第15章轴对称【章节复习】压轴题 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦动态几何中三角形性质探究，通过分层设问构建从特殊到一般的知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角平分线与动态三角形|2题|含定点动边、射线背景，判断形状及计数|从特殊角（90°）到一般角，结合角平分线性质推导三角形边、角关系| |特殊三角形综合|2题|等腰直角与等边三角形组合，涉及角度计算、角平分线证明|通过图形变换（作平行线、构造等边三角形），串联三角形性质与全等/相似推理|

1. 已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在，上，连接． （ 1 ）如图，若，则，是 三角形． 图 （ 2 ）如图，若，请判断的形状，并证明你的结论． 图 （ 3 ）如图，已知，平分，且，若点，分别在射线， 上，且为等边三角形，则满足上述条件的的个数一共有 ．（只填序号） ①个 ②个 ③个 ④个以上 图 2. 如图，为等腰直角三角形， 为等边三角形，连接． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ）求的度数． （ 2 ）作的角平分线交于点，求证：． （ 3 ）在(2)的条件下，为图形外一点，满足，求证：平分． 3. 中， ，点为射线 上一个动点（不与 、重合），以为一边向 的左 侧作 ，使 ， ，过点作 的平行线，交直线于点 ，连接 ． 备用图 （ 1 ）如图，若，则是 三角形． 图 （ 2 ）若． 如图，当点在线段上移动，判断的形状并证明．1 图 当点在线段的延长线上移动，是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．2 $ 1. 如图，等腰直角三角形中，，、分别为、边上的点，， 交于点，过点作交的延长线于点，交于点 ． （ 1 ）求证：≌． （ 2 ）判断是什么三角形，并证明你的结论． （ 3 ）判断线段、与的数量关系并证明你的结论． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） 为等腰三角形． （ 3 ） ． （ 1 ）∵等腰直角三角形 中， ， ∴ 在 ， 和 ， 中 ∴ ． （ 2 ） 理由：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ≌ 为等腰三角形； ≌ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， 由（1）可得 ， ∴ ， 在和 中 ∴ ≌ ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 2. 已知：如图，点在的边上，且．（ 3 ）线段 、 与 的数量关系为 理由：如图所示：过点 作 的垂线，交 ． 的延长线于点 ， 【知识点】等腰直角三角形与全等 （ 1 ）求证：． （ 2 ）若的平分线交于，交于，设，，求的长． （ 3 ）若平分，平分，且交于点，连接，则是什么三角形？为什么？ （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 3 ） 是等腰三角形． （ 1 ）∵ ， 且 ， ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）∵ 的平分线 交 于 ， ∴ ， ∵ 交 于 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ． （ 3 ）过点 分别作 ， ， ，连接 ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形． 【能力】推理论证能力 【知识点】角的和差的计算与证明-不需要分类讨论 【知识点】平行线的性质 【知识点】三角形的外角定义及性质 【知识点】判断三角形的高，中线和角平分线 【知识点】等腰三角形的判定-两边相等 【知识点】AAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 3. 在中， 为 的平分线． （ 1 ）如图 ， ， ，求证： 为等边三角形． 图 （ 2 ）如图，若，，，求的长度． 图 （ 3 ）如图，若，的平分线与相交于点，且，求 的度数． 图 （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 1 ）∵ 为 的平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形． （ 2 ）如图 ，截取 ，连接 ， 图 在 与 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． （ 3 ）如图 ，过 作 平分 交 于 ， ∵ 平分 ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， 平分 ， 图 ∴ ∴ ， ， ， 在 与 中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ≌ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 【知识点】等边三角形与全等 $ 1. 如图，等腰直角三角形中， ，、分别为、 边上的点， ， 交于点，过点作 交 的延长线于点，交 于点 ． （ 1 ）求证：≌． （ 2 ）判断是什么三角形，并证明你的结论． （ 3 ）判断线段、与的数量关系并证明你的结论． 2. 已知：如图，点在的边上，且． （ 1 ）求证：． （ 2 ）若的平分线交于，交于，设，，求的长． （ 3 ）若平分，平分，且交于点，连接，则是什么三角形？为什么？ 3. 在中，为的平分线． （ 1 ）如图，，，求证：为等边三角形． 图 （ 2 ）如图，若，，，求的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 图 （ 3 ）如图，若，的平分线与相交于点，且，求 的度数． 图 $ 1. 已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在，上，连接． （ 1 ）如图，若，则，是 三角形． 图 （ 2 ）如图，若，请判断的形状，并证明你的结论． 图 （ 3 ）如图，已知，平分，且，若点，分别在射线， 上，且为等边三角形，则满足上述条件的的个数一共有 ．（只填序号） ①个 ②个 ③个 ④个以上 图 （ 1 ） ; 等边 （ 2 ） 是等边三角形，证明见解析． （ 3 ） ④ （ 1 ）如图 ，连接 ， ∵ ， ， 根据四边形的内角和得， ， 图 1 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 是 的平分线， ， ， ∴ ．（角平分线的性质定理）， ∴ 是等边三角形． （ 2 ）如图 ，同（ ）得出， （根据三角形的内角和定理），过点 作 于 ， 于 ， ∵ 是 的平分线， ∴ ， ∵ ， ， 图 ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形． （ 3 ）如图 ，∵ 平分 ， ， ∴ ， 在 上截取 ，连接 ， ∴ 是等边三角形，此时点 和点 重合， 同理： 是等边三角形， 图 此时点 和点 重合， 将等边 绕点 逆时针旋转到等边 ， 在旋转的过程中，边 ， 分别和 ， 相交（如图中 ， ）和点 围成的三角形全部是等边三角形，（旋转角的范围为（ 到 包括 和 ）， ∴有无数个， 理由：同（ ）的方法．故答案为：④． 【知识点】旋转的性质 2. 如图，为等腰直角三角形， 为等边三角形，连接． （ 1 ）求的度数． （ 2 ）作的角平分线交于点，求证：． （ 3 ）在(2)的条件下，为图形外一点，满足，求证：平分． （ 1 ） ． （ 2 ）证明见解析． （ 3 ）证明见解析． （ 1 ）∵ ∴ ， ， （ 2 ）∵ ∴ ∴ 平分 ． ， ， ， ，在 上取 ，连 ， 在 与 中， ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ≌ ， ， ， 为正三角形， ， ． （ 3 ）连 ， ∵ ， ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∴ ，过 作 于 ， 于， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ 平分 ． 【知识点】全等三角形的对应边与角；等腰及等边三角形的综合 3. 中，，点为射线上一个动点（不与、重合），以为一边向的左侧作，使，，过点作的平行线，交直线于点，连接 ． 备用图 （ 1 ）如图，若，则是 三角形． 图 （ 2 ）若． 如图，当点在线段上移动，判断的形状并证明．1 图 当点在线段的延长线上移动，是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．2 （ 1 ）等边三角形 （ 2 ）1 为等腰三角形，证明见解析． 2 等腰三角形，证明见解析． （ 1 ）∵ ， ， ， ∴ 和 为等边三角形， ∴ ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵在 中， ， ∴ 为等边三角形． （ 2 ）1 2 为等腰三角形， ∵ ， ， ， ∴ 和 为等腰三角形， ∴ ， ， ∴ ≌ ． ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵在 中， ， ∴ 为等腰三角形． ，点 为射线 上一个动点（不与 、 重合），以 为一边向 的左侧作 ，使 ， ，过点 作 的平行线，交直线 于点 ，连接 ． ∵ 为等腰三角形， ∵ ，， ， ∴ 和为等腰三角形， ∴ ， ， ∴ ≌， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵在 中，， ∴ 为等腰三角形． 【知识点】等边三角形的判定 $