2.3一元二次方程的根与系数的关系 同步训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，分层设计基础巩固、中档应用、提升拓展三阶训练，通过概念理解→运算应用→综合创新的路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|根与系数基本关系（和、积计算）|直接应用公式，强化基础运算| |中档|结合几何/参数的应用（如直角三角形面积、参数讨论）|情境化问题，提升推理能力| |提升|综合应用与新定义探究（证明、理想方程/邻根方程）|新定义题型，发展创新意识|

2026-2027年北师大版九年级数学上册2.3一元二次方程的根与系数的关系同步训练 一、选择题 1．设x1，x2是一元二次方程3x2+4x-2=0的两个根，则（　　） A． B． C． D． 2．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．4050 B．4054 C． D． 3．若关于的一元二次方程的两根为，则（　　） A．7 B． C．3 D． 4．若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 6．若Rt△ABC的两直角边长a，b分别为一元二次方程：的两个实数根，则Rt△ABC的面积为（　　） A．5 B．3 C． D． 7．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．对关于x的一元二次方程 将其一次项系数变为相反数，得到方程 则称这两个方程为“共轭方程”．若m为方程 的根，n为其共轭方程 的根，其中k为整数，且 则k的值为(　　) A．6 B．–6 C．3 D．-3 二、填空题 9．已知方程的一个根为，则方程的另一个根为　 　． 10．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为　 　． 11．关于x的方程 有两个不相等的实根m和2m，则8b-9ac的最大值是　 　. 12.已知关于x的方程.x2-（a+b)x+ ab-1=0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2< ab；（ 则正确结论的序号是　 　。 三、解答题 13．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若为整数，求整数k的值． 14．设x1，x2是关于x的方程（x-1）（x-2）=m2的两根. （1）当x1=-1时，求x2及m的值. （2）求证：（x1-1）（x2-1）≤0. 15．定义：若关于x的一元二次方程 中的常数项c是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． （1）已知关于x的方程 是理想方程，求c的值； （2）当b，c满足什么条件时，方程是理想方程； （3）关于x的理想方程的两个实根为x1，x2，若c=2a，求 的取值范围． 16．定义：如果关于x的一元二次方程 (a， b， c均为常数，a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义　 　(填序号)是“邻根方程”． ① x2+x=0； ② x2-2x+1=0； ③ x2+3x+2=0. （2）若(x-2)(x+n)=0是“邻根方程”，求n的值． （3）若一元二次方程 (a， b， c均为常数， a≠0)为“邻根方程”，求出a， b， c应满足的数量关系． 答案解析 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】4 10．【答案】 11．【答案】8 12．【答案】①② 13．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，∴， ∴ ∵为整数， ∴为整数， 又∵k为整数， ∴或， ∴或（舍去）或或， ∴k的值为0或． 14．【答案】（1）解：把x1=-1代入方程（x-1）（x-2）=m2， 得m2=6， ∴． ∴（x-1）（x-2）=6，即x2-3x-4=0． ∴（x-4）（x+1）=0． ∴x1=-1，x2=4． ∴． （2）证明：方程（x-1）（x-2）=m2可化为x2-3x+2-m2=0． ∵Δ=9-4（2-m2）=4m2+1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． ∵方程（x-1）（x-2）=m2即x2-3x+2-m2=0的两根为x1、x2， ∴x1+x2=3，x1•x2=2-m2． ∴（x1-1）（x2-1） =x1•x2-（x1+x2）+1 =2-m2-3+1 =-m2． ∵m2≥0， ∴-m2≤0，即（x1-1）（x2-1）≤0． 15．【答案】（1）解：根据理想方程的定义可知c是方程x2+2x+c=0的解 ∴c2+3c=0， 解得c=0或c=-3 （2）解：根据理想方程的定义可知c2+bc+c=c(c+b+1)=0， ∴c=0或b+c+1=0， 即当c=0或b+c+1=0时，方程x2+bx+c=0是理想方程 （3）解：由条件可知Δ=b2-4ac≥0 由理想方程的定义知c是方程ax2+bx+c=0的解， ∴ac2+bc+c=c(ac+b+1)=0 ∵c=2a，且a≠0， ∴ac+b+1=0， ∴b=-ac-1=-2a2-1 ∴(-2a2-1)2-4a·2a≥0， (2a2-1)2≥0， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由条件可知(其中a≠0)，由理想方程定义知有一根为c， 不妨设 则 ∴ ①当a>0时， ②当a<0时， 综上所述， 的取值范围是 或 16．【答案】（1）①③ （2）解：因为(x-2)(x+n)=0 是“邻根方程”， 所以x1=2 ， x2=-n ， 所 以 -n=1或3， 所以n=-1 或 -3 ． （3）解：因为一元二次方程(b，c 均为常数 ，a≠0) 为“邻根方程”， 所以 设方程两根为x1，x2，则 所以 所以 学科网（北京）股份有限公司 $