3.2 练习4　函数奇偶性的应用 同步练 2026-2027学年高一上学期 高中数学人教A版 必修第一册

**基本信息** 聚焦函数奇偶性应用，分层设计从基础概念到综合创新，通过梯度化题型培养数学抽象、逻辑推理与直观想象素养，适配新授课知识巩固与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|奇偶性判定、单调性与奇偶性简单综合|1-6题以选择为主，如题1利用偶函数定义求参数，夯实概念理解| |能力提升|奇偶性与解析式、不等式结合|7-12题含多选（题8）、填空（题10），题7结合单调性解不等式，提升推理能力| |综合应用|抽象函数、新定义与实际情境|13-16题含解答题（题13图像应用）、新定义（题15），题14抽象函数性质探究，发展创新意识|

3.2 练习4　函数奇偶性的应用 1. f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2， 5)上(　B　) A. 单调递增 B. 单调递减 C. 有增有减 D. 增减性不确定 【解析】由f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，∴f(x)＝－x2＋3，由函数的图象知，f(x)在区间(2， 5)上单调递减. 2. 若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列关系中，成立的是(　B　) A. f(－3)＞f(0)＞f(1) B. f(－3)＞f(1)＞f(0) C. f(1)＞f(0)＞f(－3) D. f(1)＞f(－3)＞f(0) 【解析】∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－3)＝f(3)，又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴f(－3)＝f(3)＞f(1)＞f(0)，B正确. 3. 已知f(x)是定义在区间[－7，7]上的偶函数，且其在[0，7]上的图象如图所示，下列说法中，正确的是(　C　) A. 函数f(x)有两个单调递增区间 B. 函数f(x)有两个单调递减区间 C. 函数f(x)在其定义域内有最大值6 D. 函数f(x)在其定义域内有最小值－6 【解析】根据偶函数f(x)在[0，7]上的图象，作出函数f(x)在[－7，0]上的图象，如图所示.由图可知函数f(x)有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且在其定义域内有最大值6，但最小值不是－6，C正确. 4. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式是(　D　) A. y＝x(x－2) B. y＝x(|x|＋2) C. y＝|x|(x－2) D. y＝x(|x|－2) 【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－ f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)，∴f(x)＝即f(x)＝x(|x|－2). 5. 已知定义在[m－5， 1－2m]上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(m)的值为(　A　) A. －8 B. 8 C. －24 D. 24 【解析】∵f(x)是定义在[m－5， 1－2m]上的奇函数，∴m－5＋(1－2m)＝0，得m＝－4.又当x≥0时，f(x)＝x2－2x，∴f(m)＝f(－4)＝－f(4)＝－(42－2×4)＝－8. 6. 若奇函数f(x)在区间[3， 6]上单调递增，且在区间[3， 6]上的最大值为7，最小值为－1，则f(－3)＋2f(－6)等于(　B　) A. 13 B. －13 C. 5 D. －5 【解析】由f(x)在区间[3，6]上单调递增，在区间[3， 6]上的最大值为7，最小值为－1，得f(3)＝－1，f(6)＝7.∵f(x)是奇函数，∴f(－3)＝－f(3)＝1，f(－6)＝－f(6)＝－7，∴f(－3)＋2f(－6)＝1＋2×(－7)＝－13. 7. (2024·鲁迅中学高一检测)设函数f(x)在定义域R上满足f(－x)＋f(x)＝0，若f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－2)＝0，则满足(x－1)f(x)＞0的x的取值范围是(　B　) A. (－∞，1)∪(1，2) B. (－2，0)∪(1，2) C. (－2，1)∪(2，＋∞) D. (－∞，－2)∪(1，＋∞) 【解析】∵函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝0，∴f(2)＝0，使f(x)＜0的x的取值范围是(－2，0)∪(2，＋∞)，使f(x)＞0的x的取值范围是(－∞，－2)∪(0，2)，故可求得满足(x－1)f(x)＞0的x的取值范围是(－2，0)∪(1，2). 8. (多选)设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若x1＜0，且x1＋x2＞0，则(　AB　) A. f(x1)＞f(－x2) B. f(－x1)＞f(－x2) C. f(－x1)＜f(－x2) D. f(－x1)＜f(x2) 【解析】∵x1＜0，x1＋x2＞0，∴x2＞－x1＞0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递减， ∴f(x2)＜f(－x1).∵f(x)在R上是偶函数，f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)， ∴f(－x2)＜f(x1)，故A正确.同理得B正确，C，D错误. 9. (多选)(2024·北京丰台区高一期中)已知函数f(x)＝，下列结论中，正确的是(　ABD　) A. f(x)的图象关于y轴对称 B. f(x)在(2，＋∞)上单调递减 C. f(x)的值域为R D. 当x∈(－2，2)时，f(x)有最大值 【解析】对于A，函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，2)∪(2，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，A正确； 对于B，当x∈(2，＋∞)时，f(x)＝，∴函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，B正确；对于C，当x∈(2，＋∞)时，f(x)∈(0，＋∞)，当x∈[0，2)时，f(x)∈，结合偶函数图象的对称性知f(x)的值域为∪(0，＋∞)，C错误；对于D，由C知，当x∈(－2，2)时，f(x)有最大值－，D正确. 10. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x3－3x，则f(x)＝ 　.  【解析】当x＞0时，－x＜0，∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x，∴f(x)＝ 11. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞， 0)上单调递增.若f(－3)＝0，则＜0的解集为　{x|－3＜x＜0，或x＞3}　.  【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞， 0)上单调递增，∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，∴f(3)＝f(－3)＝0.当x＞0时，由f(x)＜0，解得 x＞3；当x＜0时，由f(x)＞0，解得－3＜x＜0，故所求解集为{x|－3＜x＜0，或x＞3}. 12. (2024·武汉六中高一检测)已知函数f(x)＝(|x|－1)(x＋a)为奇函数，则f(x)的单调递增区间为 　.  【解析】由奇函数的定义知f(－x)＝(|－x|－1)(－x＋a)＝－f(x)＝－(|x|－1)·(x＋a)，即－x＋a＝－x－a，∴a＝0，故f(x)＝x(|x|－1).当x≥0时，f(x)＝x2－x＝，∴f(x)的单调递增区间为.由奇函数的图象特征可知当x＜0时，f(x)的单调递增区间为，故f(x)的单调递增区间为 . 13. (2024·沈阳高一期中) 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x(x－4). (1)求函数f(x)的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象，并根据图象指出f(x)的单调递增区间； (3)求f(x)在区间上的最值. 　 答案图 解：(1)当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝－x(－x－4)＝x(x＋4)，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x(x＋4)，∴f(x)＝ (2)作出函数f(x)的图象如图所示. 由图可知，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞). (3)由图可知，f(x)在[－5，－2)上单调递增，在上单调递减，∴当x＝－2时，f(x)在区间上取得最大值4.当x＝－5时，f(－5)＝5×(－5＋ 4)＝－5，当x＝时，f×＝－，∵－5＜－，∴当x＝－5时，f(x)在区间上取得最小值－5.综上，f(x)在区间上的最大值为4，最小值为－5. 14. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0. (1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系； (2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围. 解：(1)∵a＞b，∴a－b＞0，由题意得 ＞0，∴f(a)＋f(－b)＞0.又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b). (2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，∴1＋m≥2m－3，∴m≤4，∴实数m的取值范围为(－∞， 4]. 15. (多选)给出定义：若m－＜x≤m＋(其中m为整数)，则称m为离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m.则下列关于函数f(x)＝x－{x}的四个命题中，为真命题的有(　AD　) A. 函数y＝f(x)的定义域是R，值域是 B. 函数y＝f(x)是偶函数 C. 函数y＝f(x)是奇函数 D. 函数y＝f(x)在上单调递增 【解析】化简函数解析式可得，f(x)＝x－{x}＝画出函数的图象，如图所示， 由图象可知函数y＝f(x)的定义域是R，值域是，A为真命题；由图可以得出，函数图象既不关于y轴对称，也不关于坐标原点对称，且f(x)在 上单调递增，故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，从而B，C为假命题，D为真命题. 16. (2024·湖南师大附中高一期中) 已知函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且f(－2)＝0，若对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有＜0，则不等式f(x)＜0的解集为　(－2，0)∪(2，＋∞)　.  【解析】∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有＜0，∴不妨设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则x1f(x1)－x2·f(x2)＞0恒成立，令g(x)＝xf(x)，x≠0，则g(x1)－g(x2)＝x1f(x1)－x2f(x2)＞0，∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又函数f(x)为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，∴g(x)为偶函数，且g(x)在(－∞，0)上单调递增.由f(－2)＝0，可得g(2)＝g(－2)＝－2f(－2)＝0，∴当x＜－2，或x＞2时，g(x)＜0，当－2＜x＜2，且x≠0时，g(x)＞0.不等式f(x)＜0，即为＜0，当x＞0时，不等式可化为g(x)＜0，可得x＞2，当x＜0时，不等式可化为g(x)＞0，可得－2＜x＜0，∴不等式f(x)＜0的解集为(－2， 0)∪(2，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 练习4　函数奇偶性的应用 1. f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2， 5)上(　 　) A. 单调递增 B. 单调递减 C. 有增有减 D. 增减性不确定 2. 若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列关系中，成立的是(　 　) A. f(－3)＞f(0)＞f(1) B. f(－3)＞f(1)＞f(0) C. f(1)＞f(0)＞f(－3) D. f(1)＞f(－3)＞f(0) 3. 已知f(x)是定义在区间[－7，7]上的偶函数，且其在[0，7]上的图象如图所示，下列说法中，正确的是(　 　) A. 函数f(x)有两个单调递增区间 B. 函数f(x)有两个单调递减区间 C. 函数f(x)在其定义域内有最大值6 D. 函数f(x)在其定义域内有最小值－6 4. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式是(　 　) A. y＝x(x－2) B. y＝x(|x|＋2) C. y＝|x|(x－2) D. y＝x(|x|－2) 5. 已知定义在[m－5， 1－2m]上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(m)的值为(　 　) A. －8 B. 8 C. －24 D. 24 6. 若奇函数f(x)在区间[3， 6]上单调递增，且在区间[3， 6]上的最大值为7，最小值为－1，则f(－3)＋2f(－6)等于(　 　) A. 13 B. －13 C. 5 D. －5 7. (2024·鲁迅中学高一检测)设函数f(x)在定义域R上满足f(－x)＋f(x)＝0，若f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－2)＝0，则满足(x－1)f(x)＞0的x的取值范围是(　 　) A. (－∞，1)∪(1，2) B. (－2，0)∪(1，2) C. (－2，1)∪(2，＋∞) D. (－∞，－2)∪(1，＋∞) 8. (多选)设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若x1＜0，且x1＋x2＞0，则(　 　) A. f(x1)＞f(－x2) B. f(－x1)＞f(－x2) C. f(－x1)＜f(－x2) D. f(－x1)＜f(x2) 9. (多选)(2024·北京丰台区高一期中)已知函数f(x)＝，下列结论中，正确的是(　 　) A. f(x)的图象关于y轴对称 B. f(x)在(2，＋∞)上单调递减 C. f(x)的值域为R D. 当x∈(－2，2)时，f(x)有最大值 10. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x3－3x，则f(x)＝ 　.  11. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞， 0)上单调递增.若f(－3)＝0，则＜0的解集为　 　.  12. (2024·武汉六中高一检测)已知函数f(x)＝(|x|－1)(x＋a)为奇函数，则f(x)的单调递增区间为 　 .  13. (2024·沈阳高一期中) 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x(x－4). (1)求函数f(x)的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象，并根据图象指出f(x)的单调递增区间； (3)求f(x)在区间上的最值. 　 14. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0. (1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系； (2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围. 15. (多选)给出定义：若m－＜x≤m＋(其中m为整数)，则称m为离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m.则下列关于函数f(x)＝x－{x}的四个命题中，为真命题的有(　 　) A. 函数y＝f(x)的定义域是R，值域是 B. 函数y＝f(x)是偶函数 C. 函数y＝f(x)是奇函数 D. 函数y＝f(x)在上单调递增 16. (2024·湖南师大附中高一期中) 已知函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且f(－2)＝0，若对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有＜0，则不等式f(x)＜0的解集为　 　.  学科网（北京）股份有限公司 $