暑假题型分类复习：解答题 专题练习 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦七年级下册核心考点，以题型分类为框架，融合逆向思维、整体思想等方法提炼，构建“概念-方法-应用”逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂的运算|5题|逆用幂的运算法则、新运算转化|从基础计算到逆向应用，结合新定义强化符号意识| |整式乘法|5题|整体代换、数形结合|以幂的运算为基础，通过面积模型深化公式理解| |图形的变换|5题|尺规作图规范、平移对称性质应用|从基本作图到坐标变换，培养空间观念| |二元一次方程组|5题|加减消元法、实际问题建模|从解法纠错到方案设计，发展模型意识| |一元一次不等式|5题|解集数轴表示、参数范围分析|承接方程组，通过实际情境强化应用意识| |定义命题证明|2题|推理步骤规范、反证思想|结合图形变换，培养逻辑推理能力|

暑假题型分类复习：解答题-2025-2026学年数学七年级下册苏科版（2024） 考点汇总 考点一：幂的运算 考点二：整式乘法 考点三：图形的变换 考点四：二元一次方程组 考点五：一元一次不等式 考点六：定义 命题 证明 跟踪训练 考点一：幂的运算 1．计算：． 2．若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 3．规定一种新运算：，例如，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 4．幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是 ． (2)若，求的值． (3)比较大小：，，，，则，，，的大小关系是什么？ （提示：， 为正整数，那么） 5．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么． 例如：，．我们还可以利用此定义说明等式成立． 理由如下：设，，则，， ， ， 即． (1)根据上述规定，填空：________，________，________； (2)计算：的值； (3)记，，，请说明． 考点二：整式乘法 6．化简： 7．先化简，再求值：，其中． 8．在江西文化节的数学创意活动中，同学们定义了一个新运算：整式A乘以整式B，得到整式C，如果整式C的项数正好比整式A的项数多1，就称整式B是整式A的“文脉增项式”． (1)如果，，判断B是否为A的“文脉增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式，且a，b均为不等于0的有理数，当时，且B是A的“文脉增项式”，求b的值． 9．在“整式的乘除”这章中，我们学习了“平方差公式”和“完全平方公式”，为我们进行某些整式的乘法运算提供了便利．对于式子：的计算，我们可以把看成一个整体，从而转化为用平方差公式计算．即：运用“转化+整体”的思想，完成以下问题： (1)．请任意选择一种，写出的计算结果． (2)计算：． 10．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 【知识回顾】 (1)如图1，借助图形能解释的乘法公式是_______． 【问题解决】 (2)如图2，点是线段上的一点，分别以，为边向上下两个方向作正方形和正方形，已知，两个正方形的面积和为38，求阴影部分的面积． 考点三：图形的变换 11．如图，请在图①中作出的内角平分线，在图②中作出的边上的中线，在图③中作出的边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，辅助线用虚线，求作线段用实线） 12．如图，在由边长为1的小正方形组成的方格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点． (1)将平移得到，且点的对应点为，画出； (2)画线段，使线段． 13．如图，已知与关于直线对称，直线分别与、交于点，，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． (3)求的面积． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，的坐标分别是，，． (1)画出三角形． (2)三角形中任意一点经平移后的对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形． ①请在坐标系中画出三角形，并写出点的坐标； ②连接，，请直接写出线段和的关系． 15．王兴同学在完成“平移三角形，使点移动到点，作出平移后的”时弄乱了步骤： ①连接； ②在，上分别截取，，使得点，在直线的上方； ③分别过点与点作的平行线，； ④连接，，． (1)请按照正确的作图步骤排序：________，并在下图中画出平移后的图形； (2)平移后测得四边形的面积是，四边形的面积是，则四边形的面积是________． 考点四：二元一次方程组 16．解方程组： (1) (2)． 17．下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③    第一步 得：        第二步 将代入②得：．    第三步 所以该方程组的解是    第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，其中第 步开始出现了错误，错误的原因是： ． (2)请你帮小华同学写出正确的解题步骤． 18．为推进校园图书馆智能化建设，提升图书馆借阅效率，某校计划采购纸电一体借还机和阅宝机器人．若采购2台纸电一体借还机和3台阅宝机器人，总费用为35万元；若采购3台纸电一体借还机和1台阅宝机器人，总费用为21万元． (1)每台纸电一体借还机和每台阅宝机器人的价格分别是多少万元？ (2)学校计划用71万元采购纸电一体借还机和阅宝机器人，要求两种设备均需采购，且采购资金全部用完，直接写出所有符合条件的采购方案． 19．关于x，y的二元一次方程组，给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“合和”方程组．例如：关于x，y的二元一次方程组的解是，满足，则称方程组是“合和2”方程组． (1)下列方程组是“合和3”方程组的是__________（只填写序号）； ①；    ②；    ③；    ④． (2)若关于x，y的方程组是“合和”方程组，求的值； (3)当时，对于的每一个值，关于x，y的方程组都是“合和”方程组，直接写出a，b的值． 20．综合与实践 2026年5月20日柳州发生地震，某校立即开展应急疏散演练，检验教学楼师生紧急撤离能力．李老师带领小组通过测试推测紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼．请根据表中信息，解答下列问题． 课题 紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼 方式 模拟教学楼发生火灾的场景，进行应急疏散演习，师生按照预定路线迅速、有序地撤离到安全地带 地点 如图，共有5道门，其中有大小相同的三道正门，大小相同的两道侧门．    数据收集 通过预演，李老师得到如下数据： ①正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过人； ②紧急情况下局部人口密度过高，通过正门、侧门的效率均降低为原来的． 相关情况 教学楼内有教师位；共有间教室，每间教室平均有名学生． 安全要求 紧急情况下，教学楼内所有人员应在内（不考虑下楼时间）通过5个门安全撤离． (1)求正常情况下每道正门和侧门每分钟通过的人员数量； (2)紧急情况下，教学楼内全体师生疏散教学楼需要多少分钟？是否能安全撤离？ 考点五：一元一次不等式 21．解不等式并把它的解集在数轴上表示出来。 (1) (2) 22．解不等式组： 23．实数，，满足，且． (1)用只含有的代数式分别表示，； (2)求证：； (3)若，求的取值范围． 24．为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，实验中学计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品.已知同类图书中每本书价格相同，购买3本科技类图书和2本文学类图书需92元，购买5本科技类图书和4本文学类图书需164元． (1)分别求出科技类图书和文学类图书每本的价格； (2)经过评选有200名学生在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书.若学校用于购买奖品的资金不超过3815元，科技类图书最多能购买多少本? 25．综合与实践． 【实践主题】探究安全通过十字路口的条件． 【问题情境】如图，互相垂直的十字形的路口，长为m米，宽为n米，双向安装红绿灯，红绿灯的作用就是不让双方向的车挤在一起，具体来说就是确保一个方向先过，另一个方向再过，并以此规律循环． 【安全条件】条件一：一般的十字路口，红灯和绿灯的持续时间是不同的，红灯的时间总比绿灯长，例如当东西方向红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒才亮，这样才可以确保十字路口的交通安全． 条件二：如图所示，某十字路口东西方向和南北方向的道路宽窄一致．假设当绿灯亮时，骑车人A马上从等待线出发，若他不会与另一方向绿灯亮时马上从等待线出发的机动车B相撞，就意味着可以保证交通安全，所以必须设置合理的红绿灯时间差，才能保证十字路口的通行安全． 【实验数据】根据调查，某十字路口，通过此路口的自行车平均时速为，机动车平均时速为． (1)骑车人A需要骑行______米才能通过此十字路口． (2)若，，，假设此路口红绿灯实际时间差．能保证交通安全吗？ (3)欲保证此十字路口交通安全，请求出红绿灯时间差t应满足的条件． 考点六：定义 命题 证明 26．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，、分别平分与， ；求证： ． (2)证明： (3)命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是 命题（填“真”或“假”）． 27．完成下列推理说明：如图，，，，可推出，，完成下列空白： ，， （______）． ____________（______）． （______）． ， （______）． ____________（______）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假题型分类复习：解答题-2025-2026学年数学七年级下册苏科版（2024）》参考答案 1． 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法法则，先分别计算每一项，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ． 2．(1) (2) (3) 【分析】利用逆用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方法则，结合题干给出的结论：若（且）则，对所求式子进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴ ， ∴，解得． （3）解：∵， ∴． 3．(1)32 (2)1.5 【分析】根据新运算的定义，将新运算转换为通常的代数式计算即可. 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ， ∴， ， ． 4．(1) (2) (3) 【分析】（1）可利用积的乘方的逆运算计算求解； （2）可利用幂的乘方逆运算及同底数幂的乘法的逆运算可求解值； （3）将，，，化为相同的指数，再比较大小即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，，，， 且， ∴， ∴． 5．(1)2，2，4 (2) (3)，，， ，，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据定义直接求指数． （2）利用运算性质，将两个同底数的运算相加转化为指数相加． （3）根据新定义，得出，，，进而得出，即可说明． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）设，，则，， ， ，即； （3）略 6． 【详解】解： ． 7．化简结果为，值为 【详解】解： ； 当时， 原式 ． 8．(1)解：B是整式A的“文脉增项式”，理由如下： ∵， ， ∴， ∵的项数为，的项数为，，符合“文脉增项式”的定义， ∴是整式的“文脉增项式”； (2)或 【分析】（1）计算乘积后对比项数即可判断； （2）先根据时求出的值，再计算乘积合并同类项后，根据定义要求分类得到系数为的情况，结合的条件求出的值． 【详解】（1）略 （2）解：将，代入，得， 解得，满足 ∴， ∴， ∵的项数为，根据定义，的项数应为，该式共有项，其中的系数为，常数项为，均不为， ∴分两种情况： ①当时，解得，符合的要求， ②当时，解得，符合的要求， ∴的值为或． 9．(1) (2) 【分析】（1）运用“转化+整体”的思想，利用完全平方公式进行求解，即可得到答案； （2）利用（1）得到的公式即可求解． 【详解】（1）解：把看成一个整体， 把看成一个整体， ； （2）解：由（1）得， ． 10．(1) (2) 【分析】（1）用两种方法分别用代数式表示图1的面积即可． （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可知，的关系和两个正方形的面积和为38，则根据求出的值即可． 【详解】（1）解：图1整体上是边长为的正方形，面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， ． （2）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，两个正方形的面积和为38， ，， ， 阴影部分的面积 11．由题意，作图如下，即为所求. 【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法作图即可； （2）利用尺规作垂线的方法确定中点，连接即可； （3）利用尺规作垂线的方法作图即可. 【详解】略 12．(1)解：如图所示： (2)解：线段如图所示： 【分析】（1）根据平移的性质，将点平移到点，再平移点与点即可； （2）根据平移的性质，将点平移到点，再平移点到点即可． 【详解】（1）略 （2）略 13．(1)5 (2)12 (3)18 【分析】（1）先得出，再求出的长，由此即可得； （2）先得出，再根据三角形的面积公式计算即可； （3）先求出，再根据的边上的高与的边上的高相等可得的面积与的面积之间的关系，由此即可得． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称，且， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵与关于直线对称， ∴，即， ∵，， ∴的面积为． （3）解：由（1）已得：，，的面积为12， ∴， 又∵的边上的高与的边上的高相等， ∴的面积为． 14．(1)三角形如图所示 (2)①三角形如图所示 点的坐标为 ②， 【分析】（1）根据点的坐标在坐标系中描出三个点，连成三角形即可； （2）①由三角形中任意一点经平移后的对应点为，可得平移方式为先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，根据平移方式平移即可；②由平行四边形的性质和判定，即可得出，． 【详解】（1）略 （2）①∵三角形中任意一点经平移后的对应点为， ∴平移方式为先向右平移4个单位，再向下平移2个单位， ∴将三角形作同样的平移即可得到三角形， ∵， ∴． ②如图所示： 由平移的性质可得：对应点的连线平行或在同一条直线上，长度相等， ∴，． 15．(1)①③②④，如图所示： (2) 【分析】（1）根据平移作图的步骤得出排序，并作图即可； （2）根据平移的性质得出，进而可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：作平移后的时，应先连接，再作平行线，然后截取，，最后连接各对应点， ∴正确的作图步骤排序为：①③②④， 如图所示：略 （2）解：如图，设交于， ∵由平移所得， ∴， ∵四边形的面积是，四边形的面积是， ∴，， ∴， ∴． 16．(1) (2) 【详解】（1）解：， 由得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解是． （2）解：， 由得， 由，得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解是． 17．(1)二，计算减法时没有把负号转变为正号 (2)解：得：③ 得：， 将代入②得： 所以该方程组的解是 【分析】（1）根据二元一次方程组的运算即可解答． （2）利用加减消元法解方程组即可． 此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是能熟练运用加减消元法． 【详解】（1）解：小华同学使用的是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘以一个相同的数，等式仍然成立． 第二步出现错误，原因是计算减法时没有把负号转变为正号； （2）略 18．(1)每台纸电一体借还机的价格为4万元，每台阅宝机器人的价格为9万元； (2)符合条件的采购方案有2种：方案1：采购11台纸电一体借还机，3台阅宝机器人；方案2：采购2台纸电一体借还机，7台阅宝机器人 【分析】（1）设每台纸电一体借还机的价格为万元，每台阅宝机器人的价格为万元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设采购台纸电一体借还机，台阅宝机器人，根据题意列二元一次方程，得到，再结合、均为正整数，得出、的可能取值，即可得解． 【详解】（1）解：设每台纸电一体借还机的价格为万元，每台阅宝机器人的价格为万元， 则，解得：， 答：每台纸电一体借还机的价格为4万元，每台阅宝机器人的价格为9万元； （2）解：设采购台纸电一体借还机，台阅宝机器人， 则， 解得：， 、均为正整数， 、的可能取值为或， 符合条件的采购方案有2种：方案1：采购11台纸电一体借还机，3台阅宝机器人；方案2：采购2台纸电一体借还机，7台阅宝机器人． 19．(1)②④ (2) (3) 【分析】（1）根据“合和3”方程组的定义逐一判断即可； （2）利用加减消元法解方程组得到，根据“合和”方程组的定义得到，据此建立方程求解即可； （3）根据“合和”方程组的定义得到，联立，解方程组得到；把代入中得，根据对于任意的，等式都成立，得到，则． 【详解】（1）解：①∵， ∴方程组的解不满足， ∴方程组不是“合和3”方程组； ② 得，解得， 把代入⑤得，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴方程组是“合和3”方程组； ③ 得， ∴， ∴方程组不是“合和3”方程组； ④∵， ∴方程组的解满足， ∴方程组是“合和3”方程组； 综上所述，是“合和3”方程组的是②④； （2）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的方程组是“合和”方程组， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵当时，对于的每一个值，关于x，y的方程组都是“合和”方程组， ∴当时，， 联立 得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； 把代入中得， ∴， ∴， ∵对于任意的，等式都成立， ∴， ∴． 20．(1)正常情况下每道正门每分钟通过120人，每道侧门每分钟通过80人 (2)紧急情况下，教学楼内全体师生撤离教学楼需要3.5分钟，能安全撤离 【分析】（1）设正常情况下每道正门每分钟通过x人，每道侧门每分钟通过y人，正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过人，据此列出方程组并解方程组即可； （2）求出教学楼内全体师生撤离教学楼需要的时间，比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：设正常情况下每道正门每分钟通过x人，每道侧门每分钟通过y人， 根据题意得：， 解得：， 答：正常情况下每道正门每分钟通过120人，每道侧门每分钟通过80人； （2）解：根据题意得： ， ∵3.5分钟＜4分钟 ∴能安全撤离． 答：紧急情况下，教学楼内全体师生撤离教学楼需要3.5分钟，能安全撤离 21．(1)， (2)， 【详解】（1）解；， ， ， ， ， 图略； （2）解：， ， ， ， ， ， 图略． 22． 【分析】分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，取两个解集的公共部分即可得到原不等式组的解集 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是． 23．(1) (2)证明：由（1）得， ， ， ， ，即． (3) 【分析】（1）由方程组，利用加减消元可得，； （2）由（1）得，则，即可证明； （3）由代入得，整理为，分情况讨论解不等式组即可． 【详解】（1）解：方程组， 得，，解得， 得，，解得， ． （2）略 （3）∵，， ，整理得， 当时， 解得且，不等式组无解． 当时，解得． 综上，的取值范围为． 24．(1)科技类图书每本20元，文学类图书每本16元 (2)科技类图书最多能购买153本 【分析】（1）由题意，设未知数列出二元一次方程组，求解即可得到两种图书的单价； （2）设科技类图书的购买数量，根据总资金不超过限制列出一元一次不等式，结合购买数量为正整数，取最大整数解即可得到结果． 【详解】（1）解：设科技类图书每本元，文学类图书每本元． 依题意，得，解得， 答：科技类图书每本20元，文学类图书每本16元． （2）解：设购买科技类图书本，则购买文学类图书本． 依题意，得， 解得， 因为为正整数，所以满足条件的最大整数为153． 答：科技类图书最多能购买153本． 25．(1) (2)此路口红绿灯实际时间差，不能保证交通安全 (3) 【分析】（1）连接，，观察图形发现骑车人A需要骑行通过的路程为，根据线段和差计算即可得答案. （2）根据图形求出机动车B从等待线出发行驶到线时的路程，骑车人A需要骑行通过的路程，把速度统一单位后，代入、、的值，分别求出骑车人通过路口的时间，机动车B从等待线出发行驶到线时的时间，再求出两者时间差，和实际时差比较即可判断能否保证交通安全. （3）要保证此十字路口交通安全，骑车人通过的时间要大于红绿灯时间差与机动车从等待线出发行驶到线时的时间之和，即：，根据条件求出、，即可列不等式，解出即可得红绿灯时间差t应满足的条件. 【详解】（1）解：如图， 连接，，则：骑车人A需要骑行通过的路程为，根据题意得：，， ∴（米）， ∴骑车人A需要骑行的路程为米. （2）解：根据图形得：机动车B从等待线出发行驶到线时的路程为： （米）， 由（1）得：，， ∴骑车人A需要骑行通过的路程为：（米）， 当，时，，（米）， ∴骑车人A需要骑行通过的路程为：（米）， 机动车B从等待线出发行驶到线时的路程为：（米）， ∵， ∴自行车平均时速为， ∴机动车平均时速为， ∴骑车人通过的时间为：， 机动车B从等待线出发行驶到线时的时间为：， ∴红绿灯时间差为：（） ∵， ∴此路口红绿灯实际时间差，不能保证交通安全. （3）解：由（1）得：骑车人需要骑行通过的路程为米， 由（2）得：机动车B从等待线出发行驶到线时的路程为：（米）， ∵自行车平均时速为，机动车平均时速为， ∴自行车平均时速为：，机动车平均时速为， ∴骑车人需要骑行通过的时间为：， 机动车B从等待线出发行驶到线时的时间为：， 要保证此十字路口交通安全，骑车人通过的时间要大于红绿灯时间差与机动车从等待线出发行驶到线时的时间之和，即：， ∴， ∴， ∴要保证此十字路口交通安全，红绿灯时间差t应满足的条件为：. 26．(1)； (2)证明：平分， ，平分， ， ， ， ， ； (3)真 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）写出已知和求证，然后证明即可． 【详解】（1）解：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． （2）略 （3）解：命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是真命题， 已知：，被所截，平分，平分，求证：； 证明如下： 如图所示， ∵，被所截，平分，平分， ∴，，， ∴， ∴． 27．等式的基本事实 ；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；角度计算；； ；同旁内角互补，两直线平行 【分析】由已知条件以及等量代换可得，再根据同位角相等，两直线平行即可证得；根据两直线平行，内错角相等可得最后根据同旁内角互补，两直线平行即可证得． 【详解】略． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $