第一章 集合与常用逻辑用语（思维导图+知识清单+六大易错点总结）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语（思维导图+知识清单+六大易错点总结） 【人教A版】 1.1 集合的概念 【知识点1 集合的概念】 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【知识点2 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【知识点3 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 1.2 集合间的基本关系 【知识点1 集合的子集】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【知识点2 集合相等与空集】 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【知识点3 集合间关系的性质】 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 1.3 集合的基本运算 【知识点1 交集、并集与补集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 5．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 6．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【知识点2 Venn图表达集合的关系和运算】 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 1.4 充分条件与必要条件 【知识点1 命题】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【知识点2 充分、必要与充要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 4．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 5．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 1.5 全称量词与存在量词 【知识点1 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【知识点3 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 【易错点1 忽略互异性】 易错点分析：集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【典例1】（24-25高一上·江苏南通·期中）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【跟踪训练1.1】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知，则实数a的值是（    ） A．3 B．1 C．3或1 D．0 【跟踪训练1.2】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【跟踪训练1.3】（24-25高一上·山东聊城·期中）若，则的可能取值有（   ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 【易错点2 忽略空集的情况】 易错点分析：当A∩B=∅时，你是否注意到“特殊”情况：A=∅或B=∅；同样当A⊆B时，你是否忘记A=∅的情形?要注意到：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 【典例2】（24-25高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．8 【跟踪训练2.1】（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）已知集合，集合．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.2】（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【跟踪训练2.3】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【易错点3 忽略集合中端点值的取舍】 易错点分析：对于与不等式有关的集合问题，通常借助数轴来分析，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心圆圈表示.另一方面，利用集合间的关系、集合的基本运算求解参数的取值范围的时，要注意端点值能不能取到. 【典例3】（2025高一上·北京·专题练习）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·全国·课前预习）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.2】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【跟踪训练3.3】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【易错点4 忽略最高项系数为0】 易错点分析：对于最高项的系数是未知数的一元二次方程或不等式，最高项的系数是否为0将直接影响该方程或不等式的求解方式，进而影响结果，因此必须要进行分类讨论. 【典例4】（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【跟踪训练4.1】（24-25高一上·广东汕尾·期末）设集合，若，求实数的取值范围. 【跟踪训练4.2】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合. (1)当，求； (2)当且，求的取值范围. 【跟踪训练4.3】（25-26高一上·全国·课前预习）已知全集，集合． (1)若集合中只有1个元素，记此时所有的值组成的集合为，求； (2)若，求． 【易错点5 对集合新定义理解有误】 易错点分析：对于以集合知识为背景的新定义、创新型试题，因为对题干信息的新定义或背景的理解不全面、不深刻，不能很好的将题目信息转化为数学信息，造成解题失误或思路受阻. 【典例5】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练5.1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C． D． 【跟踪训练5.2】（25-26高一上·全国·单元测试）对于由个正整数构成的集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”． (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数． 【跟踪训练5.3】（24-25高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）若集合中的元素都可以表示为某两个整数的平方和，即，则称集合为“弦方集” (1)分别判断，，，是否为弦方集中的元素； (2)已知集合为弦方集，且，正整数能表示为某个整数的平方，证明：； (3)已知集合为弦方集，集合，证明：. 【易错点6 忽略充分、必要条件中端点值的取舍】 易错点分析：在充分、必要条件的求参问题中，解题时需注意：①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；②要注意区间端点值的检验. 【典例6】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【跟踪训练6.1】（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【跟踪训练6.2】（24-25高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【跟踪训练6.3】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由； (2)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（思维导图+知识清单+六大易错点总结） 【人教A版】 1.1 集合的概念 【知识点1 集合的概念】 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【知识点2 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【知识点3 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 1.2 集合间的基本关系 【知识点1 集合的子集】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【知识点2 集合相等与空集】 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【知识点3 集合间关系的性质】 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 1.3 集合的基本运算 【知识点1 交集、并集与补集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 5．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 6．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【知识点2 Venn图表达集合的关系和运算】 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 1.4 充分条件与必要条件 【知识点1 命题】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【知识点2 充分、必要与充要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 4．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 5．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 1.5 全称量词与存在量词 【知识点1 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【知识点3 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 【易错点1 忽略互异性】 易错点分析：集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【典例1】（24-25高一上·江苏南通·期中）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可. 【解答过程】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 故选：C. 【跟踪训练1.1】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知，则实数a的值是（    ） A．3 B．1 C．3或1 D．0 【答案】A 【解题思路】由元素与集合的关系可得出或，然后再检查集合元素的互异性. 【解答过程】由题意得或，当时，集合为，符合题意； 当时，集合为，不符合题意，所以. 故选：A. 【跟踪训练1.2】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【解答过程】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B. 【跟踪训练1.3】（24-25高一上·山东聊城·期中）若，则的可能取值有（   ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 【答案】C 【解题思路】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值. 【解答过程】时，可得，符合题意； 时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题意； 时，可得，符合题意. 或均可以． 故选：C. 【易错点2 忽略空集的情况】 易错点分析：当A∩B=∅时，你是否注意到“特殊”情况：A=∅或B=∅；同样当A⊆B时，你是否忘记A=∅的情形?要注意到：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 【典例2】（24-25高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【解答过程】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C. 【跟踪训练2.1】（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）已知集合，集合．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】当时，，当时，，或，从而可求出实数的取值范围. 【解答过程】当时，成立，此时，得， 当时，因为， 所以，或，解得或，则， 综上，. 故选：B. 【跟踪训练2.2】（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【解题思路】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【解答过程】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 【跟踪训练2.3】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解. 【解答过程】（1）当时，， 则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 【易错点3 忽略集合中端点值的取舍】 易错点分析：对于与不等式有关的集合问题，通常借助数轴来分析，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心圆圈表示.另一方面，利用集合间的关系、集合的基本运算求解参数的取值范围的时，要注意端点值能不能取到. 【典例3】（2025高一上·北京·专题练习）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【解答过程】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 . 故选：C. 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·全国·课前预习）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题干可知，再利用集合和集合的范围即可确定的取值范围. 【解答过程】，，又， 则，解得，故的取值范围是． 故选：. 【跟踪训练3.2】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直接根据集合的包含关系列出不等式即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【解答过程】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 【跟踪训练3.3】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【解题思路】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【解答过程】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 【易错点4 忽略最高项系数为0】 易错点分析：对于最高项的系数是未知数的一元二次方程或不等式，最高项的系数是否为0将直接影响该方程或不等式的求解方式，进而影响结果，因此必须要进行分类讨论. 【典例4】（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【解题思路】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【解答过程】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为 . （3）因为，则要对A是否为进行分类讨论， 若，由（2）可知：； 若，则有： 当时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 【跟踪训练4.1】（24-25高一上·广东汕尾·期末）设集合，若，求实数的取值范围. 【答案】 【解题思路】根据题意就判别式的正负分情况依次求解. 【解答过程】，由题设可得为的子集. 当时，解得. 当时， 若，即时， 此时的解为， 即，符合题意. 若，即时， ①，即时，此时， 即，解得，即，不符合题意. ②，即时，由此时集合. 则，解得， 与矛盾，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 【跟踪训练4.2】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合. (1)当，求； (2)当且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当时，解出，，由集合的运算求出； （2）由，或，由，求得，即可得到的范围. 【解答过程】（1）由已知， ， 当时，， 所以. （2）因为，即， 当时，，，则， 所以，则，解得， 则，得， 因为，所以，解得， 综上，的取值范围为. 【跟踪训练4.3】（25-26高一上·全国·课前预习）已知全集，集合． (1)若集合中只有1个元素，记此时所有的值组成的集合为，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) ． 【解题思路】（1）当集合中只有一个元素，则只有一个根或有两个相等的实数根，分和两种情况讨论，得出，结合全集求出. （2）由得，代入方程得，解出，求出，结合得出，从而求出. 【解答过程】（1）因为集合中只有一个元素， 则方程只有一个根或有两个相等的实数根， 当时，，不满足，不符合题意. 当时，，即，解得或， 若，则，不满足，舍去. 若，则，满足，符合题意. 所以，故， 所以． （2）由得， 代入方程得，解得． 当时，，则， 故 ． 【易错点5 对集合新定义理解有误】 易错点分析：对于以集合知识为背景的新定义、创新型试题，因为对题干信息的新定义或背景的理解不全面、不深刻，不能很好的将题目信息转化为数学信息，造成解题失误或思路受阻. 【典例5】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由新定义，列举计算即可； 【解答过程】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B. 【跟踪训练5.1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据直积的定义可判断AD的正误，根据反例可判断BC的正误. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，设，，则，的元素个数为，不是3，故B错误； 对于C，结合B的实例，，而，两者不相同，故C错误； 对于D，任意，则存在， 使得，因为且，故且， 故，故 任意，则存在，使得， 故，故，故， 故， 故选：D. 【跟踪训练5.2】（25-26高一上·全国·单元测试）对于由个正整数构成的集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”． (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 【解题思路】(1)由题干定义即可得； (2) 设集合所有元素之和为，由题意可知均为偶数，因此任意一个元素的奇偶性相同． 所以分是奇数与偶数进行讨论 【解答过程】（1）当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况： ，；，；，；，；，；，；，． 经过计算可以发现每组两个集合的所有元素之和不相等，故集合不是“和谐集”． （2）设集合所有元素之和为， 由题意可知均为偶数， 因此任意一个元素的奇偶性相同． 若是奇数，则也都是奇数， 因为，所以为奇数； 若是偶数，则也都是偶数，设， 显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以得到各项都为奇数的“和谐集”， 此时各项的和也是奇数，所以为奇数． 综上所述，若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数． 【跟踪训练5.3】（24-25高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）若集合中的元素都可以表示为某两个整数的平方和，即，则称集合为“弦方集” (1)分别判断，，，是否为弦方集中的元素； (2)已知集合为弦方集，且，正整数能表示为某个整数的平方，证明：； (3)已知集合为弦方集，集合，证明：. 【答案】(1)是弦方集中的元素，不是弦方集中的元素； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据“弦方集”的元素的特征进行判断； （2）根据“弦方集”的定义证得结论成立； （3）利用反证法，先假设，根据“弦方集”的元素的特征以及整数的有关性质得出矛盾，从而证得. 【解答过程】（1）因为，所以是弦方集中的元素. 不存在，使得，所以不是弦方集中的元素. （2）依题意，集合为弦方集，且，即存在，使得， 正整数能表示为某个整数的平方，即存在， 所以， 所以是弦方集中的元素，即. （3）假设，则存在，， 使得，由于是奇数，所以是奇数， 所以一个是奇数，另一个是偶数， 不妨设， 则， 而除以的余数为，除以的余数为， 所以，与已知矛盾，所以. 【易错点6 忽略充分、必要条件中端点值的取舍】 易错点分析：在充分、必要条件的求参问题中，解题时需注意：①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；②要注意区间端点值的检验. 【典例6】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得. 【解答过程】（1）由，可得， 因为 ， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，解得， 综上，. 故实数的取值范围为． （2）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得， 故实数的取值范围是． 【跟踪训练6.1】（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围. （2）根据集合是否为空集进行分类讨论，结合，分别求出实数的取值范围，最后取并集即可. 【解答过程】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集. 已知，，则，解得. 故实数的取值范围为. （2）当时，因为，所以，解得，此时成立； 当时，，解得. 因为，，则或，解得或，故此时. 综上，若，则实数的取值范围为. 【跟踪训练6.2】（24-25高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【解题思路】（1）由构造不等式即可求解； （2）由构造不等式即可求解； 【解答过程】（1）非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； （2）存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围. 【跟踪训练6.3】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由； (2)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知可得集合是集合的真子集，进而可得，求解即可； （2）集合是集合的真子集，分和两种情况求解即可. 【解答过程】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 又，， 所以，解得， 所以的取值范围为. （2）因为是成立的必要不充分条件条件，所以集合是集合的真子集， 若时，，解得， 若时，可得，解得， 综上所述：的取值范围为. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $