专题07 七年级下册计算题专项训练16大题型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 本专项以分层递进的方法体系整合七年级下册计算核心考点，通过定义转化、公式逆用、参数分析等策略，构建从基础运算到综合应用的知识逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂运算|3题型15题|定义转化与公式逆用|从混合运算到含参及新定义，深化幂的性质理解| |整式乘法|3题型15题|化简求值与参数分析|从混合运算到不含某项求参，强化代数变形能力| |乘法公式应用|3题型15题|配方变形与最值求解|从公式计算到变形求值及配方法，提升公式灵活应用| |方程与不等式|7题型35题|消元法与参数整合|从方程组求解到不等式组含参及综合应用，构建方程与不等关系逻辑链|

专题07 七年级下册计算题专项训练 题型1 幂的混合运算 题型9 配方法求最值 题型2 由幂的运算求代数式的值 题型10 解二元一次方程组 题型3 幂的新定义运算 题型11 二元一次方程组的含参计算 题型4 整式乘法混合运算 题型12 二元一次方程组的新定义计算 题型5 整式乘法的化简求值 题型13 解不等式组 题型6 整式乘法不含某项求字母的值 题型14 不等式组的含参问题 题型7 乘法公式计算 题型15 不等式组与方程组相结合计算 题型8 通过对完全平方公式变形求值 题型16 不等式组的新定义计算 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 幂的混合运算（共5小题） 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式、积的乘方、单项式除以单项式法则计算各项，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 4．（25-26七年级下·江苏南京·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据积的乘方和单项式乘以单项式运算法则，合并同类项法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 5．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）计算：． 【答案】 【分析】先根据单项式乘单项式法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的除法法则分别计算，再合并同类项即可． 【详解】解：． 题型二 由幂的运算求代数式的值（共5小题） 6．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． (1)【计算】 ①； ②； (2)【拓展】若，求n的值． 【答案】(1)①1，② (2)3 【分析】（1）①利用积的乘方法则的逆运算解答即可；②将指数化为相同的形式，再利用积的乘方法则的逆运算解答即可； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将等式左边化为以2为底的幂的形式，然后根据同底数幂相等的性质列出关于n的方程求解即可． 【详解】（1）解：① ② （2）解：∵ ∴， ∴， 解得． 7．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)30 (2) 【分析】（1）直接逆用同底数幂的乘法法则计算即可； （2）先逆用同底数幂的除法法则得到，再逆用幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 8．（25-26七年级下·福建宁德·期中）小明在学习同底数幂的乘法时，根据算式：，做了如下推导：，因此得到． 类比探究： (1)求的值； (2)求证：； 拓展探究： (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）逆用同底数幂的乘法得到，又，可得，可知； （3）根据同底数幂的除法法则得到，，进而逆用幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）证明： （3）解：， ， 9．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【中档】若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方逆运算可得：，即可得出，再根据已知，由此可得：，得出，解方程即可得出x的值； （2）将变形为：，即，即可得出，即可得出答案； （3）由，可得，把代入y即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：已知， ∵ ， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算：． 解：原式， ， ， ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． (1)计算： ①； ②； (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将拆为，逆用积的乘方公式，把指数相同的与结合计算；②将化为，逆用积的乘方公式，把指数相同的与结合计算； （2）先逆用积的乘方公式将左边化为，再根据同底数幂相等则指数相等列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型三 幂的新定义运算（共5小题） 11．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则， 即． (1)根据上述规定，填空：_____；_____；_____． (2)计算_____． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意正整数都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，即， ∴，即， ∴． 12．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如果，则我们规定．如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知，，，若，求y的值． 【答案】(1)4， (2)20 【分析】（1）根据新定义运算的含义可得答案； （2）由新定义可得：，，，再结合，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·安徽六安·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以．利用上述规定可说明等式成立．说明如下： 设，，则，． 所以，所以， 即． (1)根据上述规定，填空： ①________； ②________； ③________； ④________； (2)记，，．说明：． 【答案】(1)①4；②4；③0；④ (2)见详解 【分析】（1）根据题意及零次幂，负指数幂可进行求解； （2）根据题意易得，，，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：①∵，∴； ②∵，∴； ③∵，∴； ④∵，∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ， ； (2)[说理]记，试说明； (3)[应用]若，求t的值． 【答案】(1)2；3 (2)见解析 (3)48 【分析】（1）根据，结合所给定义即可得到答案； （2）根据定义可得，则可求出，进而得到，据此可证明； （3）设，则，可求出，，则，即． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 题型四 整式乘法混合运算（共5小题） 16．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算： 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 17．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 18．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，再合并同类项即可； （2）先分别计算平方、零次方及负整数指数幂，再计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（25-26七年级下·江苏南通·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 20．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式展开原式，去括号后合并同类项即可得到结果； （2）将看作一个整体，利用平方差公式计算后，再展开完全平方即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型五 整式乘法的化简求值（共5小题） 21．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算中的化简求值，掌握“多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的运算法则”是解本题的关键． 先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】 ， ∵ ∴原式． 22．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．根据多项式乘多项式法则展开，然后合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， ． 23．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可． 【详解】解：， ， 原式． 24．（24-25八年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再根据，求出，，最后将，的值代入化简后的式子即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴原式 ． 25．（25-26七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算的化简求值，幂的乘方的逆运算法则，同底数幂的除法及负整数幂的逆运算法则，解题的关键是熟悉多项式的运算法则．根据完全平方公式，平方差公式及多项式的除法则运算化简，再利用幂的乘方的逆运算法则，同底数幂的除法及负整数幂的逆运算法则求出整体代入即可求解． 【详解】解：原式 ， ，即， ， 当时，原式． 题型六 整式乘法不含某项求字母的值（共5小题） 26．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知的展开式中不含项，常数项是，求m、n的值． 【答案】， 【分析】先将多项式展开，合并同类项后，根据不含项得到项的系数为，根据常数项是得到常数项的等式，联立两个方程求解、的值． 【详解】解： 由展开式不含项，得， 由常数项为，得， 解得 ， 将代入得， 解得． 27．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）先将已知代数式整理后，根据题意求得的值； （2）根据，求得的值，然后代值求解即可． 【详解】（1）解： ， 因代数式中不含项与常数项， ， ． （2）解：∵， ， ， 解得：， ． 28．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 29．（24-25七年级下·四川成都·期中）关于的整式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项，掌握多项式乘多项式的运算法则，合并同类项法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式的运算法则进行，然后再合并同类项，然后再根据化简后不含的项和常数项，得出项的系数为0，常数项为0，即可求出、的值； （2）把（1）求出的，代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵化简后不含的项和常数项， ∴， 解得：，； （2）解：把，代入，得： ． 30．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 题型七 乘法公式计算（共5小题） 31．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，再合并同类项； （2）根据完全平方公式去括号，再合并同类项即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项即可； （2）把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 35．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多项式乘多项式、单项式乘多项式法则展开，然后合并同类项即可； （2）将原式变形为，然后分别利用平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型八 通过对完全平方公式变形求值（共5小题） 36．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) 33 (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解； （1）根据完全平方公式的变形得到，据此求解即可； （2）先根据完全平方公式的变形求出的值，再根据平方差公式及多项式乘以多项式法则进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ 37．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，求： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据完全平方公式得到把代入即可求解； （2）根据完全平方公式得到，则，得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴． 38．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）数学探究小组在学习完全平方公式时，发现可以利用恒等变形改变式子的结构， 比如： (1)类比推导：____________． (2)初步尝试：已知，求的值． (3)迁移应用：已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式进行变形即可； （2）根据，代入进行计算即可； （3）令，得到，再根据代数进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ； （3）解：， ， 令， 则， 根据完全平方公式， 将代入， ， ． 39．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）已知，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式进行变形后可得，再将，，代入求解即可； （2）利用完全平方公式进行变形并结合（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：． 40．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）按要求完成下列计算： (1)已知：，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)7 (2)16 【分析】（1）利用完全平方公式的变形求解； （2）令，则，，代入原式求出，即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：令，则，， ， ， ， 解得， ． 题型九 配方法求最值（共5小题） 41．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； (2)将变形为的形式___________，则的最小值为___________； (3)已知，求代数式的最大值； 【答案】(1)16 (2)，1 (3)有最大值． 【分析】本题主要考查完全平方式的变换，根据式子进行变换化成完全平方式是解题的关键． （1）根据完全平方公式求解； （2）利用配方法求最小值； （3）由，得到，代入得，利用配方法求最大值即可． 【详解】（1） 解：∵， 故答案为：16； （2）解：∵ ， 其中，， ， 的最小值是1； 故答案为：，1； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 42．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数， 即．所以，所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式______，则的最小值为______； (2)已知，求代数式的最大值； (3)已知，请比较与的大小，并说明理由； 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用； （1）依据题意，根据完全平方公式求解； （2）由，得到，代入得，利用配方法求最大值即可； （3）求出，即可比较大小． 【详解】（1）解：， ∵不论取何值，总是非负数，即． ∴， ∴当时，有最小值． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵不论取何值，总是非负数，即． ∴， ∴，即． 43．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值． 解：原式，∴当时，有最小值是． 【类比应用】 (1)①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； ② 直接写出代数式的最小值为 ； (2)已知，求的值． 【答案】(1)①9；②6 (2)0 【分析】（1）①利用完全平方公式求解； ②将变形为完全平方加有理数的形式即可； （2）利用完全平方公式将变形为，求出和，再代入计算即可． 【详解】（1）解：①，故填； ②解：； 由于，所以， 即的最小值为6； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 44．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，， (2)，或 (3) 【分析】（1）根据题中所给的已知材料可得的多种配方形式； （2）根据题中所给的已知材料可得的多种配方形式； （3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值． 【详解】（1）解：的三种配方分别为： ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴． 45．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即．例如：．请根据阅读材料解决下 (1)已知，求的值； (2)当x，y为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1) (2)，最小值为8 【分析】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，一元一次方程的求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）将利用完全平方公式配方，根据平方的非负性可得x和y的值，可解答； （2）首先把已知等式利用完全平方公式进行配方，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， ，， ； （2） ， ，， 代数式取得最小值时， ，解得：， ∴当时，代数式取得最小值，最小值为8． 题型十 解二元一次方程组（共5小题） 46．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把②代入①得， ， 把代入②得， ∴原方程组的解为． （2）解：， 得，， ， 把代入得，， ， ∴原方程组的解为． 47．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）解方程组： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用代入消元法即可求解； （2）先将原方程组化简，再根据加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入得，， 解得， 把代入得，， ∴原方程组的解为． （2）解：将方程组化为， 得，， 得，， 得，， 解得， 把代入得，， 解得， ∴原方程组的解为． 48．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可； （2）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】（1）解： ，得 ， ，得 解得， 将代入②，得 ， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解： ，得 ，得 ，得 ， 解得， 将代入②，得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 49．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可； （2）把方程整理为，再加减消元法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】（1）解： ，得③， ，得，， 将代入①，得，， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组可化为， ，得 ，得， ，得，， 将代入①，得，， ∴原方程组的解为． 50．（25-26七年级下·江苏·期中）选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将①代入②得，， 解得， 将③代入①得， ∴； （2）解： ①去分母得，， 得，， 将④代入②得，， 解得， ∴． 题型十一 二元一次方程组的含参计算（共5小题） 51．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若原方程组的解满足，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由x，y为正整数，从而可得方程的正整数解； （2）先构建新的方程组，再解方程组求解x，y的值，再把x，y的值代入，再求解m的值即可． 【详解】（1）解：方程的所有正整数解：或； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入， 得： ， 解得． 52．（25-26七年级下·江苏·期末）已知关于，的二元一次方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）先将方程变形为，再根据、为正整数的条件，确定的取值范围，进而得到对应的值． （2）可将与原方程组中的组成新的方程组，先求出、的值，再将、的值代入含的方程中，求解． 【详解】（1）将方程变形为 ， 因为、是正整数，所以，即， 因为是正整数， ∴或； 当时，； 当时，； 因此所有正整数解为： ，； （2）由题意，方程组的解满足， 联立得： ， 由得， 代入，解得，． 将，代入方程，得 ， 解得． 53．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）根据正整数解的定义进行解答即可； （2）求出方程组的解，再代入进行计算即可． 【详解】解：（1）方程， 当时，， 当时，， 当时，， 则方程的正整数解有，，； （2）方程组的解为， 把代入得，， 解得． 54．（25-26七年级下·江苏·期末）已知关于的方程组． (1)解这个方程组（结果用含的代数式表示）； (2)若这个方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组即可； （2）将（1）中求得的代入求解即可． 【详解】（1）解：， ①②得， 解得； 将代入①得； 解这个方程组的解为； （2）解：将代入， 得， 解得． 55．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于x，y的方程组． (1)方程有一组正整数解，请再写出一组正整数解为 ． (2)若该方程组的解满足，求m的值； (3)若小明在解此方程组时，看错了m的符号，而得解为，则正确的m值为 ． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)1 (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，及其整数解和解的定义，熟练掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． （1）由方程，得到，代入，得到值即可，答案不唯一； （2）根据题意联立，解之代入，即可得到答案； （3）根据题意，得，解之即可． 【详解】（1）解：方程， 解得， 当时，， 方程的另一组整数解为， 故答案为：．（答案不唯一） （2）解：根据题意，得， 解得，代入，得， 解得， 故m的值为1． （3）解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 题型十二 二元一次方程组的新定义计算（共5小题） 56．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 57．（24-25七年级下·江苏·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 58．（25-26七年级下·江苏·期中）阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 【答案】(1)不是 (2)m= (3) 【分析】（1）根据定义计算判断即可； （2）根据定义列方程求出m即可； （3）根据定义列方程组求解即可． 【详解】（1）解：方程3x=-6的解为x=-2， ∵-2≠-6+3， ∴方程3x=-6不是“和解方程”， 故答案为：不是； （2）由题意得， 解得m=； （3）由题意得， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确理解题意中的定义列得方程或方程组解决问题是解题的关键． 59．（25-26七年级下·浙江金华·期末）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程组，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求和新定义可得，解方程组得到，根据相反数的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，且，， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴ 得，解得， 把代入②得，解得， ∴关于x、y的方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解x，y互为相反数， ∴， ∴， ∴． 60．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）阅读材料：对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)则 ； (2)若，则 ； (3)若，求、的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了新定义运算，解一元一次方程，解二元一次方程组； （1）根据，进行计算即可求解； （2）根据，得出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）根据，列出方程组，求出方程组的解，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：∵ ∴ 解得： （3）解：根据题中的新定义得： ①+②得：， 解得， 将代入①得 ∴ 题型十三 解不等式组（共5小题） 61．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）解不等式组，并求出它所有非负整数解的和． 【答案】；3 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为：， 非负整数解为：、、， 则所有非负整数解的和为． 62．（2026·江苏扬州·二模）解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 【答案】，图见解析 【分析】先求得每个不等式的解集，再找到它们的公共部分即为该不等式组的解集，然后表示在数轴上即可，注意是空心还是实心． 【详解】解：由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示其解集如图所示： 63．（2026·江苏南京·一模）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，画图见解析 【分析】分别求出各个不等式的解集，进而即可得到不等式组的解集，并在数轴上表示出来，即可解答． 【详解】解： 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ． 原不等式组的解集为． 数轴上表示如下 ． 64．（2026·江苏南京·模拟预测）解不等式组，并写出不等式组的整数解． 【答案】 ； 【分析】首先，按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，分别解出两个一元一次不等式的解集，再按照“大小小大中间找”的方法得出不等式组的解集，最后，取出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 65．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，不等式组的所有整数解为：，0，1 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 不等式组的所有整数解为：，0，1． 题型十四 不等式组的含参问题（共5小题） 66．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于x的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．解第一个不等式得出其解集，再根据“大大小小无解了”可得答案． 【详解】解：由题意可得：， 不等式组无解， 故选：D． 67．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知关于的不等式组仅有三个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据题意，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组仅有三个整数解， ∴，且整数解为：， ∴， ∴； 故选A． 68．（25-26七年级下·江苏·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．首先求得不等式组的解集，然后根据该不等式组整数解共有4个，即可获得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 由题意该不等式组的解集为 ， 因为该不等式组整数解共有4个，即为4、5、6、7， 所以的取值范围是． 故选：D． 69．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有4个整数解，确定参数的范围，进而求出所有满足条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式，得，即， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有4个整数解，整数解为， 故需满足，即 ∴整数为和，和为． 70．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为__________． 【答案】28 【分析】本题主要考查解二元一次方程和解不等式组，利用参数表示方程的解和不等式的解集是解题的关键． 首先解方程得到，由解为整数可知为奇数，再解不等式组，得到解集为，再由有且仅有3个整数解确定a的取值范围，结合为奇数，得到或，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵解为整数， ∴为偶数，即a为奇数， 解不等式组，得：， ∵关于的不等式组有且仅有3个整数解， ∴， ∴，解得：， ∵a为整数，且a为奇数， ∴或， ∴满足条件的整数a和为， 故答案为：28． 题型十五 不等式组与方程组相结合计算（共5小题） 71．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 72．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为__________． 【答案】3 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得k的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有正整数解，即可求出k的值，从而可以解答本题． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的一元一次不等式组的解集是， ∴， 由方程可得， ∵关于y的方程有正整数解， ∴或或， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键． 73．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知关于，的二元一次方程组的解关于，满足，，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】先解关于，的二元一次方程组，然后根据，，得到关于的一元一次不等式组即可求解． 【详解】解： ①＋②，得， 解得， 将代入①得，， 解得， ∵，， ∴， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的解法，正确地求得二元一次方程组的解是解题的关键． 74．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两式相减得到关于的表达式，再结合求解的值； （2）先解方程组，根据方程的解满足为非正数，为负数，列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， ， ， ， ； （2）解：， 得，， ， 将代入得，， ， 为非正数，为负数， ， 解得． 75．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 【答案】(1) (2) (3)5、6、7 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，根据，得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， ∵方程组的解集满足， ∴， 解得：； （3）解：∵ ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为5或6或7． 题型十六 不等式组的新定义计算（共5小题） 76．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）定义：对于任何数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：． (1)； (2)如果，那么a的取值范围是 ； (3)如果，求满足条件的所有整数x； (4)直接写出方程的解． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】此题考查了一元一次方程、一元一次不等式、一元一次不等式组等的应用，读懂新定义是解题的关键． （1）由定义直接得出即可； （2）根据，得出即可； （3）根据题意得出，求出x的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解； （4）整理得出，方程右边式子为整数，表示出x只能为负数，得出，求出x的取值范围，确定出方程的解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 故答案为： （2）∵， ∴， 故答案为： （3）∵ ∴ 解得， ∴满足条件的所有整数x为； （4） ∴ ∴ 解得 ∵为整数， ∴或 77．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”． 【应用】 (1)在①、②、③这三个一元一次不等式中，是的“相斥不等式”的是_____（填序号）． (2)若关于的不等式是的“相斥不等式”，求的取值范围． (3)若（是非零常数）是的“相斥不等式”，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3)且 【分析】本题主要考查解一元一次不等式、不等式的解集等知识点，熟练掌握解一元一次不等式的技能和“相斥不等式”的定义是解题的关键． （1）根据“相斥不等式”的定义求解即可； （2）根据“相斥不等式”的定义可得到关于a的不等式，求解即可； （3）根据“相斥不等式”的定义可得到关于k的不等式，求解即可． 【详解】（1）解：①∵的解可能是的解， ∴不是的“相斥不等式”． ②∵的解有可能是的解， ∴不是的“相斥不等式”； ③∵的解都不是的解， ∴是的“相斥不等式”． 故答案为：③． （2）解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于的不等式是的“相斥不等式”， ∴， 解得：． （3）解：∵（是非零常数）是的“相斥不等式”， 的解集为， ∴， 解得：且． 78．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“解集内方程”． (1)以下两个方程：①，②中，属于不等式组“解集内方程”的是 (填序号)； (2)若关于x的方程是不等式组的“解集内方程”，求k的取值范围： (3)若方程，都不是关于x的不等式组的“解集内方程”，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据“解集内方程”的定义进行判断即可． （2）根据“解集内方程”的定义，得出关于的不等式组，再进行计算即可． （3）根据“解集内方程”的定义，得出关于的不等式组，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由得，； 由得，． 解不等式组 解得：． 所以属于不等式组的“解集内方程”的是②． 故答案为：②． （2）由得， 解不等式组 解得： 关于的方程是不等式组的“解集内方程”， ∴ 解得：． （3）由得，； 由得，． 解不等式组 解得：． 方程，都不是关于x的不等式组 ∴或或， 解得或或． 79．（25-26七年级下·江苏·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“智惠方程”是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）先解方程可得，再解不等式组可得，再根据 根据“智惠方程”的定义，得到，得 ，此时不等式组恰好有3个整数解，得到，解得，从而可得答案． 【详解】（1）解：①方程的解为； ②的解是； ③的解， 不等式的解集为， ∴不等式的“智惠方程”是②， 故答案为：②； （2）解：解方程​，得． 解，得． 解，得． ∴不等式组的解集为． 根据“智惠方程”的定义， ∴，得， ∵有3个整数解，即1，2，3， ∴，解得​， 综上，的取值范围是  ． 80．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“跟随方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“跟随方程”是 ；(填序号) (2)若不等式组的一个“跟随方程”的解是整数，求这个“跟随方程”中的值； (3)若在三个方程①，②，③中，只有两个是关于的不等式组的“跟随方程”，直接写出的取值范围： ． 【答案】(1)②③ (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、一元一次方程的解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键； （1）依据题意，先解不等式组，然后分别解方程，最后逐个判断可以得解； （2）依据题意，先解不等式组，然后结合方程是不等式组的“跟随方程”，且其解为整数，进而可以计算得解； （3）依据题意，先分别解三个方程为，，，再解不等式组，可得，故不等式组的整数解为、或、，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，解不等式组， ． 又， ， 的解不是不等式组的解， 不是不等式组的“跟随方程”； 又， ， 是不等式组的“跟随方程”； ， ， 是不等式组的“跟随方程”． 故答案为：． （2）解：由题意，， 解不等式得：，解不等式得：， 不等式组的解集为． 不等式组的整数解为，． 方程是不等式组的“跟随方程”，且其解为整数， 方程的解为或， 当方程的解为时，则，解得； 当方程的解为时，则，解得． 综上所述，或． （3）解：由题意，三个方程为，，， 三个方程的解，，． 又解不等式组， ． 不等式组的整数解为、或、． 或． 或． 故答案为：或． $ 专题07 七年级下册计算题专项训练 题型1 幂的混合运算 题型9 配方法求最值 题型2 由幂的运算求代数式的值 题型10 解二元一次方程组 题型3 幂的新定义运算 题型11 二元一次方程组的含参计算 题型4 整式乘法混合运算 题型12 二元一次方程组的新定义计算 题型5 整式乘法的化简求值 题型13 解不等式组 题型6 整式乘法不含某项求字母的值 题型14 不等式组的含参问题 题型7 乘法公式计算 题型15 不等式组与方程组相结合计算 题型8 通过对完全平方公式变形求值 题型16 不等式组的新定义计算 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 幂的混合运算（共5小题） 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）计算： 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算：． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）计算：． 4．（25-26七年级下·江苏南京·期末）计算：． 5．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）计算：． 题型二 由幂的运算求代数式的值（共5小题） 6．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． (1)【计算】 ①； ②； (2)【拓展】若，求n的值． 7．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 8．（25-26七年级下·福建宁德·期中）小明在学习同底数幂的乘法时，根据算式：，做了如下推导：，因此得到． 类比探究： (1)求的值； (2)求证：； 拓展探究： (3)若，求的值． 9．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【中档】若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y，则 ． 10．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算：． 解：原式， ， ， ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． (1)计算： ①； ②； (2)如果，求的值． 题型三 幂的新定义运算（共5小题） 11．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则， 即． (1)根据上述规定，填空：_____；_____；_____． (2)计算_____． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意正整数都成立． 12．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如果，则我们规定．如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知，，，若，求y的值． 14．（25-26七年级下·安徽六安·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以．利用上述规定可说明等式成立．说明如下： 设，，则，． 所以，所以， 即． (1)根据上述规定，填空： ①________； ②________； ③________； ④________； (2)记，，．说明：． 15．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ， ； (2)[说理]记，试说明； (3)[应用]若，求t的值． 题型四 整式乘法混合运算（共5小题） 16．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算： 17．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 18．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 19．（25-26七年级下·江苏南通·期中）计算：． 20．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）计算： (1)； (2)． 题型五 整式乘法的化简求值（共5小题） 21．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值，其中． 22．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）先化简，再求值：，其中． 23．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中． 24．（24-25八年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 25．（25-26七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中x、y满足． 题型六 整式乘法不含某项求字母的值（共5小题） 26．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知的展开式中不含项，常数项是，求m、n的值． 27．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 28．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 29．（24-25七年级下·四川成都·期中）关于的整式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 30．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 题型七 乘法公式计算（共5小题） 31．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 32．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 33．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 34．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 35．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 题型八 通过对完全平方公式变形求值（共5小题） 36．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 37．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，求： (1) (2) 38．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）数学探究小组在学习完全平方公式时，发现可以利用恒等变形改变式子的结构， 比如： (1)类比推导：____________． (2)初步尝试：已知，求的值． (3)迁移应用：已知，求的值． 39．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）已知，，求： (1)； (2)． 40．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）按要求完成下列计算： (1)已知：，求的值； (2)已知，求的值． 题型九 配方法求最值（共5小题） 41．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； (2)将变形为的形式___________，则的最小值为___________； (3)已知，求代数式的最大值； 42．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数， 即．所以，所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式______，则的最小值为______； (2)已知，求代数式的最大值； (3)已知，请比较与的大小，并说明理由； 43．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值． 解：原式，∴当时，有最小值是． 【类比应用】 (1)①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； ② 直接写出代数式的最小值为 ； (2)已知，求的值． 44．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)已知，求的值． 45．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即．例如：．请根据阅读材料解决下 (1)已知，求的值； (2)当x，y为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 题型十 解二元一次方程组（共5小题） 46．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 47．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）解方程组： (1)； (2)； 48．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解方程 (1)； (2)． 49．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2) 50．（25-26七年级下·江苏·期中）选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 题型十一 二元一次方程组的含参计算（共5小题） 51．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若原方程组的解满足，求m的值． 52．（25-26七年级下·江苏·期末）已知关于，的二元一次方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 53．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． 54．（25-26七年级下·江苏·期末）已知关于的方程组． (1)解这个方程组（结果用含的代数式表示）； (2)若这个方程组的解也满足方程，求的值． 55．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于x，y的方程组． (1)方程有一组正整数解，请再写出一组正整数解为 ． (2)若该方程组的解满足，求m的值； (3)若小明在解此方程组时，看错了m的符号，而得解为，则正确的m值为 ． 题型十二 二元一次方程组的新定义计算（共5小题） 56．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 57．（24-25七年级下·江苏·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 58．（25-26七年级下·江苏·期中）阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 59．（25-26七年级下·浙江金华·期末）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值； 60．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）阅读材料：对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)则 ； (2)若，则 ； (3)若，求、的值． 题型十三 解不等式组（共5小题） 61．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）解不等式组，并求出它所有非负整数解的和． 62．（2026·江苏扬州·二模）解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 63．（2026·江苏南京·一模）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来． 64．（2026·江苏南京·模拟预测）解不等式组，并写出不等式组的整数解． 65．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）解不等式组，并写出所有整数解． 题型十四 不等式组的含参问题（共5小题） 66．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于x的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 67．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知关于的不等式组仅有三个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 68．（25-26七年级下·江苏·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 69．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 70．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为__________． 题型十五 不等式组与方程组相结合计算（共5小题） 71．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________． 72．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为__________． 73．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知关于，的二元一次方程组的解关于，满足，，则的取值范围为________． 74．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 75．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 题型十六 不等式组的新定义计算（共5小题） 76．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）定义：对于任何数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：． (1)； (2)如果，那么a的取值范围是 ； (3)如果，求满足条件的所有整数x； (4)直接写出方程的解． 77．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”． 【应用】 (1)在①、②、③这三个一元一次不等式中，是的“相斥不等式”的是_____（填序号）． (2)若关于的不等式是的“相斥不等式”，求的取值范围． (3)若（是非零常数）是的“相斥不等式”，求的取值范围． 78．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“解集内方程”． (1)以下两个方程：①，②中，属于不等式组“解集内方程”的是 (填序号)； (2)若关于x的方程是不等式组的“解集内方程”，求k的取值范围： (3)若方程，都不是关于x的不等式组的“解集内方程”，请直接写出m的取值范围． 79．（25-26七年级下·江苏·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 80．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“跟随方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“跟随方程”是 ；(填序号) (2)若不等式组的一个“跟随方程”的解是整数，求这个“跟随方程”中的值； (3)若在三个方程①，②，③中，只有两个是关于的不等式组的“跟随方程”，直接写出的取值范围： ． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $