25.2.1配方法（第2课时 配方法）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦配方法解一元二次方程，通过回顾完全平方公式和直接开平方法，以问题链引导学生将一般方程转化为(x+n)²=p形式，搭建从旧知到新知的学习支架，系统覆盖二次项系数为1和不为1的求解及根的判断。 其亮点在于分层探究与规范步骤结合，通过“议一议”分析p值与根的关系培养推理意识，典例和真题强化数学语言表达，拓展提升渗透换元法发展创新意识。学生能提升逻辑推理能力，教师可直接用于教学提高效率。

25.2降次----解一元二次方程 25.2.1 配方法 第2课时 配方法 第二十五章 一 元 二 次 方 程 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 熟练掌握用配方法解二次项系数为1、不为1的一元二次方程的完整步骤；能通过配方变形将一元二次方程化为 的标准形式，并根据 的取值判断方程根的情况. 经历“观察方程、变形化简、配方凑形、开方求解”的探究过程，归纳配方法通用解题流程，提升代数变形、归纳总结和逻辑推理能力. 体会数学转化思想的简洁性，感受代数变形的逻辑性和规律性；通过分层探究、合作交流，增强自主探究意识和数学学习自信心. 知识回顾 1.还记得完全平方公式吗? 乘法公式形式： (a ± b)² = a² ± 2ab + b² 将两个相同的二项式相乘，转化为三项式 两数的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，等于两个数的和（或差）的平方， 逆向应用公式形式： a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 将三项式化为两数和（或差）的平方形式， 将特殊的二次三项式改为完全平方式 知识回顾 填空： （1）x2 + 10x + ___ = ( x + ___ )2； （2）x2 – 12x + ___ = ( x – ___ )2； （3）x2 + 5x + ___ = ( x + ___ )2； （4）x2 – x + ___ = ( x – ___ )2. 25 5 36 6 观察这几个式子，你发现了什么规律？ x2±2mx+(m)2=(x±m)2 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 1、直接开平方法解一元二次方程适合什么形式方程？ 适用形式：方程形如 x² = p 或 (mx + n)² = p (p ≥ 0)。 3. 如何用直接开平方法解方程？ 导入新课 4.将化为一般形式 . x2+6x+4=0 5. 你能将方程x2+6x+4=0转化为(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解吗？ 求解思路：根据平方根的意义，直接对等式两边开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。 再加上9 就可转化为 新知探究 探究点1 探究二次项系数为1的方程配方解法 活 动 （1）能否将方程转化为，转化的关键是什么？ 方法：方程左右两边同时加上9，左边转化为：，再移项 用配方法解方程 . . 关键是将方程左边转化为一个完全平方式. 新知探究 探究点1 探究二次项系数为1的方程配方解法 活 动 用配方法解方程 . （2）将方程转化为左边转化为一个完全平方式，右边为常数的形式，你能说出个步骤理由吗？ 解： 1. 移项：将常数项移到方程右侧 方便后面的计算 . 2.配方：两边加一次项系数一半的平方 ； 3.整理方程为（x+m）² = p 4.开平方求解： x+m=± 关键点： 配方的关键在于“方程两边同时加上一次项系数一半的平方” 新知探究 探究点1 探究二次项系数为1的方程配方解法 活 动 用配方法解方程 . 使左边配成 x2+2mx+m2的形式 方程两边同加上9 解: 移项 x2+6x=-4 x2+6x+9=-4+9 左边写成完全平方形式 (x+3)2=5 开方降次 方程两边同时开平方 整理方程： x+3=，或x+3= 解一次方程 方程的解为： x1=－3+ ，x2=－3－ 规范解答 8 新知探究 探究点1 探究二次项系数为1的方程配方解法 议一议 通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 对于二次项系数为1的一元二次方程，通过配方把方程化为 (x+n)2=p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解. 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 二次项系数为1，形如 一元二次方程解法——配方法 基本思路： 配方前提： 配方方法： 新知探究 探究点2 探究二次项系数不为1的方程配方解法 活 动 （3）尝试用配方法解这个方程 （1）此方程与例上面讲的方程有何不同？ 二次项系数不为1 (2)如何转化为二次项系数为1的方程形式？ 方程两边同时除以2，得： ； 移项： ； 两边加，得：； 解得：，. 在方程的两边同时除以二次项系数 用配方法解方程. 1. 二次项系数化为1： 2. 移项： 3. 配方： 4. 开方求解： 新知探究 探究点3 归纳配方法通用解题步骤 归 一归 配方法解一元二次方程的步骤. 用配方法解 一元二次方程 将常数项移到方程的右边 二次项系数化为1 利用平方根的意义直接开平方 解两个一元一次方程 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 一移 二化 三配 五开 六解 左边写成完全平方形式，右边合并常数项 四整 11 新知探究 探究点4 探究方程根的情况 议一议 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 (x+n)2=p 的形式. （1）当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根： x1 = – n + ，x2 = – n – ； （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – n ； （3）当 p<0 时，因为对任意实数x，都有(x+n)2 ≥ 0，所以方程无实数根. p的取值对根有什么影响？ ∴ 配方法适合解任何一个一元二次方程 典例分析 例１.解下列方程: (1); (2) ; (3). 解：（1）移项，得 x2 – 8x = –1. 配方，得 x2 – 8x+42 = –1+42， (x – 4)2 = 15. 开平方：x – 4 = ±， 即 ：x – 4 = 或 x – 4 = － ∴方程的解为： x1=4+，x2=4 – . 二次项系数是1，直接用 配方法解 典例分析 解：（2）移项，得 2x2 – 3x = – 1. 二次项系数化为1，得： x2 – x = – . 配方，得： x2 – x + ()2 = – + ()2 ， (x – )2 = . 开平方得： x – = ±， 即：x – = 或 x – = － ∴方程的解： x1=1，x2= . 例１.解下列方程: (1); (2) ; (3). 二次项系数是1，直接用 配方法解 二次项系数是2，化二次项系数为1 典例分析 解：（3）移项，得 3x2 – 6x = – 4. 二次项系数化为1，得： x2 – 2x = – . 配方，得 x2 – 2x + 12 = – + 12 ， (x – 1)2 = – . ∵实数的平方不会是负数， ∴ x 取任何实数时， (x – 1)2都是非负数，上式都不成立， ∴原方程无实数根. 例１.解下列方程: (1); (2) ; (3). 二次项系数是1，直接用 配方法解 二次项系数是2，化二次项系数为1 二次项系数是3，化二次项系数为1 新知巩固 教材第9页 2.解下列方程： （1）x2+10x+9=0； （2）x2 – x – = 0； （3）3x2+6x–4=0； （4）4x2–6x–3=0； 解：（1）移项，得： x2+10x = –9. 配方，得：x2+10x+52= –9+52， (x+5)2=16. ∴ x+5=±4， 即 x+5=4 或 x+5=－4 ∴方程的解为： x1= –1，x2= –9. （2）移项，得: x2–x = . 配方，得；x2–x+()2= +()2， (x – )2=2. ∴ x – =±， ∴方程的解为： x1= +，x2= –+. 新知巩固 教材第9页 2.解下列方程： （1）x2+10x+9=0； （2）x2 – x – = 0； （3）3x2+6x–4=0； （4）4x2–6x–3=0； （3）移项，得： 3x2+6x=5. 二次项系数化为1，得：x2+2x=. 配方，得：x2+2x+12= + 12， (x+1)2= . ∴x+1=± ， 即 x+1= 或 x+1=－ ∴方程的解为： x1= –1，x2= – –1. 新知巩固 教材第9页 2.解下列方程： （1）x2+10x+9=0； （2）x2 – x – = 0； （3）3x2+6x–4=0； （4）4x2–6x–3=0； （4）移项，得 4x2–6x = 3. 二次项系数化为1，得x2– x = . 配方，得x2– x + ()2 = + ()2， (x – )2 = . ∴x – =±， 即 x – = 或 x – =－ ∴方程的解为： x1= ，x2= . 18 拓展提升 1.阅读下面的材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，用配方法解得，． 当时，，， ； 当时，，， ． 综上所述，原方程的解为， ，，． (1)根据材料解方程：； (2)已知实数，满足，求的值． （1）解：设， 则原方程可化为， 用配方法解得：，． 当时，，无实数根； 当时，， 得：． 综上所述，原方程的解为 ，． 拓展提升 1.阅读下面的材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，用配方法解得，． 当时，，， ； 当时，，， ． 综上所述，原方程的解为， ，，． (1)根据材料解方程：； (2)已知实数，满足，求的值． （2）解：令， 则原方程可化为 ，， 解得， 即． ∴ ． ∴的值为7． 真题感知 1．（2025.包头·校考期中） 解方程： 解： 解得． 2．（2025.阿克苏校考）解方程：； 解：， 移项得， 配方得， 即， 或， 解得，. 真题感知 3．（2025·青浦·八年级校考期中）配方法解方程： 解：     ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4.（2025宁国校考）用配方法解方程，判断方程根的情况. 解：移项得：， 配方得： ， ∵ 实数的平方不会是负数， ∴ 无论x 取任何实数时， (x – 1)2都是非负数，即 ， ∴上式都不成立，原方程无实数根. ∴ 方程无实数根. 真题感知 知识与技能 （1）配方法适用所有一元二次方程，分为二次项系数为1和不为1两种题型； （2）通用六步解题法：化系数→移项→配方→整理→开方→求解； （3）可通过配方后化为 ， 正负判断一元二次方程根的三种情况. 课堂小结 思想方法 课堂小结 本节课核心运用转化思想，将陌生的一般一元二次方程，转化为熟悉的可直接开平方法求解的完全平方方程，实现“降次求解”，这是解方程的核心思想. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）二次项系数不为1时，必须先整体除以二次项系数，再配方，不可直接配方； （2）配方时，必须方程两边同时加常数，只加左边会破坏方程恒等性； （3）加的常数是化简后一次项系数一半的平方，注意区分原系数和化简后的系数； （4）移项务必变号，开平方时不要遗漏正负号； （5）配方后右边为负数时，直接判定无实数根，无需继续求解. 教材第9页 2.解下列方程： 课后练习 （5）x2+4x–9=2x–11； （6）x(x+4)=8x+4； 解：移项，得： x2+2x= –2. 配方，得：x2+2x+12= –2+12， (x+1)2= –1. ∵实数的平方不会是负数， ∴不论x取何实数，(x+1)2≥0， (x+1)2= –1都不成立， ∴原方程无实数根. 解：移项，得： x2–4x=4. 配方，得：x2–4x+22=4+22， (x–2)2=8. ∴x – 2 =±2， 即 x – 2 =2 或 x – 2 =－2 方程的解为： x1=2+2，x2=2–2. 课后练习 习题 25.2 教材p17页 2.填空： （1）x2+6x+___=(x+___ )2； （2）x2–x+___=(x–___ )2； （3）4x2+4x+___=(2x+___ )2； （4）x2– x+___=(x–___ )2. 9 3 1 1 课后练习 习题 25.2 教材p17页 3.用配方法解下列方程： （1）x2+10x+16=0； （2）x2–x– = 0； （3）3x2+6x–5=0； （4）4x2–x–9 = 0. 解：（1）移项，得 x2+10x= –16. 配方，得：x2+10x+52= –16+52， (x+5)2=9. ∴x+5=±3， 方程的解为： x1= –2，x2= –8. （2）移项，得 x2–x = . 配方，得：x2–x+()2= + ()2， (x – )2=1. ∴ x – =±1， 方程的解为： x1= ，x2= – . 课后练习 习题 25.2 教材p17页 3.用配方法解下列方程： （1）x2+10x+16=0； （2）x2–x– = 0； （3）3x2+6x–5=0； （4）4x2–x–9 = 0. 解：移项，得： 3x2+6x=5. 二次项系数化为1，得：x2+2x=. 配方，得：x2+2x+12= + 12， (x+1)2= . ∴x+1=± ， 即：x+1= 或 x+1=－ 方程的解为： x1= –1，x2= – –1. 课后练习 习题 25.2 教材p17页 3.用配方法解下列方程： （1）x2+10x+16=0； （2）x2–x– = 0； （3）3x2+6x–5=0； （4）4x2–x–9 = 0. 解：移项，得： 4x2–x=9. 二次项系数化为1，得：x2– x=. 配方，得：x2– x+()2= + ()2， (x – )2= . ∴x – =± ， 即：x – = 或 x – = － 方程的解为： x1= ，x2= . 谢谢聆听 $