解题大招29 构造和函数，破解拐点偏移问题（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦拐点偏移问题这一核心考点，以拐点概念、偏移判定、构造和函数破解方法为逻辑主线，通过考点梳理、方法步骤指导、典例精讲及跟踪训练等环节，帮助学生系统构建解题框架，突破函数与导数综合应用难点。 资料创新采用对称化构造和函数策略，如典例中通过构造F(x)=f(x)+f(2a-x)判断单调性证明偏移，培养学生数学思维与推理能力。设置基础到综合的分层练习，配合解后反思深化理解，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

解题大招29 构造和函数，巧破拐点偏移问题 知识点01 拐点的概念 拐点，又称反曲点，即曲线的凹凸分界点。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号或不存在。 若函数在处二阶导数为零，三阶导数不为零，则称是1函数的拐点。 如函数，其一二三阶导数分别为，则函数在处的二阶导数存在，三阶导数不为零，就是函数的拐点；在的左侧，是上凸函数，在的右侧，是下凹函数。 知识点02 拐点偏移的概念 拐点偏移：设是函数的拐点，若函数的图形与直线和分别交于两点，则的中点为，称为拐点居中；为拐点左偏；为拐点右偏. 知识点03 构造和函数破解拐点偏移问题 解决拐点偏移问题，对称化构造新函数法是最基本的方法，有以下几种构造形式： (1)结论为的问题，若，则构造． (2)结论为的问题，若，则构造． 下面以拐点左偏为例进行说明。 已知函数，若，求证：． 解题套路：对称化构造 （1） 构造一元和函数； （2） 求，判断导数符号，确定的单调性； （3） 结合，判断与的大小； （4） 由及得，此时，如果为单调递增函数，就有 【说明】（1）拐点偏移与极值点偏移的解题方法类似，一般考虑对称化构造函数求解，但拐点偏移构造的是和函数，拐点偏移构造的是差函数，注意区分. 【典例1】已知函数．若正实数满足，证明：． 【详解】解法1：对称化构造函数法 若都大于1，则，与题设矛盾； 同理，也不能都小于1．于是可设 构造函数，则， 所以在(0，2]上单调递增，故，于是原不等式得证． 解法2：凑配局部放缩法 ，即， 整理得． 令，记， 则，可知在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以的最小值为，则，得，又，因此成立． 【解后反思】解法1具有一般性，在我们点睛意到，则可以得到，联想，即，这或许与函数的中心对称有关：若点(1，2)是函数图象的对称中心，则由可推得；现要证，这说明(1，2)不是函数图象的对称中心，即曲线在穿过点(1，2)后发现了偏移，如图所示． 求导后，得，则在(0，)上单调递增，，则．在高等数学中，称点(1，2)为函数图象的拐点．类似于“极值点偏移”问题，我们不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”策略来处理． 【典例2】已知函数，若实数满足，求证:． 【分析】要证，即，易知是函数的拐点，本题实质就是求证拐点右偏． 【证明】由题意，即函数在上单调递增，且， 因为且，所以， 构造和函数， 则， 所以， 因此在上单调递增，所以， 所以， 又因为，所以即， 因为在上单调递增，所以，即． 【典例3】已知函数，若实数满足，求证:． 【分析】要证，即，易知是函数的拐点，本题实质就是求证拐点左偏． 【证明】由题意，即函数在上单调递减，且， 因为且，所以． 构造和函数 则， 则， 因此在上单调递增，所以， 所以在上单调递减，所以， 所以， 又因为， 所以即， 因为在上单调递增，所以，即． 【跟踪训练】 1.已知函数，证明：当，且时，． 2.已知定义域为(0，)的函数(其中常数是自然对数的底数)． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数为定义域上的增函数，且，证明：． 1．已知函数为常数)在处的切线方程为． (1)求的值，并讨论的单调性； (2)若，求证：． 2. 已知函数． (1)若在(0，+∞)上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若满足，求证：． 3．给出定义:设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称)为函数的“拐点”. (1)经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，讨论函数的单调性并求极值. (2)已知函数，其中. （i）求的拐点； （ii）若，求证:. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招29 构造和函数，巧破拐点偏移问题 知识点01 拐点的概念 拐点，又称反曲点，即曲线的凹凸分界点。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号或不存在。 若函数在处二阶导数为零，三阶导数不为零，则称是1函数的拐点。 如函数，其一二三阶导数分别为，则函数在处的二阶导数存在，三阶导数不为零，就是函数的拐点；在的左侧，是上凸函数，在的右侧，是下凹函数。 知识点02 拐点偏移的概念 拐点偏移：设是函数的拐点，若函数的图形与直线和分别交于两点，则的中点为，称为拐点居中；为拐点左偏；为拐点右偏. 知识点03 构造和函数破解拐点偏移问题 解决拐点偏移问题，对称化构造新函数法是最基本的方法，有以下几种构造形式： (1)结论为的问题，若，则构造． (2)结论为的问题，若，则构造． 下面以拐点左偏为例进行说明。 已知函数，若，求证：． 解题套路：对称化构造 （1） 构造一元和函数； （2） 求，判断导数符号，确定的单调性； （3） 结合，判断与的大小； （4） 由及得，此时，如果为单调递增函数，就有 【说明】（1）拐点偏移与极值点偏移的解题方法类似，一般考虑对称化构造函数求解，但拐点偏移构造的是和函数，拐点偏移构造的是差函数，注意区分. 【典例1】已知函数．若正实数满足，证明：． 【详解】解法1：对称化构造函数法 若都大于1，则，与题设矛盾； 同理，也不能都小于1．于是可设 构造函数，则， 所以在(0，2]上单调递增，故，于是原不等式得证． 解法2：凑配局部放缩法 ，即， 整理得． 令，记， 则，可知在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以的最小值为，则，得，又，因此成立． 【解后反思】解法1具有一般性，在我们点睛意到，则可以得到，联想，即，这或许与函数的中心对称有关：若点(1，2)是函数图象的对称中心，则由可推得；现要证，这说明(1，2)不是函数图象的对称中心，即曲线在穿过点(1，2)后发现了偏移，如图所示． 求导后，得，则在(0，)上单调递增，，则．在高等数学中，称点(1，2)为函数图象的拐点．类似于“极值点偏移”问题，我们不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”策略来处理． 【典例2】已知函数，若实数满足，求证:． 【分析】要证，即，易知是函数的拐点，本题实质就是求证拐点右偏． 【证明】由题意，即函数在上单调递增，且， 因为且，所以， 构造和函数， 则， 所以， 因此在上单调递增，所以， 所以， 又因为，所以即， 因为在上单调递增，所以，即． 【典例3】已知函数，若实数满足，求证:． 【分析】要证，即，易知是函数的拐点，本题实质就是求证拐点左偏． 【证明】由题意，即函数在上单调递减，且， 因为且，所以． 构造和函数 则， 则， 因此在上单调递增，所以， 所以在上单调递减，所以， 所以， 又因为， 所以即， 因为在上单调递增，所以，即． 【跟踪训练】 1.已知函数，证明：当，且时，． 【分析】要证，即，易知是函数的拐点，本题实质就是求证拐点左偏。 【证明】由题意，即函数在上单调递减，且， 不妨设且，所以， 构造和函数， 则， 所以在上单调递减，所以， 所以． 2.已知定义域为(0，)的函数(其中常数是自然对数的底数)． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数为定义域上的增函数，且，证明：． 【详解】(1)易知． ①若，由，解得，所以函数的递增区间为(1，)； ②若，则 (0，) (，1) 1 (0，) 0 0 极大值 极小值 所以的单调递增区间为(0，)和(1，)； (3)若，则，所以的单调递增区间为(0，)； (4)若，则 (0，1) 1 (1，) (，) 0 0 极大值 极小值 所以的递增区间为(0，1)和(，)． 综上所述， 当时，的递增区间为(1，)； 当时，的递增区间为(0，)和(1，)； 若的递增区间为(0，)； 当时，的递增区间为(0，1)和(，)． (2)因为为(0，)上的增函数，所以， 即，点睛意到， 故，不妨设． 解法1：对称构造法 欲证，只需证，只需证， 即证，即证． 令，只需证， 而， 下证，即证． 由熟悉不等式(证明略)，知． 当时，即， 所以，易知当时，， 所以，所以， 所以，即单调递增，即，从而． 解法2：令， 则， (0，1) 1 (1，) 0 极小值 由上表可画出的图象如图实线所示， 图中虚线所示为函数的图象关于点对称后的函数的图象， 设图中点，则， 欲证，只需证，只需证点不在点的左侧即可， 即证当时，恒成立， 即证，即证， 由基本不等式，可知 所以，所以． 1． 已知函数为常数)在处的切线方程为． (1)求的值，并讨论的单调性； (2)若，求证：． 【详解】(1)， 由题意可得，，解可得，此时， 令，则， 易得在上单调递减，在上单调递增，故恒成立， 故在上单调递增， (2)设，则， 易得在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 当时，取得最大值，故，即， 今， 则． 设，则， 故单调递增，单调递增，且， 故当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即，当时等号成立， 所以，又， 所以，即， 由在(0，+∞)上单调递增， 所以，即 2.已知函数． (1)若在(0，+∞)上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若满足，求证：． 【详解】(1)由题意恒成立，即恒成立． 设，则，故在上单调递增， 所以．从而实数． (2)当时，，故在上单调递增． 因为，且，所以． 要证，只需证，由于在上单调递增，故只需证， 由，即证，即证． 令＋， 则， 所以在上单调递增，所以，故在(－∞，0) 上单调递减， 所以，从而原不等式得证． 3．给出定义:设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称)为函数的“拐点”. (1)经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，讨论函数的单调性并求极值. (2)已知函数，其中. （i）求的拐点； （ii）若，求证:. 【详解】（1），， 由题意得，即，解得， 且，即，解得， 故， ，， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值， 故极大值为，极小值为； （2）（i）， 由于，，故，即的定义域为， ， ， 令得，， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，由零点存在性定理知，有唯一的零点， 故，即时，满足， 当时，， 故的拐点为； （ii）由（i）可知，在上单调递增， 又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中， 故在上恒成立，故在上单调递增， 因为，，故， 设， 则，， 令，解得， 又， 故的拐点为， 由（1）知，关于中心对称， 令， 又的拐点为，， 要证明，只需证明的极值点左偏， 故， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 即证当时，， 不妨设， 令，， 则 ， 因为，所以 ， 所以在上单调递减， 又，故在上恒成立， 因为，所以，即， 因为，所以， 其中在上单调递增，故， 故，故的极值点左偏，所以. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $