27.2反比例函数的图象和性质 (第2课时 反比例函数的图象和性质综合应用）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦反比例函数图象和性质的综合应用，核心涵盖图像两种对称性、跨及同象限函数值比较、k的几何意义及交点对称性质。通过复习k与图像象限、增减性旧知设疑，搭建新旧知识支架，引导探究跨象限比较及面积规律。 特色在于自主学习（观察、折叠推导性质）与合作探究结合，融入中考真题，培养综合解题能力。通过图像观察发展几何直观（数学眼光），推理推导提升推理意识（数学思维），模型化k的几何意义强化模型观念（数学语言），助力学生高效掌握重点难点。

27.2反比例函数的图象和性质 （第2课时 反比例函数的图象和性质的综合应用） （导学案） （1）掌握反比例函数图像的两种对称性；熟练掌握跨象限、同象限函数值大小比较方法；理解并掌握k的几何意义，能利用|k|求图形面积、由面积求k值；掌握正反比例函数交点关于原点对称的性质，能解决基础综合题型. （2）通过图像观察、推理推导、例题探究，经历性质综合应用的过程，提升数形结合能力、几何推理能力和综合解题能力. （3）体会反比例函数图像的对称美、数形结合的逻辑性，培养严谨、全面的数学思维，增强综合解题的信心. 重点：跨象限函数值大小比较；反比例函数中k的几何意义及应用；函数对称性的简单运用. 难点：灵活区分同象限、跨象限函数值比较方法；理解任意点面积恒等于|k|的原理；含参数、含面积的综合题型解题思路. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习旧知、类比导入 复习回顾：反比例函数k>0、k<0的图像象限与增减性. 提问设疑：① 若两个点不在同一个象限，还能用增减性比大小吗？ ② 双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成的图形面积有什么规律？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第70-71页的内容 【学法指导】自研课本P70-71页内容 （一）反比例函数图象性质应用 观察图像：双曲线绕原点旋转180°与自身重合→关于原点中心对称； 折叠观察：沿直线y=x、y=-x折叠重合→两条对称轴轴对称； 推论：正比例函数与反比例函数若有两个交点，则两个交点关于原点对称. 问题1：已知反比例函数的图象经过点A（一2，4). （1）这个函数的图象位于哪些象限？随的增大如何变化？ (2）点B(1，-8)，C(2号，-3)，D(2，4)是否在这个函数的图象上? 追问1.已知反比例函数图象上的点，怎样求函数解析式？ 追问2.反比例函数图象的位置由什么确定的，如何确定的？ 追问3.如何判断一点是否在反比例函数图象上？ （二）函数值大小比较综合方法 问题2.如图中的曲线是反比例函数y=的图象的一支，根据图象，回答下列问题： （1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(，）和点B(，）.如果>，那么和有怎样的大小关系? 追问1.已知反比例函数图象的位置，怎样判断函数解析式中k的符号？ 追问2.反比例函数图象的增减性？ （三）比例系数k的几何意义 设点P(x,y)是双曲线y=(k≠0)上任意一点： 1. 过P作x、y轴垂线，围成矩形面积：S=|k|； 2. 围成直角三角形面积：S=|k|； 3. 核心结论：无论点在双曲线上哪个位置，面积恒为定值. 问题3:如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数的图象上． (1)求点B的坐标． (2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求的面积． 【自研自探】 自研课本P70-71页内容 典型例题 例1.在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小． （1）函数经过哪些象限？ （2）求的取值范围． 例2.双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴，已知B点的坐标为，求点D的坐标． 第二环节 合作探究 1.讨论反比例函数图象性质的应用. 2.讨论函数值大小比较综合方法 3.讨论比例系数k的几何意义. 拓展提升： 1.综合运用 如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象． (1)求a的值及反比例函数的表达式； (2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． (3)在x轴是否存在点Q，使得，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由． 课本P71课堂练习. 1．（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣1，6），B（m，﹣2）． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求△OAB的面积． 2．（2025•山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积． 3．(2026年甘肃省武威市)如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 4．（2025•山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积． 知识技能:本节课掌握了反比例函数图像的 ；掌握 的结论；熟练掌握同象限 的函数值比较方法；理解并熟记 ，能快速求解双曲线对应矩形、三角形面积，能解决 基础题型. 思想方法:（1）数形结合思想：依托图像判断 ；（2）分类讨论思想：对比大小时分同 分类讨论；（3）模型思想：建立 的固定模型，实现快速解题；（4）对称转化思想：利用 计算. 易错提醒:（1）跨象限 ；（2）求面积忘记加绝对值，出现 ；已知 ；（3）忽略“ ”，误以为 ；（4）多个点比 ，思维 错误. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2反比例函数的图象和性质 （第2课时 反比例函数的图象和性质的综合应用） （导学案） （1）掌握反比例函数图像的两种对称性；熟练掌握跨象限、同象限函数值大小比较方法；理解并掌握k的几何意义，能利用|k|求图形面积、由面积求k值；掌握正反比例函数交点关于原点对称的性质，能解决基础综合题型. （2）通过图像观察、推理推导、例题探究，经历性质综合应用的过程，提升数形结合能力、几何推理能力和综合解题能力. （3）体会反比例函数图像的对称美、数形结合的逻辑性，培养严谨、全面的数学思维，增强综合解题的信心. 重点：跨象限函数值大小比较；反比例函数中k的几何意义及应用；函数对称性的简单运用. 难点：灵活区分同象限、跨象限函数值比较方法；理解任意点面积恒等于|k|的原理；含参数、含面积的综合题型解题思路. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习旧知、类比导入 复习回顾：反比例函数k>0、k<0的图像象限与增减性. 提问设疑：① 若两个点不在同一个象限，还能用增减性比大小吗？ ② 双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成的图形面积有什么规律？ 导入课题：本节课综合运用反比例函数图像性质，探究对称性、函数值比较、k几何意义综合应用. 【学法指导】 新知自研：自研课本第70-71页的内容 【学法指导】自研课本P70-71页内容 （一）反比例函数图象性质应用 观察图像：双曲线绕原点旋转180°与自身重合→关于原点中心对称； 折叠观察：沿直线y=x、y=-x折叠重合→两条对称轴轴对称； 推论：正比例函数与反比例函数若有两个交点，则两个交点关于原点对称. 问题1：已知反比例函数的图象经过点A（一2，4). （1）这个函数的图象位于哪些象限？随的增大如何变化？ (2）点B(1，-8)，C(2号，-3)，D(2，4)是否在这个函数的图象上? 追问1.已知反比例函数图象上的点，怎样求函数解析式？ 令函数解析式为y=，用待定系数法求出k. 追问2.反比例函数图象的位置由什么确定的，如何确定的？ 反比例函数y=图象的位置是由k确定了，当k>0时，图象在一三象限，当k<0时，图象在二四象限. 追问3.如何判断一点是否在反比例函数图象上？ 将点的坐标代入函数解析式，左右两边相等，点在函数的图象上. 解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.因为点A（一2，4）在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限，在每一个象限内，随x的增大而增大. (2）设这个反比例函数的解析式为y=，因为点A（-2，4)在其图象上，所以点A的坐标满足y=，即4= 解得k=-8. 因此，这个反比例函数的解析式为y=- 因为点B，C的坐标都满足y=-，所以点B，C在这个函数图象上，点不在这个函数图象上. （二）函数值大小比较综合方法 问题2.如图中的曲线是反比例函数y=的图象的一支，根据图象，回答下列问题： （1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(，）和点B(，）.如果>，那么和有怎样的大小关系? 追问1.已知反比例函数图象的位置，怎样判断函数解析式中k的符号？ 反比例函数图象y=，在第一三象限时，k>0；在第二、四象限时，k<0. 追问2.反比例函数图象的增减性？ 当k>0时，在第一、三象限内，y随x的增大而增大；当k<0时，在第二、四象限内，y随x的增大而减小. 解：（1）因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以 m-5>0. 解得 m>5. (2)因为m-5>0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而减小.因此当>时，<. （三）比例系数k的几何意义 设点P(x,y)是双曲线y=(k≠0)上任意一点： 1. 过P作x、y轴垂线，围成矩形面积：S=|k|； 2. 围成直角三角形面积：S=|k|； 3. 核心结论：无论点在双曲线上哪个位置，面积恒为定值. 问题3:如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数的图象上． (1)求点B的坐标． (2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求的面积． 【分析】（1）利用A的坐标得到B的横坐标，代入反比例函数的解析式即可求得纵坐标； （2）过点B作轴交AC于点D，根据反比例函数的中心对称性得到C的坐标，从而求得直线AC解析式，进而求得D点坐标，然后根据求得即可． 【详解】（1）∵点A的坐标为（1，6）， ∵点B是由点A向右平移2个单位长度，向下平移a个单位长度得到， ∴点B的横坐标为3， 将代入中，得， ∴点B的坐标为（3，2）； （2）过点B作轴交AC于点D，如图所示， 由题意，可知点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为（－3，－2）， 设直线AC解析式为y=kx+b， 将A、C代入得，， 解得， ∴直线AC的解析式为， 由题意，易得点D的纵坐标为2， 将代入中，得， ∴点D的坐标为（－1，2）， ∴． 【自研自探】 自研课本P70-71页内容 典型例题 例1.在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小． （1）函数经过哪些象限？ （2）求的取值范围． 【分析】（1）根据y随x的增大而减小，即可求解； （2）由（1）得：函数经过第一、三象限，可得到5-﹥0，即可求解． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象上，y随x的增大而减小 ∴函数经过第一、三象限， （2）∵函数经过第一、三象限， ∴5-﹥0， 即﹤5 例2.双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴，已知B点的坐标为，求点D的坐标． 【分析】根据B点的坐标，利用反比例函数解析式，求出A、C两个顶点坐标即可． 【详解】解：∵双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴， 当时，， ∴A（2，6）． ∵轴， 当时，，， ∴C（8，1.5）． ∴点D的坐标为（8，6）． 第二环节 合作探究 1.讨论反比例函数图象性质的应用. 2.讨论函数值大小比较综合方法 3.讨论比例系数k的几何意义. 拓展提升： 1.综合运用 如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象． (1)求a的值及反比例函数的表达式； (2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． (3)在x轴是否存在点Q，使得，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由． 【详解】（1）解：把代入得， ， ， 把代入， 得， 反比例函数的函数表达式为； （2）解：当时， ， ， ， ， ， 又 ， 解得：， ， 点P坐标为； （3）解：存在； 理由如下： ①当点Q在x轴正半轴上时， 如图，过点A作轴交x轴于， 则， 点； ②当点Q在x轴负半轴上时， 如上图，设与y轴交于点， ∵， ∴， 则， 解得：， ∴， 设直线表达式为，则有 ， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 即点的坐标为， 综上所述，点Q的坐标为或． 课本P71课堂练习. 1．（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣1，6），B（m，﹣2）． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求△OAB的面积． 【解答】解：（1）由题意得：将点A（﹣1，6）代入，得：k＝﹣1×6＝﹣6， 所以反比例函数的表达式为， 将点B（m，﹣2）代入可得：， ∴B（3，﹣2）， 将点A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入y＝ax+b 得：， 解得， 所以一次函数的表达式为y＝﹣2x+4； （2）如图，设一次函数的图象与x轴的交点为点C， 将y＝0代入一次函数y＝﹣2x+4得：﹣2x+4＝0，解得x＝2， ∴C（2，0）， ∴OC＝2， 由（1）已得：A（﹣1，6），B（3，﹣2）， ∴△AOC的OC边上的高为|6|＝6，△BOC的OC边上的高为|﹣2|＝2， ∴△OAB 的面积为． 2．（2025•山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积． 【解答】解：（1）∵点C的坐标为（1，6），且在反比例函数的图象上， ∴，即k＝6， ∴反比例函数的解析式为； 设直线AC的解析式为y＝ax+b（a≠0）， 把A、C两点坐标分别代入得： ， 解得：， 即直线AC的解析式为y＝2x+4； 上式中，令x＝0，y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； （2）∵点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2， ∴， 解得：x＝3；由题意知，OA＝2，OB＝4， ∴S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD ＝10． 3．(2026年甘肃省武威市)如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 【详解】（1）解：∵点在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴点， ∵ 轴于点 ， ∴ ， ． ∵一次函数与轴交于点 ， 令，解得， ∴点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 4．（2025•山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积． 【解答】解：（1）∵点C的坐标为（1，6），且在反比例函数的图象上， ∴，即k＝6， ∴反比例函数的解析式为； 设直线AC的解析式为y＝ax+b（a≠0）， 把A、C两点坐标分别代入得： ， 解得：， 即直线AC的解析式为y＝2x+4； 上式中，令x＝0，y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； （2）∵点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2， ∴， 解得：x＝3；由题意知，OA＝2，OB＝4， ∴S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD ＝10． 知识技能:本节课掌握了反比例函数图像的中心对称、轴对称性质；掌握正反比例函数交点关于原点对称的结论；熟练掌握同象限看增减、跨象限看正负的函数值比较方法；理解并熟记k的几何意义，能快速求解双曲线对应矩形、三角形面积，能解决参数、面积、函数值综合基础题型. 思想方法:（1）数形结合思想：依托图像判断象限、正负、面积，以形助数；（2）分类讨论思想：对比大小时分同象限、跨象限分类讨论；（3）模型思想：建立k与面积的固定模型，实现快速解题；（4）对称转化思想：利用函数对称性简化交点问题计算. 易错提醒:（1）跨象限两点乱用增减性比较大小，必须先看正负；（2）求面积忘记加绝对值，出现负数面积；已知面积求k忘记分类正负；（3）忽略“任意一点面积恒为|k|”，误以为只有特殊点成立；（4）多个点比大小不分类，思维不全面导致结果错误. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $