专题04 函数的概念及其表示（竞赛培优专项训练，10大题型+强基、竞赛真题）高一数学人教A版全国通用

**基本信息** 聚焦函数概念核心要素，以10类竞赛题型构建从概念辨析到创新应用的递进训练体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相等函数判断|3题|定义域与对应关系双重辨析|概念基础，明确函数三要素| |定义域求解|3题|含分式、复合函数等限制条件|从具体到抽象，培养数学抽象能力| |值域求解|3题|涵盖不同函数类型及参数问题|深化对函数取值范围的理解| |定义域/值域求参|3题|逆向思维，参数范围确定|体现逻辑推理，强化数学思维| |解析式求法|3题|待定系数、换元等多种方法|函数表示的核心技能| |分段函数问题|3题|分类讨论与多解分析|培养严谨思维，提升数学语言表达| |函数求值|3题|结合函数性质与递推关系|应用函数性质解决问题| |函数图象|3题|识图与实际问题建模|发展几何直观，强化数学眼光| |新定义问题|3题|创新概念与应用|提升数学建模与创新意识| |竞赛真题|15题|各地竞赛及强基试题|综合应用，对接竞赛命题趋势|

专题04函数的概念及其表示 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 相等函数的判断 题型06 求函数的解析式 题型02 求函数的定义域 题型07 分段函数问题 题型03 求函数的值域 题型08 函数的求值问题 题型04 由函数定义域求参 题型09 函数的图象问题 题型05 由函数值域求参 题型10 函数的新定义问题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 相等函数的判断 1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 2．下列函数中与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 考点二 求函数的定义域 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 考点三 求函数的值域 7．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 8．下列函数中，值域为的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D．的值域为 考点四 由函数定义域求参 10．若函数的定义域为，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 11．对于函数,其中,若的定义域与值域相同,则非零实数a的值为______________. 12．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是______． 考点五 由函数值域求参 13．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是 A．（﹣∞，ln2﹣1） B．（﹣∞，ln2﹣1] C．（1﹣ln2，+∞） D．[1﹣ln2，+∞） 15．设函数的值域为A，若，则的零点个数最多是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点六 求函数的解析式 16．已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 17．（多选）对于定义域的函数，定义函数方程为“柯西方程”， 其通解为．下列说法中正确的有（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．定义域为的函数满足，且，若正数满足，则 18．（1）已知，求的解析式； （2）已知是二次函数，且，，求的解析式； （3）已知函数满足，求的解析式. 考点七 分段函数问题 19．函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有8个实数根，则 D．若有4个实数根，从小到大分别为，则 考点八 函数的求值问题 22．已知定义在上的函数满足对任意恒成立，且，则（    ） A．200 B．210 C．110 D．220 23．已知函数，的定义域均为Z，且，.若的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 24．（多选）对于，满足，，且对于.恒有.则（   ） A． B． C． D． 考点九 函数的图象问题 25．已知函数，则在同一个坐标系下函数与的图像不可能是（    ） A．B．C． D． 26．中，，正方形的顶点分别在边上．的长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 27．已知函数的图像如图所示，则此函数可能是(    ) A． B． C． D． 考点十 函数的新定义问题 28．（多选）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A．存在，有 B．对任意，都存在， C．若，，则有 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 29．对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的有_________ ①           ②当时， ③          ④不等式的解集为 30．若函数满足：对任意正数s，t，都有，则称函数为“H函数". (1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由： (2)若函数是“H函数”，求实数m的取值范围. (3)若函数f(x)为“H函数”，，且对任意正数x，都有，证明：对任意，都有． 一、单选题 1.（2024·湖南邵阳高一数学竞赛）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国第四届章鱼杯联赛）若三次函数满足，则（    ） A．38 B．171 C．460 D．965 3．(2024·“枫叶新希望杯”高二数学竞赛)设集合，，函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(2024·“枫叶新希望杯”高一数学竞赛)已知，则的值为（　　）. A．16 B．18 C．32 D．24 5． （2024·湖南邵阳高一竞赛）定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 6．(2024·全国第四届英才杯竞赛)当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024湖南邵阳高一竞赛初赛）如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2024·““枫叶新希望杯”高一联赛）函数满足：，且，则 ． 9．（2024·四川宜宾高中数学联赛初赛）定义域是一个函数的三要素之一.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 10．（2024·南京大学强基计划）满足的非零有理系数多项式的最低次数为 . 11．（2026·高三下重庆竞赛）定义在上的函数满足：对任意，均有，且对任意，均有．则的值为________． 12．（2026·湖北省十堰市高一知识竞赛决赛）已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是___________． 三、解答题 13．（2025·北京强基计划）已知，且，求 14.（2025东南大学强基计划）设是定义在上的单调函数，满足，求的值． 15．（2026·高三下上海竞赛）求函数的最小值与最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04函数的概念及其表示 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 相等函数的判断 题型06 求函数的解析式 题型02 求函数的定义域 题型07 分段函数问题 题型03 求函数的值域 题型08 函数的求值问题 题型04 由函数定义域求参 题型09 函数的图象问题 题型05 由函数值域求参 题型10 函数的新定义问题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 相等函数的判断 1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相等函数的概念一一判断即可得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，且，故D正确. 2．下列函数中与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域、对应关系进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，当为偶数时，函数，与的对应关系不同，故A错误； 对于B，函数的定义域为，与的定义域不同，故B错误； 对于C，函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为，与的定义域不同，故D错误. 故选：C. 3．（多选）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】同一函数要求定义域和解析式完全一致，根据每个选项中的解析式分别求解定义域，化简解析式，再判断即可. 【详解】对于A，因为的定义域为R，的定义域为， 定义域不同，故不是同一函数； 对于B，， 所以与定义域与解析式完全一致，故两个函数是同一函数； 对于C，计算的定义域，得， 计算的定义域，得，因此两个函数的定义域相同， 又， 所以两个函数的对应关系也相同，故两个函数是同一函数； 对于D，因为的定义域为R，的定义域为，定义域不同， 故不是同一函数. 故选：BC. 考点二 求函数的定义域 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据代数式有意义列式求函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，需满足： ，解得：. 所以函数的定义域为 . 故选：B 5．函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的定义域，再由抽象函数求定义域的法则列不等式，解不等式求的定义域． 【详解】函数的定义域为，即，则， 的定义域为， 需满足，解得且， 的定义域为，故C正确． 故选：C． 6．已知函数，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求的定义域，再求的定义域即可求解. 【详解】因为，所以，且，解得， 所以函数的定义域为， 所以函数需满足，解得. 故选：D. 考点三 求函数的值域 7．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形函数解析式得到，问题转换成点到点和轴的距离之和，即可求解. 【详解】将变形可得， 设，则的轨迹方程为，设， 则表示抛物线上的点到点和轴的距离之和， 过点作轴于，过点作轴于，交抛物线于点， 故， 所以， 故选：B. 8．下列函数中，值域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性判断A选项；分离常数后根据反比例函数的单调性判断B选项；配方后根据对数函数的单调性判断C选项；利用余弦的倍角公式展开后将式子配方，然后结合二次函数性质判断D选项. 【详解】对于A，因为，所以，所以，即的值域为；故A错误； 对于B，，因为，所以，所以，所以，即的值域为，故B正确； 对于C，因为，所以，即的值域为，故C错误； 对于D，，因为，所以，即的值域为，故D错误. 故选：B. 9．（多选）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D．的值域为 【答案】BC 【分析】法一：利用配凑法求得的解析式，法二，利用换元法求得的解析式判断A；利用解析式求值域判断B；求复合函数的定义域和值域判断选项CD. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以，，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，显然，，于是， 因此的值域为，故D错误． 故选：BC. 考点四 由函数定义域求参 10．若函数的定义域为，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的真数，对任意恒成立的条件，分情况讨论即可. 【详解】由题意得对任意恒成立． 当时，恒成立，满足题意． 当时，由得． 综上的取值范围为． 故选：D 11．对于函数,其中,若的定义域与值域相同,则非零实数a的值为______________. 【答案】-4 【分析】根据函数的定义域与值域相同，可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，比较二区间的端点得出参数满足的方程，解方程求参数即可. 【详解】函数，其中 若，由于，即， ∴对于正数b，的定义域为:， 但的值域，故，不合要求. 若，对于正数b，的定义域为. 由于此时，故函数的值域. 由题意，有，由于，所以. 故答案为：﹣4 12．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合函数的定义域以及绝对值三角不等式来求得的取值范围. 【详解】依题意，对任意恒成立， 即对任意恒成立， 而， 当时等号成立， 所以，则或， 解得. 故答案为： 考点五 由函数值域求参 13．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出时的值域，然后根据分段函数的值域把问题转化为当时，的值域与的并集为，分讨论即可. 【详解】当时，；所以要想使得的值域为， 只需满足当时，的值域与的并集为. ①当，即时，函数在上单调递增， 所以当时， ， 所以要想满足题意，则，解得 ，结合，可得. ②当，即时，函数在上为常数函数，不合题意； ③当，即时，函数在上单调递减， 所以当时，，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A 14．设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是 A．（﹣∞，ln2﹣1） B．（﹣∞，ln2﹣1] C．（1﹣ln2，+∞） D．[1﹣ln2，+∞） 【答案】C 【详解】∵函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”， 且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[]， ∴f（x）在[a，b]上是增函数； ∴ ，  即 在（0，+∞）上有两根， 即y=t和g（x）=﹣lnx在（0，+∞）有2个交点， g′（x）= ， 令g′（x）＞0，解得：x＞2， 令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2， 故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增， 故g（x）≥g（2）=1﹣ln2，故t＞1﹣ln2，  故选C：． 15．设函数的值域为A，若，则的零点个数最多是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分别求出各段函数的单调性，结合函数图象分类讨论，分别求出函数的零点个数，即可判断； 【详解】解：令，则在上单调递减； 令，则．由，得或； 由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减， 于是，的极大值为，极小值为．在同一坐标系中作出函数和的图象，如下图： 显然；由，得；由的解析式，得． （1）若，当时，，不符合题意； （2）若，当时，，不符合题意； （3）若， ①当时，； ②当时，，即． 由①②，时符合题意． 此时，结合图象可知，当时，在上没有零点，在上有2个零点； 当时，在上有1个零点，在上有1个或2个零点， 综上，最多有3个零点． 故选：C． 考点六 求函数的解析式 16．已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求出，令，求出，令，求出，再令，可求出的关系，再利用累加法结合等差数列前项和公式即可得解. 【详解】令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 则当时，， 则 ， 当时，上式也成立， 所以， 所以. 故选：C. 17．（多选）对于定义域的函数，定义函数方程为“柯西方程”， 其通解为．下列说法中正确的有（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．定义域为的函数满足，且，若正数满足，则 【答案】ACD 【分析】利用所给通解计算可得A；代入计算可得B；令，可得，即可设，从而计算可得C；借助换元法，设、，可得，则可设，结合计算可得，则只需证明，由为正数，可得，则，再通过运算及相应变形，可得只需证明，借助基本不等式计算即可得D. 【详解】对A：由题意可设，则， 故，故A正确； 对B：若，则，， 由不恒成立，故B错误； 对C：令且，由， 则， 故可设，则， 故，故C正确； 对D：令，则， 即有， 令，则， 故可设，则， 由，则，故， 则，则，则， 由为正数，则，则， 则 ， 要证，只需证， 即， 即只需证，由， 当且仅当时，等号成立，故， 故可得，故D正确. 18．（1）已知，求的解析式； （2）已知是二次函数，且，，求的解析式； （3）已知函数满足，求的解析式. 【答案】（1），. （2），. （3），. 【分析】分别采用换元法、待定系数法、解方程组法求解. 【详解】（1）（换元法）令，得， 代入得，又，所以， 故的解析式是，. （2）（待定系数法）设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以 解得. 所以，. （3）（解方程组法）由，① 得，② ①②， 得. 即. 故的解析式是，. 考点七 分段函数问题 19．函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用已知结合单调性定义得出单调递减，再应用分段函数单调性列式计算求解. 【详解】设，因为对任意，都有成立， 所以对任意，都有成立， 即对任意，都有成立． 因为， 所以函数，在上单调递减， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 20．设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设，由互不相等的实数满足， 得到，，，，由得到， 由结合得到，解得的范围，求出的范围，从而得到所求. 【详解】我们先分析函数的图像： 不妨设， 因为互不相等的实数满足， 所以，，，， 由，得，即， ， 因为，所以，解得， 则，即， ， 符合选项 D. 21．（多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有8个实数根，则 D．若有4个实数根，从小到大分别为，则 【答案】ACD 【分析】直接计算，根据自变量范围进行取舍即得判断AB；设，结合图象，将问题转化为方程在上有两个相异实根的问题，利用一元二次方程的根的分布列出不等式组计算即得参数范围判断C；则需要作出函数的图象，利用函数与方程的关系，结合函数的对称性和图象变换，由双勾函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，由题意，，故A正确； 对于B，当时，由，可得， 解得，因，故得； 当时，由可得，或， 解得或，故有x＝－2±，共四个实数根，故B错误； 对于C，设，则方程，即， 由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根， 且，，设， 依题意，需使， 解得，故C正确； 对于D，作出函数的图象，由时，≤5， 且，可知当时，直线与函数有两个交点； 又由时，， 当时，直线与函数均有两个交点，故由有4个实数根可得，， 由图知，， 则，解得＝4，又由解得， 由解得x＝1，则有，于是， 因函数在单调递减，故， 则，故D正确. 考点八 函数的求值问题 22．已知定义在上的函数满足对任意恒成立，且，则（    ） A．200 B．210 C．110 D．220 【答案】B 【分析】赋值法，依次令，，，即可求出的解析式. 【详解】令，则， 因，则， 令，则， 令，则，得， 则，得. 故选：B 23．已知函数，的定义域均为Z，且，.若的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象关于直线对称的性质，推导的对称性表达式，判断A；联立已知的两个含和的等式，通过变量替换消去相关项，推导的递推关系，判断B；代入特殊值到已知等式中，结合的条件，计算，判断C；根据的递推关系确定其周期，计算一个周期内的和，再计算2026项的总和，判断D. 【详解】 ①， ②， 关于对称，故 ③， 从②式换元得， 代入①式得：，即， 代入③式得，得， 换元得： ④，再将 得，联立得，即周期为4， 对应也满足，周期也为4. 选项A：即，但由式④， 得，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，由得， ，故C错误； 选项D：由得， 又，故，解得，，， ，. 因为周期为4，且一个周期和为：， 从到共506个完整周期（2024项）， 剩余，， 所以， 故D正确. 24．（多选）对于，满足，，且对于.恒有.则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】赋值法求得，由，求的值判断选项A，由，求得，结合恒有，对BCD中的函数值进行判断. 【详解】令代入及， 得，，所以，， 令代入， 得，故A正确； 由，得，进而得，，， ，， 对于．恒有， ，，B选项正确； ，C选项错误； ，则有，即， D选项正确. 故选：ABD 考点九 函数的图象问题 25．已知函数，则在同一个坐标系下函数与的图像不可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】设，由奇偶性的定义及性质可得是R上的奇函数，且是R上的增函数，然后分、和三种情况讨论即可求解. 【详解】解：设， 因为， 所以是R上的奇函数， 又时，在上单调递增， 所以在R上单调递增，且有唯一零点0， 所以的图像一定经过原点， 当时，与的图像相同，不符合题意． 当时，是R上的奇函数，且在上单调递增，所以与的图像可能为选项C； 当时，若，所以与的图像可能为选项A或B. 故选：D． 26．中，，正方形的顶点分别在边上．的长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，直接求出与之间的函数关系式，根据关系式，利用基本函数图象，结合各个选项，即可求解. 【详解】易知当时，， 当时，交于，交于，如图， 因为，则，在中，， 所以为等腰直角三角形，所以，得到， 所以，故 所以， 故选：C. 27．已知函数的图像如图所示，则此函数可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域、奇偶性以及f(x)函数值的符号或在某一区间上单调性，验证与函数图象是否一致，综合可得答案. 【详解】对于，，有，解得，即的定义域为， 在区间上，，，，与所给图象不符； 对于，，的定义域为， 又由，为奇函数， 在区间上，，，，在区间上，，，，与所给图象不矛盾； 对于，，有，解得，即的定义域为，在区间上，，， ， 而x>3时，3x2+1<x3+x，，f(x)在上递减，与所给图象不符； 对于，，的定义域为，在区间上，，，，与所给图象不符. 故选：B 考点十 函数的新定义问题 28．（多选）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A．存在，有 B．对任意，都存在， C．若，，则有 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【答案】AC 【详解】由题意，当是有理数时，；当是无理数时，. 对于A ，当是无理数时，也是无理数，， ，故A正确； 对于B，当是无理数时，若为有理数，则是无理数，，，，故B错误； 对于C，由题意知函数的值域为，当且时，，， 所以，故 C正确； 对于D，由函数的值域为，可知△三个顶点的纵坐标要么有两个和一个，要么有两个和一个， 不妨设，，如图，在等腰直角△中，取斜边AC的中点D， ，所以， 故当即是有理数时，也是有理数，从而有，这与矛盾，故D错误. 29．对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的有_________ ①           ②当时， ③          ④不等式的解集为 【答案】①②④ 【分析】应用函数的新定义计算判断①，②，计算特殊值判断③，结合一元二次不等式计算求解判断④. 【详解】，故①正确； 时，所以时，，故②正确； 当时，此时，故③错误； 令则化为，解得，所以， 当时，，当时，，所以， 所以不等式的解集为，故④正确. 故答案为：①②④ 30．若函数满足：对任意正数s，t，都有，则称函数为“H函数". (1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由： (2)若函数是“H函数”，求实数m的取值范围. (3)若函数f(x)为“H函数”，，且对任意正数x，都有，证明：对任意，都有． 【答案】(1)是“H函数”；不是“H函数”，理由：对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，不满足， 故不是“H函数”. (2) (3)证明:由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，且， 所以. 【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到，即可得证. 【详解】（1）略 （2）因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即， 所以实数m的取值范围为. （3）略 一、单选题 1.（2024·湖南邵阳高一数学竞赛）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可列出，可求出. 【详解】的定义域是， 在中，，解得， 故的定义域为. 故选：C. 2．（2024·全国第四届章鱼杯联赛）若三次函数满足，则（    ） A．38 B．171 C．460 D．965 【答案】B 【分析】设，求导，结合题意列式求，即可得结果. 【详解】设，则， 由题意可得：，解得， 则，所以. 故选：B. 3．(2024·“枫叶新希望杯”高二数学竞赛)设集合，，函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】时，根据解析式求出，再由求解不等式即可. 【详解】当时，则， 由，解得， 又，所以. 故选：C 4．(2024·“枫叶新希望杯”高一数学竞赛)已知，则的值为（　　）. A．16 B．18 C．32 D．24 【答案】A 【详解】因为， 所以原式. 故选：A. 5． （2024·湖南邵阳高一竞赛）定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 可得在，上单调递减，在上单调递增， 在，上的值域为，， 在上的值域为，， 在上的值域为，， ， ， 在上的值域为，， 当时，为增函数， 在，上的值域为，， ，解得； 当时，为减函数， 在，上的值域为，， ，解得； 当时，为常数函数，值域为，不符合题意； 综上，的范围是或． 故选：． 【方法总结】本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 6．(2024·全国第四届英才杯竞赛)当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别作出，，的图象，找到取得最小值时所对应的点，建立方程求解即可． 【详解】分别作出，，的图象， 根据，如下图： 由图象可得取得最小值时，点为，即为和的交点， ，解得：， 由图可知点在第二象限，， 故选：A． 7．（2024湖南邵阳高一竞赛初赛）如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得，然后分两段：当点在边上时，，当点在边上时，，分别求出函数关系式，即可求解． 【详解】∵，，， ∴， 根据题意得：点到达点的时间是，到达点的时间为，点到达点的时间为， 当点在边上时（不含端点），，， 如图，过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴， 当点在边上时，，，，如图， ∴，， ∴， 即, 综上所述，与的函数关系式为 ， ∴函数图象第一段为过原点的开口向上的抛物线的一部分，第二段为自左向右逐渐下降的抛物线的一部分． 故选：C 二、填空题 8．（2024·““枫叶新希望杯”高一联赛）函数满足：，且，则 ． 【答案】 【分析】结合题意可得、与的关系，即可得，即可得，结合与的关系计算即可得. 【详解】， 则， 所以． 故答案为：. 9．（2024·四川宜宾高中数学联赛初赛）定义域是一个函数的三要素之一.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】应用抽象函数定义域定义计算即可. 【详解】已知函数的定义域为, 则函数，得， 则，则函数定义域为. 故答案为：. 10．（2024·南京大学强基计划）满足的非零有理系数多项式的最低次数为 . 【答案】 【分析】先对进行变形，构造出满足条件，然后证明如果非零有理系数多项式满足，则一定拥有个不同的零点，从而说明的次数至少为，即可得到答案. 【详解】设. 一方面，有. 所以，故. 从而，故有. 即. 移项，合并同类项，得. 这表明非零有理系数多项式满足条件； 另一方面，若非零有理系数多项式满足，即是的一个零点. 不妨设是非零整系数多项式，否则将乘以其系数的公分母，再替换即可. 设，则据假设有 . 再设，则. 设多项式展开后是. 根据的结构可以看出，每个都可以表示为的有理系数多项式形式. 从而每个都能表示为. 由于，故. 由于一定是整数或整数的倍，结合的形式，知一定存在，使得 . 从而，即. 比对每个根式的系数，即得. 所以亦有，故，即. 所以，这说明也是的零点. 采用相同的方法，可以证明，，，，，，，均为的零点. 所以非零多项式至少有个零点，从而的次数至少为. 综合以上两方面，可知的最低次数为. 11．（2026·高三下重庆竞赛）定义在上的函数满足：对任意，均有，且对任意，均有．则的值为________． 【答案】 【分析】通过给抽象函数进行赋值，由所给性质进行推导计算计算． 【详解】先求，因为，，由，所以， 且．又． 设，则，所以． 因为，，，所以，． 又，且， 由对称性得，设， 则，所以，又，即． 所以，，． 因此． 12．（2026·湖北省十堰市高一知识竞赛决赛）已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先利用二次函数性质并结合题意得到每一部分根的个数，再转化为交点问题求解参数范围即可. 【详解】若方程有个不同的实根，如图，作出符合题意的图像， 当时，， 则由二次函数性质可得，此时最多有两个不同的实根； 而当时，，此时一定有两个不同的实根， 即与有两个不同的交点，得到， 当时，结合题意可得有两个不同的实根， 此时与有两个不同的交点， 且此时，， 可得，即， 因为仅存在一个整数，所以，解得， 而，得到，即实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 13．（2025·北京强基计划）已知，且，求 【分析】根据已知条件化简得出，最后计算求值即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以 . 14.（2025东南大学强基计划）设是定义在上的单调函数，满足，求的值． 【答案】 【分析】设，构造函数赋值法计算得出或，结合函数值排除求解即可. 【详解】设，所以，所以， 所以，所以或， 当时，，在定义域内单调递增，所以，符合题意； 当时，，，不符合题意； 所以. 15．（2026·高三下上海竞赛）求函数的最小值与最大值． 【答案】最小值－3，最大值 【分析】令转化为上半单位圆约束，设借助换元把原式化为关于的二次函数，先求出在上半单位圆下的取值范围，再结合二次函数单调性代入区间端点得到函数最值. 【详解】令，则,隐含的几何约束条件为：（且）． 原函数可重写为关于和的表达式：， 令，因为， 所以有交叉项． 将目标函数完全转化为关于的一元二次函数：， 由柯西不等式，，故． 当时取等号．所以． 因为，当时，若，则，；若，则； 在一、二象限单位圆上，的投影最小值发生在最左侧端点（即），所以． 因此，． 二次函数开口向上，对称轴为． 因为定义域区间整体在对称轴－1.5的右侧，函数在此区间单调递增． 所以最小值；·最大值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $