高中数学单元测试——第二章一元二次函数、方程和不等式（较易版02）

**基本信息** 本卷为高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式单元复习较易卷，以基础巩固为主，融入生活与实际应用情境，适配单元知识查漏与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质、解集求解（如解一元二次不等式）|注重基础概念辨析，体现抽象能力| |多选题|3/18|方程根分布、不等式恒成立（如方程恰有一实根求参数范围）|考查逻辑推理，发展推理意识| |填空题|3/15|生活情境建模（如铁钉阻力问题提炼不等式组）、最值计算|培养数学眼光与模型意识| |解答题|5/77|函数、不等式与实际应用（如利润函数及最值）|强调数学思维与应用意识，贴合单元复习需求|

高中数学单元测试 —— 第二章 一元二次函数、方程和不等式（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列四个式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取特殊值即可排除ACD，根据不等式的基本性质可判断B. 【详解】取，排除ACD，因为，所以，B正确. 故选：B 2．（本题5分）已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，作差比较大小. 【详解】由a，b均为正实数，， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：D 3．（本题5分）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 所以不等式的解集为或 4．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据分式不等式解法计算即可求解. 【详解】不等式可化为，即， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 5．（本题5分）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据不等式的解集可得参数的关系，代入所求不等式后可求其解集. 【详解】因为的解集为， 故且为方程的解. 故，故， 故不等式即为， 故，故， 故不等式的解集为， 故选：C 6．（本题5分）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解. 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 7．（本题5分）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】先化简变形再应用基本不等式计算求解即可. 【详解】由题意得， 所以，所以，当且仅当时等号成立，即当或时取等号， 当时，所以的最大值为2. 故选：A. 8．（本题5分）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，将恒成立转化为，得到的一元二次不等式求解. 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当时，即，即时，等号成立， 的最小值为 ， 恒成立，， ，，，实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）如果，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用举反例来判断AC，利用不等式性质来判断BD. 【详解】当时，，此时，故A错误； 当时，，所以，故B正确； 当时，，此时，故C错误； 因为，所以，则由两边同时除以，即可得，故D正确； 故选：BD 10．（本题6分）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】在题干中的等式两边平方得出，然后对实数的取值进行分类讨论，根据原方程只有一个实数解，可得出关于的等式与不等式，综合可解得实数的取值范围. 【详解】由可得，整理得. 由于方程恰有一个实根，分以下几种情况讨论： （i）当时，或. 若，则，矛盾； 若，则，解得，满足方程； （ii）当时，即当且时， 若，解得， 此时方程为，即，解得， 满足方程； 若，若且， 则在上有且只有一个实数解， 而，故且满足； 若且，则在上有且只有一个实数解， 设，则， 而，故，此时对称轴， 而， 故此时在上无解， 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：BD. 11．（本题6分）已知正实数满足，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A利用基本不等式“1”的妙用方法即可求解判断；B根据不等式计算即可求解判断；C平方再利用基本不等式即可求解判断；D直接利用基本不等式求解判断. 【详解】A：， 当且仅当取等号，故A正确. B：，当且仅当取等号，故B错误. C：， 当且仅当取等号，所以，故C正确. D：，当且仅当取等号，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（本题5分）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组：______． 【答案】 【分析】由第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板可得． 【详解】解：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以 故答案为： 13．（本题5分）已知正实数，满足，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】利用代换法，结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，上式取等号， 则的最小值是, 故答案为： 14．（本题5分）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 【答案】或 【分析】当时结合题意可得，再分、、三种情况，结合一元二次不等式求解. 【详解】由题意知，当时，有，即，得， 当时，不等式即， 显然当时，不等式恒成立； 当，时，恒成立， 则不等式可化为即， 欲使恒成立，则，即； 当时，不等式即， 由，得，得或，不符合题意； 综上可得或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求，的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将代入，解一元二次不等式即可得解； （2）由题意得是方程的两根，利用根与系数的关系可求得的值. 【详解】（1）当且时， 则不等式，即为 即，解得， 则的解集为. （2）因为的解集是， 所以是方程，即的两根， 则，解得，经检验满足题意. 16．（本题15分）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)记关于的不等式的解集为. （i）若，求的取值范围； （ii）求. 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. （2）（i）由建立不等式求出范围；（ii）按分类求解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）不等式，依题意，不等式的解集为， 则，解得，所以的取值范围是. （2）（i）不等式， 由，得，即，解得或， 所以的取值范围是或. （ii）由（i）得， 当时，，解得或； 当时，，解得或； 当时，，解得或， 所以当时，；当时，； 当时，. 19．（本题17分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集； (3)设关于的方程有两实数根，，且满足，求的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）结合题意并利用一元二次方程根与系数的关系求解即可. （2）结合题意将原不等式化为分式不等式，再求解解集即可. （3）对目标式合理变形，再结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以，且，解得，故. （2）因为， 所以不等式，可化为，即， 而，，可得，解得且， 则不等式的解集为或. （3）由题意得关于的方程有两实数根， 则有两实数根， 所以，易知此式恒成立， 因为，由韦达定理，， 所以， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 一元二次函数、方程和不等式（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列四个式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 5．（本题5分）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 6．（本题5分）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 8．（本题5分）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）如果，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 10．（本题6分）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 11．（本题6分）已知正实数满足，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组：______． 13．（本题5分）已知正实数，满足，则的最小值是_____. 14．（本题5分）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求，的值. 16．（本题15分）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)记关于的不等式的解集为. （i）若，求的取值范围； （ii）求. 19．（本题17分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集； (3)设关于的方程有两实数根，，且满足，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $