第一章 集合与常用逻辑用语（5考点+10易错+易错训练）（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学单元知识清单全面梳理了“集合与常用逻辑用语”单元内容，涵盖集合的含义与表示、基本关系、基本运算及常用逻辑用语等核心知识范畴，为学生搭建从概念理解到逻辑应用的递进式学习支架。 清单通过“知识点表格化呈现+易错点分类剖析”构建知识体系，如“集合中元素的特性”以表格清晰归纳，“忽视空集”等10个易错点标注提醒并配对点训练，培养学生的数学思维和推理意识。教师可利用分层练习题设计教学，学生能自主查漏补缺，高效提升逻辑表达与问题解决能力。

第1章 集合与常用逻辑用语 知识点一 集合的含义与表示 1.元素与集合的相关概念 元素 定义 把研究对象统称为元素 记法 常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示 集合 定义 一些元素组成的 总体 叫做集合,简称为集 记法 常用大写拉丁字母 A,B,C,… 表示 集合相等 构成两个集合的元素是 一样 的 集合中元素的特性 确定性、互异性和无序性 2.元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 属于 a是集合A中的元素 a ∈ A 不属于 a不是集合A中的元素 a ∉ A 3.常用的数集及其记法 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 4. 集合的分类：① 有限集 .② 无限集 .③空集： ⌀ 5.集合的表示方法 ①自然语言法：用 文字叙述 的形式来描述集合. ②列举法：把集合的所有元素 一一列举 出来，并用花括号“{　}”括起来的方法.例如、 ③描述法：把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合.表示为 {x∈A|P(x)} . 例如、 ④图示法（图）：用平面上 封闭曲线 的内部代表集合. 知识点二 集合间的基本关系 1. 子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则 或 真子集 AB （或BA） ，且B中至少有一元素不属于A （1）（A为非空子集） (2)若且，则 集合 相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA 2. 已知集合有个元素，则它有 2n 个子集，它有 2n-1个真子集，它有2n-1 个非空子集，它有2n-2个非空真子集. 3. 空集 不含任何元素的集合. 符号： ①空集是任何集合的子集. ②空集是任何非空集合的真子集. ③解决有关、等问题时，一定要先考虑 的情况，以防漏解. 知识点三 集合的基本运算 1. 交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 （1） （2） （3）， 并集 或 （1） （2） （3） ， 补集 （1） （2） （3） 2.集合的运算其他相关性质 （1）． （2）,． 3.容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 知识点四 充分条件与必要条件 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．充分条件与必要条件的相关概念 若，则是的充分条件，是的必要条件． 若，则是的角度理解充分必充要条件（充分必要条件）． 3.从集合的角度看充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 知识点五 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 2．全称命题与特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称量词命题 对M中 任意一个x，有成立 存在量词命题 存在M中的一个，使成立 3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，有成立 存在量词命题 存在M中的一个x0，使成立 4. 常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 易错点1 根据集合的互异性求参数 易错提醒 1. 求出参数后直接作答，忘记回代检验互异性，产生增根； 2. 只检查一组元素，忽略多个元素之间两两不能相等； 3. 只满足互异性，忽视题目原有定义域、等式限制条件； 4. 混淆元素顺序，误以为位置不同无需验证，造成答案出错。 【对点训练1】 （25-26高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______. 【答案】 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以. 易错点2 忘记考虑最高项系数为0 易错提醒  1. 题目中方程，未指明二次方程，必须先讨论二次项系数等于0，此时退化为一次方程； 2. 系数不为0时，才可使用判别式、求根公式； 3. 求出参数后，结合题意验证解是否满足附加条件； 4. 容易遗漏系数为0这一情况，直接默认是一元二次方程导致漏解。 【对点训练2】 （2026高一·全国·专题练习）若关于x的方程的解集至多有两个子集，则a的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意，方程解集至多有两个子集，即解集中元素个数， 当时，方程为一次方程， 解得，解集有1个元素，符合条件； 当时，方程为二次方程，则判别式，解得； 综上，a的取值范围为 故答案为：. 易错点3 根据集合的元素个数求参数 易错提醒  1. 解方程求出参数后，忽略集合互异性，出现元素重复，使实际元素数量变少； 2. 未分类讨论，漏掉多组合理解； 3. 只看方程根的个数，没有代入原集合逐一核验； 4. 忽视空集情形，遗漏参数取值，造成答案不全。 【对点训练3】（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）集合中恰有两个元素，有两个不等实根； 当时，，解得：，不合题意； 当时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为：或. （2）集合中只有一个元素，有唯一实根或两个相等实根； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，此时； 综上所述：实数的取值集合为. 易错点4 集合的代表元素混淆 易错提醒 1. 混淆数集、 与点集，错误进行交并运算； 2. 忽略代表字母只是符号，重点看代表元素类型，不要被字母干扰； 3. 分不清定义域集合、值域集合与图像上点的集合； 4. 审题不观察竖线前元素，直接凭主观想象理解集合含义。 【对点训练4】（25-26高一上·北京·阶段检测）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的图象可以看成函数的图象上的点的集合， 即集合的元素为点的坐标，所以“函数的图象”的集合表示. 故选：C. 易错点5 忽视空集 易错提醒 1. 研究子集关系时，默认集合A非空，忘记讨论⌀； 2. 含参不等式集合运算，未考虑参数取值使解集为空的情况，出现漏解； 3. 认为交集一定有元素，忽略两个集合没有公共元素即交集为空集； 4. 分不清空集与含有元素0的集合\{0\}，概念混淆引发错误。 【对点训练5】 已知，若，求的值. 【答案】或或 【详解】由，得，解得或. 所以， 当时，，满足； 当时，, 因为，所以或， 所以或. 综上所述，或或. 易错点6 集合中忽略端点值的取舍 易错提醒  1. 利用集合包含关系转化区间时，随意判断端点能否取等，不代入验证； 2. 混淆开区间、闭区间，把空心点与实心点混用； 3. 求解参数范围后，不检验端点，造成范围扩大或者缺失； 4. 结合充分必要条件题型，端点取舍颠倒，出现不必要失分。 【对点训练6】（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 易错点7 背景理解有误 易错提醒  1. 凭固有集合知识主观理解题意，不严格遵从题目给出的全新定义； 2. 混淆新运算与常规交、并、补运算，擅自套用旧结论； 3. 运算过程忘记集合互异性，不检验结果； 4. 分类讨论不完整，列举元素时有遗漏，缺少回代验证步骤。 【对点训练7】（25-26高一上·广东梅州·期末）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】选项A：根据函数的定义，当时，. 已知集合，因为，所以，A正确； 选项B：. 因为，根据函数的定义可得，B错误； 选项C：表示与异号，即属于但不属于，或属于但不属于， 所以，所以，C错误； 选项D：，， 所以，而， 所以，D正确. 故选：AD 易错点8 混淆条件和结论 易错提醒  1. 审题先标记p（条件）、q（结论），不可自行颠倒两者位置； 2. 看清句式，区分“A是B的条件”和“A成立的条件是B”，两种表述推导方向相反； 3. 转化集合关系前确认推导顺序，避免大范围、小范围判断颠倒； 4. 写完推导关系后重读题干核对，防止充分、必要条件判断完全反向。 【对点训练8】（25-26高一下·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】取，成立，不成立，故， 若，则，所以“”是“”的必要不充分条件. 易错点9 充分必要条件中忽视端点值的取舍 易错提醒 1. 将充分、必要条件转化为集合包含关系时，想当然确定端点能否取等，不单独验证； 2. 充分不必要条件对应真子集，容易错误保留相等的端点； 3. 求出参数范围后，没有把端点数值代入原题检验是否满足题意； 4. 混淆“包含”与“真包含”，端点取舍出现偏差，导致范围扩大或缺失。 【对点训练9】 （25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知集合或，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因或，，且， 故当时，，解得，符合题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为； （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 当时，有，解得，满足； 当时，则有或，解得或， 综上，实数的取值范围为； 易错点10 命题的否定理解不清 易错提醒  1. 否定命题时只否定结论，忘记互换全称量词与存在量词； 2. 错误否定条件，量词命题的否定只否定结论，条件保持不变； 3. 命题含有不等式，否定时不等号方向变换出错； 4. 混淆命题的否定与否命题，二者规则不同，不能混用。 【对点训练10】（25-26高一下·四川内江·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【答案】B 【详解】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 2．（25-26高二下·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【详解】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 3．（25-26高二下·广西梧州·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，解得，所以， 又，所以. 4．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【详解】由条件知，解得. 故选：B 5．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】就是对命题改量词并否结论，所以，． 6．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 因为⫋， 故使“”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：B. 7．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知集合,,则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知集合A是关于的集合，则根据， 可得，即集合； 又集合B是关于的集合，则根据， 可得，即集合， 则. 故选：A 8．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 二、多选题 9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【详解】由，可知. 当时，，此时，满足条件. 当时，，则有或， 解得或. 10．已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 11．下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【详解】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得或，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件； 当时，有，但且， 所以，且是的不必要条件； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，得或，所以是的不充分条件， 由，得，所以是的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 三、填空题 12．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 【答案】18 【详解】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目， 因此参加比赛项目的总人数为, 因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人， 设只参加集体项目比赛一项的有人， 则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人. 故答案为：18. 13．（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 14．（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【答案】1 【详解】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）. 由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. 四、解答题 15．（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知集合，集合或，全集. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【详解】（1）∵对任意恒成立， ∴，又，则，， （2）∵，∴， 若，则，∴， 故时，实数的取值范围为或. 16.（25-26高一上·四川泸州·期中）已知：，：． (1)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的范围； (2)是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围． 【答案】(1)存在，； (2)存在，． 【详解】（1）由，得. 若是的充分条件，则，如图： 所以，解得：． 故的取值范围是． （2）若是的必要条件，则，因，所以，如图： 所以，解得：． 故的取值范围是． 17.（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）若集合 (1)若，写出的子集； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， ， ， 其子集为：. （2）由题意，是的充分条件，则，， 当时，此时，解之得：，符合题意； 当时，则或或， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若，则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合与常用逻辑用语 知识点一 集合的含义与表示 1.元素与集合的相关概念 元素 定义 把 统称为元素 记法 常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示 集合 定义 一些元素组成的 叫做集合,简称为集 记法 常用大写拉丁字母 表示 集合相等 构成两个集合的元素是 的 集合中元素的特性 、 和无序性 2.元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 属于 a是集合A中的元素 a A 不属于 a不是集合A中的元素 a A 3.常用的数集及其记法 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 4. 集合的分类：① .② .③空集： 5.集合的表示方法 ①自然语言法：用 的形式来描述集合. ②列举法：把集合的所有元素 出来，并用 括起来的方法.例如、 ③描述法：把集合中所有具有 的元素所组成的集合.表示为 . 例如、 ④图示法（图）：用平面上 的内部代表集合. 知识点二 集合间的基本关系 1. 子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则 或 真子集 AB （或BA） ，且B中至少有一元素不属于A （1）（A为非空子集） (2)若且，则 集合 相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA 2. 已知集合有个元素，则它有 个子集，它有 个真子集，它有 个非空子集，它有 非空真子集. 3. 空集 不含任何元素的集合. 符号： ①空集是任何集合的子集. ②空集是任何非空集合的真子集. ③解决有关、等问题时，一定要先考虑 的情况，以防漏解. 知识点三 集合的基本运算 1. 交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 （1） （2） （3）， 并集 或 （1） （2） （3） ， 补集 （1） （2） （3） 2.集合的运算其他相关性质 （1）． （2）,． 3.容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 知识点四 充分条件与必要条件 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．充分条件与必要条件的相关概念 若，则是的充分条件，是的必要条件． 若，则是的角度理解充分必充要条件（充分必要条件）． 3.从集合的角度看充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 知识点五 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 2．全称命题与特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称量词命题 对M中 x，有成立 存在量词命题 M中的一个，使成立 3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，有成立 存在量词命题 存在M中的一个x0，使成立 4. 常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 易错点1 根据集合的互异性求参数 易错提醒 1. 求出参数后直接作答，忘记回代检验互异性，产生增根； 2. 只检查一组元素，忽略多个元素之间两两不能相等； 3. 只满足互异性，忽视题目原有定义域、等式限制条件； 4. 混淆元素顺序，误以为位置不同无需验证，造成答案出错。 【对点训练1】 （25-26高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______. 易错点2 忘记考虑最高项系数为0 易错提醒  1. 题目中方程，未指明二次方程，必须先讨论二次项系数等于0，此时退化为一次方程； 2. 系数不为0时，才可使用判别式、求根公式； 3. 求出参数后，结合题意验证解是否满足附加条件； 4. 容易遗漏系数为0这一情况，直接默认是一元二次方程导致漏解。 【对点训练2】 （2026高一·全国·专题练习）若关于x的方程的解集至多有两个子集，则a的取值范围为______. 易错点3 根据集合的元素个数求参数 易错提醒  1. 解方程求出参数后，忽略集合互异性，出现元素重复，使实际元素数量变少； 2. 未分类讨论，漏掉多组合理解； 3. 只看方程根的个数，没有代入原集合逐一核验； 4. 忽视空集情形，遗漏参数取值，造成答案不全。 【对点训练3】（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 易错点4 集合的代表元素混淆 易错提醒 1. 混淆数集、 与点集，错误进行交并运算； 2. 忽略代表字母只是符号，重点看代表元素类型，不要被字母干扰； 3. 分不清定义域集合、值域集合与图像上点的集合； 4. 审题不观察竖线前元素，直接凭主观想象理解集合含义。 【对点训练4】（25-26高一上·北京·阶段检测）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 易错点5 忽视空集 易错提醒 1. 研究子集关系时，默认集合A非空，忘记讨论⌀； 2. 含参不等式集合运算，未考虑参数取值使解集为空的情况，出现漏解； 3. 认为交集一定有元素，忽略两个集合没有公共元素即交集为空集； 4. 分不清空集与含有元素0的集合\{0\}，概念混淆引发错误。 【对点训练5】 已知，若，求的值. 易错点6 集合中忽略端点值的取舍 易错提醒  1. 利用集合包含关系转化区间时，随意判断端点能否取等，不代入验证； 2. 混淆开区间、闭区间，把空心点与实心点混用； 3. 求解参数范围后，不检验端点，造成范围扩大或者缺失； 4. 结合充分必要条件题型，端点取舍颠倒，出现不必要失分。 【对点训练6】（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 易错点7 背景理解有误 易错提醒  1. 凭固有集合知识主观理解题意，不严格遵从题目给出的全新定义； 2. 混淆新运算与常规交、并、补运算，擅自套用旧结论； 3. 运算过程忘记集合互异性，不检验结果； 4. 分类讨论不完整，列举元素时有遗漏，缺少回代验证步骤。 【对点训练7】（25-26高一上·广东梅州·期末）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 易错点8 混淆条件和结论 易错提醒  1. 审题先标记p（条件）、q（结论），不可自行颠倒两者位置； 2. 看清句式，区分“A是B的条件”和“A成立的条件是B”，两种表述推导方向相反； 3. 转化集合关系前确认推导顺序，避免大范围、小范围判断颠倒； 4. 写完推导关系后重读题干核对，防止充分、必要条件判断完全反向。 【对点训练8】（25-26高一下·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 易错点9 充分必要条件中忽视端点值的取舍 易错提醒 1. 将充分、必要条件转化为集合包含关系时，想当然确定端点能否取等，不单独验证； 2. 充分不必要条件对应真子集，容易错误保留相等的端点； 3. 求出参数范围后，没有把端点数值代入原题检验是否满足题意； 4. 混淆“包含”与“真包含”，端点取舍出现偏差，导致范围扩大或缺失。 【对点训练9】 （25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知集合或，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 易错点10 命题的否定理解不清 易错提醒  1. 否定命题时只否定结论，忘记互换全称量词与存在量词； 2. 错误否定条件，量词命题的否定只否定结论，条件保持不变； 3. 命题含有不等式，否定时不等号方向变换出错； 4. 混淆命题的否定与否命题，二者规则不同，不能混用。 【对点训练10】（25-26高一下·四川内江·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 2．（25-26高二下·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 3．（25-26高二下·广西梧州·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 5．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知集合,,则（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 二、多选题 9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（   ） A． B． C． D．0 10．已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 11．下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 三、填空题 12．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 13．（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 14．（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 四、解答题 15．（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知集合，集合或，全集. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16.（25-26高一上·四川泸州·期中）已知：，：． (1)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的范围； (2)是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围． 17.（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）若集合 (1)若，写出的子集； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $