25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的意义，通过知识回顾方程与一元一次方程知识，结合矩形铁皮制作方盒等实际问题引导列方程，对比旧知引出新知，构建学习支架。 其亮点是以现实问题情境培养模型观念，通过对比辨析发展推理意识，即时练习强化应用。如用排球邀请赛问题抽象方程，检验根的过程培养数学思维，帮助学生建立知识联系，教师可直接使用实例提升教学效率。

第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 学习目标 1.能根据具体问题中的数量关系列一元二次方程，经历由具体问题列一元二次方程的过程,建立模型观念. 2.理解一元二次方程的定义及其一般形式，会将一元二次方程化为一般形式，并能说出各项的名称. 3.理解一元二次方程的根的意义，会检验一个数是不是一元二次方程的根. 知识回顾 ax + b = 0 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有 叫作方程. 2. 一元一次方程的三要素是什么？ ①只含一个未知数 ②未知数的指数是一次 ③方程的两边都是整式 一元一次方程 二元一次方程（组） 分式方程 整式方程 未知数的等式 其中 a、b 为常数，且 a ≠ 0。 a 是未知数 x 的系数，b 是常数项 3.一元一次方程一般形式如何表示？ 问题1：如图1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 探索新知 解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为（100 − 2x）cm，宽为（50 − 2x）cm.根据方盒的底面积为 3600 cm2，可列得方程 图1 图2 3600 cm2 100 cm 50 cm (100−2x)(50−2x) = 3600. 整理并化简，得 x2−75x+350 = 0. ① 探索新知 问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程 整理并化简，得 x2−x−56 = 0. ② 探索新知 问题3：在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ A B C 解：设雕像腰部以下的身长 BC 为 x m，根据题意可列得方程 x2 = 5(5−x). 整理并化简，得 x2+5x−25 = 0. ③ 探索新知 方程①②③都不是一元一次方程.那么这几个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ x2−75x+350 = 0 ① x2−x−56 = 0 ② x2+5x−25 = 0 ③ 特点： 1.都是整式方程； 2.只含一个未知数； 3.未知数的最高次数是2. 探索新知 思考 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c = 0（a ≠ 0） ax2 a bx b c 新知小结 想一想：为什么一般形式中 ax2+bx+c = 0 要规定 a≠0？b、c可以为0吗？ 当a=0时 bx+c=0 一元一次方程 当a≠0，b=0时 ax2+c=0 一元二次方程 当a≠0，c=0时 ax2+bx=0 一元二次方程 当a≠0，b=c=0时 ax2=0 一元二次方程 总结：只要满足a≠0，b、c可以为任意实数. 新知小结 下列方程是一元二次方程的有（ ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 即时即练 B ① ，是一元二次方程； ② ，是一元二次方程； ③ ，不是整式方程，不是一元二次方程； ④ ，含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1，不是一元二次方程； 探索新知 一元一次方程与一元二次方程的区别与联系 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 ax+b=0（a≠0） ax2+bx+c=0（a≠0） 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 例 将方程 3x(x–1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2–3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2–8x–10=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为–8，常数项为–10. 注意：系数和项均包含前面的符号. 例题分析 原方程 一般形式 确定各项及各项系数(不要漏掉符号) 去分母、去括号、 移项、合并同类项 通常将二次项系数化为正数 确定一元二次方程各项及各项系数的一般步骤 特别地，当没有一次项或常数项时，其对应项的系数为0 新知小结 即时即练 把一元二次方程(x+2)(x-2)=4x化成一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. A 下列哪些数是一元二次方程 x2–4x+3=0 的解？为什么？ – 1，0，1，2，3. 探索新知 解：当x=-1时，左边=(-1)2-4×(-1)+3=8， ∵左边≠右边， ∴-1不是方程x2-4x+3=0的解； 当x=0时，左边=0-0+3=3， ∵左边≠右边， ∴0不是方程x2-4x+3=0的解； 解：当x=1时，左边=12-4×1+3=0， ∵左边=右边， ∴1是方程x2-4x+3=0的解； 当x=3时，左边=32-4×3+3=0， ∵左边=右边， ∴3是方程x2-4x+3=0的解. 综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x+3=0的解. 下列哪些数是一元二次方程 x2–4x+3=0 的解？为什么？ – 1，0，1，2，3. 探索新知 √ √ 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 新知小结 判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 (代入检验法） 数 代入方程 左边=右边 左边≠右边 是方程的解 不是方程的解 课堂小结 一元二次方程 定义 一般形式 一元二次方程的根(解) 1 2 只含有__个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是__(二次) 的方程 ax2 + bx + c = 0(a___0) ≠ 相等 使方程左右两边____的未知数的值 课堂练习 1.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 5x2−1=4x； (2) 4x2=81； (3) 4x(x+2)=25； (4) (3x−2)(x+1)=5x−2. 解：(1)一般形式为5x2-4x-1=0. 二次项系数为5；一次项系数为-4；常数项为-1. (2)一般形式为4x2-81=0. 二次项系数为4；一次项系数为0；常数项为-81. （选自教材第3页 练习 第1题） 课堂练习 1.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 5x2−1=4x； (2) 4x2=81； (3) 4x(x+2)=25； (4) (3x−2)(x+1)=5x−2. 解：(3)一般形式为4x2+8x-25=0. 二次项系数为4；一次项系数为8；常数项为-25. (4)一般形式为3x2-4x=0. 二次项系数为3；一次项系数为-4；常数项为0. （选自教材第3页 练习 第1题） 2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 解：(1)设正方形的边长为x, 根据题意，得4x2=25, 一般形式为4x2-25=0. 课堂练习 （选自教材第3页 练习 第2题） 解：(2)设矩形的长为x，则宽为x-2， 根据题意，得x(x-2)=100, 一般形式为x2-2x-100=0. 2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 课堂练习 （选自教材第3页 练习 第2题） 解：(3)设较短一段的长为x m，则较长一段的长为(1-x) m, 根据题意，得x=(1-x)2, 一般形式为x2-3x+1=0. 2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 课堂练习 （选自教材第3页 练习 第2题） $