25.2.2《降次——解一元二次方程》分层作业 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练以“基础巩固-思维进阶-中考衔接”分层设计，通过梯度化题型构建从公式法应用到综合问题解决的知识巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|求根公式、判别式计算及根的判断|直接应用公式解方程，如题型02规范步骤训练| |进阶思维题|参数综合、根与系数关系、换元法|结合几何（等腰三角形边长）与代数综合，如解答题13| |中考链接题|中考高频考点（根的情况、参数范围）|选用中考真题，如证明方程根的情况（第9题）|

人教版九年级上册 第25章 一元二次方程 25.2降次—— 一元二次方程的概念 第2课时 公式法 本节知识点总结 1. 求根公式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），当b² - 4ac ≥ 0时， 方程的根为 x =。 2. 判别式：Δ = b² - 4ac，用于判断一元二次方程根的情况。 3. 判别式与根的关系： ① Δ > 0 → 方程有两个不相等的实数根； ② Δ = 0 → 方程有两个相等的实数根； ③ Δ < 0 → 方程没有实数根。 4. 公式法解方程的一般步骤： ① 化为一般形式：ax² + bx + c = 0； ② 确定a、b、c的值； ③ 计算判别式Δ = b² - 4ac； ④ 若Δ ≥ 0，代入求根公式求解；若Δ < 0，方程无实根。 5. 求根公式是配方法的结果，是解一元二次方程的通用方法。 6. 注意：使用公式法前必须先将方程化为一般形式，且a ≠ 0。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 判别式的计算与根的情况判断 1．（2024秋·江苏南京·单元测）一元二次方程x² - 2x + 1 = 0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）一元二次方程2x² - 3x + 1 = 0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3．（2024秋·山东济南·月考）一元二次方程x² + x + 2 = 0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）若一元二次方程x² + 2x + m = 0有两个相等的实数根，则m = ________。 题型02 直接用公式法解一元二次方程 5．（2024秋·湖南长沙·期中）用公式法解方程：x² - 5x + 6 = 0。 6．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）用公式法解方程：2x² - 7x + 3 = 0。 7．（2024秋·河北石家庄·期末）用公式法解方程：x² - 2x - 2 = 0。 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·期中）用公式法解方程：3x² - 6x + 2 = 0。 题型03 根据根的情况求参数取值范围 9．（2024秋·辽宁沈阳·月考）若关于x的一元二次方程x² - 2x + k = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k < 1 B．k ≤ 1 C．k > 1 D．k ≥ 1 10．（2024-2025九年级上·重庆渝中·期末）若关于x的一元二次方程2x² + 3x + m = 0有两个实数根，则m的取值范围是_______。 11．（2024秋·天津南开·单元测）若关于x的一元二次方程kx² - 2x - 1 = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k > -1 B．k > -1且k ≠ 0 C．k < 1 D．k < 1且k ≠ 0 题型04 求根公式的理解与辨析 12．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）下列关于一元二次方程求根公式的说法，正确的是（　　） A．任何一元二次方程都能用公式法求解 B．只有当Δ ≥ 0时，一元二次方程才有实数根 C．求根公式只适用于二次项系数为1的方程 D．Δ = 0时，方程没有实数根 13．（2024秋·广东深圳·月考）一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的求根公式成立的条件是（　　） A．b² - 4ac > 0 B．b² - 4ac < 0 C．b² - 4ac ≥ 0 D．b² - 4ac ≤ 0 14．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期末）用公式法解一元二次方程时，先化为一般形式，再确定a、b、c的值，然后计算Δ。若Δ < 0，则（　　） A．方程有一个实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程没有实数根 题型05 已知根的情况反求参数 15．（2024秋·福建福州·单元测）若关于x的一元二次方程x² + (m + 1)x + 1 = 0有两个相等的实数根，则m的值为_______。 16．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）已知关于x的一元二次方程x² - 2mx + m² - 1 = 0，求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。 17．（2024秋·山东青岛·期末）若关于x的方程x² - 2x + k - 1 = 0有实数根，求k的取值范围。 题型06 公式法的简单应用 18．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x² - 7x + 12 = 0的两个根，求这个直角三角形的斜边长。 19．（2024秋·北京海淀·月考）某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，列方程并用公式法求解。 20．（2024-2025九年级上·上海浦东·期末）已知关于x的一元二次方程x² - (k + 2)x + 2k = 0。 （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a = 1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）若关于x的一元二次方程(m - 1)x² + 2x + 1 = 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m < 2 B．m < 2且m ≠ 1 C．m > 2 D．m > 2且m ≠ 1 2．（2024秋·湖南长沙·期末）已知一元二次方程x² - 3x - 1 = 0的两个根为x₁、x₂，则x₁² + x₂²的值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．13 3．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）关于x的一元二次方程x² - mx + 2m - 1 = 0的两个实数根分别为x₁、x₂，且x₁² + x₂² = 7，则m的值是（　　） A．5 B．-1 C．5或-1 D．不存在 4．（2024秋·河北唐山·期末）若关于x的一元二次方程x² + 2x + k = 0没有实数根，则一次函数y = kx + k的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）定义运算：a★b = a(1 - b)，若a、b是方程x² - x + = 0的两个根，则b★b - a★a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2024秋·辽宁大连·期末）已知α、β是方程x² + 2x - 5 = 0的两个根，则α² + αβ + 2α的值为（　　） A．0 B．-1 C．2 D．-5 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）若关于x的一元二次方程x² - 4x + k = 0有两个相等的实数根，则k = ________。 8．（2024秋·天津和平·期末）已知x₁、x₂是方程x² - 3x - 2 = 0的两个根，则(x₁ - 1)(x₂ - 1) = ________。 9．（2024-2025九年级上·四川绵阳·期末）若关于x的一元二次方程x² - 2x + m = 0没有实数根，则m的取值范围是________。 10．（2024秋·山东青岛·期末）设a、b是方程x² + x - 2024 = 0的两个实数根，则a² + 2a + b的值为________。 11．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的方程x² - (k + 1)x + 1/4k² + 1 = 0，当k = ________时，方程有两个相等的实数根。 （三）解答题 12．（2024秋·浙江宁波·期末）用公式法解下列方程： （1）2x² - 4x - 1 = 0 （2）x² - 2 x + 1 = 0 13．（2024-2025九年级上·广东广州·期末）已知关于x的一元二次方程x² - (2k + 1)x + k² + k = 0。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值。 14．（2024秋·福建福州·期末）已知关于x的一元二次方程x² - (m + 3)x + 2m + 2 = 0。 （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为x₁、x₂，且满足x₁² + x₂² = 5，求m的值。 15．（2024-2025九年级上·北京海淀·期末）阅读材料： 为了解方程(x² - 1)² - 5(x² - 1) + 4 = 0，我们可以将x² - 1视为一个整体， 设x² - 1 = y，则原方程可化为y² - 5y + 4 = 0，解得y₁ = 1，y₂ = 4。 当y = 1时，x² - 1 = 1，x² = 2，x = ±； 当y = 4时，x² - 1 = 4，x² = 5，x = ±。 ∴原方程的解为x₁ = ，x₂ = -，x₃ = ，x₄ = -。 这种方法叫做换元法。 请用换元法解方程：(x² + x)² - 4(x² + x) - 12 = 0。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都·中考）关于x的一元二次方程x² + 2x + k = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k < 1 B．k > 1 C．k = 1 D．k ≥ 0 2．（2024·江苏苏州·中考）一元二次方程x² - 2x = 0的根是（　　） A．x₁ = 0，x₂ = -2 B．x₁ = 1，x₂ = 2 C．x₁ = 0，x₂ = 2 D．x₁ = 1，x₂ = -2 3．（2024·浙江杭州·中考）已知y₁和y₂是以x为自变量的函数， y₁ = ax² + bx + c（a ≠ 0），y₂ = mx + n（m ≠ 0）， 当y₁ = y₂时，方程ax² + bx + c = mx + n的解的情况是（　　） A．一定有两个不相等的实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．一定没有实数根 4．（2024·山东济南·中考）若一元二次方程x² + 2x + m = 0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m ≤ 1 B．m < 1 C．m ≥ 1 D．m > 1 5．（2024·湖北武汉·中考）若关于x的一元二次方程x² - 4x + m = 0有两个相等的实数根，则m = _______。 6．（2024·陕西·中考）已知x₁、x₂是方程x² - 2x - 1 = 0的两个根，则x₁ + x₂ = ________。 7．（2024·广东·中考）若关于x的方程x² + 2x + a = 0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a < 1 B．a > 1 C．a ≤ 1 D．a ≥ 1 8．（2024·上海·中考）解方程：x² - 2x - 5 = 0。 9．（2024·北京·中考）关于x的一元二次方程x² - 2mx + m² - 1 = 0。 （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为x₁、x₂，且x₁ + x₂ + x₁x₂ = 7，求m的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第25章 一元二次方程 25.2降次—— 一元二次方程的概念 第2课时 公式法 本节知识点总结 1. 求根公式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），当b² - 4ac ≥ 0时， 方程的根为 x =。 2. 判别式：Δ = b² - 4ac，用于判断一元二次方程根的情况。 3. 判别式与根的关系： ① Δ > 0 → 方程有两个不相等的实数根； ② Δ = 0 → 方程有两个相等的实数根； ③ Δ < 0 → 方程没有实数根。 4. 公式法解方程的一般步骤： ① 化为一般形式：ax² + bx + c = 0； ② 确定a、b、c的值； ③ 计算判别式Δ = b² - 4ac； ④ 若Δ ≥ 0，代入求根公式求解；若Δ < 0，方程无实根。 5. 求根公式是配方法的结果，是解一元二次方程的通用方法。 6. 注意：使用公式法前必须先将方程化为一般形式，且a ≠ 0。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 判别式的计算与根的情况判断 1．（2024秋·江苏南京·单元测）一元二次方程x² - 2x + 1 = 0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】计算判别式Δ = b² - 4ac。 【详解】解：a = 1，b = -2，c = 1， Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×1×1 = 4 - 4 = 0， ∵Δ = 0，∴方程有两个相等的实数根。 故选：B。 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）一元二次方程2x² - 3x + 1 = 0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】计算判别式Δ = b² - 4ac。 【详解】解：a = 2，b = -3，c = 1， Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4×2×1 = 9 - 8 = 1， ∵Δ = 1 > 0，∴方程有两个不相等的实数根。 故选：A。 3．（2024秋·山东济南·月考）一元二次方程x² + x + 2 = 0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】计算判别式Δ = b² - 4ac。 【详解】解：a = 1，b = 1，c = 2， Δ = b² - 4ac = 1² - 4×1×2 = 1 - 8 = -7， ∵Δ = -7 < 0，∴方程没有实数根。 故选：C。 4．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）若一元二次方程x² + 2x + m = 0有两个相等的实数根，则m = ____1____。 【答案】1 【分析】有两个相等的实数根，Δ = 0。 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ = b² - 4ac = 2² - 4×1×m = 0， 4 - 4m = 0， m = 1。 故答案为：1。 题型02 直接用公式法解一元二次方程 5．（2024秋·湖南长沙·期中）用公式法解方程：x² - 5x + 6 = 0。 【答案】x₁ = 2，x₂ = 3 【分析】确定a、b、c，计算Δ，代入求根公式。 【详解】解：a = 1，b = -5，c = 6， Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1 > 0， ∴x = = = ， ∴x₁ = 3，x₂ = 2。 6．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）用公式法解方程：2x² - 7x + 3 = 0。 【答案】x₁ = 3，x₂ = 【分析】标准公式法步骤。 【详解】解：a = 2，b = -7，c = 3， Δ = b² - 4ac = (-7)² - 4×2×3 = 49 - 24 = 25 > 0， ∴x = = [7 ± √25] / 4 = ， ∴x₁ = 3， x₂ = 。 7．（2024秋·河北石家庄·期末）用公式法解方程：x² - 2x - 2 = 0。 【答案】x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 【分析】标准公式法，结果为无理数。 【详解】解：a = 1，b = -2，c = -2， Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×1×(-2) = 4 + 8 = 12 > 0， ∴x = = = = 1 ± ， ∴x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 。 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·期中）用公式法解方程：3x² - 6x + 2 = 0。 【答案】x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 【分析】标准公式法，二次项系数不为1。 【详解】解：a = 3，b = -6，c = 2， Δ = b² - 4ac = (-6)² - 4×3×2 = 36 - 24 = 12 > 0， ∴x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a) = [6 ± √12] / 6 = [6 ± 2√3] / 6 = 1 ± ， ∴x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 。 题型03 根据根的情况求参数取值范围 9．（2024秋·辽宁沈阳·月考）若关于x的一元二次方程x² - 2x + k = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k < 1 B．k ≤ 1 C．k > 1 D．k ≥ 1 【答案】A 【分析】有两个不相等的实数根，Δ > 0。 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×1×k > 0， 4 - 4k > 0， -4k > -4， k < 1。 故选：A。 10．（2024-2025九年级上·重庆渝中·期末）若关于x的一元二次方程2x² + 3x + m = 0有两个实数根，则m的取值范围是____m ≤ ____。 【答案】m ≤ 【分析】有两个实数根，Δ ≥ 0。 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴Δ = b² - 4ac = 3² - 4×2×m ≥ 0， 9 - 8m ≥ 0， -8m ≥ -9， m ≤ 。 故答案为：m ≤ 。 11．（2024秋·天津南开·单元测）若关于x的一元二次方程kx² - 2x - 1 = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k > -1 B．k > -1且k ≠ 0 C．k < 1 D．k < 1且k ≠ 0 【答案】B 【分析】有两个不相等的实数根，Δ > 0，且二次项系数不为0。 【详解】解：∵方程是一元二次方程，∴k ≠ 0。 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×k×(-1) > 0， 4 + 4k > 0， 4k > -4， k > -1。 综上，k > -1且k ≠ 0。 故选：B。 题型04 求根公式的理解与辨析 12．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）下列关于一元二次方程求根公式的说法，正确的是（　　） A．任何一元二次方程都能用公式法求解 B．只有当Δ ≥ 0时，一元二次方程才有实数根 C．求根公式只适用于二次项系数为1的方程 D．Δ = 0时，方程没有实数根 【答案】B 【分析】考查求根公式和判别式的基本概念。 【详解】解：A错误，Δ < 0时方程没有实数根，不能用公式法求实数根； B正确，Δ ≥ 0是方程有实数根的充要条件； C错误，求根公式适用于所有一元二次方程； D错误，Δ = 0时方程有两个相等的实数根。 故选：B。 13．（2024秋·广东深圳·月考）一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的求根公式成立的条件是（　　） A．b² - 4ac > 0 B．b² - 4ac < 0 C．b² - 4ac ≥ 0 D．b² - 4ac ≤ 0 【答案】C 【分析】求根公式中根号下的数必须非负。 【详解】解：求根公式中含有， 被开方数必须非负，即b² - 4ac ≥ 0。 故选：C。 14．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期末）用公式法解一元二次方程时，先化为一般形式，再确定a、b、c的值，然后计算Δ。若Δ < 0，则（　　） A．方程有一个实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程没有实数根 【答案】D 【分析】Δ < 0时方程没有实数根。 【详解】解：当Δ < 0时，√(b² - 4ac)无意义， 方程没有实数根。 故选：D。 题型05 已知根的情况反求参数 15．（2024秋·福建福州·单元测）若关于x的一元二次方程x² + (m + 1)x + 1 = 0有两个相等的实数根，则m的值为___1或-3_____。 【答案】1或-3 【分析】有两个相等的实数根，Δ = 0。 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ = (m + 1)² - 4×1×1 = 0， (m + 1)² = 4， m + 1 = ±2， ∴m = 1或m = -3。 故答案为：1或-3。 16．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）已知关于x的一元二次方程x² - 2mx + m² - 1 = 0，求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。 【答案】证明见详解 【分析】计算判别式，证明Δ恒大于0。 【详解】证明：a = 1，b = -2m，c = m² - 1， Δ = b² - 4ac = (-2m)² - 4×1×(m² - 1) = 4m² - 4m² + 4 = 4， ∵Δ = 4 > 0， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。 17．（2024秋·山东青岛·期末）若关于x的方程x² - 2x + k - 1 = 0有实数根，求k的取值范围。 【答案】k ≤ 2 【分析】有实数根，Δ ≥ 0。 【详解】解：∵方程有实数根， ∴Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×1×(k - 1) ≥ 0， 4 - 4k + 4 ≥ 0， 8 - 4k ≥ 0， -4k ≥ -8， k ≤ 2。 ∴k的取值范围是k ≤ 2。 题型06 公式法的简单应用 18．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x² - 7x + 12 = 0的两个根，求这个直角三角形的斜边长。 【答案】5 【分析】先解方程求出两条直角边，再用勾股定理求斜边。 【详解】解：x² - 7x + 12 = 0， a = 1，b = -7，c = 12， Δ = (-7)² - 4×1×12 = 49 - 48 = 1 > 0， x = [] / 2 = ， ∴x₁ = 4，x₂ = 3， 即两条直角边长分别为3和4。 由勾股定理：斜边长 = = = 5。 19．（2024秋·北京海淀·月考）某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，列方程并用公式法求解。 【答案】x = 10% 【分析】列方程100(1-x)² = 81，用公式法求解。 【详解】解：根据题意：100(1 - x)² = 81， 整理：(1 - x)² =， 1 - x = ， x = 1 ±， ∴x₁ = 1 + = （舍去，降价率不能大于1）， x₂ = 1 - = 10%。 ∴平均每次降价的百分率为10%。 20．（2024-2025九年级上·上海浦东·期末）已知关于x的一元二次方程x² - (k + 2)x + 2k = 0。 （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a = 1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。 【答案】（1）证明见详解；（2）周长为5 【分析】（1）证明Δ ≥ 0；（2）分情况讨论等腰三角形。 【详解】（1）证明：Δ = [-(k + 2)]² - 4×1×2k = k² + 4k + 4 - 8k = k² - 4k + 4 = (k - 2)² ≥ 0， ∴无论k取何值，方程总有实数根。 （2）解：①若a = 1为腰，则b = 1或c = 1， 将x = 1代入方程：1 - (k + 2) + 2k = 0， k = 1， 方程为x² - 3x + 2 = 0，解得x₁ = 1，x₂ = 2， 三边为1、1、2，不能构成三角形（1 + 1 = 2），舍去。 ②若a = 1为底，则b = c，方程有两个相等的实数根， Δ = (k - 2)² = 0，k = 2， 方程为x² - 4x + 4 = 0，解得x₁ = x₂ = 2， 三边为2、2、1，能构成三角形， 周长 = 2 + 2 + 1 = 5。 综上，△ABC的周长为5。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）若关于x的一元二次方程(m - 1)x² + 2x + 1 = 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m < 2 B．m < 2且m ≠ 1 C．m > 2 D．m > 2且m ≠ 1 【答案】B 【分析】有两个不相等的实数根，Δ > 0，且二次项系数不为0。 【详解】解：∵方程是一元二次方程，∴m - 1 ≠ 0，即m ≠ 1。 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ = 2² - 4(m - 1)×1 > 0， 4 - 4m + 4 > 0， 8 - 4m > 0， m < 2。 综上，m < 2且m ≠ 1。 故选：B。 2．（2024秋·湖南长沙·期末）已知一元二次方程x² - 3x - 1 = 0的两个根为x₁、x₂，则x₁² + x₂²的值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】利用韦达定理和完全平方公式。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 3，x₁x₂ = -1， x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 3² - 2×(-1) = 9 + 2 = 11。 故选：C。 3．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）关于x的一元二次方程x² - mx + 2m - 1 = 0的两个实数根分别为x₁、x₂，且x₁² + x₂² = 7，则m的值是（　　） A．5 B．-1 C．5或-1 D．不存在 【答案】B 【分析】利用韦达定理列方程，注意检验Δ ≥ 0。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = m，x₁x₂ = 2m - 1， x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = m² - 2(2m - 1) = 7， m² - 4m + 2 = 7， m² - 4m - 5 = 0， (m - 5)(m + 1) = 0， m = 5或m = -1。 检验：当m = 5时，Δ = 25 - 4×9 = 25 - 36 = -11 < 0，舍去； 当m = -1时，Δ = 1 - 4×(-3) = 1 + 12 = 13 > 0，符合。 ∴m = -1。 故选：B。 4．（2024秋·河北唐山·期末）若关于x的一元二次方程x² + 2x + k = 0没有实数根，则一次函数y = kx + k的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先由Δ < 0求k的范围，再判断一次函数图象经过的象限。 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴Δ = 4 - 4k < 0，k > 1。 一次函数y = kx + k， ∵k > 1 > 0，∴斜率k > 0，截距k > 0， ∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。 故选：D。 5．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）定义运算：a★b = a(1 - b)，若a、b是方程x² - x + = 0的两个根，则b★b - a★a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先求方程的根，再代入新运算。 【详解】解：x² - x + = 0， Δ = 1 - 1 = 0， x = = ， ∴a = b =， b★b - a★a = b(1 - b) - a(1 - a) = 0。 故选：A。 6．（2024秋·辽宁大连·期末）已知α、β是方程x² + 2x - 5 = 0的两个根，则α² + αβ + 2α的值为（　　） A．0 B．-1 C．2 D．-5 【答案】A 【分析】利用方程根的定义和韦达定理。 【详解】解：∵α是方程的根，∴α² + 2α - 5 = 0，即α² + 2α = 5。 由韦达定理：αβ = -5。 α² + αβ + 2α = (α² + 2α) + αβ = 5 + (-5) = 0。 故选：A。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）若关于x的一元二次方程x² - 4x + k = 0有两个相等的实数根，则k = ___4_____。 【答案】4 【分析】有两个相等的实数根，Δ = 0。 【详解】解：Δ = 16 - 4k = 0，k = 4。 故答案为：4。 8．（2024秋·天津和平·期末）已知x₁、x₂是方程x² - 3x - 2 = 0的两个根，则(x₁ - 1)(x₂ - 1) = ___-4_____。 【答案】-4 【分析】展开后用韦达定理。 【详解】解：(x₁ - 1)(x₂ - 1) = x₁x₂ - (x₁ + x₂) + 1 = -2 - 3 + 1 = -4。 故答案为：-4。 9．（2024-2025九年级上·四川绵阳·期末）若关于x的一元二次方程x² - 2x + m = 0没有实数根，则m的取值范围是____m > 1____。 【答案】m > 1 【分析】没有实数根，Δ < 0。 【详解】解：Δ = 4 - 4m < 0， 4 < 4m， m > 1。 故答案为：m > 1。 10．（2024秋·山东青岛·期末）设a、b是方程x² + x - 2024 = 0的两个实数根，则a² + 2a + b的值为___2023_____。 【答案】2023 【分析】利用方程根的定义和韦达定理。 【详解】解：∵a是方程的根，∴a² + a - 2024 = 0，即a² + a = 2024。 由韦达定理：a + b = -1。 a² + 2a + b = (a² + a) + (a + b) = 2024 + (-1) = 2023。 故答案为：2023。 11．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的方程x² - (k + 1)x + 1/4k² + 1 = 0，当k = ________时，方程有两个相等的实数根。 【答案】 【分析】有两个相等的实数根，Δ = 0。 【详解】解：Δ = (k + 1)² - 4(1/4k² + 1) = k² + 2k + 1 - k² - 4 = 2k - 3 = 0， k = 。 故答案为：。 （三）解答题 12．（2024秋·浙江宁波·期末）用公式法解下列方程： （1）2x² - 4x - 1 = 0 （2）x² - 2 x + 1 = 0 【答案】（1）x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - ；（2）x₁ = + 1，x₂ = - 1 【分析】标准公式法。 【详解】解：（1）2x² - 4x - 1 = 0， a = 2，b = -4，c = -1， Δ = (-4)² - 4×2×(-1) = 16 + 8 = 24 > 0， x = = 1 ± ， ∴x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 。 （2）x² - 2 x + 1 = 0， a = 1，b = -2，c = 1， Δ = (-2√2)² - 4×1×1 = 8 - 4 = 4 > 0， x = = ± 1， ∴x₁ = + 1，x₂ = - 1。 13．（2024-2025九年级上·广东广州·期末）已知关于x的一元二次方程x² - (2k + 1)x + k² + k = 0。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值。 【答案】（1）证明见详解；（2）k = 4或k = 5 【分析】（1）证明Δ > 0；（2）分情况讨论等腰三角形。 【详解】（1）证明：Δ = (2k + 1)² - 4(k² + k) = 4k² + 4k + 1 - 4k² - 4k = 1 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根。 （2）解：方程的两个根为x = [2k + 1 ± 1]/2， 即x₁ = k + 1，x₂ = k。 ∵AB ≠ AC（两根不等），∴等腰三角形中，AB、AC中一条为腰，一条为底。 ①若AB = BC = 5，则k + 1 = 5或k = 5， 当k + 1 = 5时，k = 4，三边为5、4、5，能构成等腰三角形； 当k = 5时，三边为6、5、5，能构成等腰三角形。 ②若AC = BC = 5，同理可得k = 4或k = 5。 综上，k = 4或k = 5。 14．（2024秋·福建福州·期末）已知关于x的一元二次方程x² - (m + 3)x + 2m + 2 = 0。 （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为x₁、x₂，且满足x₁² + x₂² = 5，求m的值。 【答案】（1）证明见详解；（2）m = 0或m = -2 【分析】（1）证明Δ ≥ 0；（2）利用韦达定理。 【详解】（1）证明：Δ = (m + 3)² - 4(2m + 2) = m² + 6m + 9 - 8m - 8 = m² - 2m + 1 = (m - 1)² ≥ 0， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根。 （2）解：由韦达定理：x₁ + x₂ = m + 3，x₁x₂ = 2m + 2， x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (m + 3)² - 2(2m + 2) = m² + 6m + 9 - 4m - 4 = m² + 2m + 5 = 5， m² + 2m = 0， m(m + 2) = 0， ∴m = 0或m = -2。 检验：当m = 0时，Δ = (0 - 1)² = 1 > 0，符合； 当m = -2时，Δ = (-2 - 1)² = 9 > 0，符合。 ∴m = 0或m = -2。 15．（2024-2025九年级上·北京海淀·期末）阅读材料： 为了解方程(x² - 1)² - 5(x² - 1) + 4 = 0，我们可以将x² - 1视为一个整体， 设x² - 1 = y，则原方程可化为y² - 5y + 4 = 0，解得y₁ = 1，y₂ = 4。 当y = 1时，x² - 1 = 1，x² = 2，x = ±； 当y = 4时，x² - 1 = 4，x² = 5，x = ±。 ∴原方程的解为x₁ = ，x₂ = -，x₃ = ，x₄ = -。 这种方法叫做换元法。 请用换元法解方程：(x² + x)² - 4(x² + x) - 12 = 0。 【答案】x₁ = -3，x₂ = 2 【分析】设x² + x = y，换元后求解。 【详解】解：设x² + x = y，则原方程化为： y² - 4y - 12 = 0， a = 1，b = -4，c = -12， Δ = 16 + 48 = 64， y = ， ∴y₁ = 6，y₂ = -2。 当y = 6时，x² + x = 6， x² + x - 6 = 0， 解得： x₁ = -3，x₂ = 2。 当y = -2时，x² + x = -2， x² + x + 2 = 0， Δ = 1 - 8 = -7 < 0，无实根。 综上，原方程的解为x₁ = -3，x₂ = 2。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都·中考）关于x的一元二次方程x² + 2x + k = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k < 1 B．k > 1 C．k = 1 D．k ≥ 0 【答案】A 【分析】有两个不相等的实数根，Δ > 0。 【详解】解：Δ = 4 - 4k > 0，k < 1。 故选：A。 2．（2024·江苏苏州·中考）一元二次方程x² - 2x = 0的根是（　　） A．x₁ = 0，x₂ = -2 B．x₁ = 1，x₂ = 2 C．x₁ = 0，x₂ = 2 D．x₁ = 1，x₂ = -2 【答案】C 【分析】因式分解法或公式法。 【详解】解：x(x - 2) = 0， ∴x₁ = 0，x₂ = 2。 故选：C。 3．（2024·浙江杭州·中考）已知y₁和y₂是以x为自变量的函数， y₁ = ax² + bx + c（a ≠ 0），y₂ = mx + n（m ≠ 0）， 当y₁ = y₂时，方程ax² + bx + c = mx + n的解的情况是（　　） A．一定有两个不相等的实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．一定没有实数根 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】整理为一元二次方程，判别式可能大于、等于或小于0。 【详解】解：ax² + bx + c = mx + n， 整理：ax² + (b - m)x + (c - n) = 0， Δ = (b - m)² - 4a(c - n)， Δ的值可能大于0、等于0或小于0， ∴方程可能有两个不等实根、两个相等实根或无实根。 故选：D。 4．（2024·山东济南·中考）若一元二次方程x² + 2x + m = 0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m ≤ 1 B．m < 1 C．m ≥ 1 D．m > 1 【答案】A 【分析】有实数根，Δ ≥ 0。 【详解】解：Δ = 4 - 4m ≥ 0，m ≤ 1。 故选：A。 5．（2024·湖北武汉·中考）若关于x的一元二次方程x² - 4x + m = 0有两个相等的实数根，则m = __4_____。 【答案】4 【分析】有两个相等的实数根，Δ = 0。 【详解】解：Δ = 16 - 4m = 0，m = 4。 故答案为：4。 6．（2024·陕西·中考）已知x₁、x₂是方程x² - 2x - 1 = 0的两个根，则x₁ + x₂ = _____2___。 【答案】2 【分析】韦达定理。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 2。 故答案为：2。 7．（2024·重庆·中考）一元二次方程x² - 4x + 3 = 0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】计算判别式。 【详解】解：Δ = 16 - 12 = 4 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根。 故选：A。 7．（2024·广东·中考）若关于x的方程x² + 2x + a = 0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a < 1 B．a > 1 C．a ≤ 1 D．a ≥ 1 【答案】A 【分析】有两个不相等的实数根，Δ > 0。 【详解】解：Δ = 4 - 4a > 0，a < 1。 故选：A。 8．（2024·上海·中考）解方程：x² - 2x - 5 = 0。 【答案】x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 【分析】公式法。 【详解】解：a = 1，b = -2，c = -5， Δ = (-2)² - 4×1×(-5) = 4 + 20 = 24 > 0， x = = 1 ± ， ∴x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 。 9．（2024·北京·中考）关于x的一元二次方程x² - 2mx + m² - 1 = 0。 （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为x₁、x₂，且x₁ + x₂ + x₁x₂ = 7，求m的值。 【答案】（1）证明见详解；（2）m = 2或m = -4 【分析】（1）证明Δ > 0；（2）利用韦达定理。 【详解】（1）证明：Δ = (-2m)² - 4×1×(m² - 1) = 4m² - 4m² + 4 = 4 > 0， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。 （2）解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 2m，x₁x₂ = m² - 1， x₁ + x₂ + x₁x₂ = 2m + m² - 1 = 7， m² + 2m - 8 = 0， (m + 4)(m - 2) = 0， ∴m = 2或m = -4。 检验：当m = 2时，Δ = 4 > 0，符合； 当m = -4时，Δ = 4 > 0，符合。 ∴m = 2或m = -4。 学科网（北京）股份有限公司 $