27.2 第2课时 反比例函数的性质的应用 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数图象和性质的应用，涵盖解析式确定、图象象限判断、增减性分析、比例系数k的几何意义及与一次函数的综合应用。通过问题回顾旧知，结合情境问题引入新知，构建知识支架，帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于设计多层次探究活动，如通过具体点坐标推导k的几何意义，培养几何直观；分象限比较函数值大小，发展推理意识；综合题解决面积及取值范围问题，强化应用意识。学生能提升数学思维，教师可借助清晰结构与实例高效教学。

第二十七章　反比例函数 27.2　反比例函数的图象和性质 第2课时　反比例函数图象和性质的应用 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 问题1: 反比例函数解析式的一般形式为　　 , 其图象为　 .   知识关联 (k为常数,k≠0) 双曲线 一、三　 减小 问题2：反比例函数 的图象位于第　 象限，在每 一个象限内，y随x的增大而　 　 .  问题3：若反比例函数 的图象经过点(2,-1)，则k的值为　 　.  -2 知识关联 【情境问题】 问题: 已知反比例函数的图象经过点A(-2，4). (1)这个函数的图象位于哪些象限？ y随x的增大如何变化？ 解：(1)因为点A (-2, 4)在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、 第四象限，在每一个象限内， y随x的增大而增大. 知识关联 (2) 点B(1，-8)，C( ， )，D(2，4)是否在这个函数的图象上？ 解： 设这个反比例函数的解析式为 因为点A(-2, 4)在 其图象上，所以点A的坐标满足 即 解得k=-8. 所以点B，C在函数 的图象上，点D不在这个函数的图象上. 因此，这个反比例函数的解析式为 因为点B，C的坐标都满足 ，点D的坐标不满足 一缕阳光 (authorId_1078317442) - 归纳：判断一点是否在反比例函数的图象上，将点的坐标代入反比例函数的解析式，若等式成立，则其在反比例函数的图象上；否则，就不在反比例函数的图象上. 知识关联 思考 （1）确定一个反比例函数的解析式需要什么条件？ 已知函数图象上的一个点的坐标即可 （2）如何判断一个点是否在反比例函数的图象上？ 看该点的坐标是否满足反比例函数的解析式 【探究1】 利用反比例函数的性质比较函数值的大小 【操作尝试】 探究与应用 问题 如图，它是反比例函数 的图象的一个分支，根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支位于第几象限？常数m的取值范围是多少？ O x y 解：∵这个函数的图象的一支位于第一象限，∴另一支必位于第三象限. ∵这个函数的图象位于第一、第三象限，∴ m-5＞0， 解得 m>5. 探究与应用 【探究1】 利用反比例函数的性质比较函数值的大小 (2)在这个函数图象的某一支上任取点A (x1,y1)和点 B(x2，y2). 如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？ O x y 解：∵m-5>0, ∴在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而减小. 因此当x1>x2时，y1<y2. 分析：(1)点A(x1,y1)和点B(x2,y2)一定在同一象限吗？ 有几种可能情况? (2)能否分情况画出示意图，并确定y1和y2的大小关系? 【探究1】利用反比例函数的性质比较函数值的大小 探究与应用 【概括新知】 总结 : 比较函数值大小，可以先画出该反比例函数的大致图象，结合图象上点的位置高低比较函数值大小；也可利用反比例函数的性质进行比较，但是要注意点是否在同一象限内. 【探究2】 比例系数k的几何意义 探究与应用 问题：如图，在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格： 5 1 2 3 4 －1 5 x y O P S1 S2 －4 －3 －2 1 4 3 2 －3 －2 －4 －5 －1 Q 【探究2】 比例系数k的几何意义 探究与应用 P (2，2) Q (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k 若将函数换成呢 5 1 2 3 4 －1 5 x y O P S1 S2 －4 －3 －2 1 4 3 2 －3 －2 －4 －5 －1 Q 一缕阳光 (authorId_1078317442) - 让学生经过由一般具体的情况分析、猜想、归纳出一般的结论，最后尝试严谨的数学推理来论证这个一般结论的正确性的过程，这种体验是必要和重要的。 【探究2】 比例系数k的几何意义 探究与应用 S1 5 1 2 3 4 －1 5 x y O S2 P (-2，2) Q (-4，1) S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=-k －4 －3 －2 1 4 3 2 －3 －2 －4 －5 －1 Q P 【探究2】 比例系数k的几何意义 探究与应用 点 Q是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形AOBQ= . 推论：△QAO与△QBO的面积与k的关系 是S△QAO=S△QBO= . 对于反比例函数 ， |k| 归纳： Q A B y x O 【理解应用】 探究与应用 例1 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC垂直 x轴于点 C，且 △AOC 的面积为 2，求该反比例函数的表达式． 解：设点 A 的坐标为(xA，yA)， ∵点 A 在反比例函数的图象上，∴ xA·yA＝k， ∴ S△AOC＝ ·xA·yA＝ ·k=2， ∴ k＝4， ∴反比例函数的表达式为 【探究3】反比例函数与一次函数的综合应用 【尝试交流】 探究与应用 在同一坐标系中，函数 　　和 y= k2 x+b 的图象大致如图所示，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 ① x y O x y O ② 【探究3】反比例函数与一次函数的综合应用 探究与应用 k2 <0 b <0 k1 <0 k2 <0 b >0 ③ x y O k1 >0 ④ x y O 【理解应用】 探究与应用 例2 在同一平面直角坐标系中，函数 y=kx－k 与 的图象大致是 ( ) D. x y O C. y A. y x B. x y O O O k＜0 k＞0 × × × √ k＞0 k＜0 由一次函数增减性得k＞0 由一次函数与y轴交点知－k＞0， 则k＜0 x D 助力教学 (authorId_373264932) - 提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 【理解应用】 探究与应用 例3 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1>y2 时，x 的取值范围为 . －2< x <0 或 x >3 －2 3 y x O 解析：y1>y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时x的取值范围. 一缕阳光 (authorId_1078317442) - 引导学生注意交点处的自变量取值范围是否符合题意. 助力教学 (authorId_373264932) - 方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了. 【理解应用】 探究与应用 例4　如图，反比例函数 的图象与一次函数y=x+b的图象相 交于点A(1,4)、B(-4,n). (1)求一次函数和反比例函数的解析式; ∴一次函数的解析式是y=x+3. 解：把A(1,4)代入反比例函数 , 得k=1×4, ∴反比例函数的解析式是 . 把A(1,4)代入一次函数y=x+b，得4=1+b，解得b=3, 【理解应用】 探究与应用 (2)求△OAB的面积; 解：设直线y=x+3与y轴的交点为C. 在y=x+3中，当x=-4时，y=-1 ∴B(-4,-1); 当x=0时，y=3 ∴C(0,3), ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC= ×3×1+ ×3×4= . C 【理解应用】 探究与应用 (3)直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围. ∴根据图象可知：当x>1或-4<x<0时， 一次函数值大于反比例函数值. 解：∵A(1,4)、B(-4,-1), 【小结】 课堂小结与检测 反比例函数图象和性质的应用 反比例函数性质的应用 比例系数k的几何意义 反比例函数与一次函数的综合应用 【检测】 D 课堂小结与检测 1 . 如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数 的图象过点A， 则k的值是 ( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 【 检测】 课堂小结与检测 A.(2,3) B.(3,2) C.(-2,3) D.(-2,-3) 2 . 若一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点坐标为(2,3)，则另一个交点坐标为 ( ) D 【 检测】 课堂小结与检测 3. 如图，直线 y=k1x + b与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b ＞ 的解集是___________． 1＜x＜5 O B A x y 1 5 【 检测】 课堂小结与检测 答案：图象的另一支位于第四象限， 常数m的取值范围是m<-2 4 . 反比例函数 的图象的一支位于第二象限，则图象的另一支 位于哪个象限？常数m的取值范围是什么? 【 检测】 课堂小结与检测 5. 已知反比例函数 (k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)． (1)求这个函数的表达式； (2)判断点B(-1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由. 解：(1) 把点A的坐标代入表达式，得 ，解得k=6， ∴这个函数的表达式为 . (2) 分别把点B，C的坐标代入 ， 得(－1)×6=－6≠6，则点B不在该函数图象上； 3×2=6，则点C在该函数图象上． $