15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

教案：15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定

一、核心素养目标

1. 几何直观

通过几何画板动态演示线段垂直平分线上的点P在移动过程中PA与PB始终保持相等的关系，直观感知"线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等"这一几何规律。在商场选址问题的实际情境中，感受线段垂直平分线在解决实际问题中的应用价值，发展几何直观感知能力。

2. 推理能力

经历从几何画板的直观演示到"猜想——验证——证明"的完整探究过程，运用SAS全等三角形判定方法证明线段垂直平分线的性质定理。经历从性质定理的逆命题出发，运用

HL（或勾股定理）证明判定定理的推理过程。在互逆命题与互逆定理的学习中，培养"条件与结论互换"的逆向思维能力。

3. 应用意识

能运用线段垂直平分线的性质定理求线段长度、证明线段相等。能运用判定定理证明点在某条线段的垂直平分线上。能在实际情境（如商场选址、工厂选址等）中识别并运用线段垂直平分线的性质解决问题。能灵活选择性质和判定定理，根据题目条件选择最优的解题路径。

4. 模型观念

将线段垂直平分线的性质和判定抽象为几何基本模型——"到线段两端点距离相等"这一条件与"点在线段垂直平分线上"这一结论之间的等价关系。能将角平分线的性质与线段垂直平分线的性质进行对比，建立"两类线"的几何模型类比框架，体会数学模型的统一性与差异性。

二、教学重难点

教学重点

1. 理解并掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

2. 理解并掌握线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

3. 能运用性质和判定定理进行几何证明和计算，能灵活选择定理解决问题。

4. 理解互逆命题与互逆定理的概念，知道性质定理和判定定理互为逆定理。

教学难点

1. 正确区分性质定理和判定定理，理解两者互为逆定理的关系——性质定理的条件是"点在垂直平分线上"，结论是"到两端点距离相等"；判定定理的条件是"到两端点距离相等"，结论是"点在垂直平分线上"。

2. 理解互逆命题与互逆定理的概念，知道一个命题是真命题，但它的逆命题不一定是真命题（如"对顶角相等"的逆命题"相等的角是对顶角"是假命题）。

3. 灵活运用判定定理证明点在线段的垂直平分线上，能综合运用性质和判定定理解决实际问题。

4. 在角平分线与线段垂直平分线的对比中，避免混淆两类不同的几何模型。

三、教学过程

环节一：情境导入（3分钟）

【教师活动】同学们，上一节课我们学习了线段的垂直平分线的定义——经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。那么，线段的垂直平分线有什么特殊的性质呢？今天我们就来深入探究这个问题。

【教师活动】（展示课件）请看这样一个实际问题：某地由于居民增多，要在公路l旁增加一个公共汽车站，A、B是路边两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？

【教师活动】这个问题的实质是什么？

【学生活动】实质是：在公路l上找一个点，使这个点到A、B两个小区的距离相等。也就是在l上找一个点C，使得CA = CB。

【教师活动】分析得很到位！这个问题在数学上可以转化为：在直线l上找一点C，使得CA = CB。那么，满足这个条件的点C在哪里呢？它和线段AB的垂直平分线有什么关系？让我们带着这个问题，一起进入今天的探究——线段垂直平分线的性质和判定。

【设计意图】以公共汽车站选址的实际问题引入，激发学生的探究兴趣。将实际问题转化为数学问题（在直线上找点使得到两定点距离相等），引导学生将"到两端点距离相等"与"垂直平分线"建立联系，为后续探究性质和判定定理做好铺垫。

【过渡语】线段垂直平分线到底有什么性质呢？让我们通过几何画板来直观感受。

环节二：探究新知（16分钟）

一、性质定理的探究 —— 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

【教师活动】如图，直线l垂直平分线段AB，在l上取一点P1，测量P1A和P1B的长度。请同学们观察：P1A和P1B有什么关系？

【教师活动】现在，我们在l上移动点P1，取不同的位置——P2、P3、P4……请大家观察每一次测量中PA和PB的长度关系。