专题02 常用逻辑用语八重难点题型（高效培优专项训练）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 聚焦常用逻辑用语八大核心题型，从命题真假判断到反证法证明，形成概念理解-参数求解-逻辑证明的递进训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断命题的真假|6题|结合集合、新定义等辨析命题真假|以集合为载体，强化命题真假的判定逻辑| |已知命题的真假求参数|7题|根据命题真假确定参数范围|连接命题真假与参数计算，培养运算能力| |充分必要条件判定|11题|判断条件间的逻辑关系|从具体情境到数学表达式，深化条件关系理解| |根据充分不必要条件求参数|16题|由充分条件构建参数不等式|体现集合包含关系与充分条件的转化| |根据必要不充分条件求参数|7题|由必要条件确定参数范围|强化必要条件的集合意义| |充要条件的证明|6题|双向证明条件等价性|培养逻辑推理与数学表达能力| |反证法的概念辨析|7题|反证法假设的正确表述|理解反证法的逻辑原理| |反证法证明|10题|用反证法证明数学命题|提升理性精神与证明严谨性|

专题02 常用逻辑用语八重难点题型 题型一 判断命题的真假 题型二 已知命题的真假求参数 题型三 充分必要条件判定 题型四 根据充分不必要条件求参数 题型五 根据必要不充分条件求参数 题型六 充要条件的证明 题型七 反证法的概念辨析 题型八 反证法证明 题型一：判断命题的真假 1．（25-26高一上·上海·期中）设，已知A、B是两个数集．若对任意，都存在，使得，则称A是B的一个“邻集”．有下列两个命题：①是Q的一个邻集；②若A是B的一个邻集，则B也是A的一个邻集．则（   ） A．①真②假 B．①假②真 C．①真②真 D．①假②假 2．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 3．（25-26高一上·上海·期中）以某些整数为元素的集合具有以下两个性质：①中的元素有正整数，也有负整数；②若，，则，在下列两个命题中，判断正确的是（    ） 命题：若，则，其中为正整数；命题：0一定属于集合． A．命题为真命题，命题为真命题 B．命题为真命题，命题为假命题 C．命题为假命题，命题为真命题 D．命题为假命题，命题为假命题 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 5．（23-24高一上·上海松江·期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 6．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知非空集合，满足对于的任意一个排列，对任意，，都有.   关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ）. 命题①：若，则中至少有两个相等； 命题②：若，则中至少有两个相等； A．①是真命题；②是真命题 B．①是真命题；②是假命题 C．①是假命题；②是真命题 D．①是假命题；②是假命题 题型二：已知命题的真假求参数 7．（24-25高一上·上海·阶段检测）为说明“设是任意实数，若，则”是假命题，可以在集合中选取的值，此时为__________. 8．（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是______. 9．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是__________. 10．（23-24高一上·上海宝山·阶段检测）已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 11．（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 12．已知命题①函数的图象总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若命题①为真，求的取值范围； (2)若命题①、②中至多有一个命题为真，求的取值范围. 13．（24-25高一上·上海·阶段检测）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 题型三：充分必要条件判定 14．（25-26高一上·上海松江·期中）已知上海市评选市级三好学生时，申报条件之一为：申报者须获得区级三好学生资格.若甲同学是松江区的一名高中生，则“甲是上海市级三好学生”是“甲是松江区级三好学生”的（   ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 15．（24-25高一上·上海松江·阶段检测）“”是“”的（    ）条件． A．充要 B．必要非充分 C．既非充分又非必要 D．充分非必要 16．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知为实数，那么“”是“方程没有实数解”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（23-24高一上·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 18．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）已知为非零实数，则 “” 是 “ ”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 19．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知均为实数，则是或的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要条件 20．（25-26高一上·上海·期中）已知，则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 21．（25-26高一上·上海·期中）若，，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 22．（25-26高一上·上海·期中）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 23．（25-26高一上·上海·阶段检测）其身正， 不令而行； 其身不正， 虽令不从”出自《论语·子路》. 其数学含义可以理解为：“身正”是“令行”的_____条件. 24．（25-26高一上·上海·期中）是的______条件.（从“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”中选择一项填入） 题型四：根据充分不必要条件求参数 25．（25-26高一上·上海·阶段检测）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·上海·阶段检测）设，陈述句：，陈述句：.若使得是的充分条件，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 27．若，，已知是的充分条件，则实数的取值范围是_________． 28．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，，若p的一个充分非必要条件是q，则实数a的取值范围为__________. 29．（23-24高一上·上海·阶段检测）已知且的充分不必要条件是，则的取值范围是______. 30．（23-24高一上·上海·阶段检测）若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为______. 31．（23-24高一上·上海闵行·期中）设命题p：集合，命题q：集合，若，则实数a的取值范围是______ 32．（23-24高一上·上海宝山·阶段检测）已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是____________. 33．（24-25高一上·上海·期中）已知.若是的充分条件，则的取值范围是_________. 34．（24-25高一上·上海·期中）不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是________． 35．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知：是：的充分不必要条件，则实数的取值范围为_______． 36．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是______. 37．（25-26高一上·上海·阶段检测）设，或，若是的充分条件，实数的取值范围为____________. 38．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知命题p：集合或，q：集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若（p的否命题）是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围. 39．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分非必要条件，求实数m取值范围组成的集合. 40．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）已知集合． (1)若，求； (2)若＂＂是＂＂成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 题型五：根据必要不充分条件求参数 41．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，设，且是的必要非充分条件，则的取值范围是________ 42．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，非空集合，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是_____ 43．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，集合，若是的必要条件，则实数的取值范围是__________. 44．（25-26高一上·上海·期中）若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 45．已知全集． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． 46．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 47．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知集合，集合 . (1)若，全集，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型六：充要条件的证明 48．“关于的方程有实数根”是“”的什么条件？请证明你的结论． 49．已知，求证：的充要条件是. 50．对于给定集合，若集合中任意两个不同元素之和仍是集合中的元素，则称集合是“封闭集合”．设为实常数且，集合，证明：集合为“封闭集合”的充要条件是：存在整数，使得． 51．已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a． (1)若α是β必要非充分条件，求实数a的取值范围； (2)求证：a≥2是α⟹β成立的充要条件． 52．（25-26高一上·上海·期中）已知A是R的非空真子集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)命题p：若非空集合，是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件.请判断命题p的真假，并说明理由. 53．（25-26高一上·上海·期中）已知集合中存在三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质并说明理由； (2)若集合，判断“集合具有性质”是“集合是集合的期待子集”的什么条件，并加以证明. 题型七：反证法的概念辨析 54．（25-26高一上·上海·阶段检测）用反证法证明：“已知，，求证：”时，应假设（   ） A．已知，且 B．已知，或 C．且 D．且 55．（24-25高一上·上海·阶段检测）用反证法证明命题“若，则、、都不为”时，应假设_______． 56．（23-24高一上·上海浦东新·阶段检测）用反证法证明命题“或”时要做的假设是________． 57．（25-26高一上·上海松江·期中）用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为__________. 58．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）用反证法证明：“已知是整数，若为偶数，则中至少有两个是偶数.”时，应假设：________． 59．（25-26高一上·上海·期中）用反证法证明“若，则或”这个命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即________． 60．（25-26高一上·上海闵行·期中）用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是___________． 题型八：反证法证明 61．（25-26高一上·上海·期中）证明：对于三个实数a、b、c，若，则或． 62．设.证明：若是奇数，则n是奇数. 63．已知x是有理数，y是无理数，求证：是无理数． 64．（24-25高一上·上海·期中）设，证明：“”不是“”的必要条件. 65．若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 66．（25-26高一上·上海·阶段检测）用反证法证明：若、、，且，，，则中至少有一个不小于0． 67．（24-25高一上·上海·阶段检测）（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 68．（23-24高一上·上海黄浦·期中）（1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 69．（25-26高一上·上海·阶段检测）求证: (1)若整数满足能被3整除，则也能被3整除； (2)是无理数； (3)是无理数. 70．（24-25高一上·上海·阶段检测）记有理数集Q的非空子集S具有以下性质：①：②若，，则；③存在非零有理数q，且每一个不在S中的非零有理数都可写成qs的形式，其中. (1)求证：； (2)若，，求证：： (3)若u是非零有理数，且，求证：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语八重难点题型 题型一 判断命题的真假 题型二 已知命题的真假求参数 题型三 充分必要条件判定 题型四 根据充分不必要条件求参数 题型五 根据必要不充分条件求参数 题型六 充要条件的证明 题型七 反证法的概念辨析 题型八 反证法证明 题型一：判断命题的真假 1．（25-26高一上·上海·期中）设，已知A、B是两个数集．若对任意，都存在，使得，则称A是B的一个“邻集”．有下列两个命题：①是Q的一个邻集；②若A是B的一个邻集，则B也是A的一个邻集．则（   ） A．①真②假 B．①假②真 C．①真②真 D．①假②假 【答案】A 【详解】由于任意实数均可被有理数逼近，故①真； 注意到邻集的定义关于A，B不对称，如，时，A是B的一个邻集，而B不是A的一个邻集，故②假. 故选：A 2．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】B 【详解】由已知，设，， 若，此时(没有满足对任意，有)，而， 若(仅满足)，但，所以不包含，故命题①错误； 设，，，此时满足， 若(和均满足)，但，所以不包含于， 故命题②错误. 故选：B． 3．（25-26高一上·上海·期中）以某些整数为元素的集合具有以下两个性质：①中的元素有正整数，也有负整数；②若，，则，在下列两个命题中，判断正确的是（    ） 命题：若，则，其中为正整数；命题：0一定属于集合． A．命题为真命题，命题为真命题 B．命题为真命题，命题为假命题 C．命题为假命题，命题为真命题 D．命题为假命题，命题为假命题 【答案】A 【详解】对任意正整数，因为，则有，，，，所以命题为真命题， 由命题为真命题，可设，且，， 因为，为正整数，所以，因为x为正整数，，所以，所以，命题为真命题． 故选：A． 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 【答案】B 【详解】对于甲， ，故命题甲正确； 对于乙，如图所示： 所以，，故命题乙不正确. 故选：. 5．（23-24高一上·上海松江·期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【详解】对于①： 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，； 则符合题意，不符合题意； 综上，是单元素集，故①正确. 对于②： 当为整数时，成立； 当不为整数时，设（为整数，）， 当时，，， 此时，成立； 当时，，则，， 此时，成立； 当时，，， 此时，成立； 综上，对于任意，成立，故②正确. 故选：A 6．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知非空集合，满足对于的任意一个排列，对任意，，都有.   关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ）. 命题①：若，则中至少有两个相等； 命题②：若，则中至少有两个相等； A．①是真命题；②是真命题 B．①是真命题；②是假命题 C．①是假命题；②是真命题 D．①是假命题；②是假命题 【答案】B 【详解】根据条件，显然都是关于原点对称的集合，所以对，，有. 同时，对，只要包含，则对，有，反之亦然，故. 这表明，只要中有任何一个包含，中就至少有两个相等. 与此同时，对于，设满足，若，，则，所以，据的对称性有，同理，故，同理. 同时，设，则，所以. 故，所以，同理. 有了这些准备工作，下面分别研究两个命题①和②： 对于①，如果中的每个数都是偶数，则可以不断对每个元素除以（这个过程不能无限进行），直至中不全为偶数. 所以不妨设中至少有一个包含奇数，不妨设奇数，此时任取. 根据前面已经证明的结论，可知对任意整数，有，. 再结合前面证明的结论，可知对任意整数，有，. 从而对任意整数，据，，有. 这表明对任意整数，只要不全是偶数，就有. 由于是奇数，故不全是偶数，从而. 根据前面证明的结论，可知中至少有两个相等，故①正确； 对于②，设，，. 则满足全部条件，但两两不相等，故②错误. 故选：B. 题型二：已知命题的真假求参数 7．（24-25高一上·上海·阶段检测）为说明“设是任意实数，若，则”是假命题，可以在集合中选取的值，此时为__________. 【答案】 【详解】若命题为假命题，则由题意知，且，此时为. 故答案为： 8．（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是______. 【答案】 【详解】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 9．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】若命题为真命题，设方程的两根分别为、， 则，解得， 若命题为真命题，则，解得， 因为和有且只有一个为真命题， 若真假，，此时不存在， 若假真，则，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 10．（23-24高一上·上海宝山·阶段检测）已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】或 【详解】解：若命题为真命题，则，解得或， 若命题为真命题，则，即， 若真假，则，可得或， 若假真，则，此时，. 综上所述，或. 11．（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 12．已知命题①函数的图象总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若命题①为真，求的取值范围； (2)若命题①、②中至多有一个命题为真，求的取值范围. 【详解】（1）命题①函数的图象总在轴上方为真命题，则 当时，符合题意； 当，由求得， 故的取值范围为：； （2）若方程有两个不相等的实数根， 则，解得， 若命题①、②都是真命题，则； 故当命题①、②中至多有一个命题为真时， 的取值范围为或. 13．（24-25高一上·上海·阶段检测）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 题型三：充分必要条件判定 14．（25-26高一上·上海松江·期中）已知上海市评选市级三好学生时，申报条件之一为：申报者须获得区级三好学生资格.若甲同学是松江区的一名高中生，则“甲是上海市级三好学生”是“甲是松江区级三好学生”的（   ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】根据评选规则：若同学甲是市级三好学生，则同学甲必须是区级三好学生， 但是同学甲是区级三好学生不一定能评上市级三好学生， 所以“甲是上海市级三好学生”是“甲是松江区级三好学生”的充分非必要条件. 故选：B 15．（24-25高一上·上海松江·阶段检测）“”是“”的（    ）条件． A．充要 B．必要非充分 C．既非充分又非必要 D．充分非必要 【答案】A 【详解】若，等价于，即， 即“”与“”等价， 所以“”是“”的充要条件. 故选：A. 16．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知为实数，那么“”是“方程没有实数解”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由方程没有实数解，得，则， 由可得，反之不成立， 所以“”是“方程没有实数解”的必要而不充分条件. 故选：B 17．（23-24高一上·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【详解】若，显然，都成立，但是不成立， 因此由推不出， 若，成立时，当时，显然成立，但是不成立， 因此由推不出， 因此“”是“”的既非充分也非必要条件， 故选：D 18．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）已知为非零实数，则 “” 是 “ ”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【详解】当，满足，但不满足，充分性不成立； 当，满足，但不满足，必要性不成立. 于是“” 是 “ ”的既非充分也非必要条件. 故选：D 19．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知均为实数，则是或的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要条件 【答案】A 【详解】由可以推出或，充分性成立； 理由如下：若＂＂推不出＂或＂，即可得：且， 此时与条件矛盾， 所以由可以推出或， 当时，满足或（这里成立）， 但，不满足， 所以由或不能推出，必要性不成立. 则是或的充分不必要条件． 故选：A． 20．（25-26高一上·上海·期中）已知，则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【详解】充分性：当时，此时，，等式不成立， 故不能保证成立，充分性不成立. 必要性：当时，两边同时平方得：， 即，即，故能推出，故必要性成立. 综上，是的必要非充分条件. 故选：B. 21．（25-26高一上·上海·期中）若，，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】， 或， 中的可能取值为或，不满足一定是，即不能推出，不满足充分性， 中满足，即能推出，满足必要性， 是的必要非充分条件，故B正确． 故选：B． 22．（25-26高一上·上海·期中）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】若，则，故充分性成立， 若，则，解得或，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 23．（25-26高一上·上海·阶段检测）其身正， 不令而行； 其身不正， 虽令不从”出自《论语·子路》. 其数学含义可以理解为：“身正”是“令行”的_____条件. 【答案】充要 【详解】由题意，“其身正，不令而行”，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；“其身不正，虽令不从”的逆否命题是“若令行，则身正”，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件．综上可知，“身正”是“令行”的充要条件. 故答案为：充要 24．（25-26高一上·上海·期中）是的______条件.（从“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”中选择一项填入） 【答案】必要非充分 【详解】若，则一定有，故“”能推出“”； 若，当时，不满足，故“”不能推出“”. 所以是的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 题型四：根据充分不必要条件求参数 25．（25-26高一上·上海·阶段检测）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由存在，使得，即， 当，即时，的最小值为，所以， 所以命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件为：集合的真子集， 结合选项可得，选项C符合题意. 故选：C. 26．（24-25高一上·上海·阶段检测）设，陈述句：，陈述句：.若使得是的充分条件，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由：，即：， 由：，即：， 又是的充分条件，则， 因此可得， 故选：B. 27．若，，已知是的充分条件，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】解：因为，且是的充分条件， 即推得出，所以. 故答案为： 28．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，，若p的一个充分非必要条件是q，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由题意得为的真子集， 要满足（等号不同时成立），解得， 综上，实数a的取值范围是. 故答案为： 29．（23-24高一上·上海·阶段检测）已知且的充分不必要条件是，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】由题意知当时, 当时， 则的取值范围是 故答案为： 30．（23-24高一上·上海·阶段检测）若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】等价于， 因为成立的一个充分不必要条件是，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 31．（23-24高一上·上海闵行·期中）设命题p：集合，命题q：集合，若，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【详解】因为，则命题p是命题q的充分条件，则，解得，即实数a的取值范围是. 故答案为： 32．（23-24高一上·上海宝山·阶段检测）已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是____________. 【答案】 【详解】因为是的充分非必要条件， 所以是的真子集， 则（不同时取等号），解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 33．（24-25高一上·上海·期中）已知.若是的充分条件，则的取值范围是_________. 【答案】 【详解】，， 是的充分条件， 则，解得， 故答案为：． 34．（24-25高一上·上海·期中）不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题知是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 35．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知：是：的充分不必要条件，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【详解】由题意可知：是的真子集， 可得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 36．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为：，：， 若是的充分条件，即 故答案为： 37．（25-26高一上·上海·阶段检测）设，或，若是的充分条件，实数的取值范围为____________. 【答案】 【详解】若，即时，， 此时是的充分条件； 若，即时， 由是的充分条件，则或， 分别解得或，故，又，无解； 综上所述：. 故答案为：. 38．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知命题p：集合或，q：集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若（p的否命题）是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围. 【详解】（1）由于，故，解得. 故实数a的取值范围 （2）：，由于是的充分不必要条件，故，解得. 故实数a的取值范围 39．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分非必要条件，求实数m取值范围组成的集合. 【详解】（1）当时，； （2）由题意得是的真子集，则，解得， 所以实数取值范围组成的集合. 40．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）已知集合． (1)若，求； (2)若＂＂是＂＂成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，，则或， 且，则或； （2）由题可知“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 题型五：根据必要不充分条件求参数 41．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，设，且是的必要非充分条件，则的取值范围是________ 【答案】 【详解】令集合，集合，由是的必要非充分条件，可得是 的真子集，所以，解得. 故答案为：. 42．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，非空集合，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【详解】因为是的必要非充分条件，所以是的非空真子集， 由于无解,则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 43．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，集合，若是的必要条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由题意，“ 是 的必要条件”等价于 . 分两种情况讨论： 当非空时： ， 解得：； 当为空集时： ， 因为空集是任何集合的子集，因此 恒成立. 综上： 实数的取值范围是. 故答案为： 44．（25-26高一上·上海·期中）若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【详解】记的解集为集合，， 则为的解集，； 是的必要非充分条件，，得，即对任意，都有恒成立. ，， ，化简得； 令，，，且； ， 当时，取得最大值，即， ，，且， 当时，取得最小值，即； 对任意，恒成立， ，即; 实数的取值范围是. 45．已知全集． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，，又， 所以=； （2）因为“”是“”的必要非充分条件，于是得真包含于， ①当时，； ②当时，由真包含于得（等号不能同时成立）， ， 综上所述，. 46．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 47．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知集合，集合 . (1)若，全集，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）时，，故或， ， 故或； （2）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 题型六：充要条件的证明 48．“关于的方程有实数根”是“”的什么条件？请证明你的结论． 【详解】“关于的方程有实数根”是“”必要非充分条件． 证明： 先证充分性不成立： 取，此时方程有实数根， 但此时，因此充分性不成立． 再证必要性成立： 当时，恒成立， 所以方程有实数根， 即必要性成立. 所以“关于的方程有实数根”是“”必要非充分条件． 49．已知，求证：的充要条件是. 【详解】证明：（1）充分性（条件结论） 因为，， 所以成立； （2）必要性（结论条件） 因为，且， 所以 而，又，所以， 所以，所以成立， 综上：的充要条件是. 50．对于给定集合，若集合中任意两个不同元素之和仍是集合中的元素，则称集合是“封闭集合”．设为实常数且，集合，证明：集合为“封闭集合”的充要条件是：存在整数，使得． 【详解】对， 不妨设，则， 若集合为“封闭集合”，即，则， ∵， ∴， 设，即， 又∵对，均有，则 ∴； 故存在整数，使得； 若存在整数，使得，则， ∵，则，且， ∴； 综上所述：集合为“封闭集合”的充要条件是：存在整数，使得. 51．已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a． (1)若α是β必要非充分条件，求实数a的取值范围； (2)求证：a≥2是α⟹β成立的充要条件． 【详解】（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}， 若α是β必要非充分条件，则B是A的真子集， 当B＝∅时，a＜1，此时满足B是A的真子集，符合题意， 当B≠∅时，若B是A的真子集，则，解得1≤a＜2， 综上所述实数a的取值范围为{a|a＜2}， （2）证明：充分性（若a≥2，则α⟹β）． 若a≥2，则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}， 所以命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a，故充分性成立， 必要性（若α⟹β，则a≥2）． 若命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a， 则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}，所以a≥2，故必要性成立， 综上所述：a≥2是α⟹β成立的充要条件． 52．（25-26高一上·上海·期中）已知A是R的非空真子集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)命题p：若非空集合，是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件.请判断命题p的真假，并说明理由. 【详解】（1）是封闭集，不是封闭集，理由如下： 对于集合，因，故是封闭集； 对于集合，因， 故集合不是封闭集． （2）真命题，理由如下： 若，不妨任取，则有， 又集合是封闭集，则，同理， 因此，即是封闭集； 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 故是是封闭集的充要条件，命题是真命题． 53．（25-26高一上·上海·期中）已知集合中存在三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质并说明理由； (2)若集合，判断“集合具有性质”是“集合是集合的期待子集”的什么条件，并加以证明. 【答案】(1)集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③， （ii）从集合中任取三个元素有一个为2，另外两个为奇数时. 由于，中小于2的数只有1个，所以不能取2. 当时，，则，，所以，所以，不满足条件②； 当时，，因为中大于2的元素都是奇数，所以，所以，即，不满足③. 综上所述，可得集合不具有性质. (2) 集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质，证明： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，则且，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 由知. 令，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 题型七：反证法的概念辨析 54．（25-26高一上·上海·阶段检测）用反证法证明：“已知，，求证：”时，应假设（   ） A．已知，且 B．已知，或 C．且 D．且 【答案】B 【详解】反证法的步骤是先假设命题的结论不成立. 原结论是 “”，其否定是 “或”（因为 “且” 的否定是 “或”）. 所以在证明时应假设 “已知，或”， 故选： B. 55．（24-25高一上·上海·阶段检测）用反证法证明命题“若，则、、都不为”时，应假设_______． 【答案】、、至少有一个为 【详解】用反证法证明命题“若，则、、都不为”时, 应假设、、至少有一个为. 故答案为：、、至少有一个为. 56．（23-24高一上·上海浦东新·阶段检测）用反证法证明命题“或”时要做的假设是________． 【答案】“且” 【详解】用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“且”. 故答案为：“且” 57．（25-26高一上·上海松江·期中）用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为__________. 【答案】且 【详解】由反证法解题思路，应假设且， 故答案为：且 58．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）用反证法证明：“已知是整数，若为偶数，则中至少有两个是偶数.”时，应假设：________． 【答案】假设中至多有一个是偶数 【详解】由题意可得，应假设：中至多有一个是偶数. 故答案为：中至多有一个是偶数 59．（25-26高一上·上海·期中）用反证法证明“若，则或”这个命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即________． 【答案】且 【详解】先假设该命题的结论不成立，即假设“且”. 故答案为：且. 60．（25-26高一上·上海闵行·期中）用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是___________． 【答案】且 【详解】由题意应假设且， 故答案为：且 题型八：反证法证明 61．（25-26高一上·上海·期中）证明：对于三个实数a、b、c，若，则或． 假设结论不成立，即且，则，与矛盾. 所以若，则或成立. 62．设.证明：若是奇数，则n是奇数. 【答案】假设不是奇数，则是偶数，设，，则， 因为，则， 所以是偶数，即为偶数，这与已知为奇数矛盾， 所以假设不成立，即是奇数. 63．已知x是有理数，y是无理数，求证：是无理数． 【详解】假设是无理数不成立，即是有理数， 因为x是有理数，所以是互质的整数， 因为是有理数，所以是互质的整数， 因此，因为是整数，显然也是整数， 故y是有理数，这与已知y是无理数矛盾，故假设不成立，所以是无理数． 64．（24-25高一上·上海·期中）设，证明：“”不是“”的必要条件. 【答案】证明：假设“”是“”的必要条件， 则集合是的子集， 所以，显然此不等式组无解，即假设矛盾， 所以“”不是“”的必要条件. 65．若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 【详解】证明：假设，都不小于2，则 因为a＞0，b＞0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b, 则1＋1＋a＋b≥2（a＋b） 即2≥a＋b,这与已知a＋b＞2相矛盾，故假设不成立 综上，中至少有一个小于2． 66．（25-26高一上·上海·阶段检测）用反证法证明：若、、，且，，，则中至少有一个不小于0． 【详解】假设、、都小于0，即，则， 因为、、，且，，， 则， 当且仅当时，等号成立， 这与矛盾， 可知假设不成立，所以、、中至少有一个不小于0. 67．（24-25高一上·上海·阶段检测）（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 【答案】（1）证明：假设都是非负数， 因为，，所以， 又， 故，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立； （2）若的充分非必要条件为，则是的真子集， 若，则，解得； 若，则，解得， 综上所述，的取值范围是. 68．（23-24高一上·上海黄浦·期中）（1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 【答案】（1）证明：要证， 即证， 即证 即证 即证， 因为 所以得证； （2）证明：由题，， 假设且 即，所以， 所以与矛盾， 所以假设不成立，所以或. 69．（25-26高一上·上海·阶段检测）求证: (1)若整数满足能被3整除，则也能被3整除； (2)是无理数； (3)是无理数. 【详解】（1）反证法：假设不能被3整除，则， 故，则不能被3整除， 与“能被3整除”矛盾， 故假设不成立，原命题成立，即整数满足能被3整除，则也能被3整除； （2）反证：假设为有理数，即，（互质）， 则，即能被3整除， 故由（1）得，代回到得， 同理有，即均能被3整除，与“互质”矛盾， 故假设不成立，则是无理数； （3）反证：假设为有理数，则， 而，故， 又有理数集关于四则运算封闭，故，与“为无理数”矛盾， 故假设不成立，则为无理数. 70．（24-25高一上·上海·阶段检测）记有理数集Q的非空子集S具有以下性质：①：②若，，则；③存在非零有理数q，且每一个不在S中的非零有理数都可写成qs的形式，其中. (1)求证：； (2)若，，求证：： (3)若u是非零有理数，且，求证：. 【答案】(1)令，则. (2)由（1）知， 若，令，，则， 若，令，，则. (3)由，则存在且，使得，其中， 于是， 假设，可设，，则，矛盾， 所以， 由，，可得. 【分析】（1）根据定义令即可证明； （2）先令，，可得，再令，，即可证明； （3）由题意可得于是，利用反证法，假设，即可证明. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $