精品解析：四川省南充市嘉陵区南湖中学2021-2022学年 七年级下学期第三次过程性评价数学（5月）试题

南湖中学第三次过程性评价 数学试题 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，调查方式选择最合理的是（　　） A. 调查“乌金塘水库”的水质情况，采用抽样调查 B. 调查一批飞机零件的合格情况，采用抽样调查 C. 检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，采用全面调查 D. 企业招聘人员，对应聘人员进行面试，采用抽样调查 5. 点向下平移4个单位，再向右平移3个单位到点B，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB//CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ） A. 122° B. 151° C. 116° D. 97° 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟，假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时，下坡路的平均速度是5千米/小时，若设小颖上坡用了，下坡用了，根据题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 9. 已知满足方程组，若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知AP平分，CP平分，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 的平方根是__________． 12. 若点在轴上，则点的坐标为 _______ . 13. 把长方形沿着直线对折，折痕为，对折后的图形的边恰好经过点C．若，则______． 14. 一位老师说，他班上一半的学生在学数学，四分之一的学生在学外语，六分之一的学生学音乐，还有不足5名同学在操场上踢足球，则这个班的学生最多有______人． 15. 如图，是一块长方形场地，米，米，从两处入口的小路都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为__________米． 16. 已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的方程组的解是___________． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 解不等式组，并在数轴上把解集表示出来，并求出所有整数解的和． 20. 在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，，． （1）在图中画出向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度后的． （2）求的面积． （3）设点P在坐标轴上，且与的面积相等，请直接写出点P的坐标． 21. 如图，直线AB，CD被直线BD，DF所截，AB∥CD，FB⊥DB，垂足为B，EG平分∠DEB，∠CDE=52°， ∠F=26°. (1)求证：EG⊥BD；(2)求∠CDB的度数. 22. 已知方程组的解中，x是非负数，y是正数． （1）求k的取值范围． （2）化简：． 23. 中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广，希望中学举行了“汉字听写”大赛，学校组委会随机抽取了其中的200名学生成绩（成绩取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表（统计表遭到墨汁污染，统计图不完整）： 请根据所给信息，解答下列问题： （1）统计表中的墨汁污染的一行依次填： 、 ； （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）已知希望中学共有1500名学生参赛，如果规定成绩在90分以上（包括90分）的为“优秀”等次，那么该校参加这次比赛的学生中成绩为“优秀”等次的约有多少人？ 24. 某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． （1）若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边_______米，__________米． （2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． （3）若厂家已有140块甲型玻璃片，再购入块大玻璃片并按以上方案进行切割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则n的值是_______（请写出满足条件的n的值）． 25. ◆探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1、图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上．在图1中，智慧小组发现：； 智慧小组是这样思考的：过点作，…… 请你按照智慧小组作的辅助线补全推理过程． ◆类比思考：①在图2中，与，之间的数量关系为________． ②如图3，已知，则角、、之间的数量关系为________． ◆解决问题：善思小组提出：如图4，图5．，，分别平分，． ①在图4中，与之间的关系为________． ②在图5中，与之间的关系为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南湖中学第三次过程性评价 数学试题 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念、绝对值、乘方的概念逐个运算即可求解． 【详解】解：选项A：，故选项A错误； 选项B：，故选项B错误； 选项C：，故选项C正确； 选项D：，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值、乘方的概念等，熟练掌握基本概念是解决本题的关键． 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、∵a＜b， ∴a+5＜b+5，故本选项错误； B、∵a＜b， ∴﹣2a＞﹣2b，故本选项错误； C、∵a＜b， ∴a＜b，故本选项错误； D、∵a＜b， ∴7a＜7b， ∴7a﹣7b＜0，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了对不等式性质的应用，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 3. 在下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A. 是有限小数，属于有理数； B.是整数，属于有理数； C.是整数，属于有理数； D. 是无限不循环小数，属于无理数． 4. 下列调查中，调查方式选择最合理的是（　　） A. 调查“乌金塘水库”的水质情况，采用抽样调查 B. 调查一批飞机零件的合格情况，采用抽样调查 C. 检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，采用全面调查 D. 企业招聘人员，对应聘人员进行面试，采用抽样调查 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】A．了解“乌金塘水库”的水质情况，采用抽样调查，故A正确； B．了解一批飞机零件的合格情况，适合全面调查，故B错误； C．了解检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，调查范围广，适合抽样调查，故C错误； D．企业招聘人员，对应聘人员进行面试，适合全面调查，故D错误， 故选A． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 5. 点向下平移4个单位，再向右平移3个单位到点B，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点向下平移4个单位，再向右平移3个单位到点B， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， 即点B的坐标为． 6. 如图，AB//CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ） A. 122° B. 151° C. 116° D. 97° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵AB//CD，∠1=58°， ∴∠EFD=∠1=58°， ∵FG平分∠EFD， ∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°， ∵AB//CD， ∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°． 故选：B． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，两个解集的公共部分即为不等式组解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴这个不等式组的解集为；  在数轴上表示为： 8. 小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟，假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时，下坡路的平均速度是5千米/小时，若设小颖上坡用了，下坡用了，根据题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据路程=时间乘以速度得到方程，再根据总时间是16分钟即可列出方程组. 【详解】∵她去学校共用了16分钟， ∴x+y=16， ∵小颖家离学校1200米， ∴， ∴， 故选：B. 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组，注意时间单位，这是解题中容易出现错误的地方. 9. 已知满足方程组，若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出a、b的值，不等式整理后，由已知解集确定出k的范围即可． 【详解】解： ①×3-②×2得：-3b=0, ∴b=0, 把b=0代入①得：a=2, ∴关于的不等式组变形为 ∴x<k+2, 由不等式组的解集为x＜3， ∴k的范围是k+2≥3， 得到k的范围是k≥1， 故选：C． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组及一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10. 如图，已知AP平分，CP平分，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义和平行线的判定与性质，解题的关键在于利用角平分线将角的关系转化为倍数关系，结合已知条件推导出同旁内角互补，从而判定．在此基础上，利用平行线的性质推导其他角的关系．对于结论④，需结合条件判定，进而利用平行线性质得出结论． 【详解】（1）判断结论①：． 由AP平分，CP平分，得，； ∵， ∴， ∴， 根据同旁内角互补，两直线平行可得：, ∴结论①成立； （2）判断结论②：． ∵（已证） ∴, ∵，， ∴，． ∴， ∴， ∵题中缺少条件，无法证得, ∴结论②不成立； （3）判断结论③：． ∵由已知条件只能推导出，无法直接得出与的位置关系， 又没有额外条件， ∴无法判定成立， ∴结论③不成立； （4）判断结论④：若，则． ∵CP平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵AP平分， ∴, ∴, ∴结论④若，则成立 ． 综上所述，正确结论有①④． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 的平方根是__________． 【答案】± 【解析】 【详解】分析：根据平方运算，可得平方根、算术平方根． 详解：的平方根是±． 故答案为． 点睛：本题考查了算术平方根．平方运算是求平方根的关键． 12. 若点在轴上，则点的坐标为 _______ . 【答案】（7，0） 【解析】 【详解】试题分析：点在轴上的纵坐标为0，则，解得：，代入横坐标. 故答案为（7，0）. 13. 把长方形沿着直线对折，折痕为，对折后的图形的边恰好经过点C．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质，平行线的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴. 14. 一位老师说，他班上一半的学生在学数学，四分之一的学生在学外语，六分之一的学生学音乐，还有不足5名同学在操场上踢足球，则这个班的学生最多有______人． 【答案】 48 【解析】 【分析】设班级总人数为，根据剩余踢足球人数不足5人列出不等式，结合各类学生人数为整数得到需是2、4、6的公倍数，即可求出最大人数． 【详解】解：设这个班的学生共有人，则学数学的人数为，学外语的人数为，学音乐的人数为， 踢足球的人数不足5人，因此列不等式： ， 解得， ∵，，，都必须是正整数， ∴是2，4，6的公倍数，小于60的最大公倍数是48，此时踢足球人数为4，满足不足5人的条件， ∴这个班的学生最多有48人． 15. 如图，是一块长方形场地，米，米，从两处入口的小路都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了生活中的平移，根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题关键． 根据已知将道路平移，再利用矩形的性质求出长和宽，再进行解答． 【详解】解：由图可知：矩形中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，宽为米． 所以草坪的面积应该是长宽（米）． 故答案为：． 16. 已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的方程组的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，掌握整体思想的应用是解题关键．把，，看作一个整体根据第一个方程组的解，得出，，解出即可． 【详解】解：根据题意可知：， 解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值、立方根、算术平方根和有理数的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算的计算法则及运算顺序是解题的关键． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】先将第二个方程去分母整理为整式方程，再用加减消元法求解即可． 【详解】解：原方程组整理得 ， 得， 得 ，解得， 把代入②得 ， 解得 ， 所以原方程组的解为． 19. 解不等式组，并在数轴上把解集表示出来，并求出所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解的和为，数轴表示如下： 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，先求出各不等式的解集并表示在数轴上，写出不等式组的解集，找到整数解再求和即可．解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 将解集表示在数轴上如下图所示： ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的所有整数解为1，2，3， ∴所有整数解的和为． 20. 在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，，． （1）在图中画出向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度后的． （2）求的面积． （3）设点P在坐标轴上，且与的面积相等，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）7 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先根据平移特点先作出点A、B、C的对应点，然后顺次连接即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）分两种情况：当点P在x轴上时，当点P在y轴上时，分别根据三角形面积公式，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，根据图形可得与x轴交于点， ∵与的面积相等， ∴， 解得：或， ∴此时点P的坐标为或； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， ∵与的面积相等， ∴， 解得：或， ∴此时点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 21. 如图，直线AB，CD被直线BD，DF所截，AB∥CD，FB⊥DB，垂足为B，EG平分∠DEB，∠CDE=52°， ∠F=26°. (1)求证：EG⊥BD；(2)求∠CDB的度数. 【答案】 (1)证明：∵AB∥CD，∠CDE=52°， ∴∠BED=∠CDE=52°， ∵EG平分∠DEB， ∴∠DEG=26°， ∵∠F=26°， ∴BF∥EG， ∵FB⊥BD， ∴EG⊥BD； (2)116°； 【解析】 【详解】分析: （1）根据平行线的性质得到∠BED=∠CDE=52°，由角平分线的定义得到∠DEG=26°，然后根据平行线的性质即可得到结论； （2）由（1）得∠FBE=∠BEG=26°，根据平行线的性质即可得到结论. 详解: ：（1）略 （2）由（1）得∠FBE=∠BEG=26°， ∵∠FBD=90°， ∴∠EBD=64°， ∵AB∥CD， ∴∠CDB=116°. 点睛: 本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 22. 已知方程组的解中，x是非负数，y是正数． （1）求k的取值范围． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过加减消元法用含k的代数式表示x、y，再结合x非负、y为正的条件列不等式组，求解得到k的取值范围； （2）根据k的取值范围判断绝对值内代数式的正负，去绝对值符号后合并化简． 【小问1详解】 解：，  ，得， 解得， ，得， 解得，  由题意得， 即， 解第一个不等式，得， 解第二个不等式，得，  ∴的取值范围是； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴原式 ． 23. 中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广，希望中学举行了“汉字听写”大赛，学校组委会随机抽取了其中的200名学生成绩（成绩取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表（统计表遭到墨汁污染，统计图不完整）： 请根据所给信息，解答下列问题： （1）统计表中的墨汁污染的一行依次填： 、 ； （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）已知希望中学共有1500名学生参赛，如果规定成绩在90分以上（包括90分）的为“优秀”等次，那么该校参加这次比赛的学生中成绩为“优秀”等次的约有多少人？ 【答案】（1），60；（2）见解析；（3）600人 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表中的数据可以将遮挡部分补充完整； （2）根据频数分布表中的数据可以将频数分布直方图补充完整； （3）根据频数分布表中的数据可以计算出该校参加这次比赛的学生中成绩为“优秀”等次的约有多少人． 【详解】解：（1）由题意可得， 统计表中的墨汁污染的一行依次填：80≤x＜90，200-10-20-30-80=60， 故答案为：80≤x＜90，60； （2）补充完整的频数分布直方图如图所示； （3）1500×=600（人）， 答：该校参加这次比赛的学生中成绩为“优秀”等次的约有600人． 【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 24. 某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． （1）若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边_______米，__________米． （2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． （3）若厂家已有140块甲型玻璃片，再购入块大玻璃片并按以上方案进行切割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则n的值是_______（请写出满足条件的n的值）． 【答案】（1）0.4，0.6；（2）x=10，y=16；（3）52或65 【解析】 【分析】（1）根据方案一可得AE，由方案一、二可得乙和丙的宽相等，从而可得AF； （2）从窗户中得出丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，根据题意列出方程组，解之即可； （3）设有a块大玻璃片按方案一切割，根据能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，确定a的范围，由丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，列出方程，求出整数解即可． 【详解】解：（1）AE=2÷5=0.4(米)， AF=AB-AF=AD÷2- AF =2÷2-0.4=0.6(米)； （2）由图可知：丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍， 可得：， 解得：； （3）设有a块大玻璃片按方案一切割，则有n-a块按方案二进行切割． 根据有140片甲型玻璃，则乙型玻璃的个数不多于140片， ∴5a≤140，即a≤28， 丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，则 解得：，（其中a≤28，,且a,n都是正整数） ∴n=52时，a=20; n=65时，a=25； 综上：n的值是52或65． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，读懂图形，找到等量关系，列出方程（组）． 25. ◆探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1、图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上．在图1中，智慧小组发现：； 智慧小组是这样思考的：过点作，…… 请你按照智慧小组作的辅助线补全推理过程． ◆类比思考：①在图2中，与，之间的数量关系为________． ②如图3，已知，则角、、之间的数量关系为________． ◆解决问题：善思小组提出：如图4，图5．，，分别平分，． ①在图4中，与之间的关系为________． ②在图5中，与之间的关系为________． 【答案】探索发现：见解析；类比思考：①；②；解决问题：①；②． 【解析】 【分析】探索：发现由平行线的性质得出∠APQ=∠A，由PQ∥AB，AB∥CD，推出PQ∥CD，得出∠APQ=∠C，推出∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C，即可得出结论； 类比思考①过点P作PQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，由平行线的性质得出∠APQ=∠PAM，由PQ∥AB，AB∥CD，推出PQ∥CD，得出∠APQ=∠PCN，则∠APQ+∠CPQ+∠PAB+∠PCD=360°，即可得出结果； ②过点M作MQ∥AB，由平行线的性质得出α+∠QMA=180°，由MQ∥AB，AB∥CD，推出MQ∥CD，得出∠QMD=γ，即可得出结果； 解决问题①过点P作PQ∥AB，过点F作FM∥AB，由平行线的性质得出∠APQ=∠BAP，∠AFM=∠BAF，由角平分线的性质得出∠BAF=∠PAF，即∠AFM=∠BAP，由PQ∥AB，FM∥AB，AB∥CD，推出PQ∥CD，FM∥CD，得出∠CPQ=∠DCP，∠CFM=∠DCF，由角平分线的性质得出∠DCF=∠PCF，即∠CFM=∠DCP，推出∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AFC=（∠BAP+∠DCP），即可得出结果； ②过点P作PH∥AB，过点F作FQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，由平行线的性质得出∠APH=∠MAP，∠AFQ=∠BAF，由角平分线的性质得出∠BAF=∠PAF，即2∠AFQ=∠BAP，由PH∥AB，FQ∥AB，AB∥CD，推出PH∥CD，FQ∥CD，得出∠CPH=∠NCP，∠CFQ=∠DCF，由角平分线的性质得出∠DCF=∠PCF，即2∠CFQ=∠DCP，由∠BAP+∠MAP=180°，∠DCP+∠NCP=180°，得出2∠AFQ+∠APH=180°，2∠CFQ+∠CPH=180°，即可得出结果． 【详解】探索发现： ∴ ∵、 ∴ ∴ ∴ 即 类比思考：①∠APC+∠A+∠C=360°；理由如下： 过点P作PQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，如图2所示： ∴∠APQ=∠PAM， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠APQ=∠PCN， ∴∠APQ+∠CPQ+∠PAB+∠PCD=180°+180°=360°， ∴∠APC+∠A+∠C=360°， 故答案为：∠APC+∠A+∠C=360°； ②α+β-γ=180°；理由如下： 过点M作MQ∥AB，如图3所示： ∴α+∠QMA=180°， ∵MQ∥AB，AB∥CD， ∴MQ∥CD， ∴∠QMD=γ， ∵∠QMA+∠QMD=β， ∴α+β-γ=180°， 故答案为：α+β-γ=180°； 解决问题：①∠AFC=∠APC；理由如下： 过点P作PQ∥AB，过点F作FM∥AB，如图4所示： ∴∠APQ=∠BAP，∠AFM=∠BAF， ∵AF平分∠BAP， ∴∠BAF=∠PAF， ∴∠AFM=∠BAP， ∵PQ∥AB，FM∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD，FM∥CD， ∴∠CPQ=∠DCP，∠CFM=∠DCF， ∵CF平分∠DCP， ∴∠DCF=∠PCF， ∴∠CFM=∠DCP， ∴∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AFC=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）， ∴∠AFC=∠APC， 故答案为：∠AFC=∠APC； ②∠AFC=180°-∠APC；理由如下： 过点P作PH∥AB，过点F作FQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，如图5所示： ∴∠APH=∠MAP，∠AFQ=∠BAF， ∵AF平分∠BAP， ∴∠BAF=∠PAF， ∴2∠AFQ=∠BAP， ∵PH∥AB，FQ∥AB，AB∥CD， ∴PH∥CD，FQ∥CD， ∴∠CPH=∠NCP，∠CFQ=∠DCF， ∵CF平分∠DCP， ∴∠DCF=∠PCF， ∴2∠CFQ=∠DCP， ∵∠BAP+∠MAP=180°，∠DCP+∠NCP=180°， ∴2∠AFQ+∠APH=180°，2∠CFQ+∠CPH=180°， ∴2∠AFQ+∠APH+2∠CFQ+∠CPH=360°， 即2∠AFC+∠APC=360°， ∴∠AFC=180°-∠APC， 故答案为：∠AFC=180°-∠APC． 【点睛】此题考查平行线的判定与性质、角平分线的性质、平角的定义，能灵活运用定理进行推理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $