3.2分式的乘法与除法（题型专练）数学青岛版2024八年级上册

3.2分式的乘法与除法 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 最简分式的判断 题型二 分式的约分 题型三 分式的乘法与除法运算 题型四 分式的乘方运算 题型一 最简分式的判断 1．下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简分式，掌握一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式是解题的关键． 直接利用最简分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.是最简分数，故此选项符合题意； B．则原式不是最简分式，故此选项不合题意； C. ，则原式不是最简分数，故此选项不合题意； D．，则原式不是最简分数，故此选项不合题意． 故选：A． 2．下列分式中，不是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简分式的识别，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式． 根据最简分式的定义求解即可． 【详解】解：A、是最简分式，不符合题意； B、是最简分式．不符合题意；     C、是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，符合题意；     故选：D． 3．若表示的是一个最简分式，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键，利用最简分式的定义对每个选项进行判断即可得出结论． 【详解】解：A、为时，，原式为最简分式，故选项符合题意； B、为时，，原式不是最简分式，故选项不符合题意； C、为时，，原式不是最简分式，故选项不符合题意； D、为时，，原式不是最简分式，故选项不符合题意； 故选：A． 4．下列个分式中：①；②；③；④，最简分式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了最简分式，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是最简分式，符合题意； ②，不是最简分式，不合题意； ③，不是最简分式，不合题意； ④是最简分式，符合题意； ∴最简分式有个， 故答案为：． 5．下列分式中，最简分式的个数是 个． 【答案】1 【分析】本题考查了最简分式的定义； 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，据此判断即可． 【详解】解：，，，，均不是最简分式； 是最简分式，最简分式的个数是1， 故答案为：1． 题型二 分式的约分 1．约分的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的约分，分子分母同时约去即可得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．下列分式的约分中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的约分，在约分时要注意约掉的是分子分母的公因式． 分别根据分式的基本性质进行化简得出即可． 【详解】解：A．，此选项约分错误； B．不能约分，此选项错误；     C．，此选项正确；     D．，此选项错误；     故选：C． 3．分式化简的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式化简，根据分式的基本性质结合因式分解，进行化简即可． 【详解】解：． 故选：B． 4．已知代数式，，．从.，，中任选两个分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】选择作为分子，作为分母； 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式化简的步骤及方法．选择作为分子，作为分母，然后对分式进行化简即可． 【详解】解：选择作为分子，作为分母， ． 5．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的约分，根据分式的基本性质对分式进行变形约分是解题的关键． （1）观察分式，找出分子和分母的公因式，进行约分即可； （2）观察分式，先对分子和分母进行因式分解，然后进行约分即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型三 分式的乘法与除法运算 1．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算，先利用平方差公式展开，然后约分即可． 【详解】解： 故选：A． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的除法运算，两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘，再按乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选A． 3．计算下列四个算式：①；②；③；④，其结果是分式的是（    ）． A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，分式的运算，两个整式相除且分母含有未知数的式子为分式，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：，故①是分式； ，故②不是分式； ，故③不是分式； ，故④是分式； 故选：B 4．下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．根据分式的乘除运算法则计算，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 5．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除运算． （1）分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，据此即可求解； （2）分式除以分式，把除式方分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，据此即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：（可看成．）； 6．（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）按照分式的乘法法则进行计算即可； （2）按照分式的除法法则进行计算即可； （3）将除法变成乘法，然后按照分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 题型四 分式的乘方运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的乘方运算．分别把分子、分母乘方是正确解答本题的关键． 【详解】解：， 故选D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式及分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用同底数幂除法法则，单项式乘单项式法则，幂的乘方法则，分式的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．计算：（1） . （2） . （3） . 【答案】 【分析】（1）根据分式的乘方运算法则求解； （2）根据分式的乘方运算法则求解； （3）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法. 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：. 【点睛】本题考查了分式的乘方和分式的乘法，熟练掌握分式的乘方和乘法运算法则是解题关键. 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的乘法、分式的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （2）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （3）根据分式的乘方以及分式的乘法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 1．已知，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：的计算结果为； 乙：当时，； 丙：当时，的值为正数 A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对 【答案】C 【分析】此题考查了分式的乘除运算，分式的求值，首先将分式化简即可判定甲，然后将代入求解即可判断乙，然后根据x的范围即可判定A的正负，解题的关键是熟练掌握分式的乘除运算法则． 【详解】 ，故甲对； 当时，，故分式无意义，故乙错； 当时， ， ∴，故丙错． 故选：C． 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键；由题意易得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为． 3．对于一些计算量特别大，或用常规方法解不出来的问题，可考虑设参数的方法，例如在计算时，设，则原式可化为，化简结果为，即原式等于2000．请你用这种方法计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了完全平方公式，设，则原式，再利用完全平方公式化简分母即可得到答案． 【详解】解：设， ∴ ， 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除，先算乘方再算除法即可． 【详解】原式， 故答案为：． 5．已知数列，，……，，……，设，则与最接近的整数为 ． 【答案】4 【分析】先求出，则，进而得出，则，把代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ， 当时，， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 6．已知，求的值． 【答案】 【分析】先计算分式的乘方，再令即可求解． 【详解】解：原式 ∵ 令 则 【点睛】本题考查分式的乘方运算．抓住“”是解决此题的关键． 1．如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形（）． (1)观察图形，代数式可因式分解为______； (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作． ①用含的代数式表示； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②1 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算与图形，完全平方公式的应用，分式的约分： （1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）①直接观察图形，即可求解；②根据，可得，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为的正方形，1块是边长为的正方形，3块是长为y，宽为的长方形， 所以长方形纸片的面积为， ∵长方形纸片的长为，宽为， ∴长方形纸片的面积为， ∴， 即代数式可因式分解为； 故答案为： （2）解：①根据题意得：； ②∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即， ∴ 2．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务： 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，“倒数法”是常用的变形技巧之一．所谓“倒数法”，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，， ∴． 任务： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)4 (2)8 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的约分，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的约分是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，约分即可； （2）设，用k表示出a，b，c，代入约分即可 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴，即． ∴． （2）设．则，，， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2分式的乘法与除法 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 最简分式的判断 题型二 分式的约分 题型三 分式的乘法与除法运算 题型四 分式的乘方运算 题型一 最简分式的判断 1．下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列分式中，不是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 3．若表示的是一个最简分式，则可以是（    ） A． B． C． D． 4．下列个分式中：①；②；③；④，最简分式有 个． 5．下列分式中，最简分式的个数是 个． 题型二 分式的约分 1．约分的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列分式的约分中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．分式化简的结果是（      ） A． B． C． D． 4．已知代数式，，．从.，，中任选两个分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 5．约分： (1)； (2)． 题型三 分式的乘法与除法运算 1．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．计算下列四个算式：①；②；③；④，其结果是分式的是（    ）． A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 4．下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 5．计算： (1)； (2)； 6．（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 题型四 分式的乘方运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算：（1） . （2） . （3） . 4．计算： (1)； (2)； (3)． 1．已知，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：的计算结果为； 乙：当时，； 丙：当时，的值为正数 A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对 2．已知，则 ． 3．对于一些计算量特别大，或用常规方法解不出来的问题，可考虑设参数的方法，例如在计算时，设，则原式可化为，化简结果为，即原式等于2000．请你用这种方法计算： ． 4．计算： ． 5．已知数列，，……，，……，设，则与最接近的整数为 ． 6．已知，求的值． 1．如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形（）． (1)观察图形，代数式可因式分解为______； (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作． ①用含的代数式表示； ②若，求的值． 2．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务： 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，“倒数法”是常用的变形技巧之一．所谓“倒数法”，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，， ∴． 任务： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $