15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦线段垂直平分线的性质和判定，通过公共汽车站选址的实际问题导入，将现实问题转化为“在直线上找一点使到两定点距离相等”的数学问题，衔接轴对称性质，构建“猜想-验证-证明”的学习支架，承上启下衔接后续知识。 此资料以探究式教学为特色，借助几何画板动态演示培养几何直观，通过性质与判定的互逆关系及对比角平分线发展推理能力和模型观念，如用SAS证明性质定理、HL证明判定定理，帮助学生理解互逆命题，提升教师教学效率，促进学生逻辑思维与应用意识的发展。

教案：15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 课题 15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十五章 教学方法 探究发现、讲练结合、启发引导、几何画板演示、观察归纳 教学用具 多媒体课件、几何画板软件、直尺 教材分析 本节课是人教版八年级上册第十五章"轴对称"中"线段的垂直平分线"的第1课时。学生在上一节课已经学习了轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，以及轴对称的基本性质（对称轴垂直平分对称点连线），明确掌握了线段垂直平分线的定义。本节课在此基础上，进一步探究线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并引入互逆命题与互逆定理的概念。这是本章承上启下的关键课时：上承轴对称性质，下启等腰三角形、最短路径等内容。 学情分析 八年级学生已经具备一定的几何推理能力，能运用全等三角形的判定方法（SAS、HL等）进行简单的几何证明。但学生对"性质定理"与"判定定理"的区别与联系理解不够深入，容易混淆条件和结论的互换关系。此外，互逆命题与互逆定理是学生首次接触的概念，需要借助具体实例帮助学生建立直观理解。学生需要通过动手操作、几何画板观察、逻辑推理等多种方式，逐步构建线段垂直平分线性质与判定的知识体系。 一、核心素养目标 1. 几何直观 通过几何画板动态演示线段垂直平分线上的点P在移动过程中PA与PB始终保持相等的关系，直观感知"线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等"这一几何规律。在商场选址问题的实际情境中，感受线段垂直平分线在解决实际问题中的应用价值，发展几何直观感知能力。 2. 推理能力 经历从几何画板的直观演示到"猜想——验证——证明"的完整探究过程，运用SAS全等三角形判定方法证明线段垂直平分线的性质定理。经历从性质定理的逆命题出发，运用HL（或勾股定理）证明判定定理的推理过程。在互逆命题与互逆定理的学习中，培养"条件与结论互换"的逆向思维能力。 3. 应用意识 能运用线段垂直平分线的性质定理求线段长度、证明线段相等。能运用判定定理证明点在某条线段的垂直平分线上。能在实际情境（如商场选址、工厂选址等）中识别并运用线段垂直平分线的性质解决问题。能灵活选择性质和判定定理，根据题目条件选择最优的解题路径。 4. 模型观念 将线段垂直平分线的性质和判定抽象为几何基本模型——"到线段两端点距离相等"这一条件与"点在线段垂直平分线上"这一结论之间的等价关系。能将角平分线的性质与线段垂直平分线的性质进行对比，建立"两类线"的几何模型类比框架，体会数学模型的统一性与差异性。 二、教学重难点 教学重点 1. 理解并掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 2. 理解并掌握线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 3. 能运用性质和判定定理进行几何证明和计算，能灵活选择定理解决问题。 4. 理解互逆命题与互逆定理的概念，知道性质定理和判定定理互为逆定理。 教学难点 1. 正确区分性质定理和判定定理，理解两者互为逆定理的关系——性质定理的条件是"点在垂直平分线上"，结论是"到两端点距离相等"；判定定理的条件是"到两端点距离相等"，结论是"点在垂直平分线上"。 2. 理解互逆命题与互逆定理的概念，知道一个命题是真命题，但它的逆命题不一定是真命题（如"对顶角相等"的逆命题"相等的角是对顶角"是假命题）。 3. 灵活运用判定定理证明点在线段的垂直平分线上，能综合运用性质和判定定理解决实际问题。 4. 在角平分线与线段垂直平分线的对比中，避免混淆两类不同的几何模型。 三、教学过程 环节一：情境导入（3分钟） 【教师活动】同学们，上一节课我们学习了线段的垂直平分线的定义——经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。那么，线段的垂直平分线有什么特殊的性质呢？今天我们就来深入探究这个问题。 【教师活动】（展示课件）请看这样一个实际问题：某地由于居民增多，要在公路l旁增加一个公共汽车站，A、B是路边两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？ 【教师活动】这个问题的实质是什么？ 【学生活动】实质是：在公路l上找一个点，使这个点到A、B两个小区的距离相等。也就是在l上找一个点C，使得CA = CB。 【教师活动】分析得很到位！这个问题在数学上可以转化为：在直线l上找一点C，使得CA = CB。那么，满足这个条件的点C在哪里呢？它和线段AB的垂直平分线有什么关系？让我们带着这个问题，一起进入今天的探究——线段垂直平分线的性质和判定。 【知识点】情境导入：公共汽车站选址问题 问题：在公路l上找一个点C，使C到A、B两个小区的距离相等。 数学表达：在直线l上找一点C，使得CA = CB。 核心问题：满足CA = CB的点C在哪里？ 猜想：与线段AB的垂直平分线有关。 引出课题：15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定。 【设计意图】以公共汽车站选址的实际问题引入，激发学生的探究兴趣。将实际问题转化为数学问题（在直线上找点使得到两定点距离相等），引导学生将"到两端点距离相等"与"垂直平分线"建立联系，为后续探究性质和判定定理做好铺垫。 【过渡语】线段垂直平分线到底有什么性质呢？让我们通过几何画板来直观感受。 环节二：探究新知（16分钟） 一、性质定理的探究 —— 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【教师活动】如图，直线l垂直平分线段AB，在l上取一点P1，测量P1A和P1B的长度。请同学们观察：P1A和P1B有什么关系？ 【教师活动】现在，我们在l上移动点P1，取不同的位置——P2、P3、P4……请大家观察每一次测量中PA和PB的长度关系。 【学生活动】老师，我发现无论点P在l上怎么移动，PA和PB的长度始终相等！P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B……所有点都有这个规律。 【教师活动】非常棒的发现！从几何画板的演示中，我们可以提出一个猜想。 【教师活动】（板书猜想）猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 【教师活动】猜想需要证明。下面我们一起来用数学语言表述这个猜想，并给出严格的证明。 【教师活动】已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，且AC = CB，点P在l上。求证：PA = PB。 【教师活动】请同学们思考：如何证明PA = PB？我们可以利用什么已学过的知识？ 【学生活动】可以利用全等三角形！在△PCA和△PCB中，AC = BC（已知），∠PCA = ∠PCB = 90°（垂直），PC = PC（公共边），所以△PCA ≌ △PCB（SAS），因此PA = PB。 【教师活动】证明思路非常清晰！利用SAS判定两个直角三角形全等，从而得到PA = PB。这就是线段垂直平分线的性质定理。 【知识点】线段垂直平分线的性质定理 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 已知：直线l⊥AB于C，AC = BC，点P在l上。 求证：PA = PB。 证明：在△PCA和△PCB中， AC = BC（已知）， ∠PCA = ∠PCB = 90°（垂直定义）， PC = PC（公共边）， ∴ △PCA ≌ △PCB（SAS）。 ∴ PA = PB。 几何语言：∵ l垂直平分AB，点P在l上，∴ PA = PB。 【知识要点】性质定理的理解性质定理的条件：点在垂直平分线上。性质定理的结论：点到线段两端点的距离相等。本质：垂直平分线是"到线段两端点距离相等的所有点的集合"中的一部分。应用方向：已知点在线段垂直平分线上 → 可直接得出该点到两端点距离相等。注意：性质定理既可以计算线段长度，也可以证明线段相等。 【设计意图】通过几何画板动态演示，让学生直观感受"PA始终等于PB"的规律，提出猜想，再引导学生用SAS全等三角形完成严格证明。这一过程体现了"猜想——验证——证明"的数学探究方法，培养了学生从直观到严谨的推理能力。 【过渡语】性质定理已经证明了，我们来做一道针对训练，检验一下掌握情况。 二、针对训练1 —— 教材P67练习第1题（性质定理应用） 【教师活动】（展示课件）如图，AD⊥BC，BD = DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB + BD与DE有什么关系？ 【教师活动】请同学们仔细分析已知条件，逐一推导。 【学生活动】因为AD⊥BC且BD = DC，所以AD是线段BC的垂直平分线。由性质定理，AB = AC。又因为点C在AE的垂直平分线上，所以AC = CE。因此AB = AC = CE。 【学生活动】AB + BD = AC + BD = CE + DC = DE。因为BD = DC，所以AB + BD = DE。 【教师活动】推理过程非常严谨！这道题两次运用了性质定理——先由"AD垂直平分BC"得AB = AC，再由"点C在AE垂直平分线上"得AC = CE，从而得出AB = AC = CE。 【答案】答案：AB = AC = CE；AB + BD = DE。解析：由AD⊥BC，BD = DC，得AD垂直平分BC，∴ AB = AC。由点C在AE垂直平分线上，得AC = CE。∴ AB = AC = CE。又AB + BD = AC + BD = CE + DC = DE。 【知识点】针对训练1 解题要点 已知：AD⊥BC，BD = DC，点C在AE的垂直平分线上。 分析： (1) AD⊥BC且BD = DC → AD垂直平分BC → AB = AC（性质定理）。 (2) 点C在AE垂直平分线上 → AC = CE（性质定理）。 (3) 综合得 AB = AC = CE。 (4) AB + BD = AC + BD = CE + DC = DE。 方法：两次运用性质定理，根据垂直平分线的定义确定条件。 【设计意图】教材P67练习第1题是性质定理的直接应用，通过"AD垂直平分BC"和"点C在AE垂直平分线上"两个条件，让学生体会性质定理在推理中的使用方式。从AB = AC到AC = CE，再到AB + BD = DE，体现了几何推理的链条化特征。 【过渡语】性质定理告诉我们"从垂直平分线上的点到两端点距离相等"，那反过来呢？如果一个点到线段两端点的距离相等，这个点是否一定在这条线段的垂直平分线上？ 三、判定定理的探究 —— 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 【教师活动】刚才我们证明了性质定理。现在，我们把性质定理的条件和结论交换一下，得到一个新的命题。 【教师活动】性质定理（原命题）：线段垂直平分线上的点 → 到线段两端点的距离相等。 【教师活动】交换条件与结论，得到逆命题：到线段两端点距离相等的点 → 在线段的垂直平分线上。 【教师活动】这个逆命题是真命题吗？我们需要证明它。 【教师活动】已知：如图，PA = PB。求证：点P在线段AB的垂直平分线上。 【教师活动】请同学们思考：如何证明？这道题中，我们不知道点P到底在什么位置，不能直接利用全等。我们需要构造辅助线。 【教师活动】提示：过点P作PC⊥AB于C，尝试证明C是AB的中点。 【学生活动】过点P作PC⊥AB于C。在Rt△PCA和Rt△PCB中，PA = PB（已知），PC = PC（公共边），∠PCA = ∠PCB = 90°（作垂直），∴ Rt△PCA ≌ Rt△PCB（HL）。∴ AC = BC。又PC⊥AB，∴ 直线PC是线段AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上。 【教师活动】证明得很好！利用HL判定两个直角三角形全等，得出AC = BC，从而证明了PC是AB的垂直平分线。这就是线段垂直平分线的判定定理。 【知识点】线段垂直平分线的判定定理 定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 已知：PA = PB。 求证：点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：过点P作PC⊥AB于C， 在Rt△PCA和Rt△PCB中， PA = PB（已知）， PC = PC（公共边）， ∠PCA = ∠PCB = 90°（作垂直）， ∴ Rt△PCA ≌ Rt△PCB（HL）。 ∴ AC = BC。 又PC⊥AB， ∴ 直线PC是线段AB的垂直平分线。 即点P在线段AB的垂直平分线上。 几何语言：∵ PA = PB，∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。 【知识要点】判定定理的理解判定定理的条件：点到线段两端点的距离相等。判定定理的结论：点在线段的垂直平分线上。本质：垂直平分线是"到线段两端点距离相等的所有点的集合"。应用方向：已知PA = PB → 可直接得出点P在线段AB的垂直平分线上。注意：判定定理和性质定理互为逆定理，条件与结论正好互换。 【易错防范】性质定理与判定定理的区分性质定理：条件"点在垂直平分线上" → 结论"PA = PB"。 已知：垂直平分线 → 求：线段相等。判定定理：条件"PA = PB" → 结论"点在垂直平分线上"。 已知：线段相等 → 求：点的位置。记忆口诀： "线上点到两端等"——性质定理（线→等）。 "等距点在垂直平分线上"——判定定理（等→线）。注意：不要混淆条件和结论的方向！ 【设计意图】判定定理的探究采用了"交换条件与结论"的方法，从性质定理引出其逆命题，再通过HL全等证明逆命题为真命题。这一过程不仅使学生掌握了判定定理，还自然引入了"互逆命题"的概念，为后续学习互逆命题与互逆定理做好铺垫。 【过渡语】性质和判定定理都掌握了，我们回到导入中的实际问题，看能否用今天学到的知识来解决。 四、针对训练2 —— 导入问题解答 【教师活动】（展示课件）回到导入中的公共汽车站选址问题：在公路l上找一个点C，使CA = CB。根据今天学到的知识，这个点C在哪里？ 【教师活动】请同学们思考：CA = CB意味着什么？ 【学生活动】CA = CB，说明点C到线段AB两端点A、B的距离相等。根据判定定理，点C在线段AB的垂直平分线上。也就是说，点C应该是线段AB的垂直平分线与公路l的交点。 【教师活动】完全正确！这道题完美运用了判定定理——由"CA = CB"推出"点C在线段AB的垂直平分线上"。所以，公共汽车站应该建在线段AB的垂直平分线与公路l的交点处。 【答案】答案：公共汽车站应建在线段AB的垂直平分线与公路l的交点处。理由：要使CA = CB，根据判定定理，点C在线段AB的垂直平分线上。又因为车站在公路l上，所以点C是线段AB的垂直平分线与公路l的交点。 【知识点】针对训练2 解题要点 问题：在公路l上找一点C，使CA = CB。 分析：CA = CB → 点C在线段AB的垂直平分线上（判定定理）。 C又在l上 → C是垂直平分线与l的交点。 方法：将实际问题转化为数学问题， 运用判定定理确定点的位置。 说明：线段垂直平分线在解决"到两定点距离相等"的实际问题中 有广泛应用。 【设计意图】解决导入问题，首尾呼应，让学生体会到数学知识在实际问题中的应用价值。同时，这道题也是判定定理的经典应用——由"距离相等"推出"点在垂直平分线上"，帮助学生巩固判定定理的使用方法。 【过渡语】接下来看教材P67练习第2题，进一步巩固判定定理的应用。 五、针对训练3 —— 教材P67练习第2题（判定定理应用） 【教师活动】（展示课件）如图，AB = AC，MB = MC。求证：直线AM是线段BC的垂直平分线。 【教师活动】请同学们分析：要证明直线AM是线段BC的垂直平分线，需要证明什么？ 【学生活动】要证明AM是BC的垂直平分线，需要证明两个条件：AM⊥BC，且AM经过BC的中点。或者，可以证明A和M都在BC的垂直平分线上，那么AM就是BC的垂直平分线。 【教师活动】思路很好！我们看已知条件：AB = AC，说明什么？ 【学生活动】AB = AC，说明点A到B和C的距离相等，根据判定定理，点A在线段BC的垂直平分线上。同理，MB = MC，说明点M也在线段BC的垂直平分线上。A和M都在BC的垂直平分线上，所以直线AM就是线段BC的垂直平分线。 【教师活动】推理非常精彩！这道题两次运用了判定定理——由AB = AC得A在BC的垂直平分线上，由MB = MC得M在BC的垂直平分线上。两点确定一条直线，所以AM就是BC的垂直平分线。 【答案】答案：证明：∵ AB = AC，∴ 点A在线段BC的垂直平分线上（判定定理）。∵ MB = MC，∴ 点M在线段BC的垂直平分线上（判定定理）。∴ 直线AM经过A、M两点，且A、M都在BC的垂直平分线上。∴ 直线AM是线段BC的垂直平分线。 【知识点】针对训练3 解题要点 已知：AB = AC，MB = MC。 求证：直线AM是线段BC的垂直平分线。 分析： (1) AB = AC → 点A在BC的垂直平分线上（判定定理）。 (2) MB = MC → 点M在BC的垂直平分线上（判定定理）。 (3) A和M都在BC的垂直平分线上 → AM是BC的垂直平分线。 方法：两次运用判定定理，由"距离相等"推出"点在垂直平分线上"， 再由"两点确定一条直线"得出最终结论。 【设计意图】教材P67练习第2题是判定定理的典型应用，两次运用判定定理分别确定A和M的位置，再用"两点确定一条直线"得出结论。这道题帮助学生理解判定定理可以用于证明"某条直线是垂直平分线"，而不仅是证明"某个点在垂直平分线上"。 【过渡语】线段垂直平分线的性质和判定让我们联想到前面学过的角平分线。角平分线也有类似的性质和判定，它们之间有什么联系和区别呢？ 六、角平分线与线段垂直平分线的对比 【教师活动】（展示对比表格）请同学们回顾：角平分线的性质定理和判定定理分别是什么？ 【学生活动】角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。 【教师活动】很好！现在我们来对比角平分线和线段垂直平分线。 【教师活动】角平分线关注的是"到角两边的距离"，线段垂直平分线关注的是"到线段两端点的距离"。它们的性质和判定定理在结构上非常相似，都是"线上的点→等距"和"等距的点→在线上"。 【知识点】角平分线与线段垂直平分线的对比 角平分线： 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。 关注对象：点到两边的距离（垂线段）。 线段垂直平分线： 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 判定定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 关注对象：点到两端点的距离（连线）。 共同点： (1) 都有"性质定理"和"判定定理"，互为逆定理。 (2) 结构相似：性质定理是"线上→等距"，判定定理是"等距→线上"。 不同点： (1) 角平分线关注的是"到两边的距离"（垂线段，点到直线的距离）。 (2) 线段垂直平分线关注的是"到两端点的距离"（线段，点到点的距离）。 【方法归纳】对比记忆法角平分线：性质"线上等距"→ 判定"等距在线上"。 关键词：角两边、距离（垂线段）。线段垂直平分线：性质"线上等距"→ 判定"等距在线上"。 关键词：两端点、距离（连线）。记忆技巧：两者结构相同，区别在于"距离"的含义不同。 角平分线 → 点到直线的距离（垂直）。 线段垂直平分线 → 点到点的距离（连线）。 【设计意图】通过角平分线与线段垂直平分线的对比，帮助学生建立知识之间的联系，形成系统的几何模型认知。两类线的性质和判定定理结构相似，通过对比能够加深理解、避免混淆，同时培养学生的类比归纳能力。 【过渡语】性质定理和判定定理是互为逆命题关系。我们接下来学习互逆命题和互逆定理的概念。 七、互逆命题与互逆定理 【教师活动】（展示课件）先看性质定理和判定定理： 【教师活动】性质定理：线段垂直平分线上的点 → 到线段两端点的距离相等。 【教师活动】判定定理：到线段两端点距离相等的点 → 在线段的垂直平分线上。 【教师活动】这两个命题的条件和结论正好互换，我们把这样的两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题就是它的逆命题。 【教师活动】互逆定理又是什么呢？ 【教师活动】如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理。 【教师活动】线段垂直平分线的性质定理和判定定理都是真命题，它们互为逆定理。 【教师活动】那么，是不是所有命题的逆命题都是真命题呢？请同学们思考一个例子。 【教师活动】命题："对顶角相等"。它的逆命题是什么？是真命题吗？ 【学生活动】逆命题是："相等的角是对顶角"。这个逆命题是假命题！因为两条直线被第三条直线所截，同位角相等，但它们不是对顶角。 【教师活动】（展示课件）这个例子非常好！它说明了一个重要结论：一个命题是真命题，但它的逆命题不一定是真命题。所以，要判断一对命题是否为互逆定理，必须验证逆命题是否为真命题。 【知识点】互逆命题与互逆定理 互逆命题： 两个命题，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件， 这两个命题叫作互逆命题。 其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作它的逆命题。 互逆定理： 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理， 这两个定理叫作互逆定理。 重要结论： 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。 例如："对顶角相等"是真命题，但其逆命题 "相等的角是对顶角"是假命题。 线段垂直平分线： 性质定理和判定定理互为逆定理（两者都是真命题）。 【易错防范】互逆命题的真假判断注意一：原命题为真，逆命题不一定为真！ 反例："对顶角相等"（真）→ "相等的角是对顶角"（假）。注意二：互逆定理要求两个命题都是真命题。 线段垂直平分线的性质定理和判定定理都是真命题， 所以它们互为互逆定理。注意三：写逆命题时，只需交换原命题的条件和结论， 不改变语句中的其他内容。 【设计意图】互逆命题与互逆定理是本节课的难点之一。通过线段垂直平分线性质和判定定理的具体实例，自然引出互逆命题的概念。"对顶角相等"的反例帮助学生理解"原命题为真，逆命题不一定为真"这一关键结论，避免学生形成"逆命题一定为真"的错误认知。 【过渡语】互逆命题的概念清楚了，我们来做一道针对训练，检验一下掌握情况。 八、针对训练4 —— 教材P67练习第3题（逆命题判断） 【教师活动】（展示课件）写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立。 【教师活动】(1) 同旁内角互补，两直线平行。 【教师活动】(2) 如果两个角是直角，那么这两个角相等。 【教师活动】(3) 全等三角形的对应边相等。 【教师活动】请同学们逐一写出逆命题，并判断真假，说明理由。 【学生活动】(1) 逆命题：两直线平行，同旁内角互补。这个逆命题是真命题，因为平行线的性质就是同旁内角互补。 【学生活动】(2) 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角。这个逆命题是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，例如两个30°的角相等但都不是直角。 【学生活动】(3) 逆命题：对应边相等的两个三角形是全等三角形。这个逆命题是真命题，因为SSS是三角形全等的判定方法。 【教师活动】分析得非常准确！(1)和(3)的逆命题都是真命题，它们分别互为互逆定理。(2)的逆命题是假命题，这再次说明了"原命题为真，逆命题不一定为真"。 【答案】答案：(1) 逆命题：两直线平行，同旁内角互补。成立（真命题，平行线的性质）。(2) 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角。不成立（假命题，相等的角不一定是直角）。(3) 逆命题：对应边相等的两个三角形是全等三角形。成立（真命题，SSS判定）。 【知识点】针对训练4 解题要点 方法：写出逆命题时，交换原命题的条件和结论。 (1) 原命题：同旁内角互补 → 两直线平行（判定）。 逆命题：两直线平行 → 同旁内角互补（性质）。真命题。 (2) 原命题：两个角是直角 → 这两个角相等。真命题。 逆命题：两个角相等 → 这两个角是直角。假命题。 (3) 原命题：全等三角形 → 对应边相等。真命题。 逆命题：对应边相等 → 全等三角形。真命题。 总结：三对命题中，(1)和(3)互为互逆定理，(2)不互为互逆定理。 【设计意图】教材P67练习第3题通过三个具体命题的逆命题判断，帮助学生巩固互逆命题的概念。三个例子涵盖了"逆命题为真""逆命题为假"和"逆命题为真"三种情况，让学生全面理解"原命题为真，逆命题不一定为真"这一重要结论。 【过渡语】互逆命题和互逆定理我们已经掌握了。下面进入课堂练习环节，通过5道随堂演练来检验大家的学习效果。 环节三：课堂练习（13分钟） 一、随堂演练1 —— 选择题（性质定理应用） 【教师活动】第1题。如图，DE是AB的垂直平分线，则下列结论中成立的是（ ）。 A. ED = CD B. AE = AC C. AD = BD D. BD = AC 【教师活动】（展示课件中的选项）请同学们利用性质定理分析每个选项，选出正确的结论。 随堂演练1示意图 【学生活动】因为DE垂直平分AB，根据性质定理，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。所以DA = DB，EA = EB。我逐一检查了选项，正确的结论是基于DA = DB和EA = EB推出的。 【教师活动】分析得很准确！性质定理直接给出了DA = DB，EA = EB。在此基础上，我们可以进一步推导出其他结论。 【答案】答案：由DE垂直平分AB，得DA = DB，EA = EB。选项C正确。 【知识点】随堂演练1 解题要点 题型：选择题，利用性质定理判断结论。 已知：DE垂直平分AB。 由性质定理：DA = DB，EA = EB。 方法：直接运用性质定理，从"垂直平分线"条件推出"线段相等"。 注意：不要混淆性质定理和判定定理的方向。 【设计意图】第1题是性质定理的直接应用，考查学生对"线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等"这一基本结论的掌握程度。通过选择题的形式，帮助学生快速检验性质定理的理解情况。 【过渡语】第2题是判定定理的应用，考查逆向思维。 二、随堂演练2 —— 选择题（判定定理应用） 【教师活动】第2题。如图，PB = PC，则点P在（ ）。 A.∠ABC 的平分线上 B.∠ACB 的平分线上 C.边 AB 的垂直平分线上 D.边 BC 的垂直平分线上 【教师活动】PB = PC说明什么？请同学们运用判定定理来回答。 【学生活动】PB = PC，说明点P到线段BC两端点B和C的距离相等。根据判定定理，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点P在线段BC的垂直平分线上。 【教师活动】非常好！这道题考查的是判定定理——由"PB = PC"推出"点P在线段BC的垂直平分线上"。与第1题的性质定理正好互为逆命题，大家要注意区分。 【答案】答案：点P在线段BC的垂直平分线上。解析：∵ PB = PC，∴ 由判定定理，点P在线段BC的垂直平分线上。选项D正确. 【知识点】随堂演练2 解题要点 题型：选择题，利用判定定理确定点的位置。 已知：PB = PC。 由判定定理：点P在线段BC的垂直平分线上。 方法：直接运用判定定理，从"距离相等"推出"点在垂直平分线上"。 对比：第1题用性质定理（线→等），第2题用判定定理（等→线）。 【设计意图】第2题与第1题形成对比——第1题用性质定理（已知垂直平分线，求线段相等），第2题用判定定理（已知线段相等，求点的位置）。两道题放在一起，帮助学生区分性质和判定定理的使用方向。 【过渡语】第3题考查用性质定理确定点的位置，也是实际应用问题。 三、随堂演练3 —— 选择题（性质定理实际应用） 【教师活动】第3题。如图，某地三个城镇A、B、C，现要建一个体育馆，要求到三个城镇的距离相等，体育场应建在（ ）。 A.三条边的垂直平分线的交点处 B.三条角平分线的交点处 C.三条高的交点处 D.三条中线的交点处 【教师活动】要使体育馆到A、B、C三个城镇的距离相等，应该建在哪里？ 【学生活动】要使体育馆到A、B、C的距离相等，即找一个点P，使得PA = PB = PC。PA = PB说明点P在线段AB的垂直平分线上，PB = PC说明点P在线段BC的垂直平分线上。所以点P是AB的垂直平分线和BC的垂直平分线的交点，也就是三角形ABC三边垂直平分线的交点。 【教师活动】推理非常精彩！这道题综合运用了判定定理——由PA = PB得P在AB的垂直平分线上，由PB = PC得P在BC的垂直平分线上。所以P是两条垂直平分线的交点。 【答案】答案：体育场应建在三角形三边垂直平分线的交点处。解析：设体育场为点P，由PA = PB得点P在AB的垂直平分线上，由PB = PC得点P在BC的垂直平分线上，所以点P是两垂直平分线的交点。选项A正确. 【知识点】随堂演练3 解题要点 题型：选择题，实际应用——确定到三顶点等距的点的位置。 已知：PA = PB = PC。 分析： PA = PB → 点P在AB的垂直平分线上（判定定理）。 PB = PC → 点P在BC的垂直平分线上（判定定理）。 ∴ 点P是AB和BC垂直平分线的交点。 方法：两次运用判定定理，将"等距条件"转化为"点的位置"。 拓展：到三角形三顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点。 【设计意图】第3题将判定定理应用于实际情境——体育馆选址问题。通过"到三顶点距离相等"这一条件，两次运用判定定理，确定点的位置。这道题培养了学生的应用意识，也渗透了"三角形三边垂直平分线交于一点"的几何事实。 【过渡语】第4题是计算题，综合运用性质定理求解线段长度。 四、随堂演练4 —— 计算题（性质定理综合应用） 【教师活动】第4题。如图，DE垂直平分BC，AB = 3，AC = 5，求△ABD的周长。 【教师活动】请同学们思考：DE垂直平分BC，这给我们什么信息？ 【学生活动】DE垂直平分BC，根据性质定理，DB = DC。 【教师活动】很好！那么，△ABD的周长由哪几段组成？ 【学生活动】△ABD的周长 = AB + BD + AD。因为BD = DC，所以周长 = AB + DC + AD = AB + AC = 3 + 5 = 8。 【教师活动】计算非常漂亮！这道题的关键是把BD转化为DC，这样△ABD的周长就转化成了AB + AC，直接得出答案。 【解答】解：∵ DE垂直平分BC，∴ DB = DC（性质定理）。∴ △ABD的周长 = AB + BD + AD = AB + DC + AD = AB + AC = 3 + 5 = 8。 【知识点】随堂演练4 解题要点 题型：计算题，利用性质定理求三角形周长。 已知：DE垂直平分BC，AB = 3，AC = 5。 分析： DE垂直平分BC → DB = DC（性质定理）。 △ABD周长 = AB + BD + AD = AB + DC + AD = AB + AC。 = 3 + 5 = 8。 方法：利用性质定理将BD转化为DC，实现线段替换，简化计算。 关键：善于利用"等量代换"，将分散的线段转换为已知线段。 【规律总结】垂直平分线中的线段转化核心技巧：利用性质定理，将垂直平分线上的点到两端点的线段进行等量代换。常见转化： (1) 已知垂直平分线 → 得两线段相等。 (2) 将未知线段替换为已知线段。 (3) 将分散的线段合并为一条完整的线段。口诀：遇垂直平分线，找等量代换，化零为整。 【设计意图】第4题是性质定理在计算题中的应用，核心技巧是"等量代换"——将BD转化为DC，从而将△ABD的周长转化为AB + AC。这道题培养了学生灵活运用性质定理进行线段转化的能力。 【过渡语】最后一道题是综合证明题，全面考查性质和判定定理的综合运用。 五、随堂演练5 —— 综合证明题（性质与判定定理综合） 【教师活动】第5题。如图，AD平分∠BAC，AE = AF。求证：AD垂直平分EF。 【教师活动】这道题综合了角平分线和线段垂直平分线的知识。请同学们先分析：要证明AD垂直平分EF，需要证明什么？ 【学生活动】要证明AD垂直平分EF，需要证明两个条件：点A在EF的垂直平分线上，点D也在EF的垂直平分线上。或者证明AD⊥EF，且AD经过EF的中点。 【教师活动】两种思路都可以。我们看已知条件：AD平分∠BAC，AE = AF。从AE = AF能得出什么？ 【学生活动】AE = AF，说明点A到E和F的距离相等，根据判定定理，点A在线段EF的垂直平分线上。 【教师活动】很好！现在还需要证明点D也在EF的垂直平分线上，或者证明AD⊥EF且AD经过EF的中点。怎么利用AD平分∠BAC这个条件？ 【学生活动】可以证明△AED ≌ △AFD。在△AED和△AFD中，AE = AF（已知），∠EAD = ∠FAD（AD平分∠BAC），AD = AD（公共边），∴ △AED ≌ △AFD（SAS）。∴ DE = DF，∠ADE = ∠ADF。DE = DF说明点D在EF的垂直平分线上。又因为∠ADE + ∠ADF = 180°，∠ADE = ∠ADF，所以∠ADE = 90°，即AD⊥EF。 【教师活动】完美的推理！先由AE = AF得A在EF的垂直平分线上，再证△AED ≌ △AFD得DE = DF，即D在EF的垂直平分线上。或者证∠ADE = 90°，AD⊥EF。综合得出AD垂直平分EF。 【解答】证明：∵ AE = AF，∴ 点A在线段EF的垂直平分线上（判定定理）。在△AED和△AFD中，AE = AF（已知），∠EAD = ∠FAD（AD平分∠BAC），AD = AD（公共边），∴ △AED ≌ △AFD（SAS）。∴ DE = DF。∴ 点D也在线段EF的垂直平分线上（判定定理）。∴ AD是线段EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF。 【知识点】随堂演练5 解题要点 题型：综合证明题，求证AD垂直平分EF。 已知：AD平分∠BAC，AE = AF。 分析： (1) AE = AF → 点A在EF的垂直平分线上（判定定理）。 (2) 证△AED ≌ △AFD（SAS）→ DE = DF。 (3) DE = DF → 点D在EF的垂直平分线上（判定定理）。 (4) A和D都在EF的垂直平分线上 → AD垂直平分EF。 方法：先判定定理，再全等证明，再判定定理，综合得出结论。 涉及知识：角平分线定义、SAS全等、判定定理。 【规律总结】综合证明题的解题思路要证明一条直线是某条线段的垂直平分线，有两种思路： 思路一：证明两个点都在该线段的垂直平分线上。 思路二：证明该直线垂直且平分该线段。本题采用思路一： (1) 证A在EF垂直平分线上（AE = AF，判定定理）。 (2) 证D在EF垂直平分线上（△AED ≌ △AFD → DE = DF，判定定理）。 (3) 结论：AD是EF的垂直平分线。注意：本题综合了角平分线、全等三角形、判定定理等知识， 体现了知识之间的内在联系。 【设计意图】第5题是本节课的综合题，综合了角平分线的定义、SAS全等三角形判定、线段垂直平分线的判定定理等多个知识点。通过这道题，帮助学生建立知识之间的内在联系，培养综合运用多种知识解决问题的能力。 【过渡语】五道随堂演练覆盖了性质和判定定理的各个方面。现在让我们来回顾本节课的主要内容。 环节五：课堂小结（3分钟） 【教师活动】同学们，本节课我们学习了线段垂直平分线的性质和判定。请同学们从以下几个方面回顾本节课的收获。 【学生活动】我掌握了线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。证明方法是SAS全等三角形。 【学生活动】我掌握了线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。证明方法是HL全等三角形。 【学生活动】我理解了性质定理和判定定理互为逆定理——性质定理的条件是"点在垂直平分线上"，结论是"到两端点距离相等"；判定定理的条件是"到两端点距离相等"，结论是"点在垂直平分线上"。 【学生活动】我学会了互逆命题和互逆定理的概念。两个命题条件与结论互换，称为互逆命题。如果逆命题也是真命题，则互为互逆定理。一个命题是真命题，但它的逆命题不一定是真命题。 【学生活动】我学会了角平分线与线段垂直平分线的对比——角平分线关注的是"到角两边的距离"，线段垂直平分线关注的是"到线段两端点的距离"。它们的性质和判定定理结构相似。 【学生活动】我能灵活运用性质和判定定理解决几何证明和计算问题，包括线段长度计算、点的位置判断、垂直平分线的证明等。 【教师活动】同学们总结得非常全面！本节课的核心是线段垂直平分线的性质定理和判定定理。课后请同学们完成以下作业： 1. 从课后习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题。 【知识点】课堂小结：15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 一、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 证明：SAS全等。几何语言：∵ l垂直平分AB，点P在l上，∴ PA = PB。 二、判定定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 证明：HL全等。几何语言：∵ PA = PB，∴ 点P在AB的垂直平分线上。 三、互逆命题与互逆定理： 性质定理和判定定理互为逆定理。 原命题为真，逆命题不一定为真（如"对顶角相等"→"相等的角是对顶角"）。 四、角平分线与线段垂直平分线对比： 角平分线：点到两边的距离（垂线段）。 线段垂直平分线：点到两端点的距离（连线）。 五、应用：计算（等量代换）、证明（两点确定一线）、实际应用（选址问题）。 【设计意图】课堂小结采用学生自主回顾的方式，从性质定理、判定定理、互逆命题与互逆定理、对比、应用五个方面全面梳理本节课的知识体系。每个学生从不同角度分享收获，既巩固了知识，又培养了归纳总结能力。 四、板书设计 15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 一、性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 已知：l⊥AB于C，AC=BC，P在l上。 求证：PA=PB。 证明：△PCA≌△PCB(SAS)。 几何语言：∵ l垂直平分AB，P在l上， ∴ PA=PB。 二、判定定理 三、互逆命题与互逆定理 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 已知：PA=PB。 求证：P在AB的垂直平分线上。 证明：作PC⊥AB于C， Rt△PCA≌Rt△PCB(HL)。 几何语言：∵ PA=PB， ∴ 点P在AB的垂直平分线上。 互逆命题：条件与结论互换。 互逆定理：两个定理互为逆命题。 反例："对顶角相等"→ "相等的角是对顶角"（假）。 性质定理和判定定理互为逆定理。 四、角平分线对比 五、课堂练习 角平分线：到两边距离（垂线段）。 线段垂直平分线：到两端点距离（连线）。 结构相似，都是"线上→等距"和 "等距→线上"。 1. DE垂直平分AB → DA=DB。 2. PB=PC → P在BC垂直平分线上。 3. 到三顶点等距 → 垂直平分线交点。 4. △ABD周长=AB+AC=3+5=8。 5. AD平分∠BAC，AE=AF → AD垂直平分EF。 六、课后作业 教材课后习题 练习册本课时习题 五、教学反思 1. 回顾情境导入环节，以公共汽车站选址的实际问题引入，是否能有效激发学生的探究兴趣？学生是否能将实际问题转化为数学问题（在直线l上找一点C使CA = CB）？导入时间是否控制在3分钟内，为后续探究留出充足时间？ 2. 性质定理的探究——从几何画板动态演示到"猜想——验证——证明"的完整过程——学生是否能积极参与观察和猜想？SAS全等证明PA = PB的过程，学生是否能独立完成？"几何语言"的书写格式（∵ l垂直平分AB，点P在l上，∴ PA = PB），学生是否掌握？ 3. 判定定理的探究——从"交换条件与结论"引出逆命题，到HL全等证明——学生是否能理解"交换条件与结论"这一思维方式？辅助线（作PC⊥AB于C）的构造，学生是否能想到？如果学生想不到作辅助线，是否需要增加引导和提示？ 4. 互逆命题与互逆定理的教学，学生是否能理解"性质定理和判定定理互为逆定理"这一结论？"对顶角相等"的逆命题"相等的角是对顶角"是假命题，这个反例是否帮助学生建立了"原命题为真，逆命题不一定为真"的正确认知？学生是否能独立写出并判断逆命题的真假？ 5. 角平分线与线段垂直平分线的对比环节，学生是否能清晰区分两类线的"距离"含义不同？是否有学生混淆了"点到直线的距离"（角平分线）和"点到点的距离"（线段垂直平分线）？对比表格的形式是否有助于学生建立知识体系？ 6. 教材P67练习第1题（性质定理应用）和第2题（判定定理应用），学生是否能正确区分何时使用性质定理、何时使用判定定理？书写格式是否规范？第3题（逆命题判断）的完成情况如何，是否有学生混淆了逆命题的写法？ 7. 五道随堂演练的难度梯度是否合理？第1题（性质定理应用）和第2题（判定定理应用）作为基础题是否起到了对比巩固的作用？第3题（体育馆选址）学生是否能将实际问题转化为数学问题？第4题（计算题）的等量代换（BD→DC）技巧，学生是否掌握？第5题（综合证明题）的完成情况如何，是否需要增加讲解时间？ 8. 本节课的教学脉络是否清晰：情境导入（公共汽车站选址）→ 性质定理探究（几何画板+SAS）→ 针对训练1 → 判定定理探究（逆命题+HL）→ 针对训练2-3 → 角平分线对比 → 互逆命题与互逆定理 → 针对训练4 → 随堂演练（5道）→ 课堂小结。各个环节的时间分配是否合理（3+16+10+13+3=45分钟）？板书设计是否清晰地呈现了本节课的核心知识结构？ 9. 本节课作为"线段的垂直平分线"的第1课时，学生是否真正理解了性质定理和判定定理的"互逆"关系？是否能用数学语言准确表述两个定理？是否能为后续学习等腰三角形的性质（等腰三角形底边上的高也是底边的垂直平分线）和最短路径问题奠定坚实的基础？课后作业的布置是否合理，能否有效巩固本节课所学内容？ 学科网（北京）股份有限公司 $