集合、函数、不等式错题综合训练卷-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦集合、不等式、函数三大模块，通过多题型综合训练，强化知识内在逻辑与核心素养考查。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与不等式|单选1、解答14|比较大小、范围求解|集合为基础，不等式与函数定义域/值域结合| |函数性质|单选2-4、7，多选9-10，填空11|奇偶性、周期性、最值问题|从性质定义到图像应用，构建函数认知体系| |新定义问题|多选8，填空12，解答16-18|“交汇函数”“级优函数”等创新题型|抽象概念与函数性质融合，培养数学抽象与推理| |综合应用|单选5-6，填空13，解答15|几何背景、实际情境|函数与几何、不等式综合，体现应用意识|

高中数学错题综合卷（一）——集合、不等式、函数 一、单选题 1．已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 2．设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数最多为（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（    ） A．575 B．598 C．621 D．624 5．在边长为2的正方形中作出.直角顶点为的中点.其他两顶点分别在边上运动.则的周长的取值范围（    ）    A． B． C． D． 6．在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数，使得不等式成立的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，则下列说法正确的是（   ）. A．是周期函数 B．是函数的一个单调递增区间 C．若，则 D．不等式的解集为， 10．已知是定义域为的奇函数，且满足：，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．为周期函数 B． C．不等式的解集为 D．关于的方程恰有三个不同的解，则 三、填空题 11．已知奇函数的定义域为，当时，.若，的值域是，则 . 12．函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：在内是单调函数；在上的值域为，则称区间为的“等值区间”下列函数中存在“等值区间”的有 ． 13．将的图象向右平移2个单位后得曲线，将函数的图象向下平移2个单位后得曲线，与关于轴对称．若的最小值为且，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 14．若二次函数y＝f(x)的图象过原点，且，，求f(－2)的取值范围. 15．已知函数，，其中. (1)判断与的奇偶性； (2)证明：； (3)若对任意，存在，恒有成立，求a的取值范围. 16．已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数. （1）判断，与，是否是非 减函数? （2）已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围； （3）已知函数在上为非减函数，且满足条件：①，②，③，求的值. 17．已知函数的定义域为，给定集合D，若满足对任意，，存在实数，当时，都有，则称是D上的“级优函数”． (1)请写出一个上的“1级优函数”，并说明理由； (2)已知是上的“2级优函数”， （ⅰ）证明：； （ⅱ）当时，，其中a，，求a，b的值． 18．设函数的定义域为D，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. (1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； (2)已知函数为中心对称函数；有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； (3)已知函数，其中，若正数a，b满足，且不等式恒成立，求t的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高中数学错题综合卷（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C A A D BD ABD AC 1．A 【解析】利用等中间值区分各个数值的大小． 【详解】， ， ，故， 所以． 故选A． 【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较． 2．B 【分析】根据给定的函数式，结合函数变换画出图象，求出在上的解析式，借助数形结合求得结果. 【详解】当时，，由，得， 即函数的图象每向右平移1个单位，图象上对应点的纵坐标变为原来的2倍，如图，      当时，， 令，整理得：，解得， 观察图象知，当时，对任意时，成立， 所以m的取值范围是. 故选：B 【点睛】易错点睛：图象解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解. 3．B 【分析】根据，得到，再由，分， ，由最大值为求解. 【详解】因为函数在区间上的最大值为， 所以，解得， 因为，所以， 当，即时，， 令，在同一坐标系中作出图象： 令， 因为，， 所以存在唯一，使得； 当，即时，，即，解得 . 所以实数的取值个数最多为2. 故选：B. 4．C 【分析】由题知的图象关于直线对称，的图像关于点对称，进而得、、，从而得到，结合的值，再解方程即可得答案. 【详解】因为为偶函数，即， 所以，的图象关于直线对称， 因为为奇函数，即， 所以的图象关于点对称. 因为对于，均有， 所以， 因为关于直线对称，所以， 因为关于点对称，所以， 所以，， 又，解得， 所以. 故选：C. 5．A 【分析】设，进而得到的周长，再应用换元法及三角函数的性质，令则，即可求范围. 【详解】如题图，设，由题意， 所以， 则， 所以的周长， 注意，且， 令，则， 所以，又， 所以，解得， 即周长的取值范围为. 故选：A 6．A 【分析】先分析函数的对称性和单调性，根据函数性质，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】令，则， 函数可化为. 因为， 所以函数是偶函数，其图象关于y轴对称，那么函数的图象关于直线对称. 当时，. 对求导，， 因为，所以，，，则， 所以 这表明函数在上单调递增. 因为函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，所以等价于. 即，两边平方得 移项化为，因式分解得. 所以实数m的取值范围是. 故选：A 7．D 【分析】作出图形，利用正弦型函数的对称性得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围. 【详解】如下图所示： 令，解得， 故当时，对称轴为直线，则， 因为，所以，， 又因为， ， 由可得，则，则， 所以，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于结合正弦型函数的对称性以及函数解析式将所求代数式转化为关于某个量的函数，求出变量范围后，转化为值域问题求解. 8．BD 【分析】分别计算各选项函数的定义域与值域，再根据“交汇函数”的定义可判断各选项. 【详解】由“交汇函数”定义可知，“交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为， A选项：的定义域，值域， 则，A选项错误； B选项：的定义域，值域， 则，B选项正确； C选项：的定义域，值域， 则，C选项错误； D选项：的定义域，值域， 则，D选项正确； 故选：BD. 9．ABD 【分析】利用正弦型函数的图象与性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以是的一个周期，正确； 对于B，因为，且函数的定义域为R， 所以是奇函数，当时，单调递增， 又因为是奇函数且过原点，所以是函数的一个单调递增区间，正确； 对于C，由AB可画出函数在上的图象，又因为， 所以的图像关于对称，可画出函数在上的图象， 即得到函数在上的图象，即一个周期的图象，如图：      则，满足，但，错误； 对于D，先求不等式在一个周期内的解集， 取区间，因为，所以， 则，则在整个定义域上有，解得，正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：对于新的三角函数，往往先画出一个周期的函数图象，进而得到整个函数图象，利用三角函数图象不仅解决三角函数性质问题，还可以解不等式、方程零点个数等问题. 10．AC 【分析】利用周期性的定义可判断A选项，计算出的值，可判断B选项，求出不等式在上的解，结合周期可判断C选项，数形结合可判断D选项. 【详解】对于A，由已知可得，故函数为周期函数，A对； 对于B，由A知， B错； 对于C，由奇函数的性质可得，则，， 当时，， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则. 故当时，不等式的解为， 又因为函数的周期为，故不等式的解集是，C对； 对于D，作出函数与函数的部分图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象也有三个交点，D错. 故选：AC 11．/ 【分析】根据奇函数先得到，做出函数的图象，根据图象可得，，进而可得. 【详解】解：由已知可得当时，，则， 所以 ， 令，则，0，1；令，则 作出函数的图象， 若，的值域是，可得，，所以 故答案为： 12． 【分析】利用“等值区间”的定义，只要方程在定义域内存在两个不同实数根即可得出“等值区间”的两个端点值，然后验证单调性得答案． 【详解】由，可得，解得或， 函数在上为单调增函数，且值域为， 有等值区间； 令，当时，，函数无零点，当时，， 由，可得，存在，满足， 使得当时，，当时，， ． 无零点，即不存在“等值区间”； 由，可得或． 当时，在上为增函数， 而对于，满足，， 有等值区间； 令，则， 为单调减函数，又， 方程仅有一解，故不存在“等值区间”． 存在“等值区间”的有． 故答案为． 【点睛】本题考查了系新定义“等值区间”、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．. 【详解】试题分析：首先应求出的表达式，曲线对应的函数式为，曲线与关于轴对称，因此的函数解析式为，向上平移2个单位，就是函数的图象，则.，其最小值大于，说明函数的最小值大于.下面观察函数，若，则当时，，无最小值，同理当时，时，，无最小值，因此，，当且仅当时等号成立，即最小值为，从而，解得. 14． 【分析】设，然后把用和表示，从而把用和表示，再由不等式性质得结论． 【详解】∵二次函数y＝f(x)的图象过原点，∴可设. 易知，∴. 则.∵，，∴. 15．(1)为奇函数，为偶函数. (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）利用函数得奇偶性的定义求解， （2）利用题目的函数的解析式证明题目给的等式即可， （3）由小问（2）中得到的结论，将题目中的不等式转化成，接着转化成，进而求解结果. 【详解】（1）因为与的定义域均为， 且满足， ， 即为奇函数，为偶函数. （2）证明： 因为 （3）由（2）知， 所以. 当时，不等式成立， 当时，即. 又因为， 所以， 即为. 因为，，所以， 所以， . 所以， 解得， 又因为， 所以. 16．（1）在上不是非减函数，在上是非减函数；（2）；（3）. 【解析】（1）化简两个函数的解析式，结合二次函数和一次函数的单调性可得出结论； （2）任取、且，由题中定义可得，通过作差法得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围； （3）根据题意计算出，根据非减函数的定义得知，对任意的，，由已知条件得出，进而可得出，即可得解. 【详解】（1）， 所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数， 则函数在区间上不是非减函数， 当时，， 所以，函数在区间上为非减函数； （2）任取、且，即， 因为函数在上为非减函数， 有， ，， ，， ，则，则，，即， 因此，实数的取值范围是； （3）由已知得，，得， 从而，，所以，， 因为函数为上的非减函数， 对任意的，，即，所以，， ，所以，， 所以，， ，则，因此，. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“非减函数”，解题时要充分理解“非减函数”的定义，本题第（2）问，在解题时充分利用定义，结合函数单调性、作差法以及参变量分离得出，进而可求得参数的取值范围；在求解第（3）问时，要结合赋值法以及非减函数的定义得出对任意的恒成立，再结合已知条件将所求函数值转化至已知区间进行求解. 17．(1)函数是上的“1级优函数，理由见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ），或． 【分析】（1）根据“级优函数”的定义，即可求解. （2）根据定义可得，即可采用迭代相加法求解（ⅰ），根据（ⅰ）的思想可证明，故，进而可得，进而可判定是上的“2级优函数”，且是上单调递增函数，对分类讨论，结合函数的单调性及可列方程求解（ⅱ）. 【详解】（1）函数是上的“1级优函数”．理由如下： 因为当时，有，所以是上的“1级优函数”． （2）（ⅰ）因为是上的“2级优函数”，由定义可得对任意，， 当时，有， 所以， 又， 所以． （ⅱ）由（ⅰ）可得 ， 故 又，因此， 又，故， 因此， 在上式中，以x代可得， 再令，可得， 又对任意，，当时，有， 因为是上的“2级优函数”，所以， 又，所以，所以， 即对任意，，当时，都有， 故是上的“2级优函数”， 由上述分析可得，且是上单调递增函数． 当时，，其中a，，有， 当时，，此时在上单调递增，满足题意； 当时，则或解得； 当时，则此时无解； 综上所述，，或． 【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 18．(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据对称性，利用赋值法求值即可； （2）根据对称性的定义证明即可； （3）利用函数对称性的性质化简后利用基本不等式求解. 【详解】（1）由在R上的函数的图象关于点中心对称，得， 则，而当时，， 于是，， 所以. （2）函数的对称中心为，， 所以函数的对称中心为. （3）函数，， 则函数的对称中心为， 记， 则， 于是，即， 依题意，，a，b，c为正数， 不等式恒成立， 而 ， 当且仅当，即时取等号，则， 所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $