立面“甲、乙说的均不对”，把问题转化为集合间的运算求解即可. 15．已知函数．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】设， 对任意的，， 故对任意的，，故函数的定义域为， 因为 ， 所以，，函数为奇函数， 令，则函数在上为增函数， 函数为增函数，所以，函数在上为增函数， 由， 可得， 所以， 所以，即， 令， 当时，则有，显然成立； 当时，则， 所以，函数在、上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，则，解得，此时，； 当时，则， 所以，函数在上单调递减，在、上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 16．已知实数p，q满足，，则 ． 【答案】3 【分析】由已知等式分别化简，，转化为两个函数的交点，利用数形结合的方法即可求得. 【详解】由，可得，由可知，即，则 即，即，则方程的解即为交点的横坐标， 方程，即关于的方程的解，即交点的横坐标， 因为互为反函数，所以它们关于对称，所以 的交点即为的交点和的交点的中点，作出函数图像如图所示， 联立方程，解得，即，所以 则. 故答案为：3 17．已知函数，， ①是奇函数； ②的图象关于点对称； ③若函数在上的最大值、最小值分别为、，则； ④令，若，则实数的取值范围是； 则上述说法正确的选项有 . 【答案】②③④ 【分析】利用函数的奇偶性的定义，可判定①错误；利用函数的对称性可判定②正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定③正确；利用函数的单调性，可判定④正确. 【详解】对于①，由题意函数， 因为恒成立， 故恒成立，即函数的定义域为， 又因为，所以不是奇函数，所以①错误； 对于②，， 所以的图象关于对称且在R上为减函数，所以②正确； 对于③，将函数的图象向左平移一个单位得， 因为， 即，所以函数为奇函数，所以关于点对称，且根据解析式易单调递减， 设，由②分析有关于点对称，且根据解析式易得单调递减， 设，综上有图象关于点对称，且单调递减， 若在处 取得最小值，则在处取得最大值， 故，即，故，所以③正确； 对于④，由，即为， 故，而为上的减函数， 故，即，所以④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】方法点睛：求解函数有关的不等式的方法及策略： 1.解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤： ①将函数不等式转化为的形式； ②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解. 2.利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 18．设函数．若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据恒成立得出条件等式，利用二次函数性质即可求解. 【详解】当时，，此时要使，还需恒成立，即还需， 当时，，此时要使，还需恒成立，即还需， 综上所述，，即， 所以，所以的最小值为，等号成立当且仅当. 故答案为：. 19．已知函数. (1)当，时，求函数的值域； (2)当时，若方程有两个不相等的实根，，且. ①求t的取值范围； ②证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）利用换元法可求值域； （2）①变形得到，即与有两个不同的交点，根据的单调性和图象，数形结合得到答案；②根据①得到，，且满足，即，计算出，又，代入后计算可得结论. 【详解】（1）当，时，，令，则， 则，即，故函数的值域为； （2）当时，， ①因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， ， 即，设，即与有两个不同的交点， 其中当时，单调递减， 当时，单调递增，其中， 当时，，结合图像可知；    ②由①可知，所以，， 且满足，，即. 又， 所以 ， 因为，所以，， 故.即证出 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 20．设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可； （2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围. 【详解】（1）当时，，不等式， 即，所以，即，等价于， 解得或； 所以不等式的解集为； （2）因为，，所以当时，函数为减函数， 所以函数在区间上单调递减， 又函数在区间上最大值和最小值的差不超过1， 所以， 即，即 所以， 即存在使成立，只需即可， 考虑函数，，令， ， 设，其中， 任取，且，则， 因为，所以，因为，所以， 所以，所以函数在上单调递减， 所以在单调递减，所以， ，所以， 所以的取值范围为. 21．已知函数，，其中． (1)当时，求函数的定义域与值域： (2)设集合，证明：； (3)已知矩形的顶点，在的图象上，顶点，在的图象上轴，若，且该矩形的中心为点，求的值． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据对数函数的性质求定义域； （2）由对数函数性质不等式化为关于的一元二次不等式在上有解，再转化在上有解，利用根的分布知识求解可得； （3）确定与的图象关于轴对称，由对称性得矩形的中心在轴上，得，设点坐标（），由对称性表示出的坐标，由此由对称性求得，得出，从而可得结论． 【详解】（1）由题意可得：，得， 定义域为． 当时，， ，， 值域为． （2） 又因为，所以可得 要证明：即证明在上有解 存在，使得成立 ，即为， 不等式在上有解， 设，因此在上有解， 所以，解得， 在上有解 即可证明： （3）与关于轴对称 由题意可知，矩形关于轴对称，所以，． 所以设点坐标（） 因为矩形且轴，轴 点坐标 又矩形关于轴对称 点横坐标为，同理可得点坐标 ，且该矩形的中心为点 所以可得：，消去 得： 所以，展开可得： 因式分解可得： 所以． 【点睛】方法点睛：本题第（2）小题的解法是利用对数函数性质把问题转化为不等式有解问题，然后再转化为一元二次方程在区间内有解，从而利用二次方程根的分布知识求解．第（3）小题关键是确定函数图象的对称性，得出矩形中心在轴，然后设矩形顶点坐标，利用对称性把矩形中心坐标与顶点坐标建立关系，从而求得参数值． 22．已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围； (3)若将区间划分成2022个小区间，且满足，试判断和式是否为定值，若是，请求出这个值，若不是请说明理由． 【答案】(1) (2) 或 (3)是定值，1 【分析】（1）利用对数函数的单调性，即可求得答案； （2）将在上有实数解，转化为在上有实数解，结合对数函数单调性求函数值域，即可求得答案； （3）利用在区间上是增函数，化简已知和式，脱掉绝对值符号，即可求得答案. 【详解】（1）由得， 得，， 所以不等式的解集为； （2）在上有实数解， 在上有实数解， 因为在上是单调递增函数， 故， 则，即， 解得或； （3）由知，在区间上是增函数， 对任意划分， 均有， ++ ， 所以此和式为定值1. 【点睛】关键点睛：解答此题的关键是解答第三问时，要结合函数的单调性，化简和式，脱去绝对值符号，进而求解. 23．已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：的图像为轴对称图形； (3)若关于的方程在上有解，求的最小值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据复合函数的单调性可知二次函数在上单调递减，由真数大于零再结合二次函数的对称轴与区间的关系列出不等式即可求出参数；（2）根据函数轴对称的关系式可证为轴对称图形；（3）方程在上有解转化为在上有解，再利用基本不等式求函数的最小值即可. 【详解】（1）因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 则 解得， 故的取值范围为. （2）证明：当时，的定义域为， 因为， 所以的图像关于直线对称， 故的图像为轴对称图形. （3）由方程在上有解，得方程在上有解且， 即在上有解， ， 当且仅当时取得等号， 又当时，在上恒成立， 所以的最小值为. 题组三：名校对数函数新定义试题精选 1．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“二倍函数”.若函数（且）是“二倍函数”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复合函数单调性性质可得为单调递增函数，再由值域关系可得方程有两个不相等的实根，再由换元法以及二次函数根的分布情况可得结果. 【详解】根据题意可知当时，由复合函数单调性可得为单调递增， 当时，由复合函数单调性可得为单调递增； 因此可知为单调递增函数， 若函数是“二倍函数”，还需满足； 即可得，因此可得方程有两个不相等的实根； 令，可得关于的一元二次方程有两个不相等的正根， 因此，解得. 可得实数的取值范围为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据“二倍函数”的定义得出关于的方程有两个不相等的实根；再转化成二次函数根的分布问题即可求得结果. 2．若函数与在区间上的单调性相同，则称区间为的“稳定区间”，若区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】有题意可知，函数与在区间上同增或同减，先分和两种情况讨论，再在中根据同增和同减两种情况对函数进行分析讨论即可. 【详解】根据题意，，函数与在区间上的单调性相同. 当时，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意； 当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增. ，则函数在上单调递减，在上单调递增. ①在上单调递增，则，解得. ②在上单调递减，则，不等式组无解. 综上所述：. 故选：B. 3．已知两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点,,与函数的图像从左至右相交于,．记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数图像，结合图像计算四点的横坐标，然后求出线段和在轴上的投影长度，，代入，表达关于的函数，整理后，换元法利用基本不等式求最小值. 【详解】作出函数图像如图，如图所示， 设点，，，， 则，， 此时有，，，， 解得，，，， 线段和在轴上的投影长度分别为， ，， 则 ，令， 则， 当且仅当，即时取得最小值，此时的最小值为. 故选：B. 【点睛】（1）求最值几个常见的两个方向：一是解不等式求范围产生最值；二是利用函数求最值，其中利用函数求最值是首选； （2）函数求最值又常见两种类型：一是给出函数表达式求最值，二是没有表达式求最值，此类问题需首选要寻找合适的变量，表达函数关系式； （3）求函数最值常用的方法有利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．如果是分段函数，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． （4）本题属于没有函数表达式求最值，取自变量为，分别表达线段和在轴上的投影长度，，代入，得到关于的函数关系式，通过基本不等式求出最小值，属于难题. 4．定义函数，.若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的算术平均数为.已知，，则在上的算术平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件得到，求得的取值范围，求得的取值范围，由列不等式，由此求得. 【详解】依题意，则， 已知，，为增函数， 所以， ，设， 依题意得，所以， 故. 故选：B 【点睛】存在性、恒成立问题，可转化为包含关系或最值，然后列不等式来求解. 5．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：① 函数的定义域为，值域为；②函数在上是增函数；③函数是周期函数，最小正周期为；④函数的图像关于直线对称，其中正确命题的个数是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，作出函数的大致图象，根据函数的基本性质，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】设， 的定义域要求真数大于0，则要，因此定义域为，故①错误； 当时，且，， 当时，且，， 显然的图象是由的图象向右平移1个单位而得， 一般地当时，且，， 于是可画出的大致图象， 由图象知函数在上是单调递减，又为减函数， 所以函数在上是增函数，故②正确； 函数是周期函数，最小正周期为，故函数是周期函数，最小正周期为，故③正确； 函数的图像关于直线对称，故函数的图像关于直线对称，故④正确. 所以正确命题的个数是3. 故选：C. 6．（多选题）定义区间的长度为，记函数（其中）的定义域的长度为，则下列说法正确的有（ ） A． B．的最大值为 C．在上单调递增 D．给定常数，当时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】求函数的定义域，得判断选项A；利用单调性定义证明单调性判断选项C，由单调性求判断函数的最值判断BD选项． 【详解】由，得，，，A选项正确； 设，则， ，，，，在上是增函数， 同理可证，在上是减函数， 所以在上是增函数，在上是减函数，C选项错误； 为最大值，B选项正确； ，，，在上是增函数，在上是减函数， 的最小值为和中较小者， ． 的最小值为，D选项正确． 故选：． 7．（多选题）对于任意两个正数，记曲线直线轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨 最早发现.关于，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据确定出的结果，然后分类讨论、、、或时的结果，由此确定出的解析式，再根据解析式逐项分析即可. 【详解】由题意，所以， 当时，， 当时，， 当时，， 当或时，也成立， 综上所述，； 对于A：， 所以，故A正确； 对于B：， 且，所以，故B正确； 对于C：如图，因为曲边梯形的面积总小于对应梯形的面积， 所以， 即，故C错误； 对于D：取，则，故D错误； 故选 . 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，对学生分析与总结问题的能力要求较高，难度较大.解答本题的关键在于能通过所给的关系式结合图形中的面积转化关系推导出函数的解析式. 8．（多选题）有一种附中精神叫“平民本色，精英气质”.若函数满足对任意，都有，则称为“精英”函数.下列选项正确的是（    ） A．，为“精英”函数 B．若为“精英”函数，则，其中且 C．若为“精英”函数，则且，有 D．，，则为“精英”函数 【答案】ABD 【分析】根据“精英”函数的定义结合函数单调性的判断一一分析即可. 【详解】对A，因为， 所以 ， 故，故是“精英”函数，A正确； 对B，因为为“精英”函数，故，即， ，故， 同理可得，……，，其中且，B正确； 对C，若且，有，则单调递增， 而举例，满足， 即，为“精英”函数，但在上单调递减，故C错误； 对D，，，即， 则在上单调递减， 任取，， 则， 即， 变形为， 两式相加得：， 因为，所以， 则为“精英”函数，D正确. 故选：ABD. 9．定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”． （i）是否为“型函数”？ ；（填“是”或“否”） （ii）若函数是“型函数”，则实数的取值范围是 ． 【答案】 否 【分析】根据“型函数”的定义，结合特殊值进行判断；对进行分类讨论，根据“型函数”的定义列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】是偶函数，且在递减，递增. 当时，；当时，. 若取，则不存在，使得. 所以不是“型函数”. 由于是“型函数”. 当时，在上单调递增，. 而，要使存在且唯一，则有，解得. 所以. 当时，在递减，递增，. 而，要使存在且唯一，则有，解得. 所以. 综上可知：. 故答案为：否； 【点睛】方法点睛：新定义问题的求解必须紧扣新定义，新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中. 10．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”.若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出的取值范围. 【详解】因为函数为“半缩函数”， 所以存在，使得在上的取值范围是， 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以有两个不等的实数根，且两根都大于0， 所以，解得. 故答案为： 11．函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. (1)判断下列函数是否具有性质，并说明理由. ①； ②. (2)已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用含字母的式子表示） 【答案】(1)①具有性质，理由见解析；②不具有性质，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案. （2）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求解的取值范围. 【详解】（1）①对任意，， 所以具有性质. ②对任意，得， 取，则，所以不具有性质. （2）由于，函数的定义域为， . 若函数具有性质，则对于任意实数， 有， 即，即. 由于函数在上递增，得， 即. 当时，得，对任意实数恒成立； 当时，易得，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数恒成立， 所以解得. 当时，易得，由，得， 得，得. 由题意得对任意实数恒成立， 所以解得. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（1）的关键是对于性质的定义的理解和应用； （2）的关键是通过性质的定义列不等式，然后对参数分类讨论求解. 12．对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数. (1)当时，判断函数在上是否“友好”； (2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上“友好” (2) 【分析】（1）判断函数的单调性，利用单调性求出最值，即可判断； （2）根据单调性求出函数的最值，即可得到，参变分离得到，换元，利用函数的单调性求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以， ， 所以， 即，有， 所以当时，函数在上是 “友好”的. （2）依题意可得在上单调递减， 则，， 则有， 即， 即，可得，即， 令，因为，则且， 则， 令，， 令， 令任意的且， 则， 即，所以函数在上单调递减， 同理可得在上单调递增， 又，， 当或时，取最大值，此时， 于是当或时，取最大值， 依题意， 又对于任意的，恒成立，即恒成立， 因为，所以， 即，所以，此时， 综上可得的取值范围是. 13．若存在实数、使得，则称函数为函数，的“函数”． (1)若函数为函数、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数、的解析式； (2)设函数，，是否存在实数、使得函数为函数、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 注：为自然对数的底数． 【答案】(1)， (2)存在，， 【分析】（1）根据题意以及函数的奇偶性可得出关于、的等式组，即可解得函数、的解析式； （2）假设存在实数、满足题设要求，根据偶函数的定义结合对数的运算性质可得出，再由函数的值域结合基本不等式可求出的值，进而可得出的值，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为为、的“函数”， 所以①，所以． 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 联立①②得，，． （2）解：假设存在实数、使得函数为函数、的“函数”． 则． ①因为是偶函数﹐所以． 即， 则， 整理得． 因为对恒成立，所以． ②． 因为，当且仅当取等号， 所以， 由于的值域为，所以，则， 又，所以． 综上，存在，满足要求． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 14．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)试判断的单调性，并说明理由； (3)定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，理由见解析 (3) 【分析】（1）由函数解析式直接求定义域； （2）法一：利用复合函数单调性判定； 法二：定义法证明单调性； （3）由题意可知方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．再利用基本不等式求出函数的值域即可. 【详解】（1）要使函数的表达式有意义，须使，解得， 所以函数的定义域是． （2）在上单调递增． 理由如下：法一： 因为， 又在上为增函数，在上为减函数， 在上为增函数，在上为增函数， 故在上单调递增． 法二： 因为， 对任意，，且，可知，则 ， 又， 可知，所以， 即．故在上单调递增， （3）由（2）可知在上单调递增， 设区间是函数的“完美区间”．则，． 可知方程在上至少存在两个不同的实数解， 即在上至少存在两个不同的实数解， 所以与在上至少存在两个不同的交点． 令，则， 所以， 当且仅当时，取等号． 又在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，． 所以．故实数b的取值范围为． 【点睛】思路点睛：第三问由题意，可将问题转化为方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．接下来利用换元法求出函数的值域即可. 15．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“和一函数”． (1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上是“和一函数”． ①求的值； ②求的取值范围． 【答案】(1)不是“和一函数”；理由见解析 (2)①；②． 【分析】（1）举出反例即可； （2）①根据函数单调性得到，对任意，，存在，使成立，则，根据集合包含关系得到，则，②表达出，，由对勾函数单调性得到取值范围. 【详解】（1）在区间上的函数不是“和一函数”，理由如下： 在上是减函数， ， 当时，对任意，，不符合“和一函数”的定义， 故在区间上的函数不是“和一函数”； （2）①在上是增函数， ， ∴值域， 又在定义域上是“和一函数”， 对任意，，存在，使成立， 则， ，， 则，即， ，则， ②，即， ， ，解得， 则， 令，， 在上是减函数，在上是减函数， ∴在上是减函数，则， ， 故的取值范围为． 【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 16．若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. (1)若函数是型函数，求的值； (2)若函数是型函数，求和的值； (3)已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定的定义，结合指数运算计算即得. （2）利用给定的定义，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得. （3）利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立求解即得. 【详解】（1）由是型函数，得，即， 所以. （2）由是型函数，得， 则，因此对定义域内任意恒成立， 于是，解得， 所以. （3）由是型函数，得， ①当时，，而，则，满足； ②当时，恒成立， 令，则当时，恒成立，于是恒成立， 而函数在单调递增，则，当且仅当时取等号，因此； ③当时，，则， 由，得， 令，则当时，， 由②知，则只需时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为， ①若，总有成立，则； ②若，总有成立，则； ③若，使得成立，则； ④若，使得成立，则. 17．如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数． ①对任意的，总有； ② 当时，总有成立． (1)记，求证：为型函数； (2)设，记，若是型函数，求的取值范围； (3)是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，理由见解析 【分析】（1）证明函数满足型函数的定义即可； （2）根据是型函数，则由其满足条件①推出，再结合其满足条件②得关于b的不等式，利用构造函数，结合函数最值，即可求得答案； （3）举出具体函数，说明其满足型函数的定义，即可得结论. 【详解】（1）当时，， 当，，时， ，， 则， ，， ，为型函数. （2）当时，由得， 当，，时， ，， 由，得， 即，即， 即， 令， 则对称轴， 所以在上的最小值为，只要，则， 因为， 所以． （3）存在，举例1：． 理由如下：当时，符合； 当，，时， ，， ，， 故， ，即， 即是型函数，且对任意的，存在，使得等式成立； 举例2：； 理由如下：当时，，符合， 当，，时， ，， ， ， 即，即是型函数， 且对任意的，都存在，使得等式成立. 由此可知存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立. 【点睛】关键点睛：解答此类给出新的函数定义的题目，解答的关键是要理解题中所给的新的函数定义的含义，明确其满足的条件，然后按照其需满足的条件求解即可. 18．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中），则称为区间上的“倍缩函数”． (1)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围； (2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；； 【分析】（1）根据函数是“倍缩函数”，结合题意中的定义即可求解； （2）由题意可得，然后分类讨论，从而求解出的值，从而求解. 【详解】（1）由题意得，为“倍缩函数”，则， 因为在其定义域上为单调递增函数， 在其定义域上单调递增， 由复合函数可得在区间上单调递增， 所以，解得， 所以为的两个解，令，， 得有两大于零的不同的根，所以，解得. 故的取值范围为. （2）存在，，，理由如下： 由题意得为区间上的“倍缩函数”， 所以， 所以当时，因为，故此种情况不符合题意； 所以当时，，此时在区间上单调递减， 所以，解得：，故此种情况不符合题意； 当时，，此时在区间上单调递增， 所以，解得， 所以是方程的两正根，所以，得， 此时：，，故此种情况符合题意； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有最小值，故此种情况不符合题意. 综上所述：存在，使为区间上的“1倍缩函数”. 19．定义：函数的定义域为，且任意，存在，使得，则称为“好函数”.已知，. (1)当时，判断是否为“好函数”，并说明理由； (2)若为“好函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)是“好函数”，理由见解析 (2) 【分析】（1）令，当时，，则，根据条件即可判断； （2）因为单调递增，根据题意分情况讨论值域与的关系，求解即可. 【详解】（1）令，当时，，所以恒成立， 因为，所以，得定义域为，即， 因为，都有，，且， 所以存在，有， 即任意，存在，使得成立， 故当时，判断为“好函数”. （2）令函数的值域为集合， ①当时，由（1）可知为“好函数”， 即有实数根，则，解得或; ②当，得 函数对称轴为，所以, 令，，当时，函数有最大值， 当或时，函数有最小值， 即函数，令，， 因为函数函数对称轴为， 所以函数在上单调递增， 即函数单调递增，所以， 因为且，所以， 当且仅当，且时等号成立， 不满足题中任意，存在，使得成立， 综上所诉：实数的取值范围为 【点睛】方法点睛：全称命题判断为假，可以通过以下两种方法判断：一、举一个例子不满足该命题；二、有且只有部分满足该命题. 20．《判定树理论导引》中提到“1”型弱对称函数：函数定义域为，且满足设函数 (1)若是“1”型弱对称函数，求m的值； (2)在（1）的条件下，若有成立，求的范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据“1”型弱对称函数满足即可代入化简求解， （2）将问题转化为求解，对分类讨论求解的取值范围即可结合最值求解. 【详解】（1）解：是“1”型弱对称函数 （2）由（1）得， 由于函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， ，                  当时，由于函数在单调递增，所以在上单调递减， 当时，此时， ，，解得， ，                     当时，此时， ，，又，故 -                          当时，由于函数在单调递减，且， 所以在上单调递增，， ，且，， ，，又，所以， 当时，成立.           综上：或 【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元，进而转化为最值问题，（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. 题组四：对数函数全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（20-21高三上·北京·强基计划）若x，y，z均为正整数，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特例可判断A的正误，根据指数函数的性质可判断B的正误，根据因式分解可判断C的正误，根据绝对值不等式可判断D的正误. 【详解】对于选项A，取， 则， 因此选项A不一定成立． 对于选项B，该不等式即， 而， 两边作轮换积即得该不等式，因此选项B一定成立. 对于选项C，该不等式即， 命题成立，因此选项C一定成立， 对于选项D，根据绝对值不等式，有， 命题成立，因此选项D一定成立． 故选：A. 2．（16-17高三·北京·强基计划）设，则不超过S且与S最接近的整数为（    ） A． B．4 C．5 D．前三个答案都不对 【答案】A 【分析】利用对数函数的单调性和对数的性质可判断的范围. 【详解】根据题意，． 一方面，， 另一方面，， 于是不超过S且与S最接近的整数为． 故选：A. 3．（2007高二·全国·竞赛）若，且，则下列各式中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再根据不等式的性质和对数的运算性质及对数函数的性质逐一判断即可. 【详解】∵且， ∴， 于是， 即，所以①， 又， ∴②， ③， 由①②③知最大. 故选：B. 4．（2013高一·全国·竞赛）若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则在上取得最小值为，根据题意有且，求解即可. 【详解】令，则， 故当时，在上取得最小值为， 又因为函数在上的最大值是2， 所以且，即，解得． 故选：C. 5．（2014高一·全国·竞赛）已知偶函数，则不等式的解为（    ） A．且 B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】 根据对数函数的运算性质及单调性进行求解即可. 【详解】不等式左边， 函数在上单调递增所以， 解之得，且. 故选：C. 6．（2007高一·全国·竞赛）函数在其定义域内（　　） A．既是奇函数又是增函数 B．既是奇函数又是减函数 C．既是偶函数又是增函数 D．既是偶函数又是减函数 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性定义及复合函数单调性判断即得. 【详解】函数中，，解得，即函数的定义域为， ，即函数为奇函数； 又，函数在上单调递减，而在上单调递增， 因此函数在上单调递减，所以函数既是奇函数又是减函数. 故选：B 7．（2008高一·全国·竞赛）已知是定义在上的偶函数，且对任意都有，当时，则函数在区间上的反函数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据判断出函数的周期性，再结合函数的奇偶性，求出当时的解析式，求出的解，即为的值. 【详解】因为，所以是以4为周期的周期函数， 又为定义在上的偶函数，所以. 当时，，， 所以：， 又时，. 所以，即，. 由. 即. 故选：B 8．（2008高一·全国·竞赛）若函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，则之间的关系是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】分析集合、、的元素特征，即可判断. 【详解】集合，即关于的不等式的解集， 即关于的不等式组或的解集的并集； 集合，即关于的不等式的解集； 集合，即关于的不等式的解集； 所以. 故选：D 9．（2017高一·全国·竞赛）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数的运算性质可得，再结合对数的单调性即可得出答案. 【详解】已知， 又对数函数在上单调递减， 所以， 故选：A． 10．（2024高三上·全国·竞赛）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先三个对数和0比较大小，再让和比较大小，即可求解. 【详解】，， ， 所以，则. 故选：A 11．（2023高一上·安徽·竞赛）已知函数定义域为，若对于，当时，都有成立，则称函数是“共建”函数，则下列四个函数中是“共建”函数的是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】B 【分析】根据题意可对化简后得，然后构造函数从而可求解.举例说明A不成立. 【详解】对于B：，定义域为， 根据题意，，当时，都有， 化简得，即， 设，即，得在其定义域上为单调递减函数，此时在上是单调递减函数，故B项符合； 对于C：，，定义域为，由上可知得在其定义域上为单调递减函数，但此时在上单调递增，故C项不符合； 对于D：，，定义域为，由上可知得在其定义域上为单调递减函数，但此时在上单调递增，故D项不符合； 对于A： 当且时，恒成立，不符合“共建”函数定义，即A项不符合； 故选：B. 12．（2023高一上·山东滨州·竞赛）已知，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较的大小，即可比较的大小，根据题中条件可得，再根据，可得，两边取对数即可比较的大小，进而得到答案. 【详解】由， 可得， 则， ， 故， 又， 所以，两边取以10为底的对数， ， 综上可知，， 故选:B. 13．（2018高一下·安徽·竞赛）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题函数的定义域为，值域为，求得当时，，当时，，即可求解得取值范围. 【详解】∵函数， 当时，；当时，或； 由题函数的定义域为，值域为， 作出函数的图象，结合图象可知，， 当时，，当时，， ∴， 所以. 故选：D. 14．（2017高一·湖南衡阳·竞赛）如果函数对任意的实数，都有，且当时，，那么函数在的最大值与最小值之差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】当时，，根据，即可求出在上的解析式，从而判断函数的单调性，根据单调性求出函数在上的最值，即可得解. 【详解】解：当时，，所以, 故当时，，即在上单调递减． 所以时，，， 故函数在的最大值与最小值之差为． 故选：C． 15．（2017高三上·河南·竞赛）已知函数若关于的方程有且只有个不同的根，则实数的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数图象，换元后得到结合分析出同正时，方程有根，得到时不合要求，求出时符合要去，求出实数的值. 【详解】 作出函数的图象， 令，关于的方程等价于 同号，只有同正时，方程才有根， 假设，则，此时关于方程有个不同的根，只有，关于方程有且只有个不同的根， 此时， 故选：C. 16．（2017高三·浙江宁波·竞赛）若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出当时函数的值域，依题意可得当时，，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：当时，函数，即的值域为， 当时，，即时，， 所以，且时恒成立． ∴，的取值范围为． 故选：A 17．（2011高二上·辽宁大连·竞赛）若,当时，,则下列不等式中正确的为（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质，结合对数的单调性进行求解即可. 【详解】因为， 所以当时，函数单调递增，当时，函数单调单调递减， 又因为当时,, 所以有，，因此选项A不正确， ， 故可化为; 即; 故, 故选：D 18．（2020高一上·浙江温州·竞赛多选题）定义“正对数”：，下列命题中正确的有（    ） A．若，，则； B．若，，则； C．若，，则； D．若，，则. 【答案】BCD 【解析】对于A，通过举反例说明错误；对于B，由“正对数”的定义分别对、分，；，两种情况进行推理；对于CD，分别从四种情况，即当，时；当，时；当，时；当，时进行推理． 【详解】对于A，当，时，满足，，而， ，，命题A错误； 对于B，当，时，有， 从而，，； 当，时，有，从而，， . 当，时，，命题B正确； 对于C，由“正对数”的定义知，且． 当，时，，而，则； 当，时，有，，而， ，则． 当，时，有，，而，则． 当，时，，则． 当，时，，命题C正确； 对于D，由“正对数”的定义知，当时，有. 当，时，有， 从而，， ； 当，时，有，从而，，； 当，时，有，从而， ，； 当，时，，， ，， 从而，命题D正确． 故选：BCD． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题． 19．（20-21高三·北京·强基计划）已知函数，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式可求的最小值. 【详解】根据题意，有， 整理得， 根据柯西不等式，有， 从而， 因此的最小值为． 故答案为：. 20．（17-18高三·北京·强基计划）已知为上的偶函数，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据偶函数的定义可求参数的值. 【详解】根据题意，有 即， 从而． 故答案为： 21．（2024高二下·吉林·竞赛）函数 ( ，且 )，若对 成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 . 【分析】对分和两种情况，利用对数函数的单调性，分参，利用函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】解: 当时， ， 设 ，则在上是减函数，所以 . 故 . 当 时， ， 设 ，则 在 上均为减函数， 所以 ， 所以 ，此不等式组无解. 综上，实数 的取值范围是 ， 故答案为：. 22．（2024高二下·广西·竞赛）设函数．若且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得且，从而，，利用对勾函数的单调性求解． 【详解】由， ，， 所以，， 得且， 从而，． 令，．则单调递减，无最大值且． 因此，，即的取值范围是． 故答案为： 23．（2024高二下·重庆·竞赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先判断出为上单调递增函数的奇函数，则可得也为上单调递增的奇函数，又，则不等式，即可得解. 【详解】由，为上的奇函数， 又在上单调递增，在上单调递减，所以为上单调递增函数， 又的值域为，所以也为上单调递增的奇函数， 因为，故. 故答案为：. 24．（2010高一·全国·竞赛）设定义在上的函数的反函数为，且对任意的都有，则 . 【答案】0 【分析】根据得到关于对称，从而反函数关于对称求解. 【详解】解：由知，关于对称， 所以反函数关于对称，. 故答案为：0 25．（2009高一·全国·竞赛）已知，则的大小关系是 ． 【答案】. 【分析】 根据题意，利用对数函数的图象与性质，得到，即可求解. 【详解】 由题意，利用对数函数的图象与性质，可得． 所以. 故答案为：. 26．（2023高一下·海南·竞赛）请写出满足以下两个条件的一个函数： .①，都有；②. 【答案】（答案不唯一） 【分析】 由条件①可得函数是减函数，由条件②可得对数函数，再写出一个函数式即可. 【详解】由，都有，得函数在上单调递减， 由，得函数满足对数运算， 因此函数可以是单调递减的对数函数，，取，. 故答案为： 27．（2012高二·全国·竞赛）有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”：运算符号紧跟在运算对象的后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式，其运算为：，，若计算机进行运算：，那么使此表达式有意义的的范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由新的定义列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】根据新的定义， 计算机进行运算：时，它表示的表达式是， 故，解得或，则的范围是. 故答案为： 28．（2016高二·全国·竞赛）已知函数，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，探讨奇偶性、单调性，再利用性质解不等式即得. 【详解】令，显然， 即的定义域是R，，， 因此为R上的奇函数，函数在上单调递减， 则在上单调递减，而函数在R上单调递增， 则函数在上单调递增，由奇函数性质知在上单调递增， 因此为R上的增函数，则由，得， 即，则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 29．（2007高一·全国·竞赛）函数在上的最大值与最小值之和为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】根据函数单调性求出最大值与最小值之和，再解方程求出a的值即可. 【详解】因为和在上的单调性相同， 所以在上为单调函数， 所以，∴，． 故答案为： 30．（2009高二·全国·竞赛）设是一个实数，若对于任何实数，不等式0恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由二次型函数大于等于0恒成立知，先讨论二次项系数为0，再讨论开口向上和同时成立，再加上对数有意义真数大于0即可. 【详解】由题意得，当时，得不恒成立，舍去. 所以，则 ， ， 或， 即． 故答案为：. 31．（2007高一·全国·竞赛）方程（且）的解的个数为 个. 【答案】1 【分析】讨论a的取值范围，作出函数的图象，数形结合，即可求得答案. 【详解】当时，作出的图象如图： 可知二者图象只有一个交点，故方程（且）的解的个数为1； 当时，作出的图象如图： 可知二者图象只有一个交点，故方程（且）的解的个数为1； 综合可知方程（且）的解的个数为1， 故答案为：1 32．（2007高二·全国·竞赛）不等式的解集是 . 【答案】或 【分析】根据根号下非负和对数函数的单调性可求不等式的解集. 【详解】原不等式可化为，即， ∴，于是，亦即或， ∴或，故解集为或 故答案为：或 33．（2012高一·全国·竞赛）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用换元法解不等式结合函数的定义域求解即可 【详解】原式化为，得 令，且 代入整理得，，解得， 即，解得． 故答案为： 34．（2021高一下·广东佛山·竞赛）若直线与函数的图像交于两点，且中点的坐标为，则 . 【答案】0 【分析】设，利用中点坐标公式，得，且，求解即可. 【详解】设，则，且 ，即 故答案为：0. 35．（2023高一上·安徽·竞赛）已知函数的图象不经过第二、四象限，请写出满足条件的一组的值 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，可得函数的图象过原点求出，再按分类讨论即得. 【详解】函数的定义域为，当，即时，的图象必过第四象限，矛盾， 因此，由函数的图象不经过第二、四象限，得点只能在原点， 则，即，当时，若，则有，的图象必过第四象限，矛盾， 当时，若，则，此时的图象在第三象限， 若，则，此时的图象在第一象限， 所以且，满足条件的一组的值可以为. 故答案为： 36．（2023高一上·山东滨州·竞赛）已知函数，则的值为 . 【答案】3 【分析】根据条件，构造奇函数，根据条件，利用换底公式得，再利用的奇偶性即可求出结果. 【详解】因为，所以恒成立， 又，所以， 令，易知的定义域为， 又， 所以为奇函数，又， 所以，得到， 又，所以， 故答案为：. 37．（2019高三·贵州·竞赛）已知函数，若m满足，则实数m的取值范围是 【答案】 【分析】先判断出的奇偶性，再结合单调性和题干条件，得到，求出实数m的取值范围. 【详解】定义域为R，且，所以为偶函数， 因为，所以， 所以等价于， 而，所以， 又因为当时，且单调递增，且 单调递增， 所以在为单调增函数， 故，解得：. 故答案为： 38．（2021高三·全国·竞赛）设，则 . 【答案】2020 【详解】解析：注意到， 故， 所以. 故答案为：2020. 39．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）已知函数，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】令，，即可判断函数的单调性与奇偶性，则关于对称，从而得到，则原不等式等价于，再根据函数的单调性计算可得； 【详解】解：令，，则，定义域为， 则，，所以，为奇函数，又，在定义域上单调递增， 所以为定义域上的奇函数，所以关于对称， 因为， 所以关于对称， 所以，即 则，即，即 所以，解得，即 故答案为： 40．（2018高三·全国·竞赛）设函数f(x)满足，且f(x)在．上的值域为[-1, 0]．求a的取值范围． 【答案】或 【详解】记，则. 故f(x)在区间上的值域为[-1,0]，等价于在区间.上的值域为[-1,0]. 由于g(a)=-1是g(x)在R内的最小值，故由条件知，且g(x)在该区间上的最大值应在端点处达到；又g(x)在区间左端点处的函数值g(a-1)=0恰为g(x)在该区间上的最大值，故a必在区间右半部分，即有. 解得或. 注:由于g(a+1)=g(a-1)=0，故必有.由此亦可解出a的取值范围. 41．（22-23高二上·北京·强基计划）已知定义域为的R奇函数满足：当时，． (1)求函数在上的解析式，并判断在上的单调性（不需证明）； (2)若不等式在区间上有解，求实数m的范围． 【答案】(1)，在上为增函数 (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解； （2）根据奇函数的单调性，将问题转化为在区间上有解，求最值即可. 【详解】（1）解：∵是定义域为R的奇函数， ∴，得 设，则， ∵在上递增，在上递增， ∴在上为增函数 （2）∵， ∴， ∵是上的增函数，∴． 由于，∴ 由于在上递增，∴ 得 42．（2013高一·全国·竞赛）当为何值时，不等式恰有一个解． 【答案】． 【分析】令，则，将原不等式化为，记，判断在上单调递增且，从而得到，即恰有一个解，然后利用判别式求解即可. 【详解】令，则，原不等式化为， 因为，所以，所以， 记， 因为，且与在上均单调递增，所以在上单调递增，且， 所以不等式的解为， 即原问题转化为恰有一个解， 根据二次函数图象和性质可知方程有两个相等的根， 所以，解得． 43．（2008高一·全国·竞赛）已知的值域为. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并给出证明； (3)若，求证. 【答案】(1)， (2)在上为减函数，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用判别式法求函数值域，由值域范围求实数的值； （2）定义法结合复合函数的单调性证明结论； （3）结合绝对值三角不等式和函数单调性证明不等式. 【详解】（1）由已知得，也符合， 当时，即， ， 由的值域为，得，由，解得，. （2）在上为减函数，证明如下： 由（1）知，设， 此时有，， 则， 即，所以有，即， 所以在上为减函数. （3）， ， 在上为减函数，， 又，， 所以有，得证. 44．（2007高一·全国·竞赛）已知定义域为的函数，对任意恒有. (1)求证：当时，. (2)若，恒有，求证：必有反函数. (3)设是的反函数，求证：在其定义域内恒有. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据赋值法可得，即可根据代入求解， （2）根据函数单调性的定义证明单调，即可求证， （3）根据以及反函数的性质即可求证. 【详解】（1）令，代入得. 令，得， 当时，. （2）任取，则， 故，， 在上是单调减函数，故必有反函数. （3）在的定义域内， ， 故， 而在上是减函数. . 45．（2016高一·全国·竞赛）已知函数． (1)当时，若，求的取值范围； (2)若定义在R上的奇函数满足，且当时，，求在上的函数表达式； (3)对于（2）中的，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）结合对数的运算以及对数函数的单调性求解不等式，即得答案； （2）根据函数的奇偶性以及当时的解析式，将分段求解，即可求得答案； （3）判断函数在上的单调性，确定，即可将，转化为，利用函数单调性，即可求解. 【详解】（1）不等式可化为， ，得； （2）因为是R上的奇函数，所以， 当时，，则，得． ①当时，； ②当时，， 综上，在上的函数表达式为； （3）由题意，当时，在上是增函数， 当时，在上也是增函数，且， 所以在上是增函数． 设，则， 由，结合，即， 的，即，所以在上是减函数； 又由（2）可知，即是周期为4的周期函数， 结合的解析式知， 所以， 当时，可得， 又为周期为4的奇函数，所以当时，不等式的解集为. 46．（2018高一·全国·竞赛）已知函数，记. (1)若，求实数的值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； (3)若对于恒成立，试问是否存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）令则，解方程即可得出答案； （2）设函数，在区间上的值域分别为，，存在，使得，等价于，根据单调性求出两个函数的值域，利用交集的定义列不等式求解即可； （3）由对于恒成立，可得，且，结合函数的单调性可得，，从而可得结果. 【详解】（1）令或（舍去）， . （2）设函数在区间上的值域分别为，由题意可得， 上为增函数，， ， ，. （3）对于恒成立， . 为增函数，， 易知为增函数， ，， 所以不存在实数，使得成立. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立. 47．（2011高一·全国·竞赛）对于， (1)函数的“定义域为”和“值域为”是否是一回事？分别求出实数a的取值范围； (2)结合“实数a取何值时在上有意义”与“实数a取何值时函数的定义域为”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别． 【答案】(1)不是一回事； (2)答案见解析 【分析】（1）将“定义域为”和“值域为”转化为恒成立问题和取遍所有问题求解即可. （2）将“有意义”问题与“定义域”问题转化，再求解关于的不等式或方程即可. 【详解】（1）函数的“定义域为”和“值域为”不是一回事. 记，则. 若定义域为，则恒成立， 所以，解得实数a的取值范围为. 若值域为，则至少取遍所有的正实数， 则，解得实数a的取值范围为. （2）由第1问可得，，则. “实数a取何值时在上有意义”等价于对于任意恒成立， 则或，解得实数的取值范围为. “实数a取何值时函数的定义域为” 可得不等式的解集为， 所以，所以，故的取值范围为. 故二者区别为： “有意义”问题可以转化为“恒成立”问题来处理，而“定义域”问题转化成“取遍所有”问题来处理，这里是转化成解集问题，即取遍解集内所有的数值. 48．（2023高一上·安徽·竞赛）定义在上的函数，满足，对于任意的都有成立，并且，使得. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数单调递减，证明见解析 (2). 【分析】（1）利用函数单调性的定义结合条件计算即可证明； （2）由条件转化不等式为，利用（1）的结论去函数符号，分离参数计算范围即可. 【详解】（1）函数单调递减.，证明如下： 由得，， 设， 则当时，， 因为，所以，则， 故， 所以函数单调递减. （2）不等式可等价变形为， 因为，所以， 则不等式可变为， 由（1）知，函数在定义域内单调递减，故，恒成立， 则，解得， 因此实数的取值范围是. 49．（2023高一上·安徽·竞赛）已知函数    (1)请在网格纸中画出的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）； (2)定义函数在定义域内的，若满足，则称为函数的一阶不动点，简称不动点；若满足，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点. ①求函数的不动点； ②求函数的稳定点. 【答案】(1)作图见解析，单增区间为，，的单减区间为 (2)①；②，和1. 【分析】（1）根据分段函数解析式，画出相应的函数图像，结合函数图像写出单调区间. （2）结合分段函数解析式，由不动点，稳定点的定义计算分析求解. 【详解】（1） 的单增区间为，，的单减区间为. （2）易知 ①当时，，令得，解得； 当时，，令得，解得（舍） 综上所述：函数的不动点为. ②当时，，且， 则 令得，，解得或（舍）； 当时，，且， 则 令，得，解得； 当时，，且， 则， 令，得，解得或（舍） 综上所述：函数的稳定点有3个，分别是，和1. 50．（2023高一上·山东滨州·竞赛）已知函数，且与函数互为反函数. (1)若的图象过点，解不等式：； (2)在（1）的条件下，若对于任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先根据题意求出的解析式，然后根据单调性和定义域求解不等式即可. （2）根据（1）求出，化简不等式，通过换元转化为二次函数在固定区间恒成立问题，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为的图象过点，所以， 即，在上单调递增， 若， 所以，解得：或， 即不等式解集为：或. （2）在（1）的条件下，， 因为与函数互为反函数， 所以， 若对于任意，恒成立， 即， 则， 令，则，， 令，所以， 所以恒成立， 令，开口向上，其对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，需满足， 即； 当时，要使，恒成立， 需满足，得； 综上，实数的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$