第15章轴对称【章节复习】压轴题2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形性质与动态几何探究，通过分层题型培养几何直观与推理能力，构建从静态证明到动态分析的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形证明|2|等腰三角形判定、角平分线性质应用|从角平分线性质推导等腰三角形判定，强化图形性质与判定的互推| |动态几何|3|等边三角形动点探究、图形形状判断|以等边三角形为载体，从定点到动点拓展，建立静态性质与动态变化的联系|

1. 如图和，中，平分交边于点． 图 图 （ 1 ）过点 作 交 于点 ，求证： 为等腰三角形． （ 2 ）若 ， ， ，判断、 、 的数量关系，并说明 理由． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ，理由见解析． （ 1 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 平分 ， ， ， ， ， ∴ 为等腰三角形． （ 2 ）在图 中，延长 过点 作 到 ，使得 ，连接 ， ∵ 平分 ∴ 于点 ， ， ． ， 在 和 中， ， ∴ ∴ ∴ ∴ ≌ （ ）， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ∴ 在 ， ． 和 中， ∴ ∴ ∵ ∴即 ≌ ， （）， ． ． ， ． 图 【知识点】平行线的性质 【知识点】等腰三角形的判定-两边相等 【知识点】角分线性质定理 【知识点】SAS 【知识点】AAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 【能力】抽象概括能力 【能力】推理论证能力 2. 在等边三角形 中，为直线 上一点，连接 ，与直线 交于点， ． （ 1 ）如图 ， ，点是 的中点，求 的长． （ 2 ） 点是边上任意一点（不与边的中点和端点重合），依题意，将图补全，判断与 的数量关系并证明． （ 3 ）点不在线段上，请在图中画出符合条件的一个图形，并直接写出与的数量关系． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ． ． ． （ 1 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 是等边三角形，点 ， 是 的中点， ， ， ， ， ． （ 2 ） ，理由如下： 如图，过点 则 作 ，交 于 ， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， , ∵ , ∴ ， 在 和 中， ， （ 3 ） ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ． ，理由如下： 过 作 ， ∵ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ 为等腰三角形， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ． 【知识点】等边三角形与全等 3. 在中，，点为射线上一个动点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，过点作，交直线于点，连接 ． （ 1 ）如图①，若，则按边分类：是 三角形． （ 2 ）若． 如图②，当点在线段上移动时，判断的形状并证明．1 2 当点在线段的延长线上移动时，是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）． （ 1 ）等边 （ 2 ）1 2 为等腰三角形． 为等腰三角形． （ 1 ）如图①，∵ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵在 中， ， ∴ 为等边三角形． （ 2 ）1 2 如图②，∵ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 为等腰三角形． 如图③， 为等腰三角形． 当点 在 延长线上时，以 为一边在 的左侧作 ， 使 ， ， 过点 作 的平行线 ，交直线 的延长线于 点 ，连接 ． ∵ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 为等腰三角形． 【知识点】等边三角形的判定 $ 1. 在中，，为线段上一点，，为射线上一点，且 ，连接． 图 图 （ 1 ）如图， 依题意补全图形．1 若，，求的长．2 （ 2 ）如图，若，连接并延长，交于点，求证：． 2. 如图，的两条高，交于点， ， ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）连接，求证：． 3. 如图，在中， ，，，把绕点旋转，在整个旋转过程中，过点作，垂足为，直线交于． （ 1 ）如图①，当在内部时，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 图 （ 2 ）如图②，当在外部时，则线段、与的关系为 ． 图 （ 3 ）在（ ）的条件下，若，，求的长． $ 1. 如图和，中，平分交边于点． 图 图 （ 1 ）过点 作 交 于点 ，求证： 为等腰三角形． （ 2 ）若 ， ， ，判断、 、 的数量关系，并说明 理由． 2. 在等边三角形中，为直线上一点，连接，与直线交于点，． （ 1 ）如图，，点是的中点，求的长． （ 2 ）点是边上任意一点（不与边的中点和端点重合），依题意，将图补全，判断与 的数量关系并证明． （ 3 ）点不在线段上，请在图中画出符合条件的一个图形，并直接写出与的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 3. 在中，，点为射线上一个动点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，过点作，交直线于点，连接 ． （ 1 ）如图①，若，则按边分类：是 三角形． （ 2 ）若． 如图②，当点在线段上移动时，判断的形状并证明．1 2 当点在线段的延长线上移动时，是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）． $ 1. 在中，，为线段上一点，，为射线上一点，且 ，连接． 图 图 （ 1 ）如图， 依题意补全图形．1 若，，求的长．2 （ 2 ）如图，若，连接并延长，交于点，求证：．（ 1 ）1 画图见解析． 2 ． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）1 2 ∵ ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ ， ， ， ， ， ∴在 中， ， ∴ ， ∵ ∴ ， ． ， 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 2 ）如图，过 作 ，交 的延长线于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 为 的中点， ∵ ， ∴ ， ，在 与 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 为等腰三角形， ∴ ， ∴ 为 的中点， ∴ ， ∴ ． 【知识点】多解或多种判定混合 2. 如图，的两条高，交于点， ， ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）连接，求证：． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）由题 ， ， ， ． 如图， （对顶角） ， 在 和 ， 中， ， ≌ ， ． （ 2 ） ， 且 ， ， ， , ， 由（ ）， ， ， ， ， ． 延长 到 ，使得 ， ， 垂直平分 ， 为等腰三角形． ， ， ， ， ， ， ， ． 【能力】推理论证能力 【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边 【知识点】ASA 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】对应边 3. 如图，在中， ，，，把绕点旋转，在整个旋转过程中，过点作，垂足为，直线交于． （ 1 ）如图①，当在内部时，求证：． 图 （ 2 ）如图②，当在外部时，则线段、与的关系为 ． 图 （ 3 ）在（ ）的条件下，若，，求的长． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） （ 3 ） ． （ 1 ）如图①，延长 到 ，使 ， ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵在 图 ， ， ， ， ． ， ， 和 ， 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ∴ ， 即 ． （ 2 ）如图②，在 上截取 ， 图 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵在 和 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ∴ ， 即 ， 故答案为： ． （ 3 ）∵ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【知识点】中点类辅助线 $