第2章 有理数及其运算 单元测试 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 2025-2026学年七年级上册数学第二章有理数及其运算单元检测卷，以文化传承与生活实践为情境，覆盖有理数概念、运算及应用，适配单元复习，提升抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/36|相反意义的量、非负数、运算律等|第2题结合《梦溪笔谈》算筹文化，体现数学眼光| |填空题|4/16|计算、比较大小、数轴化简|第16题正六边形翻转，考查空间观念与推理意识| |解答题|9/98|新运算、实际问题、数轴与圆滚动|第22题乡村水果销售问题，培养模型意识；第25题圆滚动结合数轴，提升几何直观与运算能力|

2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第二章 有理数及其运算 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．三种袋上分别标有，，的字样，从中任意取两袋，它们的质量最多相差（    ） A． B． C． D． 2．北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（   ） A． B． C．1 D． 3．下列各数中：，0，，，，中，非负数有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法中正确的是（　　） A．任何有理数都有相反数 B．一个有理数的绝对值一定大于它本身 C．最小的正整数是0 D．在数轴上表示有理数的点一定在原点的左边 6．将写成和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．的原理是（   ） A．乘法对加法的分配律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法结合律和交换律 8.发现规律解决问题是常见解题策略之一．已知数，则这个数a的个位数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 9．某病人每天下午需要测量血压，下表是该病人星期一至星期五测量的收缩压与前一天相比较的变化情况．该病人上个星期日测量的收缩压为120单位． 星期 一 二 三 四 五 增减/单位 该病人星期二的收缩压是（   ） A．110单位 B．115单位 C．120单位 D．125单位 10．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法确定 11．如图一个等腰梯形的周长是31，用两个这样的等腰梯形拼成平行四边形周长减少了16，那么拼得的平行四边形的周长是（   ） A．30 B．31 C．46 D．47． 12．我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中正确的有（    ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．计算： ． 14．比较大小： ．（用“＞”“＝”或“＜”填空）． 15．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简 ． 16．正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．（10分）把下列有理数填在相应的集合内：3，，0，，，，． 正有理数集合：； 负有理数集合：； 整数集合：； 分数集合：． 18．计算： ①； ②； ③ ④ 19．（10分）下面是小明同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式  第①步   第②步   第③步 ．  第④步 问题： (1)上述解法中，从第________步开始出错（填序号）． (2)请写出本题的正确解法． 20．（10分）【新运算】 (1)定义一种新运算“*”．规定 ，求． (2)定义一种新运算“®”，已知，求的值． 21．（10分）井冈山是红色革命旅游圣地，据统计2020年9月30日到井冈山旅游的人数为1万人，十一黄金周期间（共6天），井冈山每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 人数变化（万人） (1)请判断十一黄金周期间游客人数最多和最少的各是哪一天？它们相差多少万人？ (2)求十一黄金周期间去井冈山旅游的总人数． 22．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．黄大哥合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社连续七天从农户处购进苹果（如下表）苹果收购单价15元．每天收购苹果重量的标准为，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 重量 0 (1)这7天里收购水果重量最多的一天比最少的一天多 ． (2)请求出该合作社这七天一共收购了多少千克的苹果． (3)已知苹果在整个运输过程中损失了，若苹果平均售价为25元，不计其他费用，求该合作社获得的利润是多少元？ 23．（12分）如图，数轴上有、两点． (1)、两点表示的数分别是____，____； (2)若点表示，点表示，请你把点、点表示在如图所示的数轴上； (3)将四个点所表示的数用“”连接起来． 24．（14分）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为　　； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 25．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径． (1)把圆片沿数轴向左滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是______； (2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是______； (3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3． ①第______次滚动后，A点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第二章 有理数及其运算 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．三种袋上分别标有，，的字样，从中任意取两袋，它们的质量最多相差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件算出质量最重的和最轻的面粉，再把所得的结果相减即可． 【详解】解：∵， ∴质量最重的面粉为：， 质量最轻的面粉为：， ∴它们的质量最多相差：. 故选：D 【点睛】本题考查了正数和负数的意义，用到的知识点是正数和负数的意义以及有理数的减法，关键是求出量最重的面粉和质量最轻的面粉． 2．北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】解：是负数，是负数，不是负数，是负数． 故选： ． 3．下列各数中：，0，，，，中，非负数有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值，非负数的定义，根据正数的任何次方都是正数，负数的偶次方是正数，奇次方是负数分别计算，，，再根据绝对值、相反数的定义化简，，，最后根据非负数指0和正数判断即可．熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】解：，，，，， 非负数有：0，，，共3个， 故选：C． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故选项A错误． B、，故选项B错误． C、，选项C正确应用分配律，将分别乘以和后相减，也是可以的，故选项C正确． D、，故选项D错误． 故选：C. 5．下列说法中正确的是（　　） A．任何有理数都有相反数 B．一个有理数的绝对值一定大于它本身 C．最小的正整数是0 D．在数轴上表示有理数的点一定在原点的左边 【答案】A 【详解】解：A、任何有理数都有相反数，是正确的，故本选项符合题意； B、非负数的绝对值等于它本身，故本选项不符合题意； C、最小的正整数是1，故本选项不符合题意； D、如果代表负数，那么表示正数，在数轴上表示有理数的点在原点的右边，故本选项不符合题意； 故选：A． 6．将写成和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 故选：D． 7．的原理是（   ） A．乘法对加法的分配律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法结合律和交换律 【答案】C 【详解】解：运用的运算律是乘法结合律. 故选：C． 8.发现规律解决问题是常见解题策略之一．已知数，则这个数a的个位数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，发现连续正整数立方的和的运算和连续正整数和的平方的运算规律是解题的关键．利用求解即可． 【详解】解：， 即， ， ， ， 的个位数字为9，的个位数字为4， 的个位数字为6， 故的个位数为6， 故选：D． 9．某病人每天下午需要测量血压，下表是该病人星期一至星期五测量的收缩压与前一天相比较的变化情况．该病人上个星期日测量的收缩压为120单位． 星期 一 二 三 四 五 增减/单位 该病人星期二的收缩压是（   ） A．110单位 B．115单位 C．120单位 D．125单位 【答案】A 【详解】解：周一：（单位） 周二：（单位） 故选：A． 10．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：由图可得：，，， ． 故选：B ． 11．如图一个等腰梯形的周长是31，用两个这样的等腰梯形拼成平行四边形周长减少了16，那么拼得的平行四边形的周长是（   ） A．30 B．31 C．46 D．47 【答案】C 【详解】解：， 即：拼成的平行四边形的周长为46厘米． 故选：C． 12．我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中正确的有（    ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，方程的解．根据新定义判断①和②，求出或时的判断③，根据新定义得到，赋值法求方程的解判断④；本题的难度较大，属于选择题中的压轴题． 【详解】解：由题意，得：，故①正确； ，故②错误； 当时，，， 当时：，；故③错误； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴当时，，，此时； 时，，，此时； 当时，，，此时， 当时，，，此时； 综上：的解为或或或；故④错误． 故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．计算： ． 【答案】 【详解】解：原式 ， 故答案为：. 14．比较大小： ．（用“＞”“＝”或“＜”填空）． 【答案】＞ 【分析】根据负数比较大小的方法求解即可．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵， ∴＞． 故答案为：＞． 【点睛】此题考查了比较负数大小，解题的关键是熟练掌握比较负数大小的方法．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 15．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简 ． 【答案】0 【分析】根据数轴的性质可得，从而可得，再化简绝对值，计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可知，， 所以， 所以 ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 16．正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 【答案】C 【详解】解：由题意，可知，点从1开始，每翻转6次一个循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点是； 故答案为：C 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．（10分）把下列有理数填在相应的集合内：3，，0，，，，． 正有理数集合：； 负有理数集合：； 整数集合：； 分数集合：． 【答案】3，，；，，；3，0，；，，， 【详解】解：正有理数集合：； 负有理数集合：； 整数集合：； 分数集合：． 故答案为：3，，；，，；3，0，；，，，． 18．计算： ①； ②； ③ ④ 【答案】①；②；③1；④16 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． ①利用加法交换律和结合律进行计算，即可解答； ②利用加法交换律和结合律进行计算，即可解答； ③先计算乘方，再计算乘除，后计算加法即可； ④根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：① ； ② ； ③ ； ④ ． 19．（10分）下面是小明同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式  第①步   第②步   第③步 ．  第④步 问题： (1)上述解法中，从第________步开始出错（填序号）． (2)请写出本题的正确解法． 【答案】(1)① (2)，见解析 【详解】（1）解：从①步开始出错,应为 故答案为：①. （2）解：原式 ． 20．（10分）【新运算】 (1)定义一种新运算“*”．规定 ，求． (2)定义一种新运算“®”，已知，求的值． 【答案】(1)1.5 (2)190 【详解】（1）解∶根据题意，得， ； （2）解：根据题意，得，， 所以． 21．（10分）井冈山是红色革命旅游圣地，据统计2020年9月30日到井冈山旅游的人数为1万人，十一黄金周期间（共6天），井冈山每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 人数变化（万人） (1)请判断十一黄金周期间游客人数最多和最少的各是哪一天？它们相差多少万人？ (2)求十一黄金周期间去井冈山旅游的总人数． 【答案】(1)十一黄金周期间游客人数最多是10月3日，最少的是10月1日；它们相差万人 (2)十一黄金周期间去井冈山旅游的总人数是万人 【详解】（1）解：（1）（万人）， （万人）， （万人）， （万人）， （万人）， （万人）， 又， 且（万人）， ∴十一黄金周期间游客人数最多是10月3日，最少的是10月1日；它们相差万人， 答：十一黄金周期间游客人数最多是10月3日，最少的是10月1日；它们相差万人； （2） （万人）， 答：十一黄金周期间去井冈山旅游的总人数是万人． 22．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．黄大哥合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社连续七天从农户处购进苹果（如下表）苹果收购单价15元．每天收购苹果重量的标准为，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 重量 0 (1)这7天里收购水果重量最多的一天比最少的一天多 ． (2)请求出该合作社这七天一共收购了多少千克的苹果． (3)已知苹果在整个运输过程中损失了，若苹果平均售价为25元，不计其他费用，求该合作社获得的利润是多少元？ 【答案】(1)80 (2)1500 (3)14250元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）表格中最大数减去最小数进行计算即可； （2）表格中所有数据的和加上标准质量乘以7进行计算即可； （3）用每千克的利润乘以销量进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：80； （2）； 答：该合作社这七天一共收购了1500千克的苹果． （3）（元）； 答：该合作社获得的利润是14250元． 23．（12分）如图，数轴上有、两点． (1)、两点表示的数分别是____，____； (2)若点表示，点表示，请你把点、点表示在如图所示的数轴上； (3)将四个点所表示的数用“”连接起来． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：根据题意得 点表示的数为4，点表示的数为． 故答案为：4，； （2）解：根据题意表示如下 （3）解：因为数轴上右边的数总比左边的数大可知 ． 24．（14分）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为　　； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)有最小值，最小值为 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是：， 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：，． （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：． （3）解：有最小值， 根据绝对值的几何意义可知，表示：数轴上表示的点到表示与的点的距离之和， ∴当时，取最小值，最小值为， 答：有最小值，最小值为． 25．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径． (1)把圆片沿数轴向左滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是______； (2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是______； (3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3． ①第______次滚动后，A点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？ 【答案】(1)-π (2)±4π (3)①3；②A点运动的路程共有26π，此时点A所表示的数是-6π 【分析】（1）根据向左运动做减法求解； （2）分向左或向右运动两种情况求解； （3）①逐次求解，再比较大小求解；②把这些数的绝对值求解，再乘以周长，求出路程，把这些数求和，再乘以周长得出到原点距离． 【详解】（1）解：0-π=-π， 故答案为：-π； （2）若向左滚动，0-4π=-4π， 若向右滚动，0+4π=4π， 故答案为：±4π； （3）①|2|=2，|2-1|=1，|1+3|=4，|4-4|=0，|0-3|=3， 0＜1＜2＜3＜4， 故答案为：3； ②（|+2|+|-1|+|+3|+|-4|+|-3|）×2π=26π， +2-1+3-4-3=-3， 3×2π=6π， 答：A点运动的路程共有26π，此时点A所表示的数是-6π． 【点睛】本题考查了数轴和正负数，圆的周长公式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $