暑假专题：三角形的再认识（综合训练）-2026-2027学年五年级上册数学北师大版

**基本信息** 以三角形核心性质为统领，通过分层题型系统整合三边关系、内角和定理及特殊三角形性质，强化推理意识与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三边关系|填空1-4/9-10/14/15/27-28|分类讨论+三边关系检验|从基本关系到等腰三角形多解问题，构建“性质-应用-易错点”链条| |内角和定理|填空5-6/8/11-13/16-17/20-26|方程思想+内角和公式|从三角形内角和到多边形内角和拓展，体现归纳推理|

暑假专题：三角形的再认识 一、填空题 1．小雪用三根小棒围成了一个等腰三角形，其中两根小棒如下图，第三根小棒的长度是( )cm。 2．一根铁丝长30cm，如果要做成一个三角形，那么最长的一条边的长度应小于( )cm。 3．芳芳想用3根长度都是整厘米数的小棒围三角形，其中两根小棒的长度分别是5厘米和8厘米，围成的三角形周长最大是( )厘米，最小是( )厘米。 4．等腰三角形的一个底角是80°，它的顶角是( )°；两根木条分别长14cm和7cm，再添一根木条就可以钉成一个周长( )cm的等腰三角形。 5．一个三角形中最大内角的度数是最小内角的5倍，另一个内角的度数是最小内角的3倍，那么这个三角形最大角的度数是( )。 6．一个等腰三角形的顶角是，底角是( )，它的底边长16cm，腰长9cm，它的周长是( )cm。 7．如图所示，小思从学校出发到研学基地走( )号路线近一些，因为( )。 8．临临在探究三角形内角和时把三角形纸片撕成三个角，不小心和同桌平平的一个角混在了一起，那么图中( )°的角是平平的。 9．笑笑现有长度分别为、、、的四根钢筋余料，他想从中任取三根焊接成一个三角板框架，可以选择的方法有( )种。 10．芳芳从长为3cm、5cm、8cm、10cm的四根小棒中，挑选三根围成一个三角形。若选择长为3cm和8cm的两根，则另外一根应选择( )cm；若选择长为5cm和10cm的两根，则另外一根应选择( )cm。 11．如图①，将三角形的一个角剪掉，剩下图形的内角和是( )°；如图②，将剩下的两个角也剪掉后，剩下图形的内角和是( )°。 二、选择题 12．用10倍放大镜看景区三角形警示牌，其内角和是（    ）°。 A．180 B．360 C．1800 13．有一个直角三角形，两个锐角分别是（    ）。 A．48°和52° B．38°和42° C．47°和43° 14．下面各组中的数据代表小棒的长度，不能围成三角形的是（    ）组。 A．5cm，5cm，8cm B．6cm，8cm，10cm C．8cm，8cm，16cm 15．一个等腰三角形相邻的两条边是8厘米和18厘米，这个等腰三角形的周长是（    ）厘米。 A．34 B．44 C．34或44 16．三角形的内角和是（    ）。 A．360° B．90° C．180° 三、判断题 17．楼顶钝角飞檐装饰三角，钝角三角形两个内角相加不可能等于90°。( ) 18．小明用三根长度分别为3cm、5cm、9cm的小棒，可以围成一个三角形。( ) 19．用2根长4cm和1根长8cm的铁丝刚好可以围成一个等腰三角形。( ) 20．在一个直角三角形中，一个锐角是48°，则另一个锐角是52°。( ) 21．用一根长59厘米的铁丝能围成一个有一条边是30厘米的三角形。( ) 四、计算题 22．计算下列各角的度数。 五、解答题 23．三角形一个内角是42度，是另一个内角度数的一半，第三个内角多少度？ 24．丽丽家有一个直角三角形的小花园，这个花园中最大角的度数恰好是最小角的3倍，这个花园的两个锐角的度数分别是多少？ 25．一个三角形花坛，花坛的最大角是120°，是最小角的6倍，这个三角形花坛的第三个角是多少度？按角分，这个花坛的形状是什么三角形？ 26．张老师制作了一个直角三角形的学具，这个学具的一个锐角是35度，则这个学具的另一个锐角是多少度？ 27．若一个等腰三角形其中两条边的长分别是5分米和12分米，则这个等腰三角形的周长是多少分米？ 28．木匠王叔叔要用木条做一个等腰三角形的框架，它的一条边长是5分米，另一条边长是9分米。王叔叔至少需要多长的木条？ 29．仔细观察，找规律填一填。 图形 …… 内角和 180° 180°×2＝360° （1）内角和是1260°的图形是（    ）边形。 （2）n边形的内角和是（    ）。 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．6 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等，据此确定第三根小棒的长度有两种可能，即3cm或6cm；再利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）进行检验，排除不符合题意的情况。 【详解】情况一：假设第三根小棒长3cm。 此时三边长度分别为3cm、3cm、6cm。 两条较短边的和：3＋3＝6（cm） 因为6＝6，即两边之和等于第三边，不满足“大于”的条件，所以这三根小棒不能围成三角形。此情况舍去。 情况二：假设第三根小棒长6cm。此时三边长度分别为3cm、6cm、6cm。 两条较短边的和：3＋6＝9（cm）。 因为9＞6，满足任意两边之和大于第三边，可以围成三角形。 因此，第三根小棒的长度只能是6cm。 2．15 【分析】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边。可以把这根30cm长的铁丝的总长度看作三角形三条边的和，如果最长边长度等于或超过15cm，那剩下两条边的长度加起来就会等于或小于15cm，没法满足“两边之和大于第三边”的要求，所以最长的边必须小于总长度的一半。 【详解】30÷2＝15（cm） 最长的一条边的长度应小于15cm。 3． 25 17 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求第三边的最大长度： 已知两根小棒长5厘米和8厘米，它们的和是5＋8＝13厘米，第三边必须比13厘米小，又因为小棒长度是整厘米数，所以第三边最长只能是12厘米，求出周长即可。再求第三边的最小长度： 我们也可以换个角度看三边关系，第三边还要比两根小棒的长度差大，8－5＝3厘米，第三边必须比3厘米大，取整厘米数的话，第三边最短是4厘米，求出周长即可。 【详解】5＋8＝13（厘米） 13－1＝12（厘米） 5＋8＋12 ＝13＋12 ＝25（厘米） 8－5＝3（厘米） 3＋1＝4（厘米） 5＋8＋4 ＝13＋4 ＝17（厘米） 围成的三角形周长最大是25厘米，最小是17厘米。 4． 【分析】等腰三角形的特征是有两个腰相等，有两个底角相等。在没有说明这个木条的长是腰还是底边的时候有两种情况，再根据三角形的三边关系，判断三角形是否存在。 【详解】 当7cm是腰长时，此时三边长分别为7cm、7cm、14cm。 7＋7＝14（cm） 两边之和等于第三边，不能构成三角形，所以这种情况不成立。 当14cm是腰时，此时三边长分别为14cm、14cm、7cm。 14＋7＝21（cm） 大于第三边14cm。满足三角形三边关系，可以构成等腰三角形。 周长：14＋14＋7＝35（cm） 5．100°/100度 【分析】根据题意，最小内角的度数是1份，最大的内角度数就是5份，另一个内角的度数就是3份，三角形内角和共1＋5＋3＝9（份），因为三角形内角和是180°，所以用内角和度数÷内角和份数，求出一份角的度数，再用一份角的度数×5求出最大角的度数。 【详解】180°÷（1＋5＋3） ＝180°÷（6＋3） ＝180°÷9 ＝20° 20°×5＝100° 那么这个三角形最大角的度数是100°。 6． 81 34 【分析】三角形内角和等于180°，等腰三角形的两个底角相等，所以180°减顶角的度数等于2个底角的度数和，再除以2即等于一个底角的度数；等腰三角形的两腰相等，一条腰长是9cm，另一条腰的长也为9cm，底边长是16cm，然后根据三角形的周长等于三边长度之和，求出这个等腰三角形的周长是多少即可。 【详解】（180°－18°）÷2 ＝162°÷2 ＝81° 9×2＋16 ＝18＋16 ＝34（cm） 因此，一个等腰三角形的顶角是18°，底角是81°，它的底边长16cm，腰长9cm，它的周长是34cm。 7． ② 三角形的两边之和大于第三边 【分析】根据题意可知，学校、①号路线途经点、研学基地三点构成三角形，①号路线长度为该三角形两条边的长度和，②号路线为该三角形的第三条边；根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，则②号路线一定小于①号路线，据此填空即可。 【详解】由分析得： 从学校去研学基地走②号路线近一些；因为：三角形的两边之和大于第三边。（答案不唯一） 8．60 【分析】三角形的内角和是180°，找出三个和是180度的角，剩下的就是平平的角。 【详解】因为53°＋50°＋77°＝180°，所以60°的角是平平的。 9． 3 【分析】根据三角形的特性，三角形任意两边之和大于第三边。解题时，首先需要列举出从四根钢筋中任取三根的所有组合情况，分别验证每组中较短的两根长度之和是否大于最长的一根长度，从而确定能围成三角形的方法有多少种。 【详解】选2cm、3cm、4cm：2＋3＞4，符合要求，能拼成三角形。 选2cm、3cm、5cm：2＋3＝5，不符合要求，不能拼成三角形。 选2cm、4cm、5cm：2＋4＞5，符合要求，能拼成三角形。 选3cm、4cm、5cm：3＋4＞5，符合要求，能拼成三角形。 从中任取三根焊接成一个三角板框架，可以选择的方法有3种。 10． 10 8 【分析】依据三角形任意两边之和大于第三边，分别对两种情况中剩余的小棒进行验证，判断其与已选两根小棒能否满足三边关系，从而确定第三根小棒的长度。 【详解】若选择长为和的两根小棒： 剩余小棒长度为和。当第三根为时，，两边之和等于第三边，不能围成三角形； 当第三根为时，，，能围成三角形。 故另外一根应选择。 若选择长为和的两根小棒： 剩余小棒长度为和。当第三根为时，，，两边之和小于第三边，不能围成三角形；当第三根为时，，，能围成三角形。故另外一根应选择。 11． 360 720 【分析】图①将三角形的一个角剪掉，剩下图形是一个四边形，图②，将剩下的两个角也剪掉后，剩下图形是一个六边形。 多边形的内角和＝180°×（边数－2），据此即可解答。 【详解】180°×（4－2） ＝180°×2 ＝360° 如图①，将三角形的一个角剪掉，剩下图形的内角和是360°。 180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° 如图②，将剩下的两个角也剪掉后，剩下图形的内角和是720°。 12．A 【分析】用放大镜放大一个三角形，三角形的边长变长了，但是每个角度的大小都没变，内角和也不会变，据此解答。 【详解】放大镜不改变内角和，三角形警示牌内角和是180°。 13．C 【分析】直角三角形两个锐角的和是，计算各选项两个角度的和即可判断。 【详解】A．，不符合要求。 B．，不符合要求。 C．，符合要求。 14．C 【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。也就是说，如果三条线段的长度分别为a、b、c，那么要能围成三角形，必须满足a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，在实际判断时，通常只需判断较短两边之和是否大于第三边即可。逐项判断能否组成三角形。 【详解】A．，满足三边关系，能围成三角形。 B．，满足三边关系，能围成三角形。 C．，两边之和等于第三边，不满足三边关系，不能围成三角形。 15．B 【分析】由题意可知，根据等腰三角形的性质，第三条边的长度可能是8厘米或18厘米。再根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，排除不能组成三角形的情况，再计算周长并选择正确选项。 【详解】第一种情况：当第三条边长为8厘米时，三边长分别为8厘米、8厘米、18厘米。因为，，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。 第二种情况：当第三条边长为18厘米时，三边长分别为18厘米、18厘米、8厘米。因为，，符合三角形任意两边之和大于第三边，所以能组成三角形。 此时三角形的周长为：（厘米）。 16．C 【分析】把任意三角形的三个内角剪下来拼在一起，都能刚好拼成一个平角，平角的度数是180°，即任意三角形的内角和都是180°。据此选择即可。 【详解】三角形的内角和为180°。 17．√ 【分析】三角形内角和为，钝角三角形有一个内角大于，其余两个内角的和必然小于。 【详解】根据分析可知： 另外两个内角的和为：； 因为，所以，即两个内角相加不可能等于。 故答案为：√ 18．× 【分析】由三角形的三边关系可知，三角形的任意两边之和大于第三条边，任意两边之差小于第三条边，据此解答。 【详解】3＋5＝8，8＜9，不符合三角形任意两边之和大于第三边的要求，不能围成三角形。 故答案为：× 19．× 【分析】围成三角形的必要条件是任意两边之和大于第三边。本题中给出的三条线段长度分别为4cm、4cm、8cm，需验证两条较短边的和是否大于最长边。 【详解】 因为 ，即两边之和等于第三边，不满足大于第三边的条件，不能围成三角形。 故答案为：× 20． × 【分析】三角形内角和是，直角三角形有一个角是，用内角和减去直角的度数，再减去已知锐角的度数，就能得到另一个锐角的度数，据此判断即可。 【详解】 所以另一个锐角是，原题说法错误。 故答案为：× 21． × 【分析】铁丝总长59厘米为三角形周长，若一条边长30厘米，先求出剩余两边的和，再根据三角形三边关系判断即可。 【详解】（厘米） 剩余两边之和为29厘米，根据三角形三边关系，任意两边之和需大于第三边，此时29＜30，因此无法围成这样的三角形。 故答案为：× 22．33°；36°；50° 【分析】三角形的内角和是180°，知道两个角的度数求另一个角的度数，用180°分别减去知道的两个角的度数即可。 【详解】180°－90°－57° ＝90°－57° ＝33° 180°－101°－43° ＝79°－43° ＝36° 180°－65°－65° ＝115°－65° ＝50° 23．54度 【分析】42度是另一个内角度数的一半，42度乘2等于另一个内角的度数，再利用三角形内角和为180度，减去两个已知内角的度数，得到第三个内角的度数。 【详解】42×2＝84（度） 180－42－84 ＝138－84 ＝54（度） 答：第三个内角54度。 24． 和 【分析】先根据直角三角形的特征确定最大角是的直角，结合最大角是最小角的3倍求出最小锐角，再利用三角形内角和为算出另一个锐角的度数。 【详解】直角三角形的最大角是直角，度数为。 最小锐角的度数：（度） 另一个锐角的度数：（度） 答：这个花园的两个锐角的度数分别是和。 25．40°；钝角三角形。 【分析】已知三角形内角和是180°，最大角是120°，且是最小角的6倍，首先利用除法求出最小角的度数，然后用内角和减去最大角和最小角求出第三个角的度数。最后根据最大角是钝角来判断三角形的形状。 【详解】120÷6＝20° 180°－120°－20°＝60°－20°＝40° 因为最大角是120°，120°＞90°是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。 答：这个三角形花坛的第三个角是40°；按角分，这个花坛的形状是钝角三角形。 26．55度 【分析】三角形内角和是180度，直角三角形有一个角是直角90度，已知另一个角是35度，利用减法求出第三个角。 【详解】180－90－35 ＝90－35 ＝55（度） 答：这个学具的另一个锐角是55度。 27．29分米 【分析】等腰三角形有两条边长相等，所以分两种情况：腰＝5分米或腰＝12分米；再根据三角形三边关系：任意两边之和＞第三边，排除不成立的情况，最后算周长。 【详解】情况1：腰长5分米，底12分米 5＋5＝10（分米） 10＜12，不满足三边关系，不能围成三角形，舍去。 情况2：腰长12分米，底5分米 12＋5＝17（分米） 17＞12，12＋12＝24＞5，符合三边关系。 周长：12＋12＋5 ＝24＋5 ＝29（分米） 答：周长是29分米。 28．19分米 【分析】先确定等腰三角形的腰长和底边长的两种可能情况，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算两种情况下，需要木条的总长度并比较得出最小值。 等腰三角形两条腰长度相等，情况一：若腰长为5分米，则另一条腰长也为5分米，底边长为9分米。根据三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）判断能否构成三角形，再计算木条的总长度。三条边长度分别为5分米，5分米，9分米，因为（分米），，满足两边之和大于第三边，再把三条边的长度相加即可算出木条的总长度； 情况二：若腰长为9分米，则另一条腰长也为9分米，底边长为5分米。同样根据三角形三边关系判断能否构成三角形，三条边长度分别为9分米，9分米，5分米，因为（分米），，满足两边之和大于第三边，再把三条边的长度相加即可算出木条的总长度，据此解答。 【详解】情况一：木条的总长度为： （分米） 情况二：木条的总长度为： （分米） 答：王叔叔至少需要19分米的木条。 【点睛】先确定等腰三角形的腰长和底边长的两种可能情况，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算木条的总长度，是解题的关键。 29． 图形 …… 内角和 180° 180°×2＝360° 180°×3＝540° 180°×4＝720° （1）九 （2）180°×（n－2） 【分析】三角形的内角和是180°，要求多边形的内角和，可以把多边形分成三角形，分成的三角形的个数比边数少2，再用三角形的内角和180°乘分成的三角形的个数，即可求出多边形的内角和。 （1）用多边形的内角和1260°除以180°，求出分成三角形的个数，再加2，求出多边形的边数，即可解答。 （2）根据图形规律，先用多边形的边数n减去2，求出分成三角形的个数，再用三角形的内角和180°乘分成三角形的个数，即可表示出n边形的内角和。 【详解】五边形内角和： 180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 六边形内角和： 180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° （1）1260°÷180°＋2 ＝7＋2 ＝9 所以，内角和是1260°的图形是九边形。 （2）n边形的内角和是：180°×（n－2）。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $