7 1.2 1.2.3 直线与平面的夹角 1.2.4　二面角-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的应用，核心讲解直线与平面的夹角、二面角的定义及计算。通过问题导思辨析概念（如线面角与线线角关系、二面角与两平面夹角区别），衔接空间向量基础，构建从概念理解到向量法求解的学习支架。 其亮点是以问题链驱动数学抽象（数学眼光），通过例题推导培养逻辑推理与数学运算（数学思维），向量法与几何法结合，用规范步骤表达（数学语言）。如正三棱柱线面角计算实例，助力学生提升素养，教师可直接参考方法技巧高效教学。

1.2.3　直线与平面的夹角 1.2.4　二面角 　 第一章　1.2　空间向量在立体几何中的应用 知识层面 1.理解斜线与平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合 理性．　 2.会求直线与平面的夹角．　 3.掌握二面角的概念、二面角的平面角的定义，会找一些简单图 形中的二面角的平面角．　 4.掌握求二面角的方法、步骤． 素养层面 通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养；通过学习二面角的概念及二面角的平面角，培养数学抽象素养；借助求二面角的方法和步骤的学习，提升逻辑推理、数学运算素养. 新知导学 1 课时测评 3 合作探究 2 内容索引 新知导学 返回 问题1. (1)直线与平面所成的角就是直线与平面内任一直线所成的角吗？ 问题导思 提示： 不是； (2)直线的方向向量与平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角吗？ 提示： 不是； 问题2. (1)两个平面的夹角与二面角的平面角有什么区别？ 提示：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 区别：二面角的范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是 . (2)两个平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？ 提示：两平面的夹角是两平面的法向量的夹角或其补角． 知识点一　直线与平面的夹角 1．直线与平面所成的角的分类 直线与平面所成的角，应分三种情况： 新知构建 90° 0° 射影 2．斜线与平面所成角 平面的斜线与它在平面内的射影所成的___，称为这条斜线与平面所成的角．例如，如图所示，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A′B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA′就是直线AB与平面α所成的角． 角 3．线线角、线面角的关系式 如图，AO为平面α的一条斜线段，O为斜足，AA1⊥平面α，A1为垂足，则OA1为斜线段AO在平面α内的射影，设OM为平面α内通过点O的任一条直线，OA与OA1所成的角为θ1，OA1与OM所成的角为θ2，OA与OM所成的角为θ，则cos θ＝___________． cos θ1cos θ2 4．最小角定理 斜线和它在平面内的______所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角． 5．用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ， 特别地，cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|. 射影 知识点二　二面角及其度量 1．二面角的定义及表示 (1)二面角的有关定义 ①半平面：平面内的一条直线把一个平面分为两部分，其中的每一部分都称为一个半平面． ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线叫做二面角的____，这两个半平面叫做二面角的____． 棱 面 (2)二面角的表示 棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α-l-β. 如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作A-l-B. 2．二面角的平面角 如图所示，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小，特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角． 注意：二面角的取值范围是___________，当两个半平面重合时，理解为0；当两个半平面在同一平面内，且延伸方向相反时，理解为π. [0，π] 3．用空间向量求二面角的大小 如果n1，n2分别是平面α1，α2的法向量，设α1与α2所成角的大小为θ.如图①②所示，可以看出θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉． 特别地，sin θ＝sin〈n1，n2〉． 微提醒 1．已知二面角α-l-β等于θ，异面直线a，b满足a⊂α，b⊂β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成的角等于 A．θ B．π－θ C. －θ D．θ或π－θ √ 自主检测 2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是 A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定 √ 3．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝ AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为 √ 4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面 ABCD所成的二面角的余弦值为__________． 返回 合作探究 返回 题型一　直线与平面所成的角 　　正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角． 例1 思路点拨　方法一：向量法：作出AC1在平面ABB1A1内的射影，利用向量直接求解． 方法二：向量法： 建系→ 求出相关 点的坐标 → →sin θ 所以MC1⊥AB，MC1⊥AA1， 又AB∩AA1＝A，所以MC1⊥平面ABB1A1. 所以∠C1AM即直线AC1与侧面ABB1A1所成的角． 设侧面ABB1A1的法向量为n＝(x，y，z)， 所以ay＝0且 az＝0，所以z＝y＝0，故n＝(1，0，0)为平面ABB1A1的一个法向量． 设AC1与侧面ABB1A1所成的角为θ， 即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°. 方法技巧 用向量法求线面角的步骤 1．分析图形关系，建立空间直角坐标系； 2．求出直线的方向向量a和平面的法向量n； 3．求出夹角〈a，n〉； 4．判断直线和平面所成的角θ和〈a，n〉的关系，求出角θ.　　 对点练1．(1)平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，则斜线l与平面α所成的角为 A．30° B．45° C．60° D．90° √ √ 题型二　二面角 　　 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°，AB＝2AD. (1)求证：平面PAD⊥平面PBD； 例2 思路点拨　令AD＝1，求出BD＝ ，从而AD⊥BD，进而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面PBD. 解：证明：在平行四边形ABCD中，令AD＝1， 在△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD， 又平面PAD⊥平面ABCD， 所以BD⊥平面PAD，BD⊂平面PBD， 所以平面PAD⊥平面PBD. (2)求二面角A-PB-C的余弦值． 思路点拨　以D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值． 解：由(1)得AD⊥BD，以D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， 设平面PBC的法向量m＝(a，b，c)， 由图形知二面角A-PB-C的平面角为钝角， 所以二面角A-PB-C的余弦值为－ . 方法技巧 1．求二面角的方法 方法技巧 2．向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤 对点练2．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； 证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形， 所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD. (2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值． 解：因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直． 如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝ ，OC＝1， 所以O(0，0，0)，B1( ，0，2)，C1(0，1，2)， 平面BDD1B1即为平面DOB1，易知平面BDD1B1的 一个法向量为n＝(0，1，0)， 设平面C1OB1的法向量为m＝(x，y，z)， 易错点　混淆二面角与面面角的大小 　　　已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，AD＝2a，则 平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为__________． 典例 易错精析 取x1＝1，y2＝1，可得n1＝(1，0，1)，n2＝(0，1，2)， 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．若平面α的一个法向量为m＝(1，0，1)，平面β的一个法向量为n＝ (－3，1，3)，则平面α与β的夹角等于 A．30° B．45° C．60° D．90° √ 因为m·n＝(1，0，1)·(－3，1，3)＝－3＋0＋3＝0，所以m⊥n，所以平面α与β的夹角等于90°.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．如图，在空间直角坐标系D-xyz中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E为C1D1的中点，则平面B1A1B与平面A1BE夹角的余弦值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是 A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60° √ 以D为坐标原点，分别以，，所在方向为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则可以证明AC1⊥面CB1D1，所以可以作为面CB1D1的法向量，所以C正确． √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a) (a>0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设直线PA与平面α所成的角为θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．(一题两空)如图，等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面 角C－AB－D的余弦值为 ，M，N分别是AC，BC的中点，则EM＝___， EM，AN所成角的余弦值为_____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图所示，过点C作CO⊥平面ABDE，垂足为O，取AB的中点F，连 接CF，OF，OA，OB，则∠CFO为二面角C-AB-D的平面角，所以 cos∠CFO＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A1-BD-C1的余弦值． 解：方法一：不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，取BD的中点E，连接A1E，C1E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二：不妨设正方体的棱长为1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令z＝1，则y＝－1，x＝1，所以n1＝(1，－1，1)是平面C1BD的一个法 向量． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点． (1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； 解：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， 设AC，A1C1 的中点分别为O，O1，连接OB，OO1， 则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB. 以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB＝AA1＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为P为A1B1的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 解：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， 设AC，A1C1 的中点分别为O，O1，连接OB，OO1， 则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB. 以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB＝AA1＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设直线CC1与平面AQC1所成角为θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则平面CBF与平面BFD夹角的正切值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)如图所示，已知正三棱柱ABC-A′B′C′的底面边长为2，高为4，D 是棱AA′的中点，E在棱BB′上，且EB＝ BB′，则截面CDE与底面A′B′C′所 成二面角的大小为__________． 45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝ . (1)求证：PD⊥平面PAB； 证明：因为平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD， 所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A， 所以PD⊥平面PAB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； 解：取AD的中点O，连接PO，CO. 因为PA＝PD，所以PO⊥AD. 又因为PO⊂平面PAD， 平面PAD⊥平面ABCD， 所以PO⊥平面ABCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO. 因为AC＝CD，所以CO⊥AD. 如图，建立空间直角坐标系O-xyz. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则 令z＝2，则x＝1，y＝－2. 所以n＝(1，－2，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：设M是棱PA上一点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知几何体EFG-ABCD，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上． (1)求证：BM⊥EF； 证明：因为四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形， 所以GD⊥DA，GD⊥DC. 又DA∩DC＝D，所以GD⊥平面ABCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 则B(1，1，0)，E(1，0，1)， F(0，1，1). 因为点M在棱DG上，故可设M(0，0，t)(0≤t≤1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°. 设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令z＝1，得x＝y＝1， 所以n＝(1，1，1)为平面BEF的一个法向量， 因为直线MB与平面BEF所成的角为45°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 空 间 向 量 与 立 体 几 何 返回 对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识： 1．斜线与平面的夹角范围是；而直线与平面的夹角范围是. 2．设在平面α内的射影为，且直线AB与平面α的夹角为θ，则||＝||·cos θ. 3．平面α的法向量n与AB所成的锐角θ1的余角θ就是直线AB与平面α所成的角．　　 A． B． C． D． 以A为坐标原点，AF所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，G(a，a，0)，C(0，2a，2a)，B(0，2a，0)，所以＝(a，a，0)，＝(0，2a，2a)，＝ (－a，a，0). 及平面ABB1A1 的法向量n的坐标 ＝|cos〈，n〉|→θ. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)， B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1，B1(0，a，a). 所以cos〈，n〉＝＝＝－. 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝，所以θ＝30°， 方法二：＝(0，a，0)，＝(0，0，a). 则n·＝0且n·＝0， 又＝， (2)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，AA1＝，则直线AA1与平面AB1C1所成的角为 A． B． C． D． 正解　建立如图所示的空间直角坐标系，则B(a，0，0)，C(a，2a，0)，P(0，0，a)，D(0，2a，0)，所以＝(0，2a，0)，＝(－a，0，a)，＝(－a，0，0)，＝(0，2a，－a). 设平面BPC、平面DPC的法向量分别为n1＝(x，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则有和 易错探因　本题易错的地方是认为平面BPC与平面DPC的夹角就是二面角B-PC-D，得到错解：求得cos〈n1，n2〉＝＝后，观察图形知二面角B-PC-D为钝角，得平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为－. 事实上，二面角的取值范围是[0，π]，面面角的取值范围是，不要将两者混淆了． 1．已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，且cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为 A． B． C． D． 7．已知A∈α，P∉α，＝，，平面α的一个法向量n＝，则直线PA与平面α所成的角为__________． 建立如图所示空间直角坐标系，则E，A，B，C，M，N，所以＝，＝，所以EM＝||＝ ＝，AN＝||＝，cos〈，〉＝＝. 因为△BDA1和△BDC1都是正三角形，所以A1E⊥BD，C1E⊥BD.故∠A1EC1是二面角A1－BD－C1的平面角，即与的夹角． ||＝ ＝，||＝ ＝， ·＝－－＋1＝， 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，所以＝(1，1，0)，＝(0，1，1).设平面C1BD的法向量为n1＝(x，y，z)， 同理，可求得平面A1BD的一个法向量n2＝(－1，1，1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝－. 所以A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2). 所以A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2). 由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1).则＝(0，－1，－1)，＝(2，0，－1)，＝(0，－1，1). (3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 因为BM⊄平面PCD，所以要使BM∥平面PCD，当且仅当·n＝0，即 (－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0. 14．(5分)三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足＝λ，当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为 所以当点M位于棱DG上，且DM＝3－4时，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°. $