11.3.2 两数和（差）的平方 课件 -2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“两数和（差）的平方”公式，通过正方形实验田面积问题情境导入，引导学生从直接与间接计算发现公式，再经代数推导、几何验证，结合典例精析与分层练习，构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 其亮点在于融合抽象能力、推理意识与模型意识，如用几何图形验证公式培养几何直观，多解法对比提升运算能力，“首平方，尾平方，积的2倍放中央”口诀强化模型意识。练习覆盖基础与综合，助力学生深化理解，教师可直接应用以提高教学效率。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 11.3.2 两数和（差）的平方 第11章 整式的乘除 11.3.2 两数和（差）的平方 同步练习题（含解析） 本节习题适配华东师大版八年级上册11.3.2知识点，紧扣完全平方和、完全平方差两大核心公式，聚焦公式结构识别、正逆运算、简便计算、整式化简求值等必考题型。针对性解决学生混淆完全平方公式与平方差公式、漏写中间项、符号出错、系数平方遗漏等高频易错点，结合整式混合运算综合设题，夯实乘法公式核心考点。 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 两数和的平方公式：$$(a+b)^2=$$________；两数差的平方公式：$$(a-b)^2=$$________。 2. $$(x+2)^2=$$________。 3. $$(3a-1)^2=$$________。 4. $$(2x+5y)^2=$$________。 5. 若$$(x-4)^2=x^2-ax+16$$，则$$a=$$________。 6. $$99^2=$$$$(100-1)^2=$$________。 二、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（） A. $$(a+b)^2=a^2+b^2$$ B. $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ C. $$(x+3)^2=x^2+3x+9$$ D.$$(2x-1)^2=4x^2-1$$ 2. 计算$$(m-2n)^2$$的结果是（） A. $$m^2-4mn+4n^2$$ B. $$m^2-2mn+4n^2$$ C. $$m^2-4n^2$$ D. $$m^2+4mn+4n^2$$ 3. 若$$x^2+kx+25$$是完全平方式，则k的值为（） A. 10 B. -10 C. $$\pm10$$ D. 5 4. 化简$$(x+1)^2-(x-1)^2$$的结果是（） A. 2 B. 4x C. $$2x^2+2$$ D. $$4x+2$$ 5. 计算$$102^2$$的简便结果是（） A. 10404 B. 10004 C. 10204 D. 10440 三、解答题（共50分） 1. 基础计算题（每题6分，共24分） （1）$$(x-6)^2$$ （2）$$(4a+3b)^2$$ （3）$$(-2x+1)^2$$ （4）$$98^2$$ 2. 化简计算题（12分）：$$(x+2)^2-(x-3)(x+3)$$ 3. 能力提升题（14分）：先化简$$(2a-1)^2-4a(a-2)$$，再代入$$a=-1$$求值。 四、参考答案与解析 填空题答案：1. $$a^2+2ab+b^2$$、$$a^2-2ab+b^2$$ 2. $$x^2+4x+4$$ 3. $$9a^2-6a+1$$ 4. $$4x^2+20xy+25y^2$$ 5. 8 6. 9801 选择题答案：1.B 2.A 3.C 4.B 5.A 解答题解析：1.（1）原式$$=x^2-12x+36$$；（2）原式$$=16a^2+24ab+9b^2$$；（3）原式$$=4x^2-4x+1$$；（4）原式$$=(100-2)^2=100^2-2\times100\times2+2^2=9604$$。 2. 原式$$=x^2+4x+4-(x^2-9)=x^2+4x+4-x^2+9=4x+13$$，分别运用完全平方公式与平方差公式，再去括号合并同类项。 3. 原式$$=4a^2-4a+1-4a^2+8a=4a+1$$，代入$$a=-1$$得：$$4\times(-1)+1=-3$$。 核心考点总结：完全平方公式口诀“首平方，尾平方，首尾两倍放中央”；和的平方中间项为正，差的平方中间项为负；运算切勿遗漏两倍中间项、漏平方系数；常与平方差公式混合考查，可用于简便运算、化简求值、完全平方式参数求解，是本章重难点。 学习目标 1.理解并掌握两数和(或差)平方公式的推导过程 2.理解两数和(或差)平方公式的结构特征 3.灵活应用两数和(或差)平方公式.（难点） 学习目标 情境导入 一块边长为a m的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b m，形成四块实验田，以种植不同的新品种（如图）. 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较. a m a m b m b m 直接求：总面积= (a+b)(a+b) 间接求：总面积= a2 ab ab b2 a2+2ab+b2 你发现了什么？ (a+b)2=a2+2ab+b2 两数和（或差）平方公式 1 (1) ( p + 1 )2 = = . 探究 1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (2) ( m + 2 )2 = = . p2 + p + p + 12 m2 + 2m + 2m + 22 两数的___的平方 和 两数____的和， 平方 加上它们积的__倍 2 p2 + 2p + 12 m2 + 4m + 22 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ ∵(a＋b)2 = (a＋b)(a＋b) = a2＋2ab＋b2. = a2 ＋ ab ＋ ab ＋ b2 ∴上述结果仍成立. 思路一： a2 b2 ab ab a b a + b a b a2 ab ab b2 (a + b)2 = + 2ab + (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a2 b2 a + b 你能几何的形式证明公式成立吗? 思路二： 文字叙述：两数的和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍. 知识要点 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 两数和的平方公式 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央” (1) (2x + 3y)2 (2) (2a+ )2 + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2 = (2a)2 + 2 · 2a · + ( )2 = 4a2 + 2ab + 例1 计算： ( a＋b )2 = a2 ＋ 2ab ＋ b2 典例精析 = (2x)2 + 2 · 2x · 3y (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = . p2－2p + 12 (4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2 ) = . m2－4m + 22 探究 2：结合探究1 填空，你能总结出规律并验证吗？ 规律：两个数的差的平方，等于这两个数平方的和，减去它们的积的 2 倍. 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ 验证： ∵(a－b)2 = [a＋(－b)]2 = a2＋2a·(－b)＋(－b)2 = a2－2ab＋b2. ∴上述结果仍成立. 思路一： 你能类比上述几何方法验证 思路二： (a－b)2 = a2－2ab + b2 成立吗? 猜想验证 a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 几何解释： (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 完全平方公式2： a−b 文字叙述：两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍. (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 两数差的平方公式 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央” 知识要点 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项为两数的平方，另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同； 3. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式或多项式. 例2 计算： (1) (3x - 2y)2； 解：(1) (3x - 2y)2 = 9x2 - 12xy + 4y2. ( a－b )2 = a2 － 2ab + b2 典例精析 + (2y)2 = (3x)2 - 2 · 3x · 2y 解法一 解法二 解法三 思考： (a + b)2 与 (-a - b)2 相等吗? (a - b)2 与 (b - a)2 相等吗? (a - b)2 与 a2 - b2 相等吗? 为什么? (-a - b)2 = [-(a + b)]2 = (a + b)2. (b - a)2 = [-(a - b)]2 = (a - b)2. (a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等，只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2. 跟踪训练 1.（1）若(x-5)2=x2+kx+25，则k=_____； （2）若4x2+mx+9是完全平方式，则m=_____. ﹣10 ±12 随堂练习 2.运用完全平方公式计算： 随堂练习 3.计算： （1）(a＋2b－1)2； （2）(2x＋y＋z) (2x－y－z) . 随堂练习 3.计算： （3）1022； （4）992. （3）原式=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404. （4）原式=(100−1)2 =1002−2×100×1+12 =10000−200+1 =9801. 随堂练习 4.化简求值：[2x2-(x+y)(x-y)][(-x-y)(y-x)+2y2]，其中x=1，y=2. 解：原式=(2x2-x2+y2)(x2-y2+2y2) =(x2+y2)2 =x4+2x2y2+y4 当x=1，y=2时，原式=1+8+16=25. 随堂练习 返回 D 考试考法 22 返回 2．如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是(　　) A．(a－b)(a＋b)＝a2－b2 B．4ab＝(a＋b)2－(a－b)2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C 考试考法 23 【解】原式＝4b2－12ab＋9a2. 考试考法 24 返回 【解】原式＝－(x＋2y)2＝－(x2＋4xy＋4y2)＝－x2－4xy－4y2. 考试考法 25 返回 4．若(x＋9y)2＝(x－9y)2＋A，则代数式A为________． 36xy　 考试考法 26 返回 5. 已知a－b＝3，ab＝10，则a2＋b2＝________． 29 考试考法 27 返回 6．若(a－b)2＝3，(a＋b)2＝7，则a2＋b2－3ab－2的值为(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 A 【点拨】∵(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，即4ab＝7－3＝4，解得ab＝1，∴a2＋b2－3ab－2＝(a－b)2－ab－2＝3－1－2＝0，故选A. 考试考法 28 返回 21 考试考法 29 B 考试考法 30 返回 考试考法 9. 两个正方形ABCD，AEFG如图摆放，边长分别为x，y，若x2＋y2＝34，BE＝2，则图中阴影部分面积的和为(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 A 考试考法 32 返回 考试考法 返回 考试考法 34 返回 11. 若a(x－2 025)2－b(x－2 025)＋c＝x2－2 027x－2 026恒成立，则9a－3b＋c＝________． 2 考试考法 35 返回 －1 考试考法 36 返回 13. 请同学运用等式(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc解决问题：已知x，y，z满足x2＋y2＋z2＝5，则(x－y)2＋(y－z)2＋(z－x)2的最大值是________． 15 【点拨】∵x2＋y2＋z2＝5，∴(x－y)2＋(y－z)2＋(z－x)2＝x2＋y2＋y2＋z2＋z2＋x2－2xy－2yz－2xz＝2(x2＋y2＋z2－xy－yz－xz)＝10－2(xy＋yz＋zx)．∵(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz，∴2xy＋2xz＋2yz＝(x＋y＋z)2－(x2＋y2＋z2)．∴(x－y)2＋(y－z)2＋(z－x)2＝10－(x＋y＋z)2＋(x2＋y2＋z2)＝15－(x＋y＋z)2.∵(x＋y＋z)2≥0，∴原式≤15.故原式的最大值是15. 考试考法 37 两数和(或差)平方公式 法则 注意 (a±b)2 = a2±2ab＋b2 1. 项数、符号、字母及其指数 2. 不能直接应用公式进行计算 的式子，需要先添括号变形 3. 常用公式变形式：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab； 4ab = (a＋b)2 - (a - b)2 1．下列计算正确的是(　　) A．(2a＋b)2＝4a2＋b2 B．(5x－2y)2＝25x2－10xy＋4y2 C.＝x2－xy＋y2 D.＝x2－x＋ 3．计算： (1)(－3a＋2b)2；　　　　　 (2)； 【解】原式＝＝49a2＋2ab＋b2. 【解】原式＝＝3 600＋2＋＝3 602. (3)(x＋2y)(－x－2y); (4). 【点拨】∵x2－5x＋1＝0，当x＝0时，等式不成立，∴x≠0，∴x－5＋＝0，∴x＋＝5，∴＝－4x·＝52－4＝21. 7．已知x2－5x＋1＝0，则＝________． 8.已知P＝2m＋1，Q＝m2＋2，其中m为正整数，下列对两名同学的结论判断正确的是(　　) 嘉嘉：由已知条件可知P＜Q. 淇淇：由已知条件可知0＜≤1. A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【点拨】∵P＝2m＋1，Q＝m2＋2，m为正整数，∴Q－P＝m2＋2－2m－1＝m2－2m＋1＝(m－1)2≥0，∴Q－P≥0，∴Q≥P，与P＜Q不相符，故嘉嘉的结论错误；∵P＝2m＋1，Q＝m2＋2，m为正整数，∴Q≥3，P≥3.∵Q≥P，∴0＜≤1，故淇淇的结论正确． 【点拨】∵AD＝AB，AG＝AE，∴AD－AG＝AB－AE，即DG＝BE＝2.∴S阴影＝S△CDF＋S△BEF＝CD·DG＋BE·EF＝×2x＋×2y＝x＋y.∵x－y＝2，∴(x－y)2＝4.∵(x－y)2＝x2－2xy＋y2，x2＋y2＝34，∴34－2xy＝4.∴2xy＝30.∴(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2＝34＋30＝64，∴x＋y＝8(负值已舍去)，∴图中阴影部分面积的和为8. 【点拨】设20 272 026＝m，则原式＝＝＝＝. 10.计算：＝_____________． 【点拨】由x＝－1，得a＝(x＋1)2，代入原式得x5＋2x4－(x＋1)2x3－x2＋[(x＋1)2＋1]x－(x＋1)2＝x5＋2x4－x3－2x4－x5－x2＋x3＋2x2＋2x－x2－2x－1＝－1. 12.已知x＝－1，则x5＋2x4－ax3－x2＋(a＋1)x－a的值为________． $