15.1.1 轴对称及其性质 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“轴对称及其性质”核心知识点，从生活实例导入，系统梳理轴对称图形与两个图形成轴对称的概念辨析，深入讲解轴对称的性质、线段垂直平分线的定义及判定，结合尺规作图与坐标系中的变换，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以生活情境激发学习兴趣，通过对比表格明晰概念差异，培养几何直观与空间观念（数学眼光），以性质推导和几何语言表达发展推理意识（数学思维）。典型例题与中考真题结合，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升应用能力（数学语言）。

人教版八年级数学 · 15.1.1 轴对称及其性质 · 讲义 15.1.1 轴对称及其性质讲义 一、情境导入：生活中的轴对称 观察生活中的图片（蝴蝶、天安门、雪花、汽车标志），它们有什么共同特征？ → 它们都可以沿某条直线对折，直线两旁的部分完全重合。 思考： 如果将一只蝴蝶沿身体中线对折，左右两半会怎样？ 数学源于生活： 对称是自然界和人类文明中普遍存在的美学法则，也是数学中重要的变换方式。从今天起，我们用严谨的数学语言来研究"对称"。 二、轴对称图形——概念与实例 1. 定义 如果一个平面图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴。折叠后重合的点叫做对称点（也叫对应点）。 关键词： ①"平面图形"——是单个图形自身的性质；②"沿一条直线折叠"——对称轴是直线（不是线段或射线）；③"完全重合"——不是近似重合，是严格重合。 2. 常见图形的对称轴数量 以下是学过的常见图形的对称轴数量，必须熟记！ 图形 对称轴数量 对称轴位置 线段 2条 线段所在直线、线段的垂直平分线 角 1条 角平分线所在直线 等腰三角形 1条 底边上的高（顶角平分线）所在直线 等边三角形 3条 三条边上的高所在直线 矩形 2条 两组对边中点连线所在直线 正方形 4条 两条对角线所在直线、两组对边中点连线 圆 无数条 任意直径所在直线 3. 轴对称图形示例 三、两个图形成轴对称——概念与辨析 1. 定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称（也称这两个图形关于这条直线对称）。这条直线叫做对称轴，两个图形中重合的点叫做对称点。 2. 轴对称图形 vs 两个图形成轴对称 比较项 轴对称图形 两个图形成轴对称 对象 一个图形 两个图形 本质 图形自身的对称属性 两个图形间的位置关系 对称轴 使图形自身两半重合 使两个图形重合 对称点 在同一图形内 分别在两个图形中 联系 将轴对称图形沿对称轴分成两部分→两部分成轴对称 将两个成轴对称的图形看作整体→构成一个轴对称图形 巧记： 轴对称图形——"我自己对折能重合"；两个图形成轴对称——"我和别人对折能重合"。 四、轴对称的性质（核心） 1. 核心性质（必背） 性质1： 成轴对称的两个图形全等（形状相同、大小相等）。性质2： 对称轴垂直平分任何一对对应点所连的线段。性质3： 轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。 2. 性质的数学表达 已知：如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称，AA'交l于点P。 结论： ① l⊥AA'（垂直）；② AP = PA'（平分）；③ AB = A'B'，∠A = ∠A'（全等）。 3. 性质的解读 要点 说明 "垂直平分"的含义 既垂直于对应点连线，又经过该线段的中点（即交点为中点） "任何一对"的含义 任取一组对称点，其连线都被对称轴垂直平分，无一例外 全等是结果 对称变换不改变图形的形状和大小，只改变位置 对应线段、对应角 对应线段相等，对应角相等（由全等直接推出） 4. 应用：如何找对称轴？ 方法： 找出任意一组对称点 → 连接对称点 → 作该线段的垂直平分线 → 这条垂直平分线就是对称轴。 依据： 轴对称的性质——"对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线"。 五、线段的垂直平分线 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 两个条件缺一不可： ①过中点（平分）；②与线段垂直（成90°）。只有同时满足，才是垂直平分线。 2. 性质定理 定理： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 几何语言： 如图，∵ 直线l⊥AB，垂足为C，且AC=CB（即l是AB的垂直平分线），点P在l上，∴ PA = PB。 3. 判定定理（逆定理） 定理： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言： 如图，∵ PA = PB，∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。 4. 性质与判定的对比 项目 性质定理 判定定理 用途 已知条件 点在垂直平分线上 点到两端距离相等 —— 得出结论 点到两端距离相等 点在线段的垂直平分线上 —— 主要用途 证明两条线段相等 证明点在垂直平分线上 简记为"见中垂线，得等线段" 5. 三角形三边垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。这个点就是三角形的外心（外接圆的圆心）。 应用： 在△ABC中找一点P，使PA=PB=PC → P就是三边垂直平分线的交点。 六、尺规作图：作线段的垂直平分线 1. 作图步骤 已知：线段AB。 求作：线段AB的垂直平分线。 步 具体操作 ① 分别以点A、B为圆心，以大于 AB/2 的长为半径画弧，两弧在AB上方交于点C ② 分别以点A、B为圆心，以同样长为半径画弧，两弧在AB下方交于点D ③ 作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线 2. 作图原理 ∵ AC=BC（C到A、B距离相等），∴ C在AB的垂直平分线上。 ∵ AD=BD（D到A、B距离相等），∴ D在AB的垂直平分线上。 ∴ C、D都在AB的垂直平分线上。由"两点确定一条直线"，直线CD就是AB的垂直平分线。 关键： 半径必须大于AB的一半，否则两弧不会相交。这是保证作图成功的必要条件。 七、平面直角坐标系中的轴对称 1. 坐标变换规律（必背） 对称方式 变换规律 口诀 关于x轴对称 (x, y) → (x, -y) 横坐标不变，纵坐标变相反数 关于y轴对称 (x, y) → (-x, y) 纵坐标不变，横坐标变相反数 关于原点对称 (x, y) → (-x, -y) 横、纵坐标都变相反数 2. 画轴对称图形的方法 原理： 几何图形可以看作由点组成。画一个图形关于某条直线的对称图形，只需找出关键点（如顶点）的对称点，再依次连接即可。 步 操作 ① 过顶点向对称轴作垂线（作图的依据是"对称轴是对称点连线的垂直平分线"） ② 在垂线上截取等长线段，得到该顶点的对称点（即"对折"的效果） ③ 重复上述步骤，求出所有关键点的对称点 ④ 按原图的顺序依次连接所有对称点，即得到所求的轴对称图形 八、典型例题精讲 【例1】判断轴对称图形 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 任意三角形 C. 等腰三角形 D. 梯形 解： A：平行四边形不一定是轴对称图形（矩形、菱形、正方形才是）。 B：任意三角形不一定是轴对称图形（等腰/等边才是）。 C：等腰三角形沿底边上的高对折，两侧完全重合，是轴对称图形。 D：梯形不一定是轴对称图形（等腰梯形才是）。 答案：C 【例2】找对称轴数量 正方形有______条对称轴；圆有______条对称轴。 解： 正方形：2条对角线 + 2条对边中点连线 = 4条。 圆：任意直径所在直线都是对称轴，有无数条。 【例3】利用轴对称性质求角 如图，将△ABC沿直线l折叠，使点C落在AB上的点C'处，若∠A=50°，∠B=60°，求∠ACC'的度数。 解： 由折叠性质：∠ACC' = ∠ACC（对应角相等）。 在△ABC中，∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 50° - 60° = 70°。 设∠ACC' = x，则∠ACC = x，∠C'CB = 70° - x。 由折叠，∠C'CB = ∠CC'B（对称性），且在△AC'C中…… 关键：折叠即轴对称变换，对应线段相等、对应角相等。 【例4】利用垂直平分线性质求周长 在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，求AE的长。 解： ∵ DE是AC的垂直平分线，∴ AE = CE，AD = CD（垂直平分线性质）。 △ABD的周长 = AB + BD + AD = AB + BD + CD = AB + BC = 13 cm。 △ABC的周长 = AB + BC + AC = 19 cm。 ∴ AC = 19 - 13 = 6 cm。 ∴ AE = AC/2 = 3 cm。 【例5】坐标系中的轴对称 已知点P(3, -4)，求P关于x轴的对称点P₁和关于y轴的对称点P₂的坐标。 解： 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变相反数。 ∴ P₁(3, 4)。 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变相反数。 ∴ P₂(-3, -4)。 【例6】综合应用——垂直平分线判定 在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点。求证：AD是BC的垂直平分线。 证明： ∵ AB = AC（已知），∴ A在线段BC的垂直平分线上（到B、C距离相等的点在BC的中垂线上）。 ∵ D是BC中点，∴ BD = DC。 在△ABD和△ACD中：AB=AC，BD=DC，AD=AD（公共边）。 ∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）。 ∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°。 ∴ AD⊥BC 且 BD=DC，即AD是BC的垂直平分线。 九、中考真题链接 【真题1】（2024·北京） 下列图形中，对称轴最多的是（ ） A. 等边三角形 B. 正方形 C. 圆 D. 矩形 答案：C（圆有无数条对称轴） 【真题2】（2023·上海） 点P(-2, 5)关于y轴对称的点的坐标为______。 解： 关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变相反数。 答案：(2, 5) 【真题3】（2023·杭州） 在△ABC中，AB=AC=10，BC=12。DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E。求BD的长。 解： ∵ DE是AB的垂直平分线，∴ DA = DB（垂直平分线性质）。 设BD = x，则DA = x，DC = 12 - x。 在Rt△ADC中（作AF⊥BC于F，F为BC中点，BF=6）： AF = √(AB²-BF²) = √(100-36) = 8。 由△BDE∽△BAF 或直接在△ADC中用勾股定理： x² = 8² + (12-x)²，解得 x = 25/3。 ∴ BD = 25/3。 【真题4】（2024·广州） 下列图形中，一定是轴对称图形的是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 任意四边形 D. 平行四边形 答案：B 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $