精品解析：2021-2022学年沪科版七年级数学下册素养试卷（竞赛）

沪科版七年级数学下学期素养试卷 满分：100分，时间：90分钟 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 若，，则、、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上任取一条长度为的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（ ）个 A. B. C. D. 3. 设是正整数，且，则值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 分式中，，同时扩大倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小倍 D. 无法计算 5. 若，，则（ ） A. 34 B. 32 C. 18 D. 9 6. 如图，长方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的（ ）倍． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 若，且，则（ ） A. B. C. 5 D. 15 8. 如图所示，分别延长的三边、、至、、，使得、、．若，则（ ） A. 18 B. 19 C. 24 D. 27 二、填空题（每小题5分，共20分） 9. 数轴上点到原点的距离是3，点到原点的距离是4，则线段________． 10. 甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，他们以固定速度反向跑，甲跑一圈要1分20秒，乙每30秒与甲相遇一次，则乙跑一圈要________． 11. 定义：，则________． 12. 关于的不等式组含有两个整数解，则的取值范围是________． 三、计算（本题共2小题，每小题8分，共16分．写出计算过程或演算步骤） 13. 计算： 14. 计算：已知，求值：． 四、解答题（本题共2小题，每小题10分，共20分．写出解答过程或演算步骤） 15. 化简分式后，当求值． 16. 设，其中．对于满足的来说，的最小值是多少？ 五、应用题（本题12分） 17. 为奖励在演讲比赛中获奖的同学，大队辅导员王老师负责为获奖同学买奖品，要求每人一件．王老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择．如果买3个笔记本和2支钢笔，则需84元；如果买4个笔记本和3支钢笔，则需118元． (1)求笔记本和钢笔的单价分别为多少元？ (2)售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受7.5折优惠， ①若买x(x＞0)支钢笔需要花y1元，请你用含x的式子表示y1； ②王老师决定买同一种奖品，并且数量超过10个，请你帮王老师判断买哪种奖品更省钱． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版七年级数学下学期素养试卷 满分：100分，时间：90分钟 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 若，，则、、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 综上，． 2. 在数轴上任取一条长度为的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：求一条长度为的线段最多能覆盖的整数点个数，分两种情况： 情况一：当线段的两个端点与数轴上的整数点重合时，设线段左端点对应整数为，则右端点对应整数为，此时覆盖的整数点为，，，，，总个数为 ； 情况二：当线段的两个端点不与数轴上的整数点重合时，设线段左端点位于整数为和之间，则右端点位于整数为和之间，此时覆盖的整数点为，，，，总个数为； 所以，对比两种情况的覆盖个数，，因此最多能覆盖个整数点． 3. 设是正整数，且，则值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得出，结合是正整数，得出a、b异号，然后分两种情况讨论：、，把整体代入，根据绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由题意知：，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴a、b异号， 当时，， ∴ ， ∵是正整数， ∴， ∴，， ∴原式 ； 当时，， ∴ ， ∵是正整数， ∴， ∴，， ∴原式 ； 综上，值为3． 4. 分式中，，同时扩大倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小倍 D. 无法计算 【答案】A 【解析】 【详解】解：将，同时扩大倍后代入分式得： ． 故将，同时扩大倍后，分式的值与原式相等． 5. 若，，则（ ） A. 34 B. 32 C. 18 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先由同底数幂的除法运算的逆运算、幂的乘方运算的逆运算恒等变形，再将已知条件整体代入后计算即可得到答案． 【详解】解：． 6. 如图，长方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的（ ）倍． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设长方形ABCD的长为a，宽为b，则其面积为ab，再根据E是AB的中点，FC=a，用a、b表示出△BEF及△ABC的面积，进而可求出阴影部分的面积． 【详解】设长方形ABCD的长为a，宽为b，则其面积为ab． 在△ABC中， ∵E是AB的中点， ∴BE=b， 又∵FC=a， ∴BF=a， ∴△EBF的面积为，但△ABC的面积=ab， ∴阴影部分的面积=， ∴长方形的面积是阴影部分面积的3倍． 故选B． 【点睛】本题考查的是长方形的性质及三角形的面积公式，分别设出长方形的长和宽，再用a、b表示出△BEF及△ABC的面积是解答此题的关键． 7. 若，且，则（ ） A. B. C. 5 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式的恒等变形，先求出的值，再计算后开方得到结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 8. 如图所示，分别延长的三边、、至、、，使得、、．若，则（ ） A. 18 B. 19 C. 24 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，，利用已知条件求出，同理可得，然后由即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵，， ∴． 又∵ ∴， 同理可得： ∴． 【点睛】解答此题的关键是连接，，，利用两三角形同高这一特点，求出． 二、填空题（每小题5分，共20分） 9. 数轴上点到原点的距离是3，点到原点的距离是4，则线段________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点到原点的距离得到A、B对应数的所有可能，再分同侧、异侧两种情况计算线段的长度． 【详解】解：点到原点的距离是3，点到原点的距离是4， 点表示的数为或，点表示的数为或， 当A、B两点在原点同侧时：， 当A、B两点在原点异侧时：， 线段的长为或． 10. 甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，他们以固定速度反向跑，甲跑一圈要1分20秒，乙每30秒与甲相遇一次，则乙跑一圈要________． 【答案】 48秒 【解析】 【分析】将环形跑道一圈长度设为单位1，先求出甲的速度，根据反向跑相遇时两人路程和为1圈列方程求解乙的速度，再计算乙跑一圈的时间． 【详解】解：甲跑一圈需要1分20秒，即秒， 设环形跑道一圈长度为单位，则甲的速度为，设乙的速度为， ∵甲乙反向跑，每秒相遇一次，相遇时两人总路程刚好为1圈， ∴， 解得， 因此乙跑一圈的时间为（秒）． 11. 定义：，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给出的新运算定义，将对应数值代入公式计算即可． 【详解】解：由定义可知， ∴． 12. 关于的不等式组含有两个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先解出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围，进而求出的范围． 【详解】解：解不等式， 合并同类项得， 两边同乘，改变不等号方向得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组含有两个整数解， ∴两个整数解只能是和， ∴满足， 不等式两边同除以得． 三、计算（本题共2小题，每小题8分，共16分．写出计算过程或演算步骤） 13. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】分别计算零指数幂、绝对值、负整数指数幂，再按有理数混合运算法则计算． 【详解】解：原式 ． 14. 计算：已知，求值：． 【答案】 【解析】 【分析】结合把原式变形求解即可． 【详解】解： ． 四、解答题（本题共2小题，每小题10分，共20分．写出解答过程或演算步骤） 15. 化简分式后，当求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先将被除式中的分子分解因式，同时将小括号内的式子通分，再作除法，化为最简后，代入求值． 【详解】解： 当时， 原式 ． 16. 设，其中．对于满足的来说，的最小值是多少？ 【答案】 的最小值是 【解析】 【分析】根据的取值范围去掉绝对值符号，化简的表达式后结合的范围求最小值． 【详解】解： ∵，， ∴，，， ∴   ， ∵，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最小值，最小值为． 五、应用题（本题12分） 17. 为奖励在演讲比赛中获奖的同学，大队辅导员王老师负责为获奖同学买奖品，要求每人一件．王老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择．如果买3个笔记本和2支钢笔，则需84元；如果买4个笔记本和3支钢笔，则需118元． (1)求笔记本和钢笔的单价分别为多少元？ (2)售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受7.5折优惠， ①若买x(x＞0)支钢笔需要花y1元，请你用含x的式子表示y1； ②王老师决定买同一种奖品，并且数量超过10个，请你帮王老师判断买哪种奖品更省钱． 【答案】(1)笔记本的单价为16元/本，钢笔的单价为18元/个；(2)①y1＝.②当获奖的学生多于10个少于18个时，购买笔记本省钱；当获奖的学生等于10个时，购买笔记本和购买钢笔所花钱数一样多；当获奖学生多于18个时，购买钢笔省钱． 【解析】 【分析】（1）设笔记本的单价为m元/本，钢笔的单价为n元/支，根据“买3个笔记本和2支钢笔需84元；买4个笔记本和3支钢笔需118元”，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①分0＜x≤10和x＞10两种情况，用含x的式子表示y1即可； ②设获奖的学生有a个，购买奖品的总价为w，根据总价＝单价×数量用含a的代数式表示出w，分w钢笔＞w笔记本、w钢笔＝w笔记本、w钢笔＜w笔记本三种情况找出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】（1）设笔记本的单价为m元/本，钢笔的单价为n元/支， 根据题意得：， 解得：， 答：笔记本的单价为16元/本，钢笔的单价为18元/个． (2)①当0＜x≤10时，y1＝18x； 当x＞10时，y1＝18×10+18×(x﹣10)＝13.5x+45． 综上所述：y1＝． ②设获奖的学生有a个，购买奖品的总价为w， 根据题意得：w钢笔＝13.5a+45，w笔记本＝16a． 当w钢笔＞w笔记本时，有13.5a+45＞16a， 解得：x＜18； 当w钢笔＝w笔记本时，有13.5a+45＝16a， 解得：x＝18； 当w钢笔＞w笔记本时，有13.5a+45＜16a， 解得：x＞18． 答：当获奖的学生多于10个少于18个时，购买笔记本省钱；当获奖的学生等于10个时，购买笔记本和购买钢笔所花钱数一样多；当获奖学生多于18个时，购买钢笔省钱． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)①分0＜x≤10和x＞10两种情况，找出函数关系式；②分w钢笔＞w笔记本、w钢笔＝w笔记本、w钢笔＜w笔记本三种情况列出关于a的一元一次不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $