精品解析：浙江省余姚市兰江中学2021-2022学年七年级下学期“兰江杯”素质测试数学试题

2021学年第二学期“兰江杯”素质测试 七年级数学试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 将如图所示的图案,通过平移后可以得到的图案是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知直线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的分式方程有增根，则常数k的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在创建“省文明城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁种植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，若设现在平均每天植树x棵，则由题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 小颖同学热爱折纸，有一天她按照如下方法对一张长方形的纸片进行了折叠： 若图3中，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，把6个宽为a，长为b的小长方形，按不同的方式分别放入长方形和长方形中，记图1中的阴影部分的周长为，图2中的阴影部分的周长为，若，则（ ） A. B. C. 3a D. 3b 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 写出一个解为的二元一次方程组：__________． 12. 若，则________． 13. 将分式方程去分母化为整式方程，所得的结果是________． 14. 一个长方形的面积为，宽为b，则长方形的长是________． 15. 若，，则的值是________． 16. 两个直角三角形如图摆放，，，，点在上，点与点重合，平分，现将绕着点F顺时针旋转（），当的一边与的一边平行时（不考虑重合），则旋转角________． 三、解答题（本大题有8小题，第17-18题每题6分，第19题8分，第20题6分，第21-22题每题8分，第23题12分，第24题12分，共66分） 17. 计算，小颖同学的计算过程如下： 解：原式 请你判断小颖的计算是否正确，如果不正确，请你写出正确的计算过程． 18. 因式分解 （1） （2） 19. 解方程（组） （1） （2） 20. 化简：，再任取一个你喜欢的数代入求值． 21. 如图所示，已知，且，判断直线与直线是否平行，并说明理由． 22. 如图，已知，，，若，求的度数． 23. 为解决学生课堂乱堆放现象，701班主任李老师计划从超市购进A、B两种不同型号的挂书袋给学生使用，每名学生1只，已知购买3只A种挂书袋、2只B种挂书袋需要110元，购买5只A种挂书袋、4只B种挂书袋需要200元． （1）求超市A种、B种挂书袋每只售价各为多少元？ （2）702班王老师托李老师购买一批挂书袋（两种型号都有），但王老师只给了李老师1000元，并没有告诉她2班的学生数，请同学们帮李老师算算该如何购买，才能使购买的挂书袋数量最多且恰好用完1000元？ （3）由于七年级段开展了挂书袋实施行动收到了很好的效果，现学校打算在八年级段进行推广，超市推出了一款C型挂书袋，规定一次性购买C型挂书袋400个以上，可享受8折优惠．若给八年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款2000元；若多买95个，就可享受8折优惠，同样只需付款2000元．请问八年级学生有多少人？ 24. 【问题的提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或者代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓的“作差法”，就是通过作差、变形，并利用差的符号确定两个数或者代数式的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【问题的解决】已知，，试比较M与N的大小关系． 解：又 ，即 【类比应用】 （1）问题1：试比较图中两个长方形的面积与的大小关系； （2）问题2：当时，试利用“作差法”比较与的大小； （3）问题3：小强、小明、小红三位同学分别拿了三条长度分别为a，b，c的绳子．其中，，，．小红思考了下说道：“我拿的绳子是最长的．”请问小红的说法正确吗？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021学年第二学期“兰江杯”素质测试 七年级数学试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 将如图所示的图案,通过平移后可以得到的图案是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．观察各选项图形可知，A选项的图案可以通过平移得到． 故选A． 2. 如图，已知直线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∴． 3. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵，∴A错误； ∵与不是同类项，无法合并，∴B错误； ∵，∴C错误； ∵，∴D正确. 5. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，变形后不是整式乘积的形式，不符合题意． B．，变形后不是整式乘积的形式，不符合题意． C．，变形后不是整式乘积的形式，不符合题意． D．将多项式化为两个整式的乘积形式，符合题意． 6. 若关于x的分式方程有增根，则常数k的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分式方程有增根得增根为，将分式方程化为整式方程后代入增根求解的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴最简公分母， 即． 原方程变形为， 去分母得， 将代入得， 解得． 7. 已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和求代数式的值．把二元一次方程组的解代入方程组求出，即可求出代数式的值． 【详解】解：把代入得到， ∴， 故选：D 8. 在创建“省文明城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁种植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，若设现在平均每天植树x棵，则由题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以植树时间相等为等量关系，先表示原计划每天植树棵数，再分别表示两种情况的植树时间列方程． 【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划平均每天植树棵， 根据题意，列方程为． 9. 小颖同学热爱折纸，有一天她按照如下方法对一张长方形的纸片进行了折叠： 若图3中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将纸片展开，得到长方形．根据三角形的内角和定理求出，根据折叠求出，从而根据角的和差得到，因此，再由三角形的内角和求出，根据折叠的特点与角的和差即可求解． 【详解】解：如图，将纸片展开，得到长方形． 则，， ∵， ∴， 由折叠可得， ∴， 即 ∴由折叠可得， ∴， ∴由折叠可得， ∴． 10. 如图所示，把6个宽为a，长为b的小长方形，按不同的方式分别放入长方形和长方形中，记图1中的阴影部分的周长为，图2中的阴影部分的周长为，若，则（ ） A. B. C. 3a D. 3b 【答案】C 【解析】 【分析】设，，根据图形，结合整式的加减可得，，，，进而可推导出，然后由长方形的周长公式，结合整式的加减可得答案． 【详解】解：设，， 由图知，，， ， ， ∵， ∴，则， ∴ ． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 写出一个解为的二元一次方程组：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据给定的解，构造两个二元一次方程，使得解满足方程即可． 【详解】解：计算，得到方程； 计算，得到方程． 因此，方程组为． 故答案为（答案不唯一） 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法法则化简等式左侧，将右侧常数转化为以为底的幂，再根据同底数幂相等则指数相等求解． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴， 又∵， ∴原等式可化为， ∴． 13. 将分式方程去分母化为整式方程，所得的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程两边同时乘以最简公分母，即可解答． 【详解】解：方程两边同时乘以去分母，得． 14. 一个长方形的面积为，宽为b，则长方形的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形面积公式可得长等于面积除以宽，计算多项式除以单项式即可得到结果。 【详解】解：∵长方形的面积为，宽为b， ∴长方形的长为： ． 15. 若，，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据已知条件得出，再利用完全平方公式展开变形，最后代入平方和即可求解． 【详解】解：，， ，即， 将三个等式两边分别平方，得：，，， 展开后相加，得：， 整理，得：， 两边同除以，得：， 把代入，得：， ． 16. 两个直角三角形如图摆放，，，，点在上，点与点重合，平分，现将绕着点F顺时针旋转（），当的一边与的一边平行时（不考虑重合），则旋转角________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的性质求出各角的度数，再根据旋转的性质和平行线的判定分情况进行判断． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 如下图所示，当绕着点顺时针旋转时，， ， ， ， ； 如下图所示，当绕着点顺时针旋转时，， ； 如下图所示，当绕着点顺时针旋转时，， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，当绕着点顺时针旋转时，， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，当旋转角或或或时，的一边与的一边平行． 三、解答题（本大题有8小题，第17-18题每题6分，第19题8分，第20题6分，第21-22题每题8分，第23题12分，第24题12分，共66分） 17. 计算，小颖同学的计算过程如下： 解：原式 请你判断小颖的计算是否正确，如果不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】解：不正确，正确计算过程如下： 原式． 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式和完全平方公式运算的法则，先判断小颖的计算错误的地方，再给出正确的计算即可． 【详解】略． 18. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 19. 解方程（组） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）根据解分式方程的步骤，先去分母，化为整式方程求解，最后要检验． 【小问1详解】 解： 得：，解得：， 将代入②得：，解得：， ∴方程组的解为． 【小问2详解】 解：， ， 两边同时乘以得：， ， ， 检验：将代入得：， ∴是原方程的解． 20. 化简：，再任取一个你喜欢的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】括号内先通分化简，括号外除法变乘法后，进行分式的乘法运算，注意取值要使分式有意义． 【详解】解： ， 要使分式有意义则， 当时，原式． 21. 如图所示，已知，且，判断直线与直线是否平行，并说明理由． 【答案】解：直线平行于直线，理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】根据垂直的定义并结合平角定义得出，再根据已知条件并利用等量代换得出，从而通过同旁内角互补，两直线平行即可得出结论． 【详解】略 22. 如图，已知，，，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，再根据平行线的性质和等量代换得到，证明，利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：， ， 即， ， ， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）， ， ， ． 23. 为解决学生课堂乱堆放现象，701班主任李老师计划从超市购进A、B两种不同型号的挂书袋给学生使用，每名学生1只，已知购买3只A种挂书袋、2只B种挂书袋需要110元，购买5只A种挂书袋、4只B种挂书袋需要200元． （1）求超市A种、B种挂书袋每只售价各为多少元？ （2）702班王老师托李老师购买一批挂书袋（两种型号都有），但王老师只给了李老师1000元，并没有告诉她2班的学生数，请同学们帮李老师算算该如何购买，才能使购买的挂书袋数量最多且恰好用完1000元？ （3）由于七年级段开展了挂书袋实施行动收到了很好的效果，现学校打算在八年级段进行推广，超市推出了一款C型挂书袋，规定一次性购买C型挂书袋400个以上，可享受8折优惠．若给八年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款2000元；若多买95个，就可享受8折优惠，同样只需付款2000元．请问八年级学生有多少人？ 【答案】（1）A型挂书袋售价20元，B型挂书袋25元 （2）购买A型挂书袋45只，B型挂书袋4只时购买挂书袋数量最多且恰好用完1000元 （3）八年级段共有380名学生 【解析】 【分析】（1）根据题意，设两个未知数A型挂书袋每只售价和B型挂书袋每只售价分别为x元和y元，联立二元一次方程组并求解； （2）根据题意，购买两种型号都有的挂书袋共1000元，设购买A型挂书袋和B型挂书袋数量分别为m只和n只，建立二元一次方程，再用B型挂书袋数量表示A型挂书袋的数量，即得，因为两种型号挂书袋数量都为正整数，即可表示购买挂书袋总数量为的值，要使购买数量最大，再进一步求出购买A型挂书袋和B型挂书袋数量即可； （3）根据题意，设未知量八年级学生人数和C型挂书袋每只售价分别为a人和b元，再根据题干信息八年级学生每人购买一个需付款2000元，列出方程：，八年级学生多购买95个，就可享受8折优惠，列出方程：，联立方程组，由代入法化简得分式方程并求解． 【小问1详解】 解：设A型挂书袋每只售价x元，B型挂书袋每只售价y元， 则由题意可知：， 解得：， 答：A型挂书袋每只售价20元，B型挂书袋每只售价25元． 【小问2详解】 解：设李老师购买了A型挂书袋m只，B型挂书袋n只， 则由题意可知：，　 化简得， 即， 因为m是正整数，所以必须是整数，即n是4的倍数， 设 (为正整数)，代入得：， ∵， ∴，即， 购买挂书袋总数量为：， 因为要使购买数量最大，则最小， 所以，当时，，， 即购买A型挂书袋45只，B型挂书袋4只时购买挂书袋数量最多且恰好用完1000元． 【小问3详解】 解：设八年级学生人数为a人，C型挂书袋每只售价b元， 则根据题意可得：， 整理得， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， C型挂书袋每只售价（元）， 若多买95个，数量为（个），可享受8折优惠， 总价为：（元），符合条件． 答：八年级段共有380名学生． 24. 【问题的提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或者代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓的“作差法”，就是通过作差、变形，并利用差的符号确定两个数或者代数式的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【问题的解决】已知，，试比较M与N的大小关系． 解：又 ，即 【类比应用】 （1）问题1：试比较图中两个长方形的面积与的大小关系； （2）问题2：当时，试利用“作差法”比较与的大小； （3）问题3：小强、小明、小红三位同学分别拿了三条长度分别为a，b，c的绳子．其中，，，．小红思考了下说道：“我拿的绳子是最长的．”请问小红的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）正确，理由如下： 由题意可知：， ， ，即， ， ∴， ∴c最大，小红的说法是正确的． 【解析】 【分析】（1）分别用含有a，b的代数式表示出和，再利用作差法得出，从而比较出和的大小； （2）根据题意利用作差法得出，再由得出结论； （3）利用作差法得出的代数式，由得到，再将c与b进行比较即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ， ， ， ，即， ． 【小问2详解】 解：由题意可知：， 又， ，即， ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $