2.1.1等式性质与不等式性质—不等关系与比较大小导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“等式性质与不等式性质——不等关系与比较大小”，通过知识回顾衔接命题否定等旧知，新知初探引入不等式表示、作差比较法及重要不等式，构建前后连贯的学习支架。 以生活实例（酸奶净含量、限速等）引导学生用数学眼光观察现实世界，通过作差法步骤和重要不等式推导培养数学思维，用不等式表达实际问题提升数学语言能力，典例与达标练习强化应用，助力学生掌握核心方法。

人教a版（2019）高中数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1.1《等式性质与不等式性质——不等关系与比较大小》 导学案（含解析） 💫数学人教A版（2019）必修一💫 课 题： 2.1 等式性质与不等式性质——不等关系与比较大小） 课 时： 第1课时（共2课时） 课 型： 新授课 班 级： 姓 名： 🎯 【课标要求】 1. 通过具体情境，感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景； 2. 理解实数大小比较的基本事实，掌握作差比较法判断两个实数（代数式）大小的基本步骤； 3. 掌握重要不等式 a²+b²≥2ab，理解其几何与代数意义，能运用其进行简单证明与判断。 ⭐ 【重点难点】 学 习 重 点 学 习 难 点 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；作差比较法的步骤与应用；重要不等式的理解与简单运用。 作差后的变形（因式分解、配方）以判断差的符号；重要不等式等号成立条件的理解与应用。 📖 【预习导学】 ◆ 一、知识回顾 1．一个命题和它的否定真假性________________（填"相同"或"相反"），二者只能一真一假。 2．全称量词命题 ∀x∈M，p(x) 的否定是________________量词命题，其形式为________________；否定规则是：把全称量词改为存在量词，并否定结论 p(x)。 3．存在量词命题 ∃x∈M，p(x) 的否定是________________量词命题，其形式为________________；否定规则是：把存在量词改为全称量词，并否定结论 p(x)。 4．判断命题否定的真假时：若原命题为真，则它的否定一定为________________；若原命题为假，则它的否定一定为________________。 ◆ 二、新知初探 1．在现实的数量关系中，相等关系用等式表示，不等关系则用________________来表示。 2．实数大小比较的基本事实（依据）： a > b ⇔ ____________________ ； a = b ⇔ ____________________ ； a < b ⇔ ____________________ 。 3．由此可见，比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的________________与 0 的大小关系，这就是比较实数大小的根本方法。 4．作差比较法的一般步骤可概括为四步：作差 → ________________ → 判断差与 0 的大小关系 → 得出大小结论。 5．重要不等式：对任意实数 a，b∈R，都有 a² + b² ≥ ________________，当且仅当________________时，等号成立。 ◆ 三、预习疑惑 通过预习，你在哪些地方还存在疑惑？请简要记录： 💡 【典例精析】 例1 （用不等式表示不等关系） 某品牌酸奶的包装盒上标明："净含量 250g±5g"；某高速路段限速 120 km/h，要求车速 v 不得低于 60 km/h；某游泳馆规定：身高低于 1.2 米的儿童须由成人陪同方可入场。请分别用不等式表示上述三个不等关系。 【解析】 例2 （作差比较法证明） 已知 a > 0，b > 0，试比较 a⁴+b⁴ 与 a³b+ab³ 的大小，并说明理由。 【解析】 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10分钟） 1．某商品说明书上标明"保质期：不超过 18 个月"。设该商品的存放时间为 t（单位：月），则该不等关系可表示为（ ） A. t > 18 B. t ≥ 18 C. t < 18 D. t ≤ 18 2．若 P = 2x² + 3x + 2，Q = x² + 3x + 1（x 为实数），则 P 与 Q 的大小关系为（ ） A. P > Q B. P < Q C. P = Q D. 不能确定 3．已知 a > b > 0，则下列关系式中恒成立的是（ ） A. a² > b² B. a−b > 0 C. < D. > 4．（多选）下列说法中正确的有（ ） A. "x 不大于 3" 用不等式表示为 x < 3 B. "a 与 b 的差是非正数" 用不等式表示为 a−b ≤ 0 C. 若 a ≠ b，则一定有 a² + b² > 2ab D. 若 x ≥ 3 或 x ≤ 2 有一个成立，则 x²−5x+6 ≥ 0 成立 5．已知 x ∈ R，比较 2x² + 1 与 x² + 2x 的大小。 📝 【课堂小结 & 课后作业】 📚 知识框架 📌 课后作业 ① 不等关系 ⇒ 不等式（组） ② 作差法：作差→变形→定号→结论 ③ 重要不等式：a²+b²≥2ab（当且仅当 a=b 时取等） ① 教材 P42 习题 2.1 第 1、2、3 题； ② 完成本节《同步练习册》对应课时； ③ 预习"不等式的性质"相关内容。 🌟 【学习反思】 今日收获： 存在困惑： ✦ 数学是思维的体操，思考是进步的阶梯 ✦ 📋 参 考 答 案 与 解 析 📖 【预习导学】参考答案 ◆ 一、知识回顾 1．相反 2．存在；∃x∈M，¬p(x) 3．全称；∀x∈M，¬p(x) 4．假；真 ◆ 二、新知初探 1．不等式 2．a−b > 0；a−b = 0；a−b < 0 3．差 4．化简（变形/因式分解/配方） 5．2ab；a = b 💡 【典例精析】参考答案 例1【解析】 ① 净含量 250g±5g 表示实际净含量 m（单位：g）与 250g 的误差不超过 5g，即 |m − 250| ≤ 5，也就是 245 ≤ m ≤ 255； ② 高速路段要求车速 v 既不超过 120 km/h 又不低于 60 km/h，即 60 ≤ v ≤ 120； ③ 设儿童身高为 h（单位：米），则身高低于 1.2 米可表示为 h < 1.2。 例2【解析】 作差：(a⁴+b⁴) − (a³b+ab³) = a⁴−a³b+b⁴−ab³ = a³(a−b)+b³(b−a) = (a−b)(a³−b³) = (a−b)(a−b)(a²+ab+b²) = (a−b)²(a²+ab+b²)。 ∵ a > 0，b > 0，∴ a²+ab+b² > 0；又 (a−b)² ≥ 0，当且仅当 a=b 时取等号。 ∴ (a−b)²(a²+ab+b²) ≥ 0，即 a⁴+b⁴ ≥ a³b+ab³，当且仅当 a=b 时等号成立。 ✏️ 【当堂达标】参考答案 1．答案：D 解析："不超过"意为"小于或等于"，故 t ≤ 18，选 D。 2．答案：A 解析：P − Q = (2x²+3x+2) − (x²+3x+1) = x² + 1 > 0 对任意实数 x 恒成立，故 P > Q，选 A。 3．答案：B 解析：a > b 由定义等价于 a−b > 0，B 恒成立；A、D 在 a、b 为正数时成立，但"恒成立"应以定义 B 为根本依据；C 同样在 a、b 同号时成立，非定义性恒成立。故答案为 B（注：本题考查不等关系的定义性结论，即 a>b ⇔ a−b>0）。 4．答案：BCD 解析：A 错，"x 不大于 3" 意为 x ≤ 3，而非 x < 3；B 正确，"非正数"即小于或等于 0，故 a−b ≤ 0；C 正确，由重要不等式 a²+b² ≥ 2ab，当且仅当 a = b 时取等号，故当 a ≠ b 时必有 a²+b² > 2ab；D 正确，x²−5x+6 = (x−2)(x−3)，由二次函数符号规律，(x−2)(x−3) ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 或 x ≥ 3，即两个条件中满足其一不等式就成立。综上选 BCD。 5．答案：2x²+1 ≥ x²+2x（当且仅当 x=1 时等号成立） 解析：作差：(2x²+1) − (x²+2x) = x² − 2x + 1 = (x − 1)² ≥ 0， ∴ 2x²+1 ≥ x²+2x，当且仅当 x = 1 时等号成立。 —— 本学案答案完 —— 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教a版（2019）高中数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1.1《等式性质与不等式性质——不等关系与比较大小》 导学案 💫数学人教A版（2019）必修一💫 课 题： 2.1 等式性质与不等式性质——不等关系与比较大小） 课 时： 第1课时（共2课时） 课 型： 新授课 班 级： 姓 名： 🎯 【课标要求】 1. 通过具体情境，感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景； 2. 理解实数大小比较的基本事实，掌握作差比较法判断两个实数（代数式）大小的基本步骤； 3. 掌握重要不等式 a²+b²≥2ab，理解其几何与代数意义，能运用其进行简单证明与判断。 ⭐ 【重点难点】 学 习 重 点 学 习 难 点 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；作差比较法的步骤与应用；重要不等式的理解与简单运用。 作差后的变形（因式分解、配方）以判断差的符号；重要不等式等号成立条件的理解与应用。 📖 【预习导学】 ◆ 一、知识回顾 1．一个命题和它的否定真假性________________（填"相同"或"相反"），二者只能一真一假。 2．全称量词命题 ∀x∈M，p(x) 的否定是________________量词命题，其形式为________________；否定规则是：把全称量词改为存在量词，并否定结论 p(x)。 3．存在量词命题 ∃x∈M，p(x) 的否定是________________量词命题，其形式为________________；否定规则是：把存在量词改为全称量词，并否定结论 p(x)。 4．判断命题否定的真假时：若原命题为真，则它的否定一定为________________；若原命题为假，则它的否定一定为________________。 ◆ 二、新知初探 1．在现实的数量关系中，相等关系用等式表示，不等关系则用________________来表示。 2．实数大小比较的基本事实（依据）： a > b ⇔ ____________________ ； a = b ⇔ ____________________ ； a < b ⇔ ____________________ 。 3．由此可见，比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的________________与 0 的大小关系，这就是比较实数大小的根本方法。 4．作差比较法的一般步骤可概括为四步：作差 → ________________ → 判断差与 0 的大小关系 → 得出大小结论。 5．重要不等式：对任意实数 a，b∈R，都有 a² + b² ≥ ________________，当且仅当________________时，等号成立。 ◆ 三、预习疑惑 通过预习，你在哪些地方还存在疑惑？请简要记录： 💡 【典例精析】 例1 （用不等式表示不等关系） 某品牌酸奶的包装盒上标明："净含量 250g±5g"；某高速路段限速 120 km/h，要求车速 v 不得低于 60 km/h；某游泳馆规定：身高低于 1.2 米的儿童须由成人陪同方可入场。请分别用不等式表示上述三个不等关系。 【解析】 例2 （作差比较法证明） 已知 a > 0，b > 0，试比较 a⁴+b⁴ 与 a³b+ab³ 的大小，并说明理由。 【解析】 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10分钟） 1．某商品说明书上标明"保质期：不超过 18 个月"。设该商品的存放时间为 t（单位：月），则该不等关系可表示为（ ） A. t > 18 B. t ≥ 18 C. t < 18 D. t ≤ 18 2．若 P = 2x² + 3x + 2，Q = x² + 3x + 1（x 为实数），则 P 与 Q 的大小关系为（ ） A. P > Q B. P < Q C. P = Q D. 不能确定 3．已知 a > b > 0，则下列关系式中恒成立的是（ ） A. a² > b² B. a−b > 0 C. < D. > 4．（多选）下列说法中正确的有（ ） A. "x 不大于 3" 用不等式表示为 x < 3 B. "a 与 b 的差是非正数" 用不等式表示为 a−b ≤ 0 C. 若 a ≠ b，则一定有 a² + b² > 2ab D. 若 x ≥ 3 或 x ≤ 2 有一个成立，则 x²−5x+6 ≥ 0 成立 5．已知 x ∈ R，比较 2x² + 1 与 x² + 2x 的大小。 📝 【课堂小结 & 课后作业】 📚 知识框架 📌 课后作业 ① 不等关系 ⇒ 不等式（组） ② 作差法：作差→变形→定号→结论 ③ 重要不等式：a²+b²≥2ab（当且仅当 a=b 时取等） ① 教材 P42 习题 2.1 第 1、2、3 题； ② 完成本节《同步练习册》对应课时； ③ 预习"不等式的性质"相关内容。 🌟 【学习反思】 今日收获： 存在困惑： ✦ 数学是思维的体操，思考是进步的阶梯 ✦ 📋 参 考 答 案 与 解 析 📖 【预习导学】参考答案 ◆ 一、知识回顾 1．相反 2．存在；∃x∈M，¬p(x) 3．全称；∀x∈M，¬p(x) 4．假；真 ◆ 二、新知初探 1．不等式 2．a−b > 0；a−b = 0；a−b < 0 3．差 4．化简（变形/因式分解/配方） 5．2ab；a = b 💡 【典例精析】参考答案 例1【解析】 ① 净含量 250g±5g 表示实际净含量 m（单位：g）与 250g 的误差不超过 5g，即 |m − 250| ≤ 5，也就是 245 ≤ m ≤ 255； ② 高速路段要求车速 v 既不超过 120 km/h 又不低于 60 km/h，即 60 ≤ v ≤ 120； ③ 设儿童身高为 h（单位：米），则身高低于 1.2 米可表示为 h < 1.2。 例2【解析】 作差：(a⁴+b⁴) − (a³b+ab³) = a⁴−a³b+b⁴−ab³ = a³(a−b)+b³(b−a) = (a−b)(a³−b³) = (a−b)(a−b)(a²+ab+b²) = (a−b)²(a²+ab+b²)。 ∵ a > 0，b > 0，∴ a²+ab+b² > 0；又 (a−b)² ≥ 0，当且仅当 a=b 时取等号。 ∴ (a−b)²(a²+ab+b²) ≥ 0，即 a⁴+b⁴ ≥ a³b+ab³，当且仅当 a=b 时等号成立。 ✏️ 【当堂达标】参考答案 1．答案：D 解析："不超过"意为"小于或等于"，故 t ≤ 18，选 D。 2．答案：A 解析：P − Q = (2x²+3x+2) − (x²+3x+1) = x² + 1 > 0 对任意实数 x 恒成立，故 P > Q，选 A。 3．答案：B 解析：a > b 由定义等价于 a−b > 0，B 恒成立；A、D 在 a、b 为正数时成立，但"恒成立"应以定义 B 为根本依据；C 同样在 a、b 同号时成立，非定义性恒成立。故答案为 B（注：本题考查不等关系的定义性结论，即 a>b ⇔ a−b>0）。 4．答案：BCD 解析：A 错，"x 不大于 3" 意为 x ≤ 3，而非 x < 3；B 正确，"非正数"即小于或等于 0，故 a−b ≤ 0；C 正确，由重要不等式 a²+b² ≥ 2ab，当且仅当 a = b 时取等号，故当 a ≠ b 时必有 a²+b² > 2ab；D 正确，x²−5x+6 = (x−2)(x−3)，由二次函数符号规律，(x−2)(x−3) ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 或 x ≥ 3，即两个条件中满足其一不等式就成立。综上选 BCD。 5．答案：2x²+1 ≥ x²+2x（当且仅当 x=1 时等号成立） 解析：作差：(2x²+1) − (x²+2x) = x² − 2x + 1 = (x − 1)² ≥ 0， ∴ 2x²+1 ≥ x²+2x，当且仅当 x = 1 时等号成立。 —— 本学案答案完 —— 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $