上海市南洋模范中学2025-2026学年高一上学期初态摸底考数学试题

南模中学2025-2026学年第一学期高一年级数学初态考 2025.9 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.因式分解：________. 2.已知实数，满足等式，，则的值是______. 3.如图，点，分别是函数和部分图象上的点，轴，则的面积为________. 4.若集合，实数的值为________. 5.如图，在中，，，圆与的三边相切于点，，，若圆的半径为2，则的周长为________. 6.关于的分式方程的解满足不等式，则的取值范围是________. 7.已知集合，，，若，，则________. 8.集合，，若，则实数的取值范围为________. 9.已知集合共有8个子集，则m的取值集合为________. 10.如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，.若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是________. 11.若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是________. 12.已知非空集合，满足以下三个条件： ①，； ②的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素； ③中所有元素之和为偶数（若为单元素集，则该元素为偶数）.则有序集合对的个数为________. 二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13.已知，则“”是“”的（ ）条件. A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要 14.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 15.已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C.D. 16.定义一种集合运算nand为：，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和、、，①可以表示；②可以表示.则下列说法正确的是（ ） A.①正确，②错误 B.①②都正确 C.①②都错误 D.①错误，②正确 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.（1）已知，，求代数式的值； （2）先化简，再求值：，其中. 18.已知集合，，. （1）求； （2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围. 19.如图，在中，，，点是上一点， （1）若为的角平分线，求的长； （2）若，求的值. 20.已知集合包含有个元素，. （1）若，写出； （2）写出一个，使得； （3）当时，是否存在集合，使得？若存在，求出此时的集合，若不存在，请说明理由. 21.若集合具有以下性质，则称集合是“好集”：①，；②若、，则，且时，. （1）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由； （2）设集合是“好集”，求证：若、，则； （3）对任意的一个“好集”，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若、，则必有. 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.5 11.若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是________. 【答案】 【解析】因为，所以的第211个子集是． 故答案为：． 二、选择题 13.A 14.A 15. A 16.B 15.已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C.D. 【答案】A 【解析】∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与轴交于正半轴，则， 反比例函数的图象经过第一、三象限，则， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线， 由图象可知，反比例函数与一次函数的图象有两个交点和， ∴，∴， ∴对于函数，当时， ∴函数的图象过点， ∵反比例函数与一次函数的图象有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 当时，∴函数的图象不过原点， ∴符合以上条件的只有选项．故选：． 三、解答题 17.（1） （2）原式 18.（1） （2） 19.（1） （2） 20．【答案】（1） （2） （3）不存在 21.若集合具有以下性质，则称集合是“好集”：①，；②若、，则，且时，. （1）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由； （2）设集合是“好集”，求证：若、，则； （3）对任意的一个“好集”，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若、，则必有. 【答案】（1）不是；理数集是 （2）证明见解析 （3）见解析 【解析】（1）集合不是＂好集＂， 理由是：，而；∴不是＂好集＂； 有理数集是＂好集＂， 理由是：；对任意，有，且时，； ∴有理数集是＂好集， （2）因为集合是＂好集＂，所以， 若，则，即，所以，即； （3）对任意一个＂好集＂，任取，若中有0和1时，显然， 下设均不含0,1，由定义得, 所以，所以， 由（2）得，同理， 若，或．显然， 若，且，则， 可得，所以 由（2）得，所以， 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $