函数奇偶性应用同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数奇偶性，分层设计从基础理解到综合应用，通过选择、填空、解答题梯度进阶，巩固奇偶性定义、性质及综合应用，适配新授课知识内化与能力初步提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|奇偶性定义及基本性质（单调性、最值）|选择题1-5、填空题9-10，直接考查奇偶性判断及简单应用，培养抽象能力| |综合应用|奇偶性与单调性综合、函数解析式求解|选择题6-8（多选）、解答题11，结合奇偶性与单调性综合分析，发展推理意识| |拓展探究|奇偶性与函数单调性证明的综合应用|解答题12，推导解析式并证明单调性，提升数学表达与逻辑推理能力|

函数的基本性质——奇偶性 一、选择题 1. 【2026河北张家口期中】已知定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，则f(-3)，f(π)，f()的大小关系是（　　） A. f(π) < f() < f(-3) B. f(π) < f(-3) < f() C. f(-3) < f(π) < f() D. f() < f(-3) < f(π) 2.【2026福建漳州期末】若奇函数f(x)在区间[1,5]上单调递增，且最小值为3，则它在区间[-5,-1]上（　　） A. 单调递增，且有最大值-3 B. 单调递增，且有最小值-3 C. 单调递减，且有最大值-3 D. 单调递减，且有最小值-3 3.【2026天津宁河期中】函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减，且为奇函数。若f(1)=-1，则满足-1 ≤ f(x-2) ≤ 1的x的取值范围是（　　） A. [-2,2] B. [-1,1] C. [0,4] D. [1,3] 4.【2026河南郑州模拟】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x) = x²-2x+4，则f(-2)的值为（　　） A. -4 B. -8 C. 4 D. 8 5.【2026甘肃兰州模拟】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上单调递增，若f(a) ≤ f(2)，则实数a的取值范围是（　　） A. [-2,2] B. (-∞,-2] ∪ [2,+∞) C. (-∞,2] D. [2,+∞) 6.【2026浙江名校联盟】已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且h(x) = f(x)·g(x)在(0,+∞)上单调递减，则h(x)在(-∞,0)上（　　） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增 7.(多选)【2026广东实验中学阶段练习】已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是(　　) A．f(－1)＝0 B．f(x)的最大值为 C．f(x)在(－1，0)上单调递增 D．f(x)>0的解集为(－1，1) 8.(多选)【2026安徽合肥模拟】已知偶函数f(x)的定义域为R，且在(－∞，0)上为增函数，则(　　) A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0 C．f(3)>f(－2)>f(1) D．f(x)在(0，＋∞)上为减函数 二、填空题 9.【2026福建漳州期末】若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________． 10.【2026安徽合肥模拟】若奇函数f(x)在区间[－4，－2]上的最大值为2，则f(x)在区间[2,4]上的最小值为________． 三、解答题 11.【2026甘肃兰州模拟】已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)+g(x) = x²+x-2。 (1) 求f(x)和g(x)的解析式； (2) 若h(x) = f(x)·g(x)，判断h(x)的奇偶性并证明； 12.【2026上海虹口期末】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x) = x²-2x。 (1) 求f(x)在R上的解析式； (2) 判断f(x)在[0,+∞)上的单调性，并用定义证明； 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的基本性质——奇偶性 一、选择题 1. 【2026河北张家口期中】已知定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，则f(-3)，f(π)，f()的大小关系是（　　） A. f(π) < f() < f(-3) B. f(π) < f(-3) < f() C. f(-3) < f(π) < f() D. f() < f(-3) < f(π) 答案：B 解析： 因为f(x)是偶函数，所以f(-3) = f(3)。又因为f(x)在(0,+∞)上单调递减，且 < 3 < π，所以f(π) < f(3) < f()，即f(π) < f(-3) < f()。故选B。 2.【2026福建漳州期末】若奇函数f(x)在区间[1,5]上单调递增，且最小值为3，则它在区间[-5,-1]上（　　） A. 单调递增，且有最大值-3 B. 单调递增，且有最小值-3 C. 单调递减，且有最大值-3 D. 单调递减，且有最小值-3 答案：A 解析： 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，所以f(x)在[-5,-1]上单调递增。在[1,5]上f(x)最小值为f(1)=3，所以在[-5,-1]上f(x)最大值为f(-1) = -f(1) = -3。故选A。 3.【2026天津宁河期中】函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减，且为奇函数。若f(1)=-1，则满足-1 ≤ f(x-2) ≤ 1的x的取值范围是（　　） A. [-2,2] B. [-1,1] C. [0,4] D. [1,3] 答案：D 解析： 因为f(x)是奇函数，所以f(-1) = -f(1) = 1。不等式-1 ≤ f(x-2) ≤ 1即f(1) ≤ f(x-2) ≤ f(-1)。因为f(x)单调递减，所以-1 ≤ x-2 ≤ 1，解得1 ≤ x ≤ 3。故选D。 4.【2026河南郑州模拟】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x) = x²-2x+4，则f(-2)的值为（　　） A. -4 B. -8 C. 4 D. 8 答案：A 解析： 因为f(x)是奇函数，所以f(-2) = -f(2)。当x>0时，f(2) = 2²-2×2+4 = 4-4+4 = 4。所以f(-2) = -4。故选A。 5.【2026甘肃兰州模拟】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上单调递增，若f(a) ≤ f(2)，则实数a的取值范围是（　　） A. [-2,2] B. (-∞,-2] ∪ [2,+∞) C. (-∞,2] D. [2,+∞) 答案：A 解析： 因为f(x)是偶函数，所以f(a) = f(|a|)。不等式f(|a|) ≤ f(2)，又f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以|a| ≤ 2，即-2 ≤ a ≤ 2。故选A。 6.【2026浙江名校联盟】已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且h(x) = f(x)·g(x)在(0,+∞)上单调递减，则h(x)在(-∞,0)上（　　） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增 答案：B 解析： h(-x) = f(-x)·g(-x) = f(x)·(-g(x)) = -f(x)·g(x) = -h(x)。所以h(x)是奇函数。奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，因为h(x)在(0,+∞)上单调递减，所以h(x)在(-∞,0)上也单调递减。故选B。 7.(多选)【2026广东实验中学阶段练习】已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是(　　) A．f(－1)＝0 B．f(x)的最大值为 C．f(x)在(－1，0)上单调递增 D．f(x)>0的解集为(－1，1) 答案：AB 解析： 因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝1－1＝0，故A正确；当x≥0时，f(x)＝x－x2＝－＋，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，最大值为，又偶函数在对称区间上的单调性相反，最值相同，则函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误；因为f(0)＝0，所以f(x)>0的解集为(－1，0)∪(0，1)，故D错误．故选AB. 8.(多选)【2026安徽合肥模拟】已知偶函数f(x)的定义域为R，且在(－∞，0)上为增函数，则(　　) A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0 C．f(3)>f(－2)>f(1) D．f(x)在(0，＋∞)上为减函数 答案：BD 解析： 因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即f(－x)－f(x)＝0，所以A不正确，B正确；因为f(x)为偶函数，所以f(3)＝f(－3)，f(1)＝f(－1)，又f(x)在(－∞，0)上为增函数，所以f(－3)<f(－2)<f(－1)，即f(3)<f(－2)<f(1)，所以C不正确；因为f(x)为偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以D正确． 二、填空题 9.【2026福建漳州期末】若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________． 答案：f(－2)<f(1)<f(0) 解析： 当m＝1时，f(x)＝6x＋2不合题意； 当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，所以m＝0， 所以f(x)＝－x2＋2， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减． 又0<1<2，所以f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)． 10.【2026安徽合肥模拟】若奇函数f(x)在区间[－4，－2]上的最大值为2，则f(x)在区间[2,4]上的最小值为________． 答案：－2 解析： 因为奇函数图象关于原点对称，所以f(x)在区间[2,4]上的最小值为－2. 三、解答题 11.【2026甘肃兰州模拟】已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)+g(x) = x²+x-2。 (1) 求f(x)和g(x)的解析式； (2) 若h(x) = f(x)·g(x)，判断h(x)的奇偶性并证明； 答案：(1) f(x) = x，g(x) = x²-2；(2) h(x)是奇函数； 解析： (1) 由f(x)+g(x) = x²+x-2 ①，将x替换为-x得-f(x)+g(x) = x²-x-2 ②。①+②得：2g(x) = 2x²-4，g(x) = x²-2。①-②得：2f(x) = 2x，f(x) = x。 (2) h(x) = f(x)·g(x) = x(x²-2) = x³-2x。h(-x) = (-x)³-2(-x) = -x³+2x = -(x³-2x) = -h(x)。所以h(x)是奇函数。 12.【2026上海虹口期末】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x) = x²-2x。 (1) 求f(x)在R上的解析式； (2) 判断f(x)在[0,+∞)上的单调性，并用定义证明； 答案：(1) f(x) = x²-2x（x≥0），f(x) = -x²-2x（x<0）；(2) 在[0,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增； 解析： (1) 因为f(x)是奇函数，所以f(0) = 0。当x<0时，-x>0，f(-x) = (-x)²-2(-x) = x²+2x。所以f(x) = -f(-x) = -x²-2x。综上：f(x) = x²-2x（x≥0），f(x) = -x²-2x（x<0）。 (2) 当x≥0时，f(x) = x²-2x = (x-1)²-4。在[0,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增。 证明：设0 ≤ x₁ < x₂ ≤ 1，f(x₁)-f(x₂) = (x₁²-2x₁)-(x₂²-2x₂) = (x₁-x₂)(x₁+x₂-2)。因为x₁-x₂ < 0，x₁+x₂-2 < 0，所以f(x₁)-f(x₂) > 0，即f(x₁) > f(x₂)。所以f(x)在[0,1]上单调递减。 设1 ≤ x₁ < x₂，f(x₁)-f(x₂) = (x₁-x₂)(x₁+x₂-2)。因为x₁-x₂ < 0，x₁+x₂-2 ≥ 0，所以f(x₁)-f(x₂) ≤ 0，即f(x₁) ≤ f(x₂)。所以f(x)在[1,+∞)上单调递增。 学科网（北京）股份有限公司 $