2026年暑假预习成果检测（1-3章）北师大版数学九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年北师大版九年级上册暑假预习检测卷，聚焦几何与代数融合，通过头盔销售、风筝测量等现实情境，梯度设计选择、填空、解答题，检测1-3章预习效果，体现几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似三角形性质、一元二次方程根的判别、菱形周长|结合网格图考查旋转与位似，强化空间观念| |填空题|5/15|韦达定理、直角三角形斜边中线、菱形判定|通过折叠问题渗透推理意识，衔接基础与提升| |解答题|7/55|方程求解、风筝高度计算、矩形折叠探究|以“晒衣架检测”“草莓园降价”为载体，培养模型意识与应用能力|

2026-2027学年北师大版版数学九年级上册暑假预习成果检测（1-3章） （考试时间：60分钟；满分100分） 一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 3．如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】先在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，从而得到的长度，进而得出和的长度，最后在直角三角形中用勾股定理求出的长度．本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是矩形 ∴ ，，， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 4．在菱形中，，对角线，则该菱形的周长为（     ） A．6 B．12 C．15 D．20 【答案】B 【分析】利用菱形四边相等的性质，结合已知角度判定等边三角形，求出边长后即可计算菱形周长． 【详解】解∶如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长为． 5．下列命题为假命题的是（     ） A．四边形内角和等于 B．平行四边形对角线互相平分 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．四个角相等的四边形是菱形 【答案】D 【详解】选项A，任意四边形的内角和均为，该命题为真命题，不符合题意； 选项B，平行四边形的对角线互相平分是平行四边形的基本性质，该命题为真命题，不符合题意； 选项C，矩形的四个角均为直角，若矩形有一组邻边相等，则满足正方形的判定条件，该命题为真命题，不符合题意； 选项D，四边形内角和为，若四个角相等，则每个角的度数为，四个角均为直角的四边形是矩形，不一定是菱形，该命题为假命题，符合题意。 6．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 7．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 8．如图，将一个边长为的正方形分成6个全等的矩形，若这6个矩形周长之和比原正方形的周长多48，则的值为（  ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据图形切割的特点，每切一刀，总周长增加两个切线长度，据此建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知正方形的边长为，由图可知，将正方形分成6个全等矩形，需要横向切2刀，纵向切1刀， 每切一刀，周长之和增加， 6个矩形的周长之和比原正方形周长多， 6个矩形周长之和比原正方形的周长多48， ， 解得：． 9．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到及，进而证得，通过构造直角三角形求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的周长为． 10．如图，等腰中， ，垂足为D，点O是线段上一点，点P是延长线上一点，若 ，给出下列结论：①点P、C、B在以点O为圆心，为半径的圆上；② ；③ 是等边三角形；④其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用等腰三角形“三线合一”及垂直平分线性质得出 ，结合已知 可得，从而判断①；利用等边对等角及角度和差关系判断②；通过三角形内角和定理计算的度数判断③；根据相似三角形的判定判断④． 【详解】解：连接 ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 点、 、 在以点 为圆心，为半径的圆上，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； 在 中，， 即， ， ， ， ， ， 是等边三角形，故③正确； 根据已知条件无法证明， 故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】3 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴． 12．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 13．如图，在 中，， ， ，点为斜边的中点，则_________． 【答案】5 【分析】根据勾股定理得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 由点为斜边的中点， ． 14．如图，的两条对角线相交于点O．已知的面积为，的长为，当的长为________时，是菱形． 【答案】 【分析】由菱形面积公式，解得，故． 【详解】解：由题意，若是菱形， 则的面积， ∵的面积为，的长为， ∴．解得． ∵四边形是菱形， ∴． 15．如图，在中，，，是角平分线．点为边上一点，连接，交于点，连接．若，则的长为_____． 【答案】或 【分析】过点作于点，先由等腰三角形的性质求出，则，然后分点在点的左侧和右侧两种情况，构造相似三角形求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴ 当点在左侧时，记作点， ∴ ∴， ∵平分 ∴ 过点作于点，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 当点在右侧时，记作点，则同理， ∴ 过点作交延长线于点，则， ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 同理可得， ∴ ∴， ∴ ∴， 综上：的长为或． 三．解答题(本大题有7小题，共55分) 16．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 移项得 配方得 即 开方得或 解得； （2） 移项得 变形得 提取公因式得 化简得 即或 解得． 17．如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列任务． (1)作图：以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到． (2)以点O为位似中心，在网格内作的位似图形，使与的位似比为． (3)的面积为______． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求作的图形． (2)解：如图所示，即为所求作的图形． (3)8 【分析】（1）根据旋转作图的步骤，逐步作图即可； （2）根据位似作图的步骤，逐步作图即可； （3）根据割补法求三角形的面积进行计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∴． 18．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 19．西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)该品牌头盔销售量的月增长率是______； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ 【答案】(1) (2)该品牌头盔每个售价应上涨10元 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润=（售价−进价）×销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意得， 整理得， 解得，， 因为尽可能让顾客得到实惠， 所以不合题意，舍去． 所以，元． 答：该品牌头盔每个售价应上涨10元． 20．目前，我区大面积种植草莓的优良品种“丰香”，“章妃”，“红颊”，这些草莓颗粒饱满，口感香甜，已成为了我区万元高效农业的一大典型经济作物，并带动了城乡旅游，某一草莓园的采摘套票售价为100元/张，成本为60元/张，每天平均有80人前来采摘．为吸引人气，打响品牌，扩大销售，某天草莓园采取了合理的降价措施．经调查发现，如果票价每下降1元，票数便可多售出2张，已知草莓园降价后，当天多销售了1000元． (1)降价后，草莓园当天销售多少元？ (2)草莓园采摘套票降价了多少元？ 【答案】(1)9000元 (2)10元 【分析】（1）降价后，草莓园当天销售钱数原来80人的销售价增加的1000元； （2）设草莓园采摘套票降价了x元，根据等量关系：（原来的票价降低的价格）（原来卖出的张数增加的张数），列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵原来的销售额为元，增加了1000元， ∴降价后，草莓园当天的销售额为（元）； （2）解：设草莓园采摘套票降价了x元，根据题意得： ， 解得：，， 当降价为50元时，票价为（元）， ∵， ∴此时小于成本价，降价措施不合理， ∴舍去， 答：降价了10元． 21．为实现核心素养导向的学习目标，走向综合性、实践性的课程学习变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题． 资料：如图，已知四边形为长方形，点，，，在同一直线上．某小组利用皮尺测得水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的同学的身高米． 数据应用： (1)求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置（上升过程中，线始终保持拉直状态），则还需要放出风筝线多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据长方形的性质得出直角三角形以及线段的长度，然后利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理求出，然后求出线段差即可． 【详解】（1）解：∵四边形为长方形， ∴， 由勾股定理得， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 由勾股定理得， ， ∴还需要放出风筝线米． 22．如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． (1)如图②，当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由． (2)如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 【答案】(1)添加条件：； (2)解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． (3)或 【分析】（1）由折叠可得，，当时，可得到，即可得出是等边三角形； （2）连接．由矩形的性质得到，由折叠得到，，，根据等角的余角相等得到，从而有，再证明，可得四边形是平行四边形，结合得出是菱形； （3）设，根据勾股定理构造方程，求得，设，在中根据勾股定理构造方程，求得，由即可解答． 【详解】（1）解：由折叠可得，， 当时，， ∴， ∴是等边三角形． （2）略 （3）解：①如图， 设，则， ∵由翻折有， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴在中，， 即， 解得， ∴， ∴． ②如图， 设，则， ∵由翻折有， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴在中，；在中，， ， 即， ， 解得， ∴， ∴． 第12页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版版数学九年级上册暑假预习成果检测（1-3章） （考试时间：60分钟；满分100分） 一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 4．在菱形中，，对角线，则该菱形的周长为（     ） A．6 B．12 C．15 D．20 5．下列命题为假命题的是（     ） A．四边形内角和等于 B．平行四边形对角线互相平分 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．四个角相等的四边形是菱形 6．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 7．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 8．如图，将一个边长为的正方形分成6个全等的矩形，若这6个矩形周长之和比原正方形的周长多48，则的值为（  ） A．6 B．8 C．12 D．16 9．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 10．如图，等腰中， ，垂足为D，点O是线段上一点，点P是延长线上一点，若 ，给出下列结论：①点P、C、B在以点O为圆心，为半径的圆上；② ；③ 是等边三角形；④其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．已知方程的两个根是和，则_________． 12．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 13．如图，在 中，， ， ，点为斜边的中点，则_________． 14．如图，的两条对角线相交于点O．已知的面积为，的长为，当的长为________时，是菱形． 15．如图，在中，，，是角平分线．点为边上一点，连接，交于点，连接．若，则的长为_____． 三．解答题(本大题有7小题，共55分) 16．（8分）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 17.（6分）如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列任务． (1)作图：以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到． (2)以点O为位似中心，在网格内作的位似图形，使与的位似比为． (3)的面积为______． 18.（6分）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 19.（8分）西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)该品牌头盔销售量的月增长率是______； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ 20.（6分）目前，我区大面积种植草莓的优良品种“丰香”，“章妃”，“红颊”，这些草莓颗粒饱满，口感香甜，已成为了我区万元高效农业的一大典型经济作物，并带动了城乡旅游，某一草莓园的采摘套票售价为100元/张，成本为60元/张，每天平均有80人前来采摘．为吸引人气，打响品牌，扩大销售，某天草莓园采取了合理的降价措施．经调查发现，如果票价每下降1元，票数便可多售出2张，已知草莓园降价后，当天多销售了1000元． (1)降价后，草莓园当天销售多少元？ (2)草莓园采摘套票降价了多少元？ 21．（9分）为实现核心素养导向的学习目标，走向综合性、实践性的课程学习变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题． 资料：如图，已知四边形为长方形，点，，，在同一直线上．某小组利用皮尺测得水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的同学的身高米． 数据应用： (1)求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置（上升过程中，线始终保持拉直状态），则还需要放出风筝线多少米？ 22．（10分）如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． (1)如图②，当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由． (2)如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 第6页 学科网（北京）股份有限公司 $