25.1一元二次方程的概念 课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件围绕一元二次方程的概念、一般形式及根的意义展开，通过“温故知新”回顾一元一次方程三要素与一般形式，再结合矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛等生活实例引出方程，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以生活问题为载体培养模型观念，通过对比一元一次与一元二次方程的异同强化概念理解，分层练习涵盖实际应用与概念辨析。既帮助学生用数学眼光观察现实、用数学思维构建知识，又为教师提供清晰的教学路径，提升课堂效率。

第二十五章 一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 学习目标： 1.能根据具体问题中的数量关系列一元二次方程，经历由具体问题列一元二次方程的过程,建立模型观念. 2.理解一元二次方程的定义及其一般形式，会将一元二次方程化为一般形式，并能说出各项的名称. 3.理解一元二次方程的根的意义，会检验一个数是不是一元二次方程的根. 温故知新 ax + b = 0 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有 叫作方程. 2. 一元一次方程的三要素是什么？ ①只含一个未知数 ②未知数的指数是一次 ③方程的两边都是整式 一元一次方程 二元一次方程（组） 分式方程 整式方程 未知数的等式 其中 a、b 为常数，且 a ≠ 0。 a 是未知数 x 的系数，b 是常数项 3.一元一次方程一般形式如何表示？ 问题1：如图1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 链接生活 解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为（100 − 2x）cm，宽为（50 − 2x）cm.根据方盒的底面积为 3600 cm2，可列得方程 图1 图2 3600 cm2 100 cm 50 cm (100−2x)(50−2x) = 3600. 整理并化简，得 x2−75x+350 = 0. ① 链接生活 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c = 0（a ≠ 0） ax2 a bx b c 新知小结1 问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程 整理并化简，得 x2−x−56 = 0. ② 链接生活 问题3：在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ A B C 解：设雕像腰部以下的身长 BC 为 x m，根据题意可列得方程 x2 = 5(5−x). 整理并化简，得 x2+5x−25 = 0. ③ 链接生活 方程①②③是一元一次方程吗？它们有什么共同特点呢？ x2−75x+350 = 0 ① x2−x−56 = 0 ② x2+5x−25 = 0 ③ 特点： 1.分母中不含未知数，都是整式方程； 2.只含一个未知数； 3.未知数的最高次数是2. 探索新知 想一想：为什么一般形式中 ax2+bx+c = 0 要规定 a≠0？b、c可以为0吗？ 当a=0时 bx+c=0 一元一次方程 当a≠0，b=0时 ax2+c=0 一元二次方程 当a≠0，c=0时 ax2+bx=0 一元二次方程 当a≠0，b=c=0时 ax2=0 一元二次方程 总结：只要满足a≠0，b、c可以为任意实数. 理解新知 类比知识 一元一次方程与一元二次方程的区别与联系 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 ax+b=0（a≠0） ax2+bx+c=0（a≠0） 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 新知小结2 判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 (代入检验法） 数 代入方程 左边=右边 左边≠右边 是方程的解 不是方程的解 例 2.一元二次方程 3x2=5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，–5 D. 5，0 B C 例题分析 例2. 将方程 3x(x–1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2–3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2–8x–10=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为–8，常数项为–10. 注意：系数和项均包含前面的符号. 例题分析 试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根? – 4， –3， –2， –1，0，1，2，3，4 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x2 – x – 6 14 6 0 – 4 – 6 – 6 – 4 0 6 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的解（根）. 探究2：一元二次方程的根 例3.已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值. 解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得 32 + 3a + a = 0. 已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的方程，然后解这个方程，就能得到字母的值. 小结3 例题分析 类比分析 实际问题 解(根) 一元二次方程 定义 表示 引出 方程中只含有一个未知数，且含有未知数 的式子都是整式，未知数的最高次数是2 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0) 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 课堂小结 x＝－2 B 1.若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为_____． 2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c = 0（a ≠ 0）满足4a-2b+c=0，则此方程必有一根为_____ 3.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2 +x+a2-1=0的常数项是0，则a为（ ） A.1 B.-1 C. 1或-1 D.0.5 2 分层练习 分层练习 4.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 5x2−1=4x； (2) 4x2=81； (3) 4x(x+2)=25； (4) (3x−2)(x+1)=5x−2. 解：(1)一般形式为5x2-4x-1=0. 二次项系数为5；一次项系数为-4；常数项为-1. (2)一般形式为4x2-81=0. 二次项系数为4；一次项系数为0；常数项为-81. 分层练习 5.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 5x2−1=4x； (2) 4x2=81； (3) 4x(x+2)=25； (4) (3x−2)(x+1)=5x−2. 解：(3)一般形式为4x2+8x-25=0. 二次项系数为4；一次项系数为8；常数项为-25. (4)一般形式为3x2-4x=0. 二次项系数为3；一次项系数为-4；常数项为0. 6. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 解：(1)设正方形的边长为x, 根据题意，得4x2=25, 一般形式为4x2-25=0. 分层练习 解：(2)设矩形的长为x，则宽为x-2， 根据题意，得x(x-2)=100, 一般形式为x2-2x-100=0. 6. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 分层练习 解：(3)设较短一段的长为x m，则较长一段的长为(1-x) m, 根据题意，得x=(1-x)2, 一般形式为x2-3x+1=0. 6. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 分层练习 7.已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2－2bx＋a－c＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长，如果该方程的一个根是x＝1，试判断△ABC的形状，并说明理由． 解：△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵方程(a＋c)x2－2bx＋a－c＝0的一个根是x＝1， ∴a＋c－2b＋a－c＝0，即2a－2b＝0． ∴a＝b． ∴△ABC是等腰三角形． 拓展练习 $